高中數(shù)學(xué)建模的主要過(guò)程及教學(xué)案例

高中數(shù)學(xué)建模的主要過(guò)程及教學(xué)案例

摘要：高中新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，提高數(shù)學(xué)建

模素養(yǎng)是影響學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要因素。數(shù)學(xué)建模共有四個(gè)

步驟，通過(guò)對(duì)每一個(gè)步驟最核心內(nèi)容的闡述，將有利于開展數(shù)學(xué)

建模教學(xué)活動(dòng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；

最新頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）（以下簡(jiǎn)

稱《課標(biāo)》（2017年版））中明確了中學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，

包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)

據(jù)分析［1］。史寧中教授也曾多次表示數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)可以更

簡(jiǎn)單地概括為抽象、推理、模型。此次新課標(biāo)的公布進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)

了數(shù)學(xué)建模的重要性，突出了建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位。事

實(shí)上，在2003年公布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中就

開始強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的重要性。強(qiáng)調(diào)在整個(gè)高中課程內(nèi)容中滲透數(shù)

學(xué)建模思想，并至少在高中階段安排一次建?；顒?dòng)。在最初這對(duì)

數(shù)學(xué)一線數(shù)學(xué)教育工作者來(lái)說(shuō)是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)，特別是在重視

推理、運(yùn)算能力，強(qiáng)調(diào)解題為主，以面對(duì)高考為最根本出發(fā)點(diǎn)的

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師們將數(shù)學(xué)建模融入課堂教學(xué)確實(shí)具有一定

的難度。但是，隨著不斷的變化和認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)不再是陌

生的事物。由于數(shù)學(xué)建?？梢院?jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，更容易地分析數(shù)學(xué)

數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。近年來(lái)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)在我國(guó)中學(xué)教學(xué)中得

到了廣泛的應(yīng)用。許多從事數(shù)學(xué)教學(xué)的積極參與到數(shù)學(xué)建模教學(xué)

領(lǐng)域的研究中，尋找答案來(lái)解決數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題。不過(guò)，

隨著社會(huì)的變化，人們對(duì)數(shù)學(xué)和人才培養(yǎng)質(zhì)量也不斷提出新的要

求。加之新的教育理念、教育方法、教育技術(shù)快速地涌進(jìn)一線教

學(xué)，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)也處在不斷地變化甚至是挑戰(zhàn)之中。

一、數(shù)學(xué)建模的主要過(guò)程

按照《課標(biāo)》（2017年版）的要求，數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題

進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決

問(wèn)題的素養(yǎng)。主要過(guò)程包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)

題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢

驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)這些描述可以看出

數(shù)學(xué)建模的過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程，在這個(gè)

過(guò)程中學(xué)生要對(duì)問(wèn)題有深入的分析，不但能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題還有能夠

找到解決問(wèn)題的辦法，更為重要的是在進(jìn)行一定操作運(yùn)算之后能

夠?qū)δＰ陀兴倪M(jìn)，驗(yàn)證結(jié)果。通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生

能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出問(wèn)題，

理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系。學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，積累實(shí)

踐經(jīng)驗(yàn)。認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)和工程技術(shù)中的作用，提高

實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神［2,3］。

數(shù)學(xué)最為基本的核心素養(yǎng)是抽象、推理、模型，但是這三者

之間并不是相互獨(dú)立，互不聯(lián)系的過(guò)程。我們?cè)诮鉀Q一個(gè)實(shí)際問(wèn)

題的過(guò)程中，往往是三個(gè)素養(yǎng)同時(shí)發(fā)揮作用，或者多次交互發(fā)生,

這一點(diǎn)從數(shù)學(xué)建模的四個(gè)過(guò)程就可以看出。

第一步，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題一直以

來(lái)是數(shù)學(xué)教育關(guān)注的重點(diǎn)內(nèi)容。在20世紀(jì)我國(guó)的數(shù)學(xué)教育更加

側(cè)重學(xué)生三大能力的培養(yǎng)，在學(xué)生問(wèn)題解決表現(xiàn)方面沒有給予足

夠的重視。在21世紀(jì)初期，隨著新課改的推行，問(wèn)題解決能力

逐漸受到大家的認(rèn)可和重視。在課堂教學(xué)或者課程標(biāo)準(zhǔn)制定中都

考慮了學(xué)生在這些方面的能力。我國(guó)學(xué)生歷來(lái)比較擅長(zhǎng)解決問(wèn)

題，并且往往是封閉性問(wèn)題。蔡金法教授對(duì)中美學(xué)生在開放性問(wèn)

題的對(duì)比研究中清晰地展示了這種差異，而在問(wèn)題提出等方面我

國(guó)學(xué)生仍然還需提高，需要引導(dǎo)學(xué)生能夠主動(dòng)思考，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)

題，提出問(wèn)題。作為數(shù)學(xué)建模的第一個(gè)過(guò)程，這里面的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

和提出問(wèn)題是在一定的情境下，對(duì)所涉及的現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景或者某個(gè)具

體數(shù)學(xué)情境下的深入思考，所提出的問(wèn)題可以是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象后

的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可以是一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程最重要的是提出

一個(gè)問(wèn)題，而且是一個(gè)具有一定價(jià)值的問(wèn)題，有了這個(gè)問(wèn)題或者

一系列問(wèn)題才能夠?yàn)楹罄m(xù)的建模活動(dòng)打開局面。

第二步，分析問(wèn)題，建立模型。對(duì)問(wèn)題的分析并不局限于數(shù)

學(xué)，還需要調(diào)整其他學(xué)科或生活經(jīng)驗(yàn)，往往還需要查閱資料。這

一過(guò)程主要是對(duì)前面提出問(wèn)題的再加工，在這一過(guò)程中一定要將

問(wèn)題進(jìn)一步數(shù)學(xué)化，或者說(shuō)完全轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，雖然可能仍然

帶有不同的現(xiàn)實(shí)背景，但問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系一定是數(shù)學(xué)的。這

種再加工的過(guò)程就是應(yīng)用已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)定理、概念、性質(zhì)等

知識(shí)把問(wèn)題模型化。經(jīng)過(guò)上述兩個(gè)步驟完成了數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，

從現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)入了數(shù)學(xué)世界，用數(shù)學(xué)的規(guī)律和方法分析問(wèn)題。

第三步，確定參數(shù)，計(jì)算求解。這一過(guò)程就是解決問(wèn)題的過(guò)

程，在這個(gè)過(guò)程中參數(shù)的確定最為關(guān)鍵。參數(shù)的確定需要基于高

質(zhì)量的數(shù)據(jù)，而數(shù)據(jù)收集往往是數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的重要組成部分。

數(shù)據(jù)的來(lái)源可以多樣化，在一些封閉性問(wèn)題中要利用所給數(shù)據(jù)。

而在一些開放性問(wèn)題中，數(shù)據(jù)的獲得可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)、教科書、其

他資料等。用數(shù)據(jù)來(lái)確定假設(shè)模型中的參數(shù)，通過(guò)計(jì)算為了解決

數(shù)學(xué)問(wèn)題，這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏

輯推理等素養(yǎng)直接相關(guān)［4］。

第四步，檢驗(yàn)結(jié)果，改進(jìn)模型。這是最后的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)

程中要給出最后的結(jié)果。有些時(shí)候在第三個(gè)步驟就能夠得出問(wèn)題

的結(jié)果，或者作出結(jié)論的判斷。但是由于面對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)

題時(shí)，問(wèn)題所涉及的方面較多，在模型中會(huì)涉及到很多參數(shù)，且

在計(jì)算過(guò)程中所應(yīng)用的數(shù)據(jù)來(lái)源也相對(duì)單一、有限，不能完全符

合現(xiàn)實(shí)情況，會(huì)導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)偏差。因此，在這個(gè)過(guò)程中研究者

需要根據(jù)所解決問(wèn)題的實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整，做到最佳符合。

二、數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例

例：市化工廠生產(chǎn)香皂，現(xiàn)接到生產(chǎn)180g裝的香皂的訂單。

目前化工廠有兩種規(guī)格的產(chǎn)品，分別是60g裝每塊1.15元，

150g裝每塊2.5元。那么180g裝的香皂出廠價(jià)格為多少？

第一步將香皂的體積與其表面積的函數(shù)關(guān)系看作一種相對(duì)

規(guī)則形狀的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在簡(jiǎn)化的情況下，明確問(wèn)題中的變量和參

數(shù)。這里可以設(shè)定香皂的出廠價(jià)格(y)；香皂的成本(yl)；香皂

的包裝成本(y2)；香皂的質(zhì)量(w)；香皂的質(zhì)量為w時(shí)包裝的表

面積(Sw)o

第二步抽象出數(shù)學(xué)模型：

(1)香皂的出廠價(jià)格y由香皂的生產(chǎn)成本yl和包裝成本y2

確定;

(2)當(dāng)香皂質(zhì)量為w時(shí)，其表面積為

(3)香皂的生產(chǎn)成本與香皂質(zhì)量成正比，設(shè)比例系數(shù)為kl,

即yl=klw；

(4)香皂的包裝成本與香皂表面積成正比，設(shè)比例系數(shù)為

k2,即y2=kS2swo

在上述討論出的變量之間關(guān)系的基礎(chǔ)上以及香皂質(zhì)量為w

時(shí)其各項(xiàng)成本與相關(guān)因素之間的關(guān)系，得出關(guān)于香皂出廠價(jià)格的

函數(shù)

目標(biāo)是在條件60g裝的香皂出廠價(jià)為每塊1.15元和150g

裝的香皂出廠價(jià)為每塊2.5元下求出180g裝的香皂的出廠價(jià)

格。

第三步是模型求解。由題中已知條件60g裝的香皂出廠價(jià)

為每塊1.15元，150g裝的香皂出廠價(jià)為每塊2.5元。將其代

入上述所求出廠價(jià)格的函數(shù)中得到

二者聯(lián)立得由此解得kl心9.668X10-3,將kl代入中，解

得k2k3心3.719X10-2。

因此，香皂的出廠價(jià)格和香皂質(zhì)量的表達(dá)式為

那么當(dāng)w=180時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即180g裝的該廠家生產(chǎn)的

香皂的出廠價(jià)約為2.93元。

接下來(lái)還可以對(duì)該問(wèn)題做一步的討論，如果考慮單位質(zhì)量?jī)?nèi)

香皂所對(duì)應(yīng)的出廠價(jià)格（記為y3）,可以得到如下函數(shù)關(guān)系式：

根據(jù)該函數(shù)的單調(diào)性也可以清楚地說(shuō)明生活中常見的大包

裝的商品售出的價(jià)格更低的現(xiàn)象。

第四步，分析模型結(jié)果。根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合在超市等

地購(gòu)物可以知道同類型商品往往購(gòu)買體積、質(zhì)量較大的會(huì)更劃

算，也就是單位體積或者質(zhì)量?jī)r(jià)格較低。這在酸奶、飲料中表現(xiàn)

十分明顯。不過(guò)也要考慮隨著體積增大給包裝帶來(lái)的成本增加問(wèn)

題。事實(shí)上隨著體積的變化還會(huì)帶來(lái)商品擺放位置的變化，甚至

影響商品的銷售成本?？梢娺@是一系列問(wèn)題，實(shí)際的建模問(wèn)題比

我們計(jì)算的還要復(fù)雜得多。但是從這個(gè)問(wèn)題中學(xué)生能夠體會(huì)到數(shù)

學(xué)建模的重要性，體會(huì)到數(shù)學(xué)對(duì)于解決問(wèn)題的重要價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年

版)[M].北京：