滬教版八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末滿分沖刺卷特訓(xùn)01一次函數(shù)存在性問題(原卷版+解析)

特訓(xùn)01一次函數(shù)存在性問題一、解答題1．如圖，在長方形中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，直線與交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E．(1)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為；點(diǎn)E的坐標(biāo)為．(2)求的面積．(3)若動點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)N在第一象限，又在直線上時，若是等腰直角三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，直接寫出整個運(yùn)動過程中點(diǎn)N縱坐標(biāo)n的取值范圍．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點(diǎn)A和B．已知點(diǎn)C的標(biāo)為，若點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)．(1)A的坐標(biāo)是______，B的坐標(biāo)是______；(2)過點(diǎn)P作y軸的平行線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)P恰好是的中點(diǎn)時，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．(3)若以點(diǎn)B、P、C為頂點(diǎn)的為等腰三角形時、請求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與直線：交于點(diǎn)A，兩直線與x軸分別交于點(diǎn)和．(1)求直線和的表達(dá)式．(2)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)D為線段上一動點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點(diǎn)F，若為直角三角形，求點(diǎn)D坐標(biāo)．4．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C為，D為．(1)求直線的解析式．(2)設(shè)與交于點(diǎn)E，試判斷的形狀，并說明理由．(3)點(diǎn)P，Q在的邊上，且滿足與全等（點(diǎn)Q異于點(diǎn)C），直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．5．模型建立：如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于，過作于．(1)求證：．(2)模型應(yīng)用：已知直線與軸交與點(diǎn)，將直線繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至，如圖2，求的函數(shù)解析式．(3)如圖3，矩形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的坐標(biāo)為，、分別在坐標(biāo)軸上，是線段上動點(diǎn)，設(shè)，已知點(diǎn)在第一象限，且是直線上的一點(diǎn)，若是不以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，長方形的頂點(diǎn)A、B分別在x軸與y軸上，已知，，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時停止運(yùn)動．(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，求直線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)運(yùn)動時間為t秒．當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，①求的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；②是否存在等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．如圖，已知直線的函數(shù)關(guān)系式為，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將直線平移得直線，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、D，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在直線上是否存在點(diǎn)E，使得？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．8．如圖1，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線：與直線：相交于點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)(1)填空：______，______，______；(2)如圖2．點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交軸于點(diǎn)．①求線段的長度；②當(dāng)點(diǎn)落在軸上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；③若為直角三角形，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．9．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段上，將沿所在直線折疊后，點(diǎn)A恰好落在y軸上點(diǎn)D處，若，．(1)求直線的解析式．(2)求的值．(3)直線CD上是否存在點(diǎn)P使得，若存在，請直接寫出P的坐標(biāo)．10．如圖1，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線：與直線：相交于點(diǎn)與x軸交于點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)C．(1)填空：___________，___________，___________．(2)如圖2，點(diǎn)D為線段上一動點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．②若為直角三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于點(diǎn)A、．另一條直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）．(1)求的值．(2)當(dāng)?shù)拿娣e為18時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)若直線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)運(yùn)動，且始終與平行，直線交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)時，求的面積．12．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，它的坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn)作直線軸交軸于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，若的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若為直角三角形，請求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，且a，p滿足．(1)求直線的解析式；(2)如圖1，直線與x軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)M在x軸上方且在直線上，若的面積等于6，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，已知點(diǎn)，若點(diǎn)B為射線上一動點(diǎn)，連接，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使是以為底邊，點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，D三點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且，連接，已知．(1)求直線的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在線段上分別取點(diǎn)M，N，使得軸，在x軸上取一點(diǎn)P，連接是否存在點(diǎn)M，使得為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15．如圖1，已知函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．(1)請寫出點(diǎn)A坐標(biāo)，點(diǎn)B坐標(biāo)，直線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．①若的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②點(diǎn)在線段上，連接，如圖，若，直接寫出的坐標(biāo)．16．如圖，函數(shù)的圖像分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，AC平分∠OAB．(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)求△ABC的面積；(3)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，且以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，請你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．17．如圖①，為等腰直角三角形，，于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：(2)如圖②為等腰直角三角形，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖③在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，與軸交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于點(diǎn)．過作于點(diǎn)，則，我們稱這種全等模型為“型全等”．（不需要證明）【遷移應(yīng)用】已知：直線的圖象與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)．(1)如圖2，當(dāng)時，在第一象限構(gòu)造等腰直角，；①直接寫出______，______；②點(diǎn)的坐標(biāo)______；(2)如圖3，當(dāng)?shù)娜≈底兓?，點(diǎn)隨之在軸負(fù)半軸上運(yùn)動時，在軸左側(cè)過點(diǎn)作，并且，連接，問的面積是否發(fā)生變化?（填“變”或“不變”），若不變，其值為______；若變，請說明理由；(3)【拓展應(yīng)用】如圖4，當(dāng)時，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是直線和直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的坐標(biāo)為，當(dāng)是以為斜邊的等腰直角三角形時，點(diǎn)的坐標(biāo)是______．19．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為．(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，且在直線上有一點(diǎn)，使得最小，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖2，直線上是否存在點(diǎn)使得，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．20．如圖，一次函數(shù)的圖象交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P為中點(diǎn)，點(diǎn)C，D分別在上，連結(jié)，點(diǎn)A，E關(guān)于對稱，點(diǎn)B，F(xiàn)關(guān)于對稱，且．(1)直接寫出點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)．(2)如圖1，若點(diǎn)O，E重合，求．(3)如圖2，若點(diǎn)F橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．21．模型建立：（1）如圖1，等腰直角中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，過A作于D，過B作于E．求證：；模型應(yīng)用：（2）已知直線：與y軸交于A點(diǎn)，將直線繞著A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至，如圖2，求的函數(shù)解析式；模型拓展：（3）如圖3，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，作軸于點(diǎn)A，作軸于點(diǎn)C，P是線段上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限內(nèi)．若是不以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．22．平面直角坐標(biāo)系中，直線，分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)C；點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上．且，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)連接、，若的面積等于面積的，直接寫出t的值___________．(3)以為斜邊作等腰直角三角形，是否存在t的值，使點(diǎn)E落在線段或上？直接寫出所有滿足t的值___________．(4)直接寫出的最小值為___________．23．如圖1，已知一次函數(shù)與x軸，y軸分別交于B點(diǎn)，A點(diǎn)，x正半軸上有一點(diǎn)C，，以A，B，C為頂點(diǎn)作平行四邊形．(1)求C點(diǎn)坐標(biāo)．(2)如圖2，將直線沿y軸翻折，翻折后的直線交于E點(diǎn)，在y軸上有一個動點(diǎn)P，x軸上有一動點(diǎn)Q，當(dāng)取得最小值時，求此時的值．(3)如圖3，將向左平移使得點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，A的對應(yīng)點(diǎn)為，O的對應(yīng)點(diǎn)為，將繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與直線、交于M，G兩點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，能否成為等腰三角形，若能，求出所滿足條件的，若不能，請說明理由．特訓(xùn)01一次函數(shù)存在性問題一、解答題1．如圖，在長方形中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，直線與交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E．(1)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為；點(diǎn)E的坐標(biāo)為．(2)求的面積．(3)若動點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)N在第一象限，又在直線上時，若是等腰直角三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，直接寫出整個運(yùn)動過程中點(diǎn)N縱坐標(biāo)n的取值范圍．【答案】(1)；(2)30(3)①點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，；②或【分析】（1）由題意可得：點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是6，點(diǎn)E在y軸上，橫坐標(biāo)是0，代入直線解析式求解即可；（2）先求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)的面積=求解即可；（3）①分三種情況若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時，點(diǎn)N在第一象限；點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時，點(diǎn)N在第一象限；若點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)N在第一象限；結(jié)合圖形，利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可；②考慮特殊情況：當(dāng)點(diǎn)M在B點(diǎn)時，當(dāng)M在C點(diǎn)時，分別求出點(diǎn)N縱坐標(biāo)的值，進(jìn)而可得結(jié)果．【解析】（1）∵在長方形ABCO中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線與交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，把代入中，，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為，把代入中，，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為；故答案為：，；（2）如圖1，把代入中，可得：，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴，∴的面積=．（3）①（a）若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時，點(diǎn)N在第一象限，連接，如圖2，，∴不可能為等腰直角三角形，∴點(diǎn)N不存在；（b）若點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時，點(diǎn)N在第一象限，如圖3，過點(diǎn)N作，交的延長線于點(diǎn)H，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴N，（c）若點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)N在第一象限，如圖4，設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，同上面的方法可證，∴，∴，∴，∴，設(shè)，同理可得，∴，∴，綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，；②當(dāng)點(diǎn)M在B點(diǎn)時，如圖，，∵，∴，∴的縱坐標(biāo)為，同理，的縱坐標(biāo)為，當(dāng)M在C點(diǎn)時，如圖，，過點(diǎn)作于點(diǎn)S，延長交CB于點(diǎn)P，則，則，設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則，那么，解得：，則點(diǎn)縱坐標(biāo)為，同理可得，縱坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)時，t的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，具有相當(dāng)?shù)碾y度，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點(diǎn)A和B．已知點(diǎn)C的標(biāo)為，若點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)．(1)A的坐標(biāo)是______，B的坐標(biāo)是______；(2)過點(diǎn)P作y軸的平行線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)P恰好是的中點(diǎn)時，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．(3)若以點(diǎn)B、P、C為頂點(diǎn)的為等腰三角形時、請求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)；(3)或或或．【分析】（1）分別令，即可求出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的解析式將，代入求出解析式，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，點(diǎn)，再利用列方程，再解方程即可；（3）設(shè),而，則、、再分當(dāng)時、當(dāng)、當(dāng)時討論即可.【解析】（1）解：一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點(diǎn)A和B，令，即，解得，令，即，，，故答案為：，；（2）設(shè)直線的解析式，將，代入，，解得，∴直線的函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，點(diǎn)，依題意可得，∴，解得：，；（3）設(shè),而，，，，當(dāng)時，有，解得：，，當(dāng),有，解得：，不合題意舍去，，當(dāng)時，有，解得：或，或，綜上所述：或或或，【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)的含義，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的含義，利用平方根的含義解方程；熟練的運(yùn)用以上知識是解本題的關(guān)鍵.3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與直線：交于點(diǎn)A，兩直線與x軸分別交于點(diǎn)和．(1)求直線和的表達(dá)式．(2)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)D為線段上一動點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點(diǎn)F，若為直角三角形，求點(diǎn)D坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】(1)把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求解即可．(2)作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M，連接，交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即所求，設(shè)直線表達(dá)式為，確定解析式，并求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．(3)分兩種情況求解即可．【解析】（1）將代入得，解得，故直線的解析式為；把代入，得，解得，故直線的解析式為．（2）作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M，連接，交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P滿足的值最小，∵，，∴，，∴，，設(shè)直線表達(dá)式為，∴，解得，∴直線表達(dá)式為，令，∴．（3）設(shè)點(diǎn)，如圖，當(dāng)時，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，∵，，沿直線翻折得到，∴，，，，∴，∴，，解得，故點(diǎn)；如圖，當(dāng)時，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，∵，，沿直線翻折得到，∴，，，，，∴，∴，∴，，，解得，故點(diǎn)；綜上所述，點(diǎn)或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)解析式的確定，折疊的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，線段和的最小值，熟練掌握待定系數(shù)法，勾股定理，分類思想是解題的關(guān)鍵．4．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C為，D為．(1)求直線的解析式．(2)設(shè)與交于點(diǎn)E，試判斷的形狀，并說明理由．(3)點(diǎn)P，Q在的邊上，且滿足與全等（點(diǎn)Q異于點(diǎn)C），直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)為等腰三角形，理由見解析(3)點(diǎn)在坐標(biāo)為，，,【分析】（1）把代入得到關(guān)于的二元一次方程組，求出的值即可；（2）聯(lián)立方程組，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為，由求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，分別求出，，，從而可判斷出為等腰三角形；（3）分①在上；②在上，在上；③在上，在上；④在上，與點(diǎn)重合四種情況結(jié)合圖形求解即可【解析】（1）解：把代入得，解得，，∴直線的解析式為；（2）聯(lián)立得：，解得，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，對于直線，當(dāng)時，，∴，∴又，∴，即，,,,是等腰三角形；（3）①當(dāng)在上時，如圖1，此時，，，設(shè)，又，，解得，，（舍去），，；②當(dāng)在上，在上時，如圖2，此時，設(shè)則，代入得，解得，，則；③在上，在上時，如圖3，此時，，；④當(dāng)在上，與點(diǎn)重合時，如圖4，此時，則∴與點(diǎn)重合，∴綜上，點(diǎn)在坐標(biāo)為，，,【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形以及一次函數(shù)與幾何綜合等知識，正確進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵5．模型建立：如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于，過作于．(1)求證：．(2)模型應(yīng)用：已知直線與軸交與點(diǎn)，將直線繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至，如圖2，求的函數(shù)解析式．(3)如圖3，矩形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的坐標(biāo)為，、分別在坐標(biāo)軸上，是線段上動點(diǎn)，設(shè)，已知點(diǎn)在第一象限，且是直線上的一點(diǎn)，若是不以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)的解析式：(3)點(diǎn)，，．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可得，再由可證得；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過作軸于，根據(jù)可得為等腰直角三角形，由（1）可知，由全等三角形的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式即可；（3）設(shè)，①點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在矩形的內(nèi)部時，過作軸的平行線，交直線于，交直線于，則，利用三角形全等得到關(guān)于x的方程，得D點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在矩形的外部時，利用三角形全等得到關(guān)于x的方程，得D點(diǎn)坐標(biāo)；②點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，此時點(diǎn)位于矩形的外部，則，利用三角形全等得到關(guān)于x的方程，得D點(diǎn)坐標(biāo)，即可．【解析】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，在與中，∴；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過作軸于，如圖，∵，∴為等腰直角三角形，由（1）得：，∴，，∵直線，∴，，∴，，∴，∴，設(shè)的解析式為，把點(diǎn)，代入得：∴，解得：，∴的解析式：；（3）解：當(dāng)點(diǎn)位于直線上時，分兩種情況：設(shè)，①點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在矩形的內(nèi)部時，過作軸的平行線，交直線于，交直線于，則，∴，；由（1）得：，∴，即，解得：；∴；當(dāng)點(diǎn)在矩形的外部時，則，∴，；由（1）得：，∴，即，解得：；∴；②點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，此時點(diǎn)位于矩形的外部，則，∴；同（1）得，，∴，；∴；∴，解得：；∴；綜合上面情況可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，需要考慮的多種情況，解題時注意分類思想的運(yùn)用．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，長方形的頂點(diǎn)A、B分別在x軸與y軸上，已知，，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時停止運(yùn)動．(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，求直線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)運(yùn)動時間為t秒．當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，①求的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；②是否存在等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②存在等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）求出，用待定系數(shù)法可得直線的函數(shù)解析式為；（2）①當(dāng)，即在上時，；當(dāng)，即在上時，；②，，知在上時，不可能是等腰三角形，當(dāng)在上時，，，，分三種情況：若時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，分別解方程可得答案．【解析】（1）解：，，四邊形是長方形，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把，代入得：，解得，直線的函數(shù)解析式為；（2）解：①當(dāng)，即在上時，如圖：；當(dāng)，即在上時，如圖：，；②存在等腰三角形，理由如下：如圖：，，，在上時，不可能是等腰三角形，當(dāng)在上時，，，，若時，，解得（舍去）或，；當(dāng)時，，解得或（舍去），；當(dāng)時，，解得，；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，等腰三角形等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．7．如圖，已知直線的函數(shù)關(guān)系式為，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將直線平移得直線，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、D，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在直線上是否存在點(diǎn)E，使得？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)或【分析】（1）根據(jù)平移設(shè)，將代入，求出m值即可；（2）在中，時，，得到，時，，得到；（3）設(shè)，根據(jù)，，得到，，根據(jù)，得到，根據(jù)，得到，得到，或，求得，或，得到，或．【解析】（1）解：設(shè)將向下平移m個單位，得到直線，則，∵經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得：，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）在中，令，則，令，則，∴，；（3）存在，或，理由：在中，令，則，令，則，∴，，設(shè)，，，，，，，，，設(shè)、之間的距離為，，，，或，，或，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)，平移，一次函數(shù)與一元一次方程，一次函數(shù)與三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線平移的性質(zhì)，點(diǎn)平移的坐標(biāo)性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，一次函數(shù)與三角形面積的關(guān)系．8．如圖1，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線：與直線：相交于點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)(1)填空：______，______，______；(2)如圖2．點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交軸于點(diǎn)．①求線段的長度；②當(dāng)點(diǎn)落在軸上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；③若為直角三角形，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①；②點(diǎn)的坐標(biāo)為；③點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）把代入，求出，得直線：，再把代入，求出，得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把代入，求出；（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，勾股定理即可求解；②過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，求出，即可得出，②求出，可得，即可得答案；③分兩種情況討論，當(dāng)時，求出，得，得，得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時，設(shè)，則，由勾股定理得：，求出，得點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）解：把代入，，，直線：，把代入，，把代入，，，；故答案為：．（2）①∵直線：令，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵∴，∵折疊，∴；②如下圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，則，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；③如下圖，當(dāng)時，由翻折得，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)時，設(shè)，則，在中由勾股定理得：，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)和判定，翻折的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線．9．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段上，將沿所在直線折疊后，點(diǎn)A恰好落在y軸上點(diǎn)D處，若，．(1)求直線的解析式．(2)求的值．(3)直線CD上是否存在點(diǎn)P使得，若存在，請直接寫出P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得，設(shè)，解方程求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的解析式；（2）設(shè)，根據(jù)勾股定理可以求出長，進(jìn)而求出三角形的面積比；（3）分點(diǎn)P在第三象限內(nèi)和第一象限內(nèi)兩種情況解題即可．【解析】（1）由題知，設(shè)，則．在中，，即：，，∴，又，∴．（2）設(shè)，則，由折疊性質(zhì)知：．在中：，∴，∴．∴，∴，，∴．（3），，理由如下：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第三象限內(nèi)時，過C作于M，過M作軸，軸于E，F(xiàn)，則,，又∵∴∴，∵軸，軸∴為正方形∴，∴)∴直線解析式為：，∵兩點(diǎn)坐標(biāo)為：∴直線解析式為：，聯(lián)立解得：，∴如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時，過C作于M，過M作軸，軸于E，F(xiàn)，則,，又∵∴∴，∵軸，軸∴為正方形∴，∴)∴直線解析式為：，∵兩點(diǎn)坐標(biāo)為：∴直線解析式為：，聯(lián)立解得：，∴綜上所述，或【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分清點(diǎn)所在象限，正確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．10．如圖1，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線：與直線：相交于點(diǎn)與x軸交于點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)C．(1)填空：___________，___________，___________．(2)如圖2，點(diǎn)D為線段上一動點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．②若為直角三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)，，(2)①，②（2，0）或）【分析】（1）把代入，求出，得直線，再把代入，求出，得點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后把代入，求出；（2）①過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)H，作軸于點(diǎn)G，求出，再求出，可得，即可得答案；②分兩種情況討論，當(dāng)時，求出，得，得，得點(diǎn)D坐標(biāo)；當(dāng)時，設(shè)，則，由勾股定理得：，求出，得點(diǎn)D坐標(biāo)．【解析】（1）解：把代入，∵∴，∴直線把代入∴把代入∵∴，故答案為，，（2）①∵直線∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)H，作軸于點(diǎn)G，則，∴∴∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為②如圖，當(dāng)時，由翻折得∴，∵，∴，∴∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為如圖，當(dāng)時，設(shè)，則在中由勾股定理得：解得：∴∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或）【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和判定，翻折的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于點(diǎn)A、．另一條直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）．(1)求的值．(2)當(dāng)?shù)拿娣e為18時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)若直線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)運(yùn)動，且始終與平行，直線交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)時，求的面積．【答案】(1)(2)點(diǎn)坐標(biāo)為或(3)【分析】（1）將點(diǎn)代入即可求出a的值；（2）先根據(jù)待定系數(shù)法求出的解析式，然后設(shè)，求出，，得出，求出，分，，三種情況討論，得出答案即可；（3）過作，設(shè)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，求出m的值，得出，，根據(jù)三角形面積公式，求出結(jié)果即可．【解析】（1）解：將代入，，．（2）解：設(shè)直線解析式為，將、代入得：，解得：，直線，設(shè)，把代入得：，解得：，把代入得：，∴，，，∴，①如圖1，時，，，解得：，，②時，的面積不可能為18，③如圖2，時，，，解得：．綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為或．（3）解：如圖3，過作，設(shè)，，，，，∵，，，，，，，，，，，，解：，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)關(guān)系式，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積公式，解題的關(guān)鍵是作出圖形，注意分類討論．12．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，它的坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn)作直線軸交軸于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，若的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若為直角三角形，請求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，；或【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，把代入，得，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用三角形的面積公式求出的長即可解決問題；分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時，當(dāng)時，分別求解即可．【解析】（1）解：設(shè)直線的解析式為，直線與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，，解得，

直線的解析式為，把代入，得，，．（2）解：，，

直線軸交軸于點(diǎn)，，，，，；一定不是直角，當(dāng)時，點(diǎn)恰好在點(diǎn)，，當(dāng)時，，由題可得，，，，，，，綜上所述，所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理、三角形面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，且a，p滿足．(1)求直線的解析式；(2)如圖1，直線與x軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)M在x軸上方且在直線上，若的面積等于6，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，已知點(diǎn)，若點(diǎn)B為射線上一動點(diǎn)，連接，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使是以為底邊，點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)直線AP的解析式為(2)(3)Q的坐標(biāo)為或或，理由見解析【分析】（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，得到，由待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）過作交x軸于D，連接，由三角形面積關(guān)系得到，進(jìn)而得到，待定系數(shù)法求出直線的解析式，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)，分三種情況分別求解點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．【解析】（1）解：∵，解得，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線AP的解析式為；（2）過作交x軸于D，連接，∵，的面積等于6，∴的面積等于6，∴，即，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為，令，得，∴；（3）Q的坐標(biāo)為或或．理由如下：設(shè)，①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸時，過B作軸于E，如圖，∴，∵是以為底邊的等腰直角三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴；②當(dāng)Q在y軸正半軸上時，過C作軸于F，過B作軸于G，如圖，∴，，∵是以為底邊的等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴即，∴，∴，∴；③當(dāng)Q在y軸正半軸上時，過點(diǎn)C作軸于F，過B作軸于T，如圖，∴，，同②可證，∴，，∴，即，∴，∴，∴；綜上，Q的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)和幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，D三點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且，連接，已知．(1)求直線的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在線段上分別取點(diǎn)M，N，使得軸，在x軸上取一點(diǎn)P，連接是否存在點(diǎn)M，使得為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)線段的表達(dá)式(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求直線的解析式；（2）根據(jù)三角形面積公式得到D到的距離等于B點(diǎn)到的距離的2倍，即D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，然后利用直線的解析式計(jì)算函數(shù)值為4所對應(yīng)的自變量的值，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)．（3）先求出直線的表達(dá)式,再求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為，分情況討論即可.【解析】（1）解：將點(diǎn)代入，得解得線段的表達(dá)式（2）已知，且點(diǎn)C在x軸正半軸上，∴點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，如解圖①，過點(diǎn)D作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H，則即，解得，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，設(shè)直線的表達(dá)式為將點(diǎn)代入，得，解得直線的表達(dá)式．已知點(diǎn)M在線段上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，軸，且點(diǎn)N在上∴將代入，得，，解得．點(diǎn)N的坐標(biāo)為分三種情況討論：①如解圖②，當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，解得：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為②如解圖③，當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時，點(diǎn)M的坐標(biāo)與①中情況相同；③如解圖④，當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時，，過點(diǎn)P作軸，交MN于點(diǎn)Q，易得點(diǎn)Q為MN的中點(diǎn)，且，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：求一次函數(shù),則需要兩組x,y的值．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是分情況進(jìn)行討論．15．如圖1，已知函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．(1)請寫出點(diǎn)A坐標(biāo)，點(diǎn)B坐標(biāo)，直線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．①若的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②點(diǎn)在線段上，連接，如圖，若，直接寫出的坐標(biāo)．【答案】(1)，，；(2)①點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；②點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．【分析】（1）先確定出點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線解析式；（2）①先表示出，最后用三角形面積公式即可得出結(jié)論；②分點(diǎn)在軸左側(cè)和右側(cè)，由對稱得出，，所以，當(dāng)即可，利用勾股定理建立方程即可，即可求解．【解析】（1）解：對于，由得：，∴．由得：，解得，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱．∴，，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，∴，解得，∴直線的函數(shù)解析式為，故答案為：，，；（2）解：①設(shè)點(diǎn)，，則點(diǎn)，，點(diǎn)，，過點(diǎn)作與點(diǎn)，則|，，則的面積，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸的左側(cè)時，∵點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于軸對稱，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，，，∴，解得：，∴，，如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸的右側(cè)時，同理可得，，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，分類討論是解本題的關(guān)鍵．16．如圖，函數(shù)的圖像分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，AC平分∠OAB．(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)求△ABC的面積；(3)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，且以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，請你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或或或【分析】（1）在函數(shù)解析式中分別令和，解相應(yīng)方程，可求得、的坐標(biāo)；（2）過作于點(diǎn)，由勾股定理可求得，由角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)，可求得，則可求得的面積；（3）可設(shè)，分、和三種情況，分別構(gòu)造“”型全等，可求得點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）解：在中，令可得解得，令，解得，，；（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，平分，，由可知，，，，，解得，；（3）點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，為等腰直角三角形，有、和三種情況，①當(dāng)時，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則∵，，∴，∴∴,∴,∴此時點(diǎn)坐標(biāo)為；②時，如圖，同理可得∴,∴,則此時點(diǎn)坐標(biāo)為；③時，如圖，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同理可得，∴，∴解得：∴所以此時點(diǎn)坐標(biāo)為；綜上可知使為等腰直角三角形的點(diǎn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、勾股定理、三角形的面積、角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、分類討論思想及方程思想等知識．在(1)中注意函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，在(2)中利用角平分線的性質(zhì)和等積法求得的長是解題的關(guān)鍵，在(3)中根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明，由全等三角形的性質(zhì)得到關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．17．如圖①，為等腰直角三角形，，于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：(2)如圖②為等腰直角三角形，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖③在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，與軸交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）證明，，，可得，從而可得答案；（2）如圖，過作于，證明，結(jié)合，，可得，，從而可得答案；（3）如圖，過作交的延長線于，交軸于，過作于，作于，證明，可得，同理可得：，，則設(shè)，求解為，可得，，，，過作，交的延長線于，交軸于，同理可得：，可得，，，，從而可得答案．【解析】（1）證明：∵為等腰直角三角形，，∴，，∵于點(diǎn)，于點(diǎn)．∴，，∴，∴，∴．（2）如圖，過作于，∴，∴，∵為等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，而，，∴，，∴，∴．（3）如圖，過作交的延長線于，交軸于，過作于，作于，∴，∵，∴，

∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理可得：，∴，則設(shè)，設(shè)為，而點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，解得：，∴為，∴，解得，即，∴，，，過作，交的延長線于，交軸于，∴，同理可得：，∴，，

∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形，作出合適的輔助線，構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．18．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于點(diǎn)．過作于點(diǎn)，則，我們稱這種全等模型為“型全等”．（不需要證明）【遷移應(yīng)用】已知：直線的圖象與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)．(1)如圖2，當(dāng)時，在第一象限構(gòu)造等腰直角，；①直接寫出______，______；②點(diǎn)的坐標(biāo)______；(2)如圖3，當(dāng)?shù)娜≈底兓?，點(diǎn)隨之在軸負(fù)半軸上運(yùn)動時，在軸左側(cè)過點(diǎn)作，并且，連接，問的面積是否發(fā)生變化?（填“變”或“不變”），若不變，其值為______；若變，請說明理由；(3)【拓展應(yīng)用】如圖4，當(dāng)時，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是直線和直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的坐標(biāo)為，當(dāng)是以為斜邊的等腰直角三角形時，點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】(1)①，；②(2)不變，的面積為定值，理由見解析(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）)①若，則直線與軸，軸分別交于，，，兩點(diǎn)，即可求解；②作于，則．由全等三角形的性質(zhì)得，，即可求解；（2）由點(diǎn)隨之在軸負(fù)半軸上運(yùn)動時，可知，過點(diǎn)作于，則．由全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（3）過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作于，證明．分兩種情況，由全等三角形的性質(zhì)得，，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得的值，即可求解．【解析】（1）解：①若，則直線為直線，當(dāng)時，，,，當(dāng)時，，,，，，故答案為：，；②作于，，，又是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，，，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)變化時，的面積是定值，，理由如下：當(dāng)變化時，點(diǎn)隨之在軸負(fù)半軸上運(yùn)動時，，過點(diǎn)作于，，，，，，，又，．，，變化時，的面積是定值，；（3）當(dāng)時，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作于，，，，，，又，．，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，直線，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作于，，，，，，又，．，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形解題是關(guān)鍵．19．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為．(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，且在直線上有一點(diǎn)，使得最小，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖2，直線上是否存在點(diǎn)使得，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、(2)(3)存在，或【分析】（1）對于，令，解得：，令，則，即可求解；（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解；（3）當(dāng)點(diǎn)在上方時，證明，得到的坐標(biāo)為，進(jìn)而求解，當(dāng)點(diǎn)在下方時，同理可解．【解析】（1）解：對于，令，解得：，令，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、；（2）解：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)，如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，故是的中位線，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求點(diǎn)，理由：為最小，設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，解得，故直線的表達(dá)式為：當(dāng)時，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：存在，理由：當(dāng)點(diǎn)在上方時，如圖2，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，在Rt和Rt中，，，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)在下方時，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，點(diǎn)，由點(diǎn)得坐標(biāo)得：直線得表達(dá)式為：，當(dāng)時，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、點(diǎn)的對稱性，全等三角形的判定和性質(zhì)等，其中（3），需要分類求解，避免遺漏．20．如圖，一次函數(shù)的圖象交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P為中點(diǎn)，點(diǎn)C，D分別在上，連結(jié)，點(diǎn)A，E關(guān)于對稱，點(diǎn)B，F(xiàn)關(guān)于對稱，且．(1)直接寫出點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)．(2)如圖1，若點(diǎn)O，E重合，求．(3)如圖2，若點(diǎn)F橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分別讓和代入解析式即可求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意可推出軸，即可推出軸，根據(jù)點(diǎn)B，F(xiàn)關(guān)于對稱可得，設(shè)出，則可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求出，然后利用，即可解出m的值，的長即可求出；（3）設(shè)，由求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，再求的解析式為，過P作，則，證得，可設(shè)直線PE的解析式為，把代入得直線的解析式為：，設(shè)，由，求得t便可得E點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）∵當(dāng)時，，∴，∵當(dāng)時，即，則，∴，∵點(diǎn)P為中點(diǎn)∴，綜上所述：（2）∵點(diǎn)C在，點(diǎn)A，E關(guān)于對稱，此時點(diǎn)O，E重合，∴軸，∵，∴軸，∵，∴，∵點(diǎn)B，F(xiàn)關(guān)于對稱，∴設(shè)，則，∴，∴，∵，∴，解得：（舍），∴；（3）設(shè)由折疊知，∵，∴，解得（舍）或，∴，設(shè)PF的解析式為，則，解得，∴直線PF的解析式為：過P作，則，∴，∴，即，∴可設(shè)直線的解析式為，把代入得，解得，∴直線的解析式為，，設(shè)，∵，∴解得（舍）或，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對稱性質(zhì)，關(guān)鍵是應(yīng)用方程的思想列出適當(dāng)?shù)姆匠糖蟮肍、E點(diǎn)的坐標(biāo)．21．模型建立：（1）如圖1，等腰直角中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，過A作于D，過B作于E．求證：；模型應(yīng)用：（2）已知直線：與y軸交于A點(diǎn)，將直線繞著A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至，如圖2，求的函數(shù)解析式；模型拓展：（3）如圖3，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，作軸于點(diǎn)A，作軸于點(diǎn)C，P是線段上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限內(nèi)．若是不以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或或【分析】（1）利用余角的性質(zhì)證明，再利用即可證明；（2）求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，得到，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同理證明，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A坐標(biāo)得到的解析式；（3）分點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)和點(diǎn)Q是直角頂點(diǎn)，畫出圖形，同理運(yùn)用全等三角形得到相等線段，從而列方程求解．【解析】解：（1），，，在和中，，；（2）直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、，令，則，令，則，則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：、，則，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同（1）可證：，，，則點(diǎn)，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：，得：，解得：，∴的表達(dá)式為：；（3）∵，∴點(diǎn)Q在直線上，∵，∴，，當(dāng)點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時，，，過點(diǎn)P作軸，垂足為N，過點(diǎn)Q作，垂足為M，同（1）可證：，∴，∴，解得；，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時，，，過點(diǎn)Q作軸，垂足為N，延長點(diǎn)P，與的延長線交于點(diǎn)M，同上可證：，∴，∴，解得：，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時，，，∴點(diǎn)Q在的垂直平