數(shù)學建模選修課二市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎課件

數(shù)學建模基礎第1頁前言第2頁一、開設數(shù)學建模課程背景1.開設數(shù)學建模是數(shù)學教育改革必定現(xiàn)在請各位同學回答以下兩個問題：(1)數(shù)學主要嗎，為何？(2)數(shù)學有用嗎？請舉出一些用數(shù)學知識處理實際問題例子。第3頁對于第一個問題，大家一定會毫不猶豫地回答：數(shù)學是非常主要。至于理由我猜測應該是：從小學、初中到高中、大學，從小升初、中考到高考、考研，數(shù)學從來是必考科目，而且在總分中所占比重相當高。在大學階段，許多專業(yè)學生都最少要學習高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計三門課程，歷時一年半，17個學分。第4頁對于第二個問題，大家回答可能會有些矛盾：數(shù)學應該是有用，但又極難列舉出自己用數(shù)學處理有價值實例。之所以出現(xiàn)“數(shù)學主要，數(shù)學又似乎沒用”矛盾，原因是多方面。當然有數(shù)學比較抽象不易掌握等客觀原因，但不可否定是，長久以來數(shù)學教育中一些敝病是造成這種情況主要原因。

第5頁事實上，現(xiàn)在大學數(shù)學教育相當不盡如人意。一方面?zhèn)鹘y(tǒng)數(shù)學已演變?yōu)閿?shù)學技術、理論研究和實驗研究三足鼎立現(xiàn)代數(shù)學；而其次大部分教材、教學內容和教學伎倆幾十年一貫制，過于陳舊，完全沒有反映出信息時代數(shù)學作為一種技術新特點，致使學生科學計算能力和運用數(shù)學知識解決實際問題能力得不到很好培養(yǎng)。第6頁比如，我校工科專業(yè)一些碩士和教師在科研中碰到稍微復雜一點數(shù)學計算問題便束手無策。另外在最近幾年全國大學生數(shù)學建模競賽中，盡管我院大部分參賽選手數(shù)學成績都很好，但他們利用數(shù)學知識和數(shù)學軟件處理實際問題能力顯著不足。所以，數(shù)學教育改革已成了當務之急。第7頁為了適應新形勢需要，必須改革現(xiàn)有數(shù)學教育模式與內容，增強學生使用計算機與數(shù)學軟件學習數(shù)學和處理實際問題能力。數(shù)學建模課便應運而生了，能夠說數(shù)學建模是數(shù)學教育改革產物。第8頁2.開設數(shù)學建模是參加競賽需要我校于首次參加全國大學生數(shù)學建模競賽。因為缺乏指導教師和充分資金支持、建?；顒硬黄占暗仍?，我校數(shù)學建模水平與省內同類院校相比相差甚遠。一直存在著參賽隊少、獲獎級別低等問題。第9頁據(jù)調查，我校數(shù)學教師中有不少愿意投身數(shù)學建模，但缺乏學習和研究建模契機；學生中也有一批數(shù)學建模興趣者，但平時苦于沒有機會接收數(shù)學建模知識系統(tǒng)介紹和培訓。安大、安財?shù)冉Ｏ冗M院校經驗表明，開設數(shù)學建模選修課是培養(yǎng)指導教師和參賽選手有效路徑。數(shù)學建模選修課開設不但能夠引導教師學第10頁習、鉆研建模，而且為學生中建模興趣者提供了接收建?；A學習、培訓機會和場所。第11頁3.學分制為開設數(shù)學建模提供了有利條件我校從級新生開始實施學分制。學分制是以學分為計量單位衡量學生完成學業(yè)情況一個彈性教學管理制度。學分制關鍵和基礎是選課制，選課制允許學生在一定范圍內自主選擇課程、教師、講課時間、修讀方式和學習進程。第12頁學分制實施給數(shù)學建模選修課開設提供了極為有利條件。在全校開設數(shù)學建模選修課，為學生中建模興趣者提供了接收建?；A學習、培訓機會和場所，有利于數(shù)學建?；顒悠占?，可在一定程度上改變我校在數(shù)學建模競賽上落后情況。第13頁二、課程介紹1.課程主要內容與講課方式

考慮到選修本門課程大多為非數(shù)學專業(yè)學生，他們選修本門課程主要目標不是學習數(shù)學，而是想經過本門課程學習提升應用數(shù)學知識和數(shù)學軟件處理實際問題能力。第14頁所以，除了少數(shù)數(shù)學理論問題之外，本門課程重點介紹怎樣用數(shù)學數(shù)學軟件求解經典數(shù)學模型。內容包含：慣用數(shù)學軟件介紹，重點介紹Maple和Lingo；初等模型、微分方程模型、運籌與優(yōu)化模型、數(shù)據(jù)處理與統(tǒng)計分析、隨機模擬、圖論與網(wǎng)絡模型等。第15頁因為公選課尤其是數(shù)學建模不太適宜指定教科書，所以數(shù)學建模課程擬采取學生自學、學生教師課下討論與教師課堂講解相結合講課方式。首先由學生按教師要求對下次講課內容進行自學，對于疑難問題可經過適當方式與教師進行討論、交流，然后教師在課堂上對此次講課內容進行講解、總結，布置作業(yè)。第16頁2.上機練習、數(shù)學軟件使用與編程

數(shù)學建模是實踐性尤其強課程，與高等數(shù)學等課程有很大不一樣。數(shù)學建模課程中幾乎全部問題都要借助數(shù)學軟件上機完成。希望同學們對數(shù)學建模課堂中所講例題以及課后練習一定要動手上機演練，這么才能有所收獲。第17頁在數(shù)學建模中，能否熟練利用相關軟件往往比熟知數(shù)學知識更主要。因為對于許多問題而言選定數(shù)學方法并不太難，而能否用相關軟件得出正確結果往往是能否處理問題關鍵。訓練學生比較熟練地掌握各類相關數(shù)學軟件是數(shù)學建模課程主要內容之一。第18頁在充分利用現(xiàn)有軟件同時，我們提倡適當?shù)刈约簞邮志幊?，因?/p>

①Matlab、Maple和Lingo等軟件功效確實強大，但它們也不是萬能。首先，對于一些問題，這些工具軟件有都求不出正確解情況。其次不能確保對任何問題都有現(xiàn)成工具軟件，實際上，許多當代計算方法都不可能編制成通用軟件。第19頁②即使使用數(shù)學軟件時也需要編程將軟件各功效相聯(lián)結。③在一些大型計算中，可能要求計算是“實時計算”，即計算從前一計算步驟獲取參數(shù)，計算結果后馬上傳送給后一計算步驟，全部計算都是在內存中進行。顯然，現(xiàn)成工具軟件對此無能為力。第20頁

④熟練使用相關科技軟件、含有一定編程水平是理工科學生所必須含有素養(yǎng)，從某種程度上講，后者更能反應出個人能力，而編程經驗和水平不是憑一朝一夕就能夠提升，要靠大量編程實踐和不停地日積月累?？紤]到學生實際情況，本課程主要要求學生掌握1,2種慣用數(shù)學軟件基本功效，對編程無過多要求。第21頁三、學習數(shù)學建模應注意幾個問題伴隨高等教育普及化，高等學校學生和教師質量不可防止地有了一定程度下降。許多大學生知識面狹窄、自學能力差、計算機應用能力和科技論文寫作能力不強。在學習數(shù)學建模課程時要注意以下幾個方面問題：第22頁1.借助于數(shù)學建模課程學習盡可能多應用數(shù)學知識和方法，尤其是一些當代數(shù)學方法。2.在數(shù)學建模中著力提升各種動手能力，包含計算能力、編程能力、計算機軟件應用能力、科技論文寫作與編輯能力等。第23頁3.數(shù)學建模課程屬于拓寬性、啟發(fā)性、難度較大課程，學好這門課不但要有濃厚興趣，還要有較強自學能力和不怕困難毅力。我們有理由相信，只要你有興趣、花功夫、不怕難，經過數(shù)學建模課程學習,就一定能拓展知識面，提升應用數(shù)學和計算機處理實際問題能力。第24頁最終要說明是，今年數(shù)學建模是首次做為全校公共選修課，面向來自不一樣專業(yè)、學習心態(tài)各異學生，我們缺乏足夠經驗。前面提到一些構想可能只是我們一廂情愿，不一定得以實現(xiàn)。假如各位能從課堂上學到一點點有用東西，或者能從課下我們交流中取得一絲有益啟示，我認為這門課就沒有完全失敗。第25頁四、參考書目①趙靜，但琦.數(shù)學建模與數(shù)學試驗(第3版)，高等教育出版社，；②何青，王麗芬.Maple教程，科學出版社，；③謝金星，薛毅.優(yōu)化建模與Lingo軟件，清華大學出版社，；④周建興等.Matlab從入門到精通，人民郵電出版社，；第26頁⑤數(shù)學建模，Matlab，Maple，Lingo電子版資料。郵箱：austmathmodeling@163.com

MM：matlabmaple第27頁數(shù)學軟件Maple介紹第28頁一、慣用數(shù)學軟件介紹當前在科學研究與工程計算中慣用數(shù)學軟件約30余個，可分為通用與專用兩大類。專用軟件主要是為處理數(shù)學中某個分支特殊問題而設計。第29頁慣用專用軟件有:1.SAS和SPSS(統(tǒng)計分析)；2.Lindo、Lingo和CPLEX(運籌與優(yōu)化計算)；3.Cayley和GAP(群論研究)；4.PARI(數(shù)論研究)；5.Origin(科技繪圖與數(shù)據(jù)分析)；6.DELiA(微分方程分析)；7.ANSYS(有限元計算)。第30頁

通用軟件普通能夠求解數(shù)學許多分支中大部分問題。通用軟件又可分為數(shù)值計算型與解析計算型。慣用通用型數(shù)值計算軟件有：

Matlab、Xmath、Gauss、MLAB等。慣用通用型解析計算軟件有：Maple、Mathematica、Macsyma、Axiom和Reduce等。第31頁Matlab、Mathematica、Maple與另一個面向大眾普及型數(shù)學軟件Mathcad并稱數(shù)學軟件中“四大天王”。第32頁Matlab意思為“矩陣試驗室”，是美國計算機科學家CleveMoler在70年代末開發(fā)出以矩陣數(shù)值計算為主數(shù)學軟件，如今已發(fā)展成為融科技計算、圖形可視化與程序語言為一體功效強大通用數(shù)學軟件。Matlab最突出特點是其帶有一系列“工具包”，可廣泛應用于自動控制、信號處理、數(shù)據(jù)分析、通訊系統(tǒng)和動態(tài)仿真等領域。高版本Matlab也可進行符號計第33頁符號計算，不過它代數(shù)運算系統(tǒng)是從解析計算軟件Maple移植而來。當前,Matlab最高版本為Rb(3.69G)。Mathematica是美國物理學家StephenWolfram開發(fā)第一個將符號計算、數(shù)值計算和圖形顯示很好地結合在一起數(shù)學軟件，在國內較為流行，擁有廣泛用戶。它最大優(yōu)點是帶有圖形用戶接口計算機上Mathematica支持一個專用Notebook第34頁接口。經過Notebook接口，能夠顯示輸出結果、圖形、動畫和聲音等。Mathematica另一個特點是它能夠和C、Excel、Word等相互調用。

Mathcad是MathSoft企業(yè)在80年代開發(fā)一個交互式數(shù)學文字軟件，與Matlab和Mathematica不一樣是，該軟件市場定位是:向廣大教師、學生、工程技術人員提供一個兼?zhèn)湮淖?、?shù)學和圖形處理能力集第35頁集成工作環(huán)境，而并不致力于復雜數(shù)值計算與符號計算問題，含有面向大眾普及特點。不過，現(xiàn)在Mathcad計算能力已遠超出了其早期設計目標。SPSS(社會科學統(tǒng)計軟件包)是世界著名統(tǒng)計分析軟件之一。SPSS基本功效包含數(shù)據(jù)管理、統(tǒng)計分析、圖表分析、輸出管理等。其過程包含描述性統(tǒng)計、均值比較、普通線性模型、相關分析、回歸第36頁分析、聚類分析、生存分析、時間序列分析等。SPSS中還有專門繪圖系統(tǒng)，能夠依據(jù)數(shù)據(jù)繪制各種圖形。Origin是與SigmaPlot和Axum齊名科技繪圖和數(shù)據(jù)處理軟件。Origin除了能夠很方便地畫出各種二維和三維圖形外，它最突出功效是曲線擬合。它不但能夠用內置上百種函數(shù)很方便地進行曲線擬合,而且能夠依據(jù)用戶需要添加線型。第37頁

Lindo是美國芝加哥大學Schrage教授開發(fā)專門用于求解數(shù)學規(guī)劃專用軟件包，版權現(xiàn)歸屬于美國Lindo系統(tǒng)企業(yè)。Lindo包含Lindo、Gino、Lingo、LingoNL和“What’sBest”等多個組件，這些組件統(tǒng)稱為Lindo，其中Lindo和Lingo最為慣用。

Lindo可求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和二次規(guī)劃；Lingo除了能夠求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和二次規(guī)劃外，還能夠求解非線第38頁性規(guī)劃和線性、非線性方程組。除此之外,Lingo還包含了內置建模語言和一些慣用數(shù)學函數(shù)，能夠簡便、直觀地描述大規(guī)模優(yōu)化問題。Lingo有各種版本，如學生版、演示版、高級版、發(fā)行版、工業(yè)版等，其主要區(qū)分在于對優(yōu)化規(guī)模(變量和約束個數(shù))有不一樣限制。第39頁Maple是加拿大Waterloo大學符號計算研究小組于80年代初開始研發(fā)，1985年才面世計算機代數(shù)軟件，起初并不為人們所注意。但MapleVrelease2于1992年面世后，人們發(fā)覺它是一個功效強大、界面友好計算機代數(shù)系統(tǒng)。伴隨版本不停更新，Maple已日益得到廣泛認可和歡迎，用戶越來越多，聲譽越來越高。從1995年二、Maple介紹第40頁以后，Maple一直在IEEE數(shù)學軟件評選中居符號計算軟件第1名。當前，Maple最高版本為MapleVrelease14.01。Maple是一個開放計算機代數(shù)系統(tǒng)，主要由用戶界面、代數(shù)運算器和外部函數(shù)庫三部分組成。用戶界面負責輸入數(shù)學表示式初步處理、運算結果和圖像顯示等。代數(shù)運算器進行輸入編譯及基本代數(shù)運算。外部函數(shù)庫中包含數(shù)千個數(shù)學第41頁函數(shù)和過程，幾乎涵蓋了數(shù)學全部分支Maple支持函數(shù)、序列、集合、列表、數(shù)組、表等各種數(shù)據(jù)結構。用戶能夠查看其非內部函數(shù)源程序，也能夠將自己編和函數(shù)、過程添加到函數(shù)庫中或建立自己函數(shù)庫。Maple一個突出特點是界面非常友好。它有一個非常好幫助系統(tǒng)，能夠很方便地查找函數(shù)和命令使用方法。第42頁

總之，Maple是一個功效強大、輕易掌握、不停發(fā)展數(shù)學解析軟件。有了良好數(shù)學基礎加上Maple就能使你如虎添翼，有能力和信心去處理各種各樣數(shù)學計算問題。第43頁第一章Maple初步1.1Maple安裝與開啟不一樣版本Maple安裝過程略有不一樣，有版本需要序列號。Maple工作環(huán)境是經典windows界面，下面給出Maple7(序列號1210)經典界面和Maple14新界面。第44頁第45頁第46頁1.2Maple命令輸入與顯示1.>命令提醒符；大小寫敏感。2.Maple命令以；或：結尾，以；結尾顯示結果，而以：結尾則不顯示結果。3.Maple賦值號為：=。4.光標放在命令行任意位置，然后回車即可運行此命令；在書寫命令時如需換行，須按Shift+回車。第47頁1.3Maple數(shù)值與解析計算Maple可進行無誤差符號計算和高精度數(shù)值計算。比如，100!,Pi,sqrt(2),sin(3)。1.4Maple圖形顯示1.普通函數(shù)做圖plot(f(x),x=a..b,option);plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d,option);第48頁2.極坐標做圖plot([sin(3*x),x,x=-2*Pi..2*Pi],cords=polor);3.隱函數(shù)做圖implicitplot(表示式,x=a..b,y=c..d);with(plots);impliciplot(y=sin(x+y),x=1..20,y=-1..1);4.參數(shù)方程做圖plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]);第49頁5.同一坐標系中做多圖方法1:plot([f1(x),…,fn(x)],x=a..b);plot([x^3-6*x+2,3*x^2-6],x=-5..5):切勿與參數(shù)方程做圖混同.方法2:F1:=plot():F2:=plot():…Fn:=plot():Display(F1,…,Fn);第50頁with(plots):F:=plot([cos(x),sin(x),x=0..2*Pi]):G:=plot([cos(x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi):display(F,G):1.5Maple微積分計算1.解方程solve(f(x),x);求解析解fsolve(f(x),x);求全部實數(shù)數(shù)值解第51頁fsolve(f(x),x,complex);求全部復數(shù)數(shù)值解2.求極限limit((tan(x)-sin(x))/x^3,x=0);limit(sqrt(x^2+x)-sqrt(x^2-x),x=infinity);3.求導數(shù)diff((x/(1+x))^x,x);diff(sin(x),x$2);diff(ln(tan(x/y)),x,y);第52頁simplify(diff(ln(tan(x/y)),x,y));implicitdiff(y=sin(x+y),y,x);4.求積分int(exp(-x)*cos(x),x);int(sqrt(1+cos(2*x),x=0..Pi);5.解微分方程dsolve(diff(y(x),x)=x+y(x),y(x));dsolve({diff(y(x),x)=x+y(x),y(0)=2},y(x));dsolve({diff(x(t),t$2)+k*diff(x(t),t)^2,x(0)=0,D(x)(0)=200});第53頁1.6Maple線性代數(shù)計算1.矩陣轉置transpose(A);2.矩陣取行列式det(A);3.矩陣加法evalm(A+B);4.矩陣乘法evalm(A&*B);5.求特征值eigenvals(A);6.求特征向量eigenvects(A);第54頁1.7Maple幫助功效

Maple有非常強大、完善在線幫助功效。Maple可經過Introduction,TopicSearch和鍵盤命令等方式尋求幫助。比如，?interp;?dsolve;第55頁1.8Maple函數(shù)庫Maple有數(shù)以千計函數(shù)，這些函數(shù)被分成四大類:標準庫、混合庫、專用軟件包和共享軟件包。1.標準庫標準庫分為內部函數(shù)、外部函數(shù)和惰性函數(shù)三類。內部函數(shù)在Maple內核中，不能查看其代碼。外部函數(shù)和惰性函數(shù)能夠查看第56頁其代碼。惰性函數(shù)主要用來顯示函數(shù)名。2.混合庫混合庫中存放是不太慣用函數(shù)，系統(tǒng)開啟時不自動調入內存。需要用時需用命令readlib(函數(shù)名)調入。3.專用軟件包Maple有幾十個專用軟件包，分別處理不一樣數(shù)學分支問題。第57頁專用軟件包在使用時要用命令with(軟件包名)調入。4.共享庫共享庫是由Maple興趣者開發(fā)軟件包。這些程序用戶可上網(wǎng)搜尋。第58頁第一次作業(yè)1.安裝Maple軟件；2.自學Maple相關資料(PPT,word,pdf)，初步掌握Maple基本操作。第59頁第二章Maple語言基礎Maple是一個可編程數(shù)學環(huán)境。本章介紹Maple符號集、語句、表示式、基本數(shù)據(jù)類型以及基本程序語言。2.1標識符與變量名2.1.1標識符標識符是語言基本元素。Maple第60頁標識符由26個大小寫字母、10個數(shù)字字符以及一些特殊符號組成(P49)。2.1.2變量名變量名第一個符號必須是字母，后面能夠跟字母、數(shù)字、下劃線。Maple中關鍵詞是系統(tǒng)內部使用字符串，不能作為變量名。另外，內部函數(shù)名也不能作為變量名。第61頁2.2語句和表示式2.2.1語句類型1.賦值語句變量名:=表示式注:初學者最輕易犯錯誤是將賦值號“:=”誤寫為“=”。2.條件語句if條件then語句組fi第62頁if條件then語句組else語句組fiif條件then語句組elif條件then語句組fiif條件then語句組elif條件then語句組else語句組fi3.循環(huán)語句for循環(huán)變量名from初值by步長to終值do語句組od第63頁

考查以下程序中循環(huán)和條件語句。restart:n:=10000:count:=0:forifrom1tondor1:=rand(0..1):r2:=rand(0..1):ifr1()=1orr2()=1thencount:=count+1:fi:od:prizeA:=1000*evalf(count/n);第64頁2.2.2表示式Maple表示式由常數(shù)、變量、函數(shù)、運算符和括號等組成。比如，1.序列、列表、集合；(第五章)2.尤其運算符：復合@、自復合@@、取模mod。比如，(sin@ln)(x)結果為sin(ln(x))；(ln@@2)(x)結果為ln(ln(x))；第65頁10mod3結果為1?？疾橐韵鲁绦蛑袕秃线\算。restart:f:=x->x^3-3*x-1:plot(f(x),x=-3..3);fsolve(f(x));x:=-4:n:=9:g:=x->x-(x^3-3*x-1)/(3*x^2-3):第66頁forifrom1tondox:=evalf((g@@i)(x)):od;3.布爾表示式和邏輯運算Maple中關系運算符為<,<=,>,>=,=,<>；邏輯運算符為and,or,not?！氨硎臼疥P系運算符表示式”稱為關系式，其值為true或false。第67頁由關系式、邏輯運算符和括號組成表示式稱為布爾表示式。比如，a:=1;b:=2;c:=3;a>b,c>b;false,truea>bandc>bfalse考查第38張幻燈片程序中邏輯表示式。

4.過程與函數(shù)(第五章)第68頁2.3類型與判別Maple含有豐富表示式、函數(shù)和數(shù)據(jù)類型，以適應不一樣數(shù)學領域和用戶要求。看一個表示式是什么類型，除憑經驗外，還可用命令type對變量類型進行判別,用命令whattype對表示式類型進行問詢。2.3.1判別類型命令

函數(shù)type(表示式,類型)判別此表示式第69頁是否屬于該類型。屬于時函數(shù)值為1，不然為0。比如，type(5,float)值為false。Maple中全部表示式類型見P57。2.3.2類型問詢函數(shù)whattype(表示式)返回表示式基本數(shù)據(jù)類型。Maple中基本數(shù)據(jù)類型見P57。第70頁比如，whattype(x-y)值為+，whattype(x^y)值為^。2.4基本數(shù)據(jù)類型本節(jié)介紹一些慣用基本數(shù)據(jù)類型：整數(shù)(integer),分數(shù)(fraction),浮點數(shù)(float),常數(shù)(constant),函數(shù)(functions),復數(shù)(complex),代數(shù)數(shù)(algebraicnumber)。下一章將深入介紹慣用復合數(shù)據(jù)類型。第71頁2.4.1整數(shù)、分數(shù)Maple能夠計算和表示最大整數(shù)長度為2^19-1=524279位。慣用整數(shù)運算函數(shù)見P58。Maple分數(shù)計算是符號計算，Maple在處理含有分數(shù)表示式時，自動地對分數(shù)進行約分，將分母表示成正整數(shù)。2.4.2浮點數(shù)、符號常數(shù)第72頁浮點數(shù)通常指帶有小數(shù)數(shù)，它運算不屬于符號運算。1.浮點數(shù)有常規(guī)和指數(shù)兩種表示法。比如，314.5和3.145e2。2.可用命令evalf(表示式,精度)求表示式浮點數(shù)。比如，evalf(22/7,20)。3.Maple默認浮點精度為10，可用第73頁命令“Digits:=精度”進行重新設置。比如，Digits:=40;evalf(22/7);Maple對數(shù)學中主要常數(shù)做了特殊定義。注：Maple各版本中定義略有不一樣。2.4.3復數(shù)、代數(shù)數(shù)

Maple用I代表虛數(shù)單位，如1+3*I。復數(shù)慣用運算有Re(取實部)、Im(第74頁取虛部)、argument(求幅角)、conjugate(求共軛)。代數(shù)數(shù)是指有理多項式方程根。代數(shù)數(shù)計算是符號計算。2.5Maple程序語言用本章介紹語句能夠編制出簡單Maple程序。

下面給出用數(shù)值積分計算程序。第75頁因為，只要計算出右邊積分，即可得到值。我們分別采取數(shù)值分析中復化梯形公式和復化Simpson公式計算。復化梯形公式：復化Simpson公式：第76頁Pi:=evalf(Pi,50);a:=0:b:=1:n:=1000:f:=x->4/(1+x^2):Pi1:=evalf((b-a)/n*(sum(f(a+i*(b-a)/n),i=1..n-1)+(f(a)+f(b))/2),50);Pi2:=evalf((b-a)/6/n*(f(a)+f(b)+2*sum(f(a+i*(b-a)/n),i=1..n-1)+4*sum(f(a+(i+1/2)*(b-a)/n),i=0..n-1)),50);第77頁1.在同一坐標系中作出和它Taylor展式前項組成多項式圖象。對不一樣，觀察多項式迫近情形,并經過計算證實Taylor級數(shù)收斂于。2.對不一樣n，畫出在上圖象。經過觀察圖像猜測當時，這個函數(shù)趨向于什么函數(shù)，并證實之。第78頁第三章Maple復合數(shù)據(jù)類型本章深入介紹Maple語言數(shù)據(jù)結構，包含慣用復合數(shù)據(jù)類型、函數(shù)定義方法和函數(shù)運算。最終介紹復合數(shù)據(jù)三個主要命令：代換(subs)，映射(map)和轉換(convert)。第79頁3.1序列、集合、列表序列、集合和列表是三種最慣用復合型數(shù)據(jù)類型。本節(jié)介紹它們使用和相互轉換方法。3.1.1序列(sequence)形以以下類型數(shù)據(jù)稱為序列。表示式1,表示式2,…,表示式n比如，1,2,3和x,y,z均為序列。第80頁1.序列是Maple中一個基本數(shù)據(jù)結構，可用于函數(shù)、集合、列表等語句中。比如，f(1,2,3)(三元函數(shù)),{x,y,z}(集合),[a,b,c](列表)。2.兩個序列可用逗號連成一個序列。比如，a:=1,2,3;b:=4,5,6;，則語句c:=a,b;產生序列是1,2,3,4,5,6。3.可用函數(shù)seq、$、op生成序列。第81頁(1)seq(f(i),i=m..n)生成序列f(m),f(m+1),…,f(n)。(2)語句“表示式$n”表示將表示式重復n次，即生成序列“表示式,…,表示式”。比如，a$3生成序列a,a,a。語句“表示式(i)$i=m..n”表示生成序列“表示式(m),…,表示式(n)”。比如，i^2$i=1..4生成序列1,4,9,16。第82頁語句“$m..n”等價于語句“i$i=m..n”，即生成序列“m,m+1,…,n”。比如，$1..4生成序列1,2,3,4。(3)op([列表])生成列表。比如，op([x,y,z])生成列表x,y,z。(4)可用命令“序列名[i]”提取序列第i項。比如，s:=1,2,3;s[3];結果是3。第83頁(5)連接算子||可將兩個序列按一定法則連接，產生一個新序列。若s為一序列，則a||s能夠把a綴于s每一元素前。比如，s:=1,2,3;a||s;生成序列a1,a2,a3。3.1.2列表(list)用一對方括號括起以逗號分隔一組Maple對象即[序列]稱為列表。比如，[1,2,3]即為一列表。第84頁(1)列表元素是有序，能夠重復。比如，[1,2]和[2,1]、[1,2]和[1,2,2]是不一樣列表。(2)可用“列表名[i..j]”提取列表第i到第j個元素。比如，L:=[$1..10]:L[5];L[1..3];結果分別為5和1,2,3。(3)op(L)表示提取列表全部操作數(shù)即第85頁元素，亦即將列表轉換為序列。(4)nops(L)表示求列表中元素個數(shù)即列表長度。比如，L:=[1,2,3,4]:nops(L)結果為4。(5)[op(L),x]表示在列表后面附加一個元素x；subsop(i=x,L)表示將列表L中第i個元素換成x；subsop(i=NULL,L)表示消去列表L中第i個元素。第86頁3.1.3集合(set)用一對花括號括起以逗號分隔一組Maple對象即{序列}稱為集合。比如，{x,y,z}即為一集合。(1)列表元素是無序。元素能夠重復，但運行后重復元素只保留一個。比如，[1,2]和[2,1]、[1,2]和[1,2,2]是相同集合。第87頁(2)可用“集合名[i..j]”提取集合第i到第j個元素。(3)可用命令op(S)、[op(S)]將集合S分別轉換為序列和列表，但在轉換時去除重復元素。(4)集合運算有union(并)、intersect(交)、minus(差)、member(組員判別)。第88頁第一章數(shù)學建模介紹一、數(shù)學模型與數(shù)學建模數(shù)學模型與數(shù)學建模是用數(shù)學描述和處理實際問題產物。數(shù)學模型就是對于現(xiàn)實世界一個特定問題，為了某種目標，依據(jù)其內在規(guī)律,經過必要抽象簡化，利用適當數(shù)學工具，得到一個數(shù)學結構。

第89頁通俗地說，數(shù)學模型就是描述實際問題某方面規(guī)律數(shù)學公式、圖形或算法。

例1設一根勻質鏈條，懸掛在一個無摩擦釘子上。鏈條從靜止開始運動，運動開始時一端下垂8厘米，另一端下垂12厘米，求鏈條運動方程。第90頁第91頁

解設鏈條密度為，在時刻鏈條下滑長度為，由牛頓定理，，。第92頁數(shù)學建模是利用數(shù)學方法處理實際問題一個實踐，即經過抽象、簡化、假設等處理過程后，將實際問題用數(shù)學方式表示，建立起數(shù)學模型，然后利用先進數(shù)學方法及計算機技術進行求解。比如，用常微分方程中方法或數(shù)學軟件可求出例1中運動方程為。第93頁數(shù)學建模其實并不是什么新東西，能夠說有了數(shù)學并需要用數(shù)學去處理實際問題，就一定要用數(shù)學語言、方法去近似地刻劃該實際問題，這種刻劃數(shù)學表述就是一個數(shù)學模型，其過程就是數(shù)學建模過程。

第94頁二、數(shù)學建模過程及要求學習數(shù)學建?；灸繕嗽谟趯W會怎樣利用有效數(shù)學知識、計算工具和科學試驗伎倆來創(chuàng)造性地處理實際問題。數(shù)學建?；窘M成部分為：(1)用適當數(shù)學方法對實際問題進行描述；(2)數(shù)學模型求解；(3)結果分析和模型檢驗。第95頁很好數(shù)學模型通常含有以下特點：考慮問題較全方面，含有獨到性或創(chuàng)新性，結果合理，穩(wěn)定性好，適用性強。第96頁實際問題問題分析數(shù)學模型模型求解模型驗證實際使用正確修正數(shù)學建模基本過程第97頁1.數(shù)學建模中慣用數(shù)學知識

數(shù)學建模通常需要具備微積分、微分方程、概率統(tǒng)計(隨機模擬、方差分析、回歸分析)、數(shù)值計算方法(插值、擬合、數(shù)值積分)、運籌優(yōu)化(線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃)、圖論(最短路、網(wǎng)絡流)、神經網(wǎng)絡、層次分析法、含糊數(shù)學等相關知識。第98頁不過，數(shù)學建模并不要求學生對上述知識精通(不現(xiàn)實也不可能)。同學們只要對上述知識有所了解，對所面臨問題知道用什么知識和方法處理就能夠了。第99頁2.求解數(shù)學模型慣用軟件

在求解數(shù)學模型時，要充分利用先進計算工具和計算軟件。提議熟悉和掌握以下慣用軟件：Matlab（功效強大數(shù)值計算軟件）Maple（方便實用解析計算軟件）SPSS或SAS（專業(yè)統(tǒng)計分析軟件）Lingo（專業(yè)運籌與優(yōu)化軟件）第100頁3.結果分析和模型檢驗

一個高質量數(shù)學建模要求對計算結果進行合理性分析，對模型進行準確性檢驗。對結果分析包含誤差分析、靈敏性與穩(wěn)定性分析等。在對模型進行檢驗時，要采取不一樣方法檢驗。比如，模型求解時采取是解析法或數(shù)值法，模型檢驗時可采取計算機仿真或模擬法。第101頁三、數(shù)學模型分類依據(jù)數(shù)學模型數(shù)學特征和應用范圍,普通有以下幾個分類方法：1.依據(jù)模型應用領域，數(shù)學模型可分為人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經濟模型、社會模型等。第102頁2.按研究方法和對象數(shù)學特征，數(shù)學模型可分為初等模型、微分方程模型、網(wǎng)絡圖論模型、規(guī)劃與優(yōu)化模型、統(tǒng)計模型等。3.依據(jù)模型數(shù)學特征，數(shù)學模型可分為離散與連續(xù)模型、確定性與隨機性模型、線性與非線性模型、靜態(tài)與動態(tài)模型等。第103頁4.根據(jù)建模目，數(shù)學模型又可分為分析、預測、決策、控制和優(yōu)化模型等。第104頁微積分與微分方程建模第105頁

因為選課絕大多數(shù)學生僅學過微積分、線性代數(shù)和概率論，所以我們首先介紹一些只用一元、多元函數(shù)微積分以及微分方程即可處理簡單建模問題。

第106頁例1設一根勻質鏈條，懸掛在一個無摩擦釘子上。鏈條從靜止開始運動，運動開始時一端下垂8厘米，另一端下垂12厘米，求整個鏈條滑過釘子所用時間。

第107頁第108頁

解設鏈條密度為，在時刻鏈條下滑長度為，由牛頓定理，，。。第109頁不是特征根，設，代入求得，。由，即,得，。

。x=8時，時間。第110頁restart:a:=12:b:=8:dsolve({diff(x(t),t$2)-x(t)*g/(a+b)+(a+b-x(t))*g/(a+b),x(0)=a,D(x)(0)=0});solve(a+b=rhs(%),t);第111頁例2一粒子彈以速度v=200m/s打進一厚度為0.1m板。已知穿出板速度為80m/s，若板對子彈阻力與速度平方成正比，問子彈穿過板用了多少時間？第112頁第113頁

解由題意知，

。假設子彈過板所用時間為T，則，。第114頁restart:dsolve({diff(x(t),t$2)+k*diff(x(t),t)^2,x(0)=0,D(x)(0)=200});solve({0.1=rhs(%),80=diff(rhs(%),t)},{t,k});第115頁例3曲柄滑塊機構運動規(guī)律曲柄滑塊是一個慣用機械結構，它將曲柄轉動轉化為滑塊在直線上往復運動，是氣壓機、沖床、活塞式水泵等機械主機構。下面為其示意圖：第116頁第117頁記曲柄OQ長為r，連桿QP長為l。當曲柄繞固定點O以角速度旋轉時，由連桿帶動滑塊P在水平槽內作往復直線運動。假設初始時刻曲柄端點Q位于水平線段OP上，曲柄從初始位置起轉動角度為，連桿QP與OP銳夾角為(稱為擺角)。第118頁在機械設計中要研究滑塊運動規(guī)律和擺角改變規(guī)律，確切地說，要研究滑塊位移、速度和加速度關于函數(shù)關系，擺角及其角速度和角加速度關于函數(shù)關系，進而第119頁(1)求出滑塊行程，即滑塊往復運動時左右極限位置；(2)求出滑塊最大,最小加速度(絕對值)，以了解滑塊在水平方向上作用力；(3)求出最大,最小加速度(絕對值)，以了解連桿轉動慣量對滑塊影響。設。第120頁解取O點為坐標原點，OP方向為x軸正方向，P在x軸上坐標為x，則，。(1)由上式即可得出滑塊往復運動時左右極限位置。因為，故有而，第121頁所以(2)由上式可求出滑塊最大和最小加速度。第122頁又，得，

第123頁(2)由上式可求出最大和最小加速度。第124頁restart:x:=theta->r*cos(theta)+sqrt(l^2-r^2*sin(theta)^2):v:=diff(x(theta),theta):a:=diff(x(theta),theta$2):r:=100:l:=3*r:omega:=240:plot(x(theta),theta=0..Pi,y=0..400);plot(