2025版高考數(shù)學一輪總復(fù)習應(yīng)用創(chuàng)新題組11.2離散型隨機變量及其分布列均值與方差

.2離散型隨機變量及其分布列、均值與方差應(yīng)用篇知行合一應(yīng)用利用均值、方差進行決策1.(2024屆河北滄州十五校摸底,20)在我國,11月9日的月日數(shù)恰好與火警電話號碼119相同,而且這一天前后,正值風干物燥、火災(zāi)多發(fā)之際,全國各地都在緊鑼密鼓地開展冬季防火工作.為增加全民的消防平安意識,從1992年起,公安部將每年的11月9日定為全國的“消防日”.為切實提中學學生消防平安學問,增加應(yīng)對火災(zāi)的實力,某市特舉辦以“消防平安進萬家,平安相伴你我他”為主題的學問競賽,甲、乙同學將代表學校參與.為取得好成果,二人在消防學問題庫中各隨機選取50題練習,每題答對得5分,答錯得0分,練習結(jié)果甲得200分,乙得150分.若以二人練習中答題正確的頻率作為競賽答題正確的概率,回答下列問題.(1)競賽第一環(huán)節(jié),要求甲、乙二人各選兩題作答,每題答對得5分,答錯不得分,求甲、乙二人得分和的概率分布列和期望;(2)其次環(huán)節(jié)中,要求二人自選兩道題或四道題作答,要求一半及一半以上正確才能過關(guān),那么甲、乙二人怎樣選擇,各自過關(guān)的可能性較大?解析(1)由已知得,甲答題正確的概率為0.8,乙答題正確的概率為0.6,設(shè)甲、乙二人得分和的隨機變量為X,則X的可能取值為0,5,10,15,20,P(X=0)=(0.2)2×(0.4)2=0.0064,P(X=5)=C21×0.2×0.8×(0.4)2+C2P(X=10)=(0.2)2×(0.6)2+(0.8)2×(0.4)2+C21×0.2×0.8×P(X=15)=C21×0.2×0.8×(0.6)2+C2P(X=20)=(0.8)2×(0.6)2=0.2304,所以X的分布列為X05101520P0.00640.07040.27040.42240.2304E(X)=0×0.0064+5×0.0704+10×0.2704+15×0.4224+20×0.2304=14.(2)甲選兩道題時,過關(guān)率為1-(0.2)2=0.96,甲選四道題時,過關(guān)率為1-(0.2)4-C41×0.8×(0.2)∴甲選四道題.乙選兩道題時,過關(guān)率為1-(0.4)2=0.84,乙選四道題時,過關(guān)率為1-(0.4)4-C41×0.6×(0.4)∴乙選兩道題.2.(2024屆福建南平聯(lián)考,20)某地區(qū)位于甲、乙兩條河流的交匯處,夏季多雨,依據(jù)統(tǒng)計資料預(yù)料,今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25,乙河流發(fā)生洪水的概率為0.2(假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響),今年夏季該地區(qū)某工地有很多大型設(shè)備,為愛護設(shè)備,有以下3種方案.方案一:不實行措施,當一條河流發(fā)生洪水時,設(shè)備將受損,損失30000元.當兩河流同時發(fā)生洪水時,設(shè)備將受損,損失60000元.方案二:修建愛護圍墻,建設(shè)費為4000元,但圍墻只能抵擋一條河流發(fā)生的洪水,當兩河流同時發(fā)生洪水時,設(shè)備將受損,損失60000元.方案三:修建愛護大壩,建設(shè)費為9000元,能夠抵擋住兩河流同時發(fā)生洪水.(1)求今年甲、乙兩河流至少有一條發(fā)生洪水的概率;(2)試比較哪一種方案更好,說明理由.解析(1)甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25,乙河流發(fā)生洪水的概率為0.2,則甲、乙兩條河流均不發(fā)生洪水的概率為(1-0.25)×(1-0.2)=0.6,所以今年甲、乙兩河流至少有一條發(fā)生洪水的概率為1-0.6=0.4.(2)方案一:設(shè)損失費為X.X的可能取值為30000,60000,0,P(X=30000)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35,P(X=60000)=0.25×0.2=0.05,P(X=0)=(1-0.25)×(1-0.2)=0.6,所以E(X)=30000×0.35+60000×0.05+0×0.6=13500(元).方案二:修建愛護圍墻,須要花費4000元,但圍墻只能抵擋一條河流發(fā)生的洪水,當兩河流同時發(fā)生洪水時,設(shè)備將受損,損失60000元,兩條河流都發(fā)生洪水的概率P=0.25×0.2=0.05,所以該方案中的花費為4000+60000×0.05=7000元.方案三:修建愛護大壩,建設(shè)費為9000元,設(shè)備不會受損,方案中的花費為9000元.所以方案二最好.3.(2024屆通州期中,20)某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩個市場銷售某種蔬菜(兩個市場的銷售互不影響),已知該蔬菜每售出1噸獲利500元,未售出的蔬菜降價處理,每噸虧損100元.現(xiàn)分別統(tǒng)計該蔬菜在甲、乙兩個市場以往100個周期的市場需求量,制成如下條形圖:以市場需求量的頻率代替需求量的概率.設(shè)批發(fā)商在下個銷售周期購進n噸該蔬菜,在甲、乙兩個市場同時銷售,以X(單位:噸)表示下個銷售周期兩個市場的總需求量,T(單位:元)表示下個銷售周期兩個市場的銷售總利潤.(1)求X的分布列;(2)當n=19時,求T與X的函數(shù)解析式,并估計銷售利潤不少于8900元的概率;(3)以銷售利潤的期望作為決策的依據(jù),推斷n=19與n=18應(yīng)選用哪一個.解析(1)設(shè)甲市場需求量為x噸的概率為P(x),乙市場需求量為y噸的概率為P(y),由題意得P(x=8)=0.3,P(x=9)=0.4,P(x=10)=0.3;P(y=8)=0.2,P(y=9)=0.5,P(y=10)=0.3.設(shè)兩個市場總需求量為X噸的概率為P(X),由題意得X的全部可能取值為16,17,18,19,20,P(X=16)=P(x=8,y=8)=0.3×0.2=0.06,P(X=17)=P(x=8,y=9)+P(x=9,y=8)=0.3×0.5+0.4×0.2=0.23,P(X=18)=P(x=8,y=10)+P(x=10,y=8)+P(x=9,y=9)=0.3×0.3+0.3×0.2+0.4×0.5=0.35,P(X=19)=P(x=9,y=10)+P(x=10,y=9)=0.4×0.3+0.3×0.5=0.27,P(X=20)=P(x=10,y=10)=0.3×0.3=0.09.所以X的分布列為X1617181920P0.060.230.350.270.09(2)由題意得,當X≥19時,T=500×19=9500(元),當X<19時,T=500X-(19-X)×100=600X-1900.所以T=9500設(shè)A=“銷售利潤不少于8900元”,當X≥19時,T=9500>8900,當X<19時,T=600X-1900≥8900,解得X≥18.由(1)中X的分布列可知,P(A)=P(X≥18)=0.71.(3)當n=19時,若X=16,則T=600×16-1900=7700(元).若X=17,則T=600×17-1900=8300(元).若X=18,則T=600×18-1900=8900(元).若X≥19,則T=9500(元).所以T的全部可能取值為7700,8300,8900,9500.P(T=7700)=0.06,P(T=8300)=0.23,P(T=8900)=0.35,P(T=9500)=0.27+0.09=0.36.所以E1(T)=7700×0.06+8300×0.23+8900×0.35+9500×0.36=8906(元).當n=18時,若X≥18,則T=500×18=9000(元).若X=17,則T=500×17-(18-17)×100=8400(元).若X=16,則T=500×16-(18-16)×100=7800(元).則T的全部可能取值為7800,8400,9000.P(T=7800)=0.06,P(T=8400)=0.23,P(T=9000)=0.71.所以E2(T)=7800×0.06+8400×0.23+9000×0.71=8790(元).因為8906>8790,所以應(yīng)選擇n=19.4.(2024屆北京市八一學校開學考試,17)2024年1月10日,引發(fā)新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后,科學家們便起先了病毒疫苗的探討過程.但是類似這種病毒疫苗的研制須要科學的流程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做動物試驗.已知一個科研團隊用小白鼠做接種試驗,檢測接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗設(shè)計是:每天接種一次,3天為一個接種周期.已知小白鼠接種后當天出現(xiàn)抗體的概率為12,假設(shè)每次接種后當天是否出現(xiàn)抗體與上次接種無關(guān)(1)求一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體次數(shù)k的分布列;(2)已知每接種一次花費100元,現(xiàn)有以下兩種試驗方案:①若在一個接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)抗體即終止本周期試驗,進行下一接種周期,試驗持續(xù)三個接種周期,設(shè)此種試驗方式的花費為X元;②若在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體,該周期結(jié)束后終止試驗,已知試驗至多持續(xù)三個接種周期,設(shè)此種試驗方式的花費為Y元.本著節(jié)約成本的原則,應(yīng)選擇哪種試驗方案?解析(1)由題意可知,隨機變量k聽從二項分布B3,12,故則k的分布列為k0123P1331(2)①設(shè)一個接種周期的接種費用為ξ元,則ξ的全部可能取值為200,300,因為P(ξ=200)=14,P(ξ=300)=3所以E(ξ)=200×14+300×34=275(所以三個接種周期的平均花費為E(X)=3E(ξ)=3×275=825(元).②隨機變量Y的全部可能取值為300,600,900,設(shè)事務(wù)A為“在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體”,由(1)知,P(A)=38+18=所以P(Y=300)=P(A)=12P(Y=600)=[1-P(A)]P(A)=14P(Y=900)=[1-P(A)][1-P(A)]×1=14所以E(Y)=300×12+600×14+900×14因為E(X)>E(Y),所以選擇方案二.創(chuàng)新篇守正稀奇創(chuàng)新概率與其他學問的綜合1.(2024屆湖北恩施州質(zhì)量監(jiān)測,21)某企業(yè)創(chuàng)新形式推動黨史學習教化走深走實,實行兩輪制的黨史學問競賽初賽,每部門派出兩個小組參賽,兩輪都通過的小組才具備參與決賽的資格,該企業(yè)某部門派出甲、乙兩個小組,若第一輪競賽時兩組通過的概率分別是45,23,其次輪競賽時兩組通過的概率分別是34,35,(1)若將該部門獲得決賽資格的小組數(shù)記為X,求X的分布列與數(shù)學期望;(2)競賽規(guī)定:參與決賽的小組由4人組成,每人必需答題且只答題一次(與答題依次無關(guān)),若4人全部答對就賜予獎金,若沒有全部答對但至少2人答對就被評為“優(yōu)秀小組”.該部門對通過初賽的某一小組進行黨史學問培訓,使得每個成員答對每題的概率均為p(0<p<1)且相互獨立,設(shè)該參賽小組被評為“優(yōu)秀小組”的概率為f(p),當p=p0時,f(p)最大,試求p0的值.解析(1)設(shè)甲、乙兩個小組兩輪初賽都通過分別為事務(wù)A1,A2,則P(A1)=45×34=35,P(A2)=23×由題意知X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=1-35×1P(X=1)=1-35×25+35×1-25=所以X的分布列為X012P6136E(X)=0×625+1×1325+2×(2)由題意知小組中2人答對的概率為C42p2(1-p)2,3人答對的概率為C4則f(p)=6(1-p)2p2+4(1-p)p3=2p4-8p3+6p2.f'(p)=8p3-24p2+12p=4p(2p2-6p+3),令f'(p)=0,得p1=0(舍),p2=3-32,p3=3+32(舍),所以在0,3-32上,f(p)單調(diào)遞增,在3-32,1上,f(p)單調(diào)遞減,故p2.(2024屆山東廣饒一中10月月考,20)為落實立德樹人根本任務(wù),堅持五育并舉全面推動素養(yǎng)教化,某學校實行了乒乓球競賽,其中參與男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū),三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3,4,5.本次決賽的競賽賽制實行單循環(huán)方式,即每名隊員進行11場競賽(每場競賽都實行5局3勝制),最終依據(jù)積分選出最終的冠軍.積分規(guī)則如下:競賽中以3∶0或3∶1取勝的隊員積3分,失敗的隊員積0分,而在競賽中以3∶2取勝的隊員積2分,失敗的隊員積1分,已知第10輪張三對抗李四,設(shè)每局競賽張三取勝的概率均為p(0<p<1).(1)競賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是多少?(2)第10輪競賽中,記張三以3∶1取勝的概率為f(p).①求出f(p)的最大值點p0;②若以p0作為p的值,這輪競賽張三所得積分為X,求X的分布列及期望.解析(1)競賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率P=C31