滬教版暑假新九年級(jí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第02講相似三角形的判定與性質(zhì)(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)

第02講相似三角形的判定與性質(zhì)（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識(shí)】一：相似三角形判定定理11、相似三角形的定義如果一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)三角形的三個(gè)角對應(yīng)相等，且它們各有的三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形．如圖，是的中位線，那么在與中，，，；．由相似三角形的定義，可知這兩個(gè)三角形相似．用符號(hào)來表示，記作，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)分別是對應(yīng)頂點(diǎn)；符號(hào)“”讀作“相似于”．用符號(hào)表示兩個(gè)相似三角形時(shí)，通常把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母分別寫在三角形記號(hào)“”后相應(yīng)的位置上．根據(jù)相似三角形的定義，可以得出：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比（或相似系數(shù)）．（2）如果兩個(gè)三角形分別與同一個(gè)三角形相似，那么這兩個(gè)三角形也相似．2、相似三角形的預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似．如圖，已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，則．3、相似三角形判定定理1如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．常見模型如下：二：相似三角形判定定理21、相似三角形判定定理2如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，，，那么．三：相似三角形判定定理3如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．四：直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．可簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似．如圖，在和中，如果，，那么∽．五：相似三角形的判定綜合1、相似三角形判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．2、相似三角形判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似．六：相似三角形性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．七：相似三角形性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比．八：相似三角形性質(zhì)定理3相似三角形的面積的比等于相似比的平方．【考點(diǎn)剖析】【考點(diǎn)1】相似三角形的判定例題1（閔行2020期末4）如圖，在正三角形中，分別在，上，且，，則有（）A.;B.;C.;D.例題2（普陀2020一模14）如圖，在△與△中，，要使△與△相似，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是．（只需填一個(gè)條件）例題3（嘉定區(qū)2019期中14）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，點(diǎn)G是的重心，GH⊥BC，垂足是H，則GH的長為．例題4(2023進(jìn)才北10月考18）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點(diǎn)D、D1分別在邊AB、A1B1上，且，那么AD的長是_________________.【考點(diǎn)2】相似三角形的性質(zhì)例題5（虹口2020一模14）已知△ABC∽△A1B1C1，頂點(diǎn)A、B、C分別與A1、B1、C1對應(yīng)，AC=12，A1C1=8，△ABC的高AD為6，那么△A1B1C1的高A1D1長為．例題6（嘉定區(qū)2019期中9）已知△ABC∽△DEF，點(diǎn)A、B、C分別與點(diǎn)D、E、F對應(yīng)，如果AB：DE＝2：3△ABC的周長為30cm，那么△DEF的周長為cm．例題7(2023育才10月考16）如圖所示，，AC、BD相交于點(diǎn)E，若面積為3，的面積為5，則梯形的面積為____________．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共7小題）1．(2023秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，聯(lián)結(jié)DE，那么下列條件中不能判斷△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED＝∠B C．AEAD=AB2．(2023秋?崇明區(qū)期末）如果兩個(gè)相似三角形的周長比為1：4，那么這兩個(gè)三角形的對應(yīng)中線的比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：163．(2023秋?普陀區(qū)期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC＝2，如果△DEF與△ABC相似，且△DEF兩條邊的長分別為4和27，那么△DEFA．2 B．7 C．23 D．4．(2023?寶山區(qū)二模）如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合），DE與AB相交于點(diǎn)F，那么與△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD5．(2023秋?金山區(qū)期末）如圖，M是平行四邊形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，AM的延長線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，圖中相似三角形有（）A．6對 B．5對 C．4對 D．3對6．(2023秋?青浦區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊BA的延長線上，聯(lián)結(jié)EC，交邊AD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．EAAB=AFBC B．EAAB=7．(2023秋?楊浦區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，過對角線交點(diǎn)O的直線與兩底分別交于點(diǎn)E、F，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A．AEFC=OEOF B．AEDE=二．填空題（共10小題）8．(2023?青浦區(qū)二模）如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，DB⊥BC，若∠ADB＝∠ABC，tanC=12，則AC9．(2023秋?嘉定區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，當(dāng)ADAC=時(shí)，△ACD與△10．(2023春?松江區(qū)校級(jí)期中）兩個(gè)相似三角形的面積之比為3：4，則這兩個(gè)三角形的周長之比為．11．(2023?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)．則△DEO與△BCD的面積的比等于．12．(2023秋?徐匯區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝8，BC＝7，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，已知AE＝4，∠AED＝∠B，則線段DE的長為．13．(2023?長寧區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作GF∥AB交BC于點(diǎn)F，那么EFEC=14．(2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，點(diǎn)F在BC的延長線上，AF與BD相交于點(diǎn)E，與CD邊相交于點(diǎn)G．如果AD＝2CF，那么△DEG與△CFG的面積之比等于．15．(2023秋?黃浦區(qū)期末）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D、E分別是邊BC、AC上的點(diǎn)，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝．16．(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周長與△A1B1C1的周長的比值是43，BE、B1E1分別是對應(yīng)角的角平分線，且BE＝12，則B1E1＝17．(2023?普陀區(qū)二模）如圖，?ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)，BE交對角線AC于點(diǎn)F，那么S△AFB：S四邊形FEDC的值為．三．解答題（共5小題）18．(2023秋?浦東新區(qū)期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求證：CA2＝CE?CB；（2）聯(lián)結(jié)AE，取AE的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)CM并延長與AB交于點(diǎn)H，求證：CH⊥AB．19．(2023秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N．聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．20．(2023秋?金山區(qū)校級(jí)月考）已知，△ABC和△DEF中，ABDE=BCEF=21．(2023秋?文山市期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分別在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求證：△AED∽△ABC．22．(2023秋?金山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DE∥BC，AFFE（1）求證：DF∥BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求證：△ADE∽△AEB．第02講相似三角形的判定與性質(zhì)（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識(shí)】一：相似三角形判定定理11、相似三角形的定義如果一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)三角形的三個(gè)角對應(yīng)相等，且它們各有的三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形．如圖，是的中位線，那么在與中，，，；．由相似三角形的定義，可知這兩個(gè)三角形相似．用符號(hào)來表示，記作，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)分別是對應(yīng)頂點(diǎn)；符號(hào)“”讀作“相似于”．用符號(hào)表示兩個(gè)相似三角形時(shí)，通常把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母分別寫在三角形記號(hào)“”后相應(yīng)的位置上．根據(jù)相似三角形的定義，可以得出：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比（或相似系數(shù)）．（2）如果兩個(gè)三角形分別與同一個(gè)三角形相似，那么這兩個(gè)三角形也相似．2、相似三角形的預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似．如圖，已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，則．3、相似三角形判定定理1如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．常見模型如下：二：相似三角形判定定理21、相似三角形判定定理2如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，，，那么．三：相似三角形判定定理3如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．四：直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．可簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似．如圖，在和中，如果，，那么∽．五：相似三角形的判定綜合1、相似三角形判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．2、相似三角形判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似．六：相似三角形性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．七：相似三角形性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比．八：相似三角形性質(zhì)定理3相似三角形的面積的比等于相似比的平方．【考點(diǎn)剖析】【考點(diǎn)1】相似三角形的判定例題1（閔行2020期末4）如圖，在正三角形中，分別在，上，且，，則有（）A.;B.;C.;D.答案:B；解析：解：由已知在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，，AE＝BE，易判斷出：△AED為一個(gè)銳角三角形，△BED為一個(gè)鈍角三角形，故A錯(cuò)誤；△ABD也是一個(gè)鈍角三角形，故C也錯(cuò)誤；但△BCD為一個(gè)銳角三角形，故D也錯(cuò)誤；故選B．例題2（普陀2020一模14）如圖，在△與△中，，要使△與△相似，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是．（只需填一個(gè)條件）答案:（等）；解析：解：根據(jù)相似三角形的判定定理2，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似，可知添加的條件是；如果根據(jù)相似三角形判定定理3，則三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似，可添加條件.例題3（嘉定區(qū)2019期中14）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，點(diǎn)G是的重心，GH⊥BC，垂足是H，則GH的長為．答案:；解析：解：連接BG并延長交AC于D，如圖，∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴BG＝2GD，CD＝AD=，∵HG⊥BC，∠C＝90°，∴GH∥CD，∴△BHG∽△BDC，∴，即，∴GH＝．例題4(2023進(jìn)才北10月考18）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點(diǎn)D、D1分別在邊AB、A1B1上，且，那么AD的長是_________________.答案:；解析：解：如圖，在和中，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，即，解得，AD的長為.【考點(diǎn)2】相似三角形的性質(zhì)例題5（虹口2020一模14）已知△ABC∽△A1B1C1，頂點(diǎn)A、B、C分別與A1、B1、C1對應(yīng)，AC=12，A1C1=8，△ABC的高AD為6，那么△A1B1C1的高A1D1長為．答案:4；解析：解：因?yàn)橄嗨迫切蔚膶?yīng)高的比等于相似比，故，所以.例題6（嘉定區(qū)2019期中9）已知△ABC∽△DEF，點(diǎn)A、B、C分別與點(diǎn)D、E、F對應(yīng)，如果AB：DE＝2：3，△ABC的周長為30cm，那么△DEF的周長為cm．答案:45；解析：解：∵△ABC∽△DEF，點(diǎn)A、B、C分別與點(diǎn)D、E、F對應(yīng)，如果AB：DE＝2：3，∴，∵△ABC的周長為30cm，∴△DEF的周長為：45cm.例題7(2023育才10月考16）如圖所示，，AC、BD相交于點(diǎn)E，若面積為3，的面積為5，則梯形的面積為____________．答案:；解析：解：∵面積為3，的面積為5，∴，又∵，AC、BD相交于點(diǎn)E，∴△DCE∽△BAE，，∴，又∵，∴,∴梯形的面積=，故答案為：．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共7小題）1．(2023秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，聯(lián)結(jié)DE，那么下列條件中不能判斷△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED＝∠B C．AEAD=AB分析：根據(jù)題意畫出圖形，再由相似三角形的判定定理進(jìn)行解答即可．【解答】解：如圖，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故A不符合題意；B、∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故B不符合題意；C、∵AE：AD＝AB：AC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故C不符合題意；D、AE：DE＝AC：BC，不能使△ADE和△ABC相似，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握相似三角形的幾種判定定理．2．(2023秋?崇明區(qū)期末）如果兩個(gè)相似三角形的周長比為1：4，那么這兩個(gè)三角形的對應(yīng)中線的比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：因?yàn)閮蓚€(gè)相似三角形的周長比等于相似比，兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)中線的比也等于相似比，所以：如果兩個(gè)相似三角形的周長比為1：4，那么這兩個(gè)三角形的對應(yīng)中線的比為1：4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(2023秋?普陀區(qū)期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC＝2，如果△DEF與△ABC相似，且△DEF兩條邊的長分別為4和27，那么△DEFA．2 B．7 C．23 D．分析：根據(jù)勾股定理得到AB=A【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC∴AB=A∵△DEF與△ABC相似，∴ABDE∴24∴DF＝23，則△DEF第三條邊的長為23，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(2023?寶山區(qū)二模）如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合），DE與AB相交于點(diǎn)F，那么與△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴與△BFD相似的三角形是△BDA，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．(2023秋?金山區(qū)期末）如圖，M是平行四邊形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，AM的延長線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，圖中相似三角形有（）A．6對 B．5對 C．4對 D．3對分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，得AD∥BC，AB∥CD，從而得到△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，則△AME∽△FDA，可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠DBC，∴△ABD∽△CDB，∵AD∥BC，∴△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，∵AB∥CD，∴△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，∴△AME∽△FDA，∴相似三角形共有6對，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定，注意相似的傳遞性是解題的關(guān)鍵．6．(2023秋?青浦區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊BA的延長線上，聯(lián)結(jié)EC，交邊AD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．EAAB=AFBC B．EAAB=分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，推得AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，得△EAF∽△EAB，△AEF∽△CDF，推比例線段即可判斷是否符合題意．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴EAEB=AF∴A、C不符合題意；D符合題意；∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴AECD∵AB＝CD，∴AEAB∴B不符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例，掌握由平行推相似的方法，等量代換是解題關(guān)鍵．7．(2023秋?楊浦區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，過對角線交點(diǎn)O的直線與兩底分別交于點(diǎn)E、F，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A．AEFC=OEOF B．AEDE=分析：根據(jù)相似三角形的判定得出△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，最后根據(jù)比例的性質(zhì)得出即可．【解答】解：A．∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴AEFCB．∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，∴AEFC=OE∴AEFC∴AEDEC．∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，∴AOCO=OE∴ADBCD．∵AD∥BC，∴△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，∴DEBF=DO∴ADBC∴ADDE故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）8．(2023?青浦區(qū)二模）如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，DB⊥BC，若∠ADB＝∠ABC，tanC=12，則AC分析：先說明△ADB與△ABC的關(guān)系，得到ACAB與BCDB的關(guān)系，再在Rt△DBC中利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出【解答】解：∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC．∴ACAB∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°．在Rt△DBC中，tanC=BD∴ACAB故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形相似，掌握三角形相似的判定方法和直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9．(2023秋?嘉定區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，當(dāng)ADAC=ACAB時(shí)，△ACD分析：根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠A＝∠A，∴當(dāng)ADAC=ACAB時(shí)，△故答案為：ACAB【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．10．(2023春?松江區(qū)校級(jí)期中）兩個(gè)相似三角形的面積之比為3：4，則這兩個(gè)三角形的周長之比為3：2．分析：相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的面積之比為3：4，∴相似比是3：2，∵相似三角形的周長比等于相似比，∴這兩個(gè)三角形的周長之比為：3：2，故答案為：3：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．11．(2023?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)．則△DEO與△BCD的面積的比等于1：4．分析：由平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，可得O是BD中點(diǎn)，已知條件中有E是CD的中點(diǎn)，則OE是△BCD的中位線，所以O(shè)E∥BC，OE=12BC，則△DEO∽△BCD，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可以求出△DEO與△【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且對角線AC、BD交于點(diǎn)O，∴O是BD的中點(diǎn)，∵E是CD的中點(diǎn)，∴OE∥BC，OE=12∴OEBC∵△DEO∽△BCD，∴S△DEO∴△DEO與△BCD的面積的比等于1：4，故答案為：1：4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)三角形中位線定理證明OE∥BC是解題的關(guān)鍵．12．(2023秋?徐匯區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝8，BC＝7，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，已知AE＝4，∠AED＝∠B，則線段DE的長為72分析：由△AED∽△ABC，得出比例式求解即可．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴DEBC∴DE7∴DE=7故答案為：7【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(2023?長寧區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作GF∥AB交BC于點(diǎn)F，那么EFEC=1分析：根據(jù)三角形的重心的概念得到EGEA=1【解答】解：∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴EGEA∵GF∥AB，∴EFEB∵AE是BC邊上的中線，∴EB＝EC，∴EFEC故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念、平行線分線段成比例定理，掌握重心到頂點(diǎn)的距離是重心到對邊中點(diǎn)的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．14．(2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，點(diǎn)F在BC的延長線上，AF與BD相交于點(diǎn)E，與CD邊相交于點(diǎn)G．如果AD＝2CF，那么△DEG與△CFG的面積之比等于16：7．分析：根據(jù)△ADG∽△FCG和△ADE∽△FBE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊比值相等和相似三角形面積比為相似比的平方即可解題．【解答】解：∵AD∥BC，∴△ADG∽△FCG，∴ADFC∴△ADG與△CFG的面積比是4：1，∵AD∥BC，∴△ADE∽△FBE，∴ADBF令GF＝a，則AG＝2a，設(shè)AE＝x，EG＝2a﹣x，則x：（a+2a﹣x）＝2：5，∴x=67∴AE=67a，EG=∴AE：EG＝3：4，∴△DEG與△ADE的面積比是4：3，∴△DEG與△CFG的面積比是16：7．故答案為：16：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了相似三角形面積比為相似比的平方的性質(zhì)．關(guān)鍵在證明三角形相似．15．(2023秋?黃浦區(qū)期末）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D、E分別是邊BC、AC上的點(diǎn)，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝23分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3，再證明∠CDE＝∠BAD，然后可判斷△CDE∽△BAD，從而利用相似比可求出CE．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3，∴CD＝BC﹣BD＝3﹣1＝2，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，而∠B＝∠D，∴△CDE∽△BAD，∴CEBD=CD∴CE=2故答案為：23【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何運(yùn)算．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．16．(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周長與△A1B1C1的周長的比值是43，BE、B1E1分別是對應(yīng)角的角平分線，且BE＝12，則B1E1＝9分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)周長比等于相似比等于對應(yīng)角的角平分線的比求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周長與△A1B1C1的周長的比值是43∴相似比為43∴BEB∵BE＝12，∴B1E1＝9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．17．(2023?普陀區(qū)二模）如圖，?ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)，BE交對角線AC于點(diǎn)F，那么S△AFB：S四邊形FEDC的值為2：5．分析：證明AFCF=EFBF=AEBC=12，推出S△BCF＝2S△ABF＝2S△AEF，設(shè)S△AEF＝m，則S△ABF＝2【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AE＝DE，∴AFCF∴S△BCF＝2S△ABF＝2S△AEF，設(shè)S△AEF＝m，則S△ABF＝2m，S△CBF＝4m，∴S△ACB＝S△ADC＝6m，∴S四邊形FEDC＝6m﹣m＝5m，∴S△AFB：S四邊形FEDC＝2：5；故答案為：2：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．三．解答題（共5小題）18．(2023秋?浦東新區(qū)期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求證：CA2＝CE?CB；（2）聯(lián)結(jié)AE，取AE的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)CM并延長與AB交于點(diǎn)H，求證：CH⊥AB．分析：（1）通過證明△DCE∽△BCD，可得DCBC（2）由直角三角形的性質(zhì)可得AM＝ME＝CM，進(jìn)而可得∠MCE＝∠MEC，通過證明點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)D四點(diǎn)共圓，可得∠AEC＝∠ADC，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴DCBC∴CD2＝CE?CB，∴CA2＝CE?CB；（2）如圖，∵∠ACE是直角三角形，點(diǎn)M是AE中點(diǎn)，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)D四點(diǎn)共圓，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．19．(2023秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N．聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方