滬教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題21三等角相似解題方法專練(原卷版+解析)

專題21三等角相似解題方法專練第I卷（選擇題）一、單選題1．如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．3．如圖，在矩形中，，是的中點(diǎn)，連接，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過點(diǎn)的直線將矩形折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或4．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．5．如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)，在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)始終在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，若，則的值為（）A．－6 B．－12 C．－18 D．－24第II卷（非選擇題）二、解答題6．[初步嘗試]（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；[思考說理]（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求的值；[拓展延伸]（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，將△ABC沿過頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B′處，折痕為CM．①求線段AC的長(zhǎng)；②若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OB′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，A′M與CP交于點(diǎn)F，求的取值范圍．7．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿折線AD﹣DE﹣EA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點(diǎn)M落在線段QC上，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜12）．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段EA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PE的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AC邊上時(shí)，求t的值．（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形時(shí)，設(shè)四邊形的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．（4）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)E不重合時(shí)，作直線NE，直接寫出直線NE將△ABC分成的兩部分圖形的面積比為1：2時(shí)t的值．8．（推理）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：．（運(yùn)用）（2）如圖2，在（推理）條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H．若，，求線段DE的長(zhǎng)．（拓展）（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長(zhǎng)CF，BF交直線AD于G，兩點(diǎn)，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．

9．如圖，在菱形中，是銳角，E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)F．（1）當(dāng)時(shí)，①求證：；②連結(jié)，若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)N，連結(jié)，若，則當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形．10．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，的面積為2．（1）如圖1，求直線的解析式；（2）如圖2，線段上有一點(diǎn)，直線為，軸，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（用含的式子表示）（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，交直線于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．11．在矩形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．（1）如圖1，若，求的值；（2）如圖2，在線段上取一點(diǎn)，使平分，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若，求的值．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線與直線交于A(4，1)，B兩點(diǎn)，與y軸交于C(0，－1)，直線與拋物線對(duì)稱軸l交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若AD：BD=3：5，求直線AB的關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使△ABP的面積等于4；（4）在（2）的條件下，在對(duì)稱軸上求點(diǎn)Q，使得△ABQ是直角三角形．13．拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，，點(diǎn)是拋物線上點(diǎn)，間的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)，），過作軸于點(diǎn)，連接，．（1）求拋物線與直線的解析式：（2）求證：為定值；（3）若的面積為1，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．14．在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1，將一張菱形紙片ABCD（∠BAD＞90°）沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．（1）將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α，使α＝∠BAC，得到如圖2所示的△AC′D，分別延長(zhǎng)BC和DC′交于點(diǎn)E，求證四邊形ACEC′是菱形；（2）創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α，當(dāng)α與∠BAC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，得到如圖3所示的四邊形BCC′D是矩形，請(qǐng)說明理由；（3）縝密小組在創(chuàng)樣報(bào)小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，量得圖3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的長(zhǎng)．15．如圖，二次函數(shù)與軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，且，∠BAC的角平分線交于點(diǎn)D，過D點(diǎn)的直線與射線AB，AC分別交于E，F(xiàn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，證明：當(dāng)直線繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，為定值，并求出該定值；（3）如圖2，在第一象限的拋物線存在點(diǎn)P，使得，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．16．在中與中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；（2）類比探究當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．（3）問題解決在旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出的面積的最大值與最小值．17．已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點(diǎn)B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側(cè)．

（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請(qǐng)猜想線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請(qǐng)直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請(qǐng)直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（用含α的式子表示）．18．問題提出（1）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G．若，則的面積為_________．問題探究（2）如圖2，在矩形中，，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)將．沿著折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將沿著折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)D到的距離為，且．若過點(diǎn)D作，過點(diǎn)A作的垂線，交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接．設(shè)的長(zhǎng)為，四邊形的面積為．①根據(jù)題意求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低．已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)60元，請(qǐng)你幫忙求出這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低費(fèi)用．19．問題提出：（1）如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)F在AB上，過點(diǎn)E作EGAB交FC于點(diǎn)G．若EG＝7．則S△EFC＝．問題探究：（2）如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點(diǎn)P是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)P．使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)DP的長(zhǎng)度．若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決：（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點(diǎn)C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)50元．請(qǐng)問這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低是多少元？（≈1.73）20．如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG，連接DG，BE（1）[發(fā)現(xiàn)]：當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2，線段DG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是____；位置關(guān)系是___；（2）[探究]：如圖3，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG與BE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；（3）[應(yīng)用]：在（2）情況下，連結(jié)GE（點(diǎn)E在AB上方），若GE//AB，且AB＝，AE＝1，求線段DG的長(zhǎng)21．已知正方形的邊長(zhǎng)為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F，連接．設(shè)．（1）如圖1，當(dāng)被對(duì)角線平分時(shí)，求a、b的值；（2）當(dāng)是直角三角形時(shí)，求a、b的值；（3）如圖3，探索繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，的面積是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．22．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)O是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)F．（1）求直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）過點(diǎn)C作且交x軸于點(diǎn)E，求證：；（3）求點(diǎn)E坐標(biāo)；（4）點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．23．如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；（2）在下方的拋物線上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，交與點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為多少時(shí)，線段的長(zhǎng)度最大？最大是多少？（3）在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)，在拋物線上有一點(diǎn)，若使，，，為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求出，點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）在軸上是否存在一點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．24．在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處．（1）如圖1，若BC=2BA，求∠CBE的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)AB=5，且AF?FD=10時(shí)，求BC的長(zhǎng)；（3）如圖3，延長(zhǎng)EF，與∠ABF的角平分線交于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)NF=AN+FD時(shí)，求的值．25．如圖，矩形中，，，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．點(diǎn)在線段上，滿足．設(shè)．（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)在的內(nèi)部時(shí)，用的代數(shù)式表示的余切；（3）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．26．如圖，拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，其頂點(diǎn)為點(diǎn)C，連接AB，點(diǎn)D在拋物線上A、C兩點(diǎn)之間，過點(diǎn)D作軸，垂足為點(diǎn)F，DF與AB交于點(diǎn)E．（1）求此拋物線的解析式．（2）連接AD、BD，設(shè)的面積為S，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值．（3）點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，試探究平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．27．如圖，拋物線y＝﹣（x+1）（x﹣n）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，△ABC的面積為5．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過P作PN⊥x軸交BC于M，交拋物線于N．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)MN最大時(shí)，求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（3）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)N到點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離相等？28．定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的凸四邊形稱為互余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為互余線．（1）在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分線，E、F分別是BD，AD上的點(diǎn)，求證：四邊形ABEF是互余四邊形；（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A、B在格點(diǎn)上，請(qǐng)畫出一個(gè)符合條件的互余四邊形ABEF，使AB是互余線，E、F在格點(diǎn)上；（3）如圖3，在（1）的條件下，取EF中點(diǎn)M，連接DM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)EF交AC于點(diǎn)N，若N為AC的中點(diǎn)，DE=2BE，如互余線AB=10，求BQ的長(zhǎng)．29．（問題情境）如圖①，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).易知BE與CF的數(shù)量關(guān)系．（探索發(fā)現(xiàn)）如圖②，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).（問題情境）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．（類比遷移）如圖③，在等邊中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，______．30．在中，，，．（1）如圖1，折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)D處，折痕交、分別于、，若，則＿＿＿．（2）如圖2，折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交、分別于、．若，求證：四邊形是菱形．（3）如圖3，在（1）（2）的條件下，線段上是否存在點(diǎn)，使得和相似？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．31．將一副三角尺如圖①擺放，在中，；在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）如圖②，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（），此時(shí)的等腰直角三角尺記為，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，試判斷的值是否隨著的變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出的值；反之，請(qǐng)說明理由．32．關(guān)于x的方程①和一元二次方程②中，k，m均為實(shí)數(shù)，方程①的根為非負(fù)數(shù)．（1）求k的取值范圍；（2）當(dāng)k為最小整數(shù)時(shí)，方程②有兩根分別為和，求m的值；（3）在（2）的條件下，若直線y=kx+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是雙曲線在第一象限圖像上一動(dòng)點(diǎn)，作CD⊥y軸交線段AB于點(diǎn)E，作CF⊥x軸交線段AB于點(diǎn)G，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．按要求補(bǔ)全圖形并完成：①BG·AE＝___________；②求∠EOG的度數(shù)．33．如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過AC的中點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接BD．（1）求證：AB=BC；（2）求證：DE?AB=AD?BD．34．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線相交于點(diǎn)C．(1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖，現(xiàn)將直角∠FCE繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)始終保持直角邊CF與軸、軸分別交于點(diǎn)F、點(diǎn)D，直角邊CE與軸交于點(diǎn)E.①在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否會(huì)發(fā)生變化?若改變，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出這個(gè)值.②在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ODE相似?若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.35．已知拋物線W1與y軸交于點(diǎn)C，其關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線為W2：y＝x2-mx+n，且W2經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0）．（1）求拋物線W1的解析式；（2）將拋物線W1沿x軸向右平移得到拋物線W3，拋物線W3與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)D和點(diǎn)E（D在E的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)Q，如果滿足△AOC與△DOQ相似，請(qǐng)求出平移后拋物線W3的表達(dá)式．36．如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝8，過BC邊上一點(diǎn)P，作∠DPE＝60°，分別與邊AB，AC相交于點(diǎn)D與點(diǎn)E．（1）在圖中找出與∠EPC始終相等的角，并說明理由；（2）若△PDE為正三角形時(shí)，求BD+CE的值；（3）當(dāng)DE∥BC時(shí)，請(qǐng)用BP表示BD，并求出BD的最大值．37．已知四邊形是矩形．（1）如圖1，分別是上的點(diǎn)，垂直平分，垂足為，連接．①求證：；②若，求的大小；（2）如圖2，，分別是上的點(diǎn)，垂直平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，若，直接寫出的長(zhǎng)．38．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊上動(dòng)點(diǎn)(不與重合)．連接過點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證：；連接，試探究當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，，請(qǐng)證明你的結(jié)論．39．如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，連接，且．（1）證明：；（2）若，當(dāng)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與重合），且是等腰三角形，求此時(shí)的長(zhǎng)．40．在正方形ABCD中，BC＝2，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連接DM，DM與AC交于點(diǎn)P．（1）求PD的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)E在DC上，點(diǎn)F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝，求CE的長(zhǎng)．41．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2-2ax-3a交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接BC，且OB=OC．

（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，D為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過D做DT⊥x軸交x軸于T，交BC于點(diǎn)K，設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，線段DK的長(zhǎng)為d，求d與m之間的關(guān)系式；（3）如圖3，在（2）的條件下，D在對(duì)稱軸右側(cè)，Q、H為直線DT上點(diǎn)，Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，H在第四象限內(nèi)，且QD=TH，過D做x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，連接EQ交拋物線于點(diǎn)R，連接RH，tan∠ERH=2，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．42．如圖，拋物線和直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上，直線與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．以為邊作矩形，使點(diǎn)在直線上．①當(dāng)為何值時(shí)，矩形的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e；②直接寫出當(dāng)為何值時(shí)，恰好有矩形的頂點(diǎn)落在拋物線上．43．如圖，的一邊經(jīng)過的圓心，另一邊與交于點(diǎn)，作的平分線與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：（2）若．①若，則的長(zhǎng)為______；②的最大值為______．44．在中，，，點(diǎn)在所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作（、、按逆時(shí)針方向）．（1）如圖，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，交于．①求證：；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，的反向延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；（3）若點(diǎn)在的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．三、填空題45．有一邊是另一邊的倍的三角形叫做幸運(yùn)三角形，這兩邊中較長(zhǎng)邊稱為幸運(yùn)邊，這兩邊的夾角叫做幸運(yùn)角．如圖，是幸運(yùn)三角形，為幸運(yùn)邊，為幸運(yùn)角，，點(diǎn)B，C在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為．當(dāng)是直角三角形且時(shí)，則k的值為_______．46．如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．若是以為腰的等腰三角形，則的長(zhǎng)為________．47．如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點(diǎn)E在邊CD或延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝_____．48．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將等邊沿過點(diǎn)的直線折疊，該直線與直線交于點(diǎn)，使點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，且折痕為則的長(zhǎng)為______．49．如圖，ACM中，ABC、BDE和DFG是等邊三角形，點(diǎn)E、G在ACM邊CM上，設(shè)ABC，BDE和DFG的面積分別為S1、S2、S3，若S1=8，S3=2，S2=________．50．圖2、圖3是起重機(jī)平移物體示意圖．在固定機(jī)架BAM中，AB＝5m，tan∠BAM＝．吊桿BCE由伸縮桿BC與6m長(zhǎng)的直桿CE組成，在機(jī)架BAM與直桿CE間有一根9m長(zhǎng)的支撐桿AD，且CD＝2m．假設(shè)起重機(jī)吊起物體準(zhǔn)備平移時(shí)，點(diǎn)E、C、B恰好在同一水平線上（圖2），在物體平移過程中始終保持EB∥AM（AM處在水平位置）．（1）如圖2，當(dāng)準(zhǔn)備平移物體時(shí)，伸縮桿BC＝_____m．（2）在物體沿EB方向平移過程中，當(dāng)∠ADE＝60°時(shí)，物體被平移的距離為_____m．專題21三等角相似解題方法專練第I卷（選擇題）一、單選題1．如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．3．如圖，在矩形中，，是的中點(diǎn)，連接，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過點(diǎn)的直線將矩形折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或4．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．5．如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)，在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)始終在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，若，則的值為（）A．－6 B．－12 C．－18 D．－24第II卷（非選擇題）二、解答題6．[初步嘗試]（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；[思考說理]（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求的值；[拓展延伸]（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，將△ABC沿過頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B′處，折痕為CM．①求線段AC的長(zhǎng)；②若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OB′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，A′M與CP交于點(diǎn)F，求的取值范圍．7．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿折線AD﹣DE﹣EA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點(diǎn)M落在線段QC上，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜12）．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段EA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PE的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AC邊上時(shí)，求t的值．（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形時(shí)，設(shè)四邊形的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．（4）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)E不重合時(shí)，作直線NE，直接寫出直線NE將△ABC分成的兩部分圖形的面積比為1：2時(shí)t的值．8．（推理）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)BE，CF，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：．（運(yùn)用）（2）如圖2，在（推理）條件下，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)H．若，，求線段DE的長(zhǎng)．（拓展）（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長(zhǎng)CF，BF交直線AD于G，兩點(diǎn)，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．

9．如圖，在菱形中，是銳角，E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)F．（1）當(dāng)時(shí)，①求證：；②連結(jié)，若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)N，連結(jié)，若，則當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形．10．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，的面積為2．（1）如圖1，求直線的解析式；（2）如圖2，線段上有一點(diǎn)，直線為，軸，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（用含的式子表示）（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，交直線于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．11．在矩形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．（1）如圖1，若，求的值；（2）如圖2，在線段上取一點(diǎn)，使平分，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若，求的值．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線與直線交于A(4，1)，B兩點(diǎn)，與y軸交于C(0，－1)，直線與拋物線對(duì)稱軸l交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若AD：BD=3：5，求直線AB的關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使△ABP的面積等于4；（4）在（2）的條件下，在對(duì)稱軸上求點(diǎn)Q，使得△ABQ是直角三角形．13．拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，，點(diǎn)是拋物線上點(diǎn)，間的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)，），過作軸于點(diǎn)，連接，．（1）求拋物線與直線的解析式：（2）求證：為定值；（3）若的面積為1，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．14．在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1，將一張菱形紙片ABCD（∠BAD＞90°）沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．（1）將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α，使α＝∠BAC，得到如圖2所示的△AC′D，分別延長(zhǎng)BC和DC′交于點(diǎn)E，求證四邊形ACEC′是菱形；（2）創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α，當(dāng)α與∠BAC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，得到如圖3所示的四邊形BCC′D是矩形，請(qǐng)說明理由；（3）縝密小組在創(chuàng)樣報(bào)小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，量得圖3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的長(zhǎng)．15．如圖，二次函數(shù)與軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，且，∠BAC的角平分線交于點(diǎn)D，過D點(diǎn)的直線與射線AB，AC分別交于E，F(xiàn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，證明：當(dāng)直線繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，為定值，并求出該定值；（3）如圖2，在第一象限的拋物線存在點(diǎn)P，使得，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．16．在中與中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；（2）類比探究當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．（3）問題解決在旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出的面積的最大值與最小值．17．已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點(diǎn)B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側(cè)．

（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請(qǐng)猜想線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請(qǐng)直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請(qǐng)直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（用含α的式子表示）．18．問題提出（1）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G．若，則的面積為_________．問題探究（2）如圖2，在矩形中，，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)將．沿著折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將沿著折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)D到的距離為，且．若過點(diǎn)D作，過點(diǎn)A作的垂線，交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接．設(shè)的長(zhǎng)為，四邊形的面積為．①根據(jù)題意求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低．已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)60元，請(qǐng)你幫忙求出這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低費(fèi)用．19．問題提出：（1）如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)F在AB上，過點(diǎn)E作EGAB交FC于點(diǎn)G．若EG＝7．則S△EFC＝．問題探究：（2）如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點(diǎn)P是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)P．使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)DP的長(zhǎng)度．若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決：（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點(diǎn)C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)50元．請(qǐng)問這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低是多少元？（≈1.73）20．如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG，連接DG，BE（1）[發(fā)現(xiàn)]：當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2，線段DG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是____；位置關(guān)系是___；（2）[探究]：如圖3，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG與BE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；（3）[應(yīng)用]：在（2）情況下，連結(jié)GE（點(diǎn)E在AB上方），若GE//AB，且AB＝，AE＝1，求線段DG的長(zhǎng)21．已知正方形的邊長(zhǎng)為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F，連接．設(shè)．（1）如圖1，當(dāng)被對(duì)角線平分時(shí)，求a、b的值；（2）當(dāng)是直角三角形時(shí)，求a、b的值；（3）如圖3，探索繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，的面積是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．22．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)O是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)F．（1）求直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）過點(diǎn)C作且交x軸于點(diǎn)E，求證：；（3）求點(diǎn)E坐標(biāo)；（4）點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．23．如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；（2）在下方的拋物線上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，交與點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為多少時(shí)，線段的長(zhǎng)度最大？最大是多少？（3）在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)，在拋物線上有一點(diǎn)，若使，，，為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求出，點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）在軸上是否存在一點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．24．在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處．（1）如圖1，若BC=2BA，求∠CBE的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)AB=5，且AF?FD=10時(shí)，求BC的長(zhǎng)；（3）如圖3，延長(zhǎng)EF，與∠ABF的角平分線交于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)NF=AN+FD時(shí)，求的值．25．如圖，矩形中，，，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．點(diǎn)在線段上，滿足．設(shè)．（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)在的內(nèi)部時(shí)，用的代數(shù)式表示的余切；（3）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．26．如圖，拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，其頂點(diǎn)為點(diǎn)C，連接AB，點(diǎn)D在拋物線上A、C兩點(diǎn)之間，過點(diǎn)D作軸，垂足為點(diǎn)F，DF與AB交于點(diǎn)E．（1）求此拋物線的解析式．（2）連接AD、BD，設(shè)的面積為S，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值．（3）點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，試探究平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．27．如圖，拋物線y＝﹣（x+1）（x﹣n）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，△ABC的面積為5．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過P作PN⊥x軸交BC于M，交拋物線于N．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)MN最大時(shí)，求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（3）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)N到點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離相等？28．定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的凸四邊形稱為互余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為互余線．（1）在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分線，E、F分別是BD，AD上的點(diǎn)，求證：四邊形ABEF是互余四邊形；（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A、B在格點(diǎn)上，請(qǐng)畫出一個(gè)符合條件的互余四邊形ABEF，使AB是互余線，E、F在格點(diǎn)上；（3）如圖3，在（1）的條件下，取EF中點(diǎn)M，連接DM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)EF交AC于點(diǎn)N，若N為AC的中點(diǎn)，DE=2BE，如互余線AB=10，求BQ的長(zhǎng)．29．（問題情境）如圖①，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).易知BE與CF的數(shù)量關(guān)系．（探索發(fā)現(xiàn)）如圖②，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).（問題情境）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．（類比遷移）如圖③，在等邊中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，______．30．在中，，，．（1）如圖1，折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)D處，折痕交、分別于、，若，則＿＿＿．（2）如圖2，折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交、分別于、．若，求證：四邊形是菱形．（3）如圖3，在（1）（2）的條件下，線段上是否存在點(diǎn)，使得和相似？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．31．將一副三角尺如圖①擺放，在中，；在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）如圖②，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（），此時(shí)的等腰直角三角尺記為，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，試判斷的值是否隨著的變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出的值；反之，請(qǐng)說明理由．32．關(guān)于x的方程①和一元二次方程②中，k，m均為實(shí)數(shù)，方程①的根為非負(fù)數(shù)．（1）求k的取值范圍；（2）當(dāng)k為最小整數(shù)時(shí)，方程②有兩根分別為和，求m的值；（3）在（2）的條件下，若直線y=kx+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是雙曲線在第一象限圖像上一動(dòng)點(diǎn)，作CD⊥y軸交線段AB于點(diǎn)E，作CF⊥x軸交線段AB于點(diǎn)G，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．按要求補(bǔ)全圖形并完成：①BG·AE＝___________；②求∠EOG的度數(shù)．33．如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過AC的中點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接BD．（1）求證：AB=BC；（2）求證：DE?AB=AD?BD．34．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線相交于點(diǎn)C．(1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖，現(xiàn)將直角∠FCE繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)始終保持直角邊CF與軸、軸分別交于點(diǎn)F、點(diǎn)D，直角邊CE與軸交于點(diǎn)E.①在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否會(huì)發(fā)生變化?若改變，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出這個(gè)值.②在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ODE相似?若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.35．已知拋物線W1與y軸交于點(diǎn)C，其關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線為W2：y＝x2-mx+n，且W2經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0）．（1）求拋物線W1的解析式；（2）將拋物線W1沿x軸向右平移得到拋物線W3，拋物線W3與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)D和點(diǎn)E（D在E的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)Q，如果滿足△AOC與△DOQ相似，請(qǐng)求出平移后拋物線W3的表達(dá)式．36．如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝8，過BC邊上一點(diǎn)P，作∠DPE＝60°，分別與邊AB，AC相交于點(diǎn)D與點(diǎn)E．（1）在圖中找出與∠EPC始終相等的角，并說明理由；（2）若△PDE為正三角形時(shí)，求BD+CE的值；（3）當(dāng)DE∥BC時(shí)，請(qǐng)用BP表示BD，并求出BD的最大值．37．已知四邊形是矩形．（1）如圖1，分別是上的點(diǎn)，垂直平分，垂足為，連接．①求證：；②若，求的大??；（2）如圖2，，分別是上的點(diǎn)，垂直平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，若，直接寫出的長(zhǎng)．38．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊上動(dòng)點(diǎn)(不與重合)．連接過點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證：；連接，試探究當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，，請(qǐng)證明你的結(jié)論．39．如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，連接，且．（1）證明：；（2）若，當(dāng)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與重合），且是等腰三角形，求此時(shí)的長(zhǎng)．40．在正方形ABCD中，BC＝2，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連接DM，DM與AC交于點(diǎn)P．（1）求PD的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)E在DC上，點(diǎn)F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝，求CE的長(zhǎng)．41．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2-2ax-3a交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接BC，且OB=OC．

（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，D為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過D做DT⊥x軸交x軸于T，交BC于點(diǎn)K，設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，線段DK的長(zhǎng)為d，求d與m之間的關(guān)系式；（3）如圖3，在（2）的條件下，D在對(duì)稱軸右側(cè)，Q、H為直線DT上點(diǎn)，Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，H在第四象限內(nèi)，且QD=TH，過D做x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，連接EQ交拋物線于點(diǎn)R，連接RH，tan∠ERH=2，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．42．如圖，拋物線和直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上，直線與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．以為邊作矩形，使點(diǎn)在直線上．①當(dāng)為何值時(shí)，矩形的面積最??？并求出最小面積；②直接寫出當(dāng)為何值時(shí)，恰好有矩形的頂點(diǎn)落在拋物線上．43．如圖，的一邊經(jīng)過的圓心，另一邊與交于點(diǎn)，作的平分線與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：（2）若．①若，則的長(zhǎng)為______；②的最大值為______．44．在中，，，點(diǎn)在所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作（、、按逆時(shí)針方向）．（1）如圖，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，交于．①求證：；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，的反向延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；（3）若點(diǎn)在的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．三、填空題45．有一邊是另一邊的倍的三角形叫做幸運(yùn)三角形，這兩邊中較長(zhǎng)邊稱為幸運(yùn)邊，這兩邊的夾角叫做幸運(yùn)角．如圖，是幸運(yùn)三角形，為幸運(yùn)邊，為幸運(yùn)角，，點(diǎn)B，C在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為．當(dāng)是直角三角形且時(shí)，則k的值為_______．46．如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．若是以為腰的等腰三角形，則的長(zhǎng)為________．47．如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點(diǎn)E在邊CD或延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝_____．48．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將等邊沿過點(diǎn)的直線折疊，該直線與直線交于點(diǎn)，使點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，且折痕為則的長(zhǎng)為______．49．如圖，ACM中，ABC、BDE和DFG是等邊三角形，點(diǎn)E、G在ACM邊CM上，設(shè)ABC，BDE和DFG的面積分別為S1、S2、S3，若S1=8，S3=2，S2=________．50．圖2、圖3是起重機(jī)平移物體示意圖．在固定機(jī)架BAM中，AB＝5m，tan∠BAM＝．吊桿BCE由伸縮桿BC與6m長(zhǎng)的直桿CE組成，在機(jī)架BAM與直桿CE間有一根9m長(zhǎng)的支撐桿AD，且CD＝2m．假設(shè)起重機(jī)吊起物體準(zhǔn)備平移時(shí)，點(diǎn)E、C、B恰好在同一水平線上（圖2），在物體平移過程中始終保持EB∥AM（AM處在水平位置）．（1）如圖2，當(dāng)準(zhǔn)備平移物體時(shí)，伸縮桿BC＝_____m．（2）在物體沿EB方向平移過程中，當(dāng)∠ADE＝60°時(shí)，物體被平移的距離為_____m．參考答案1．B分析：由余角的定義可推出，并不能說明，說明①錯(cuò)誤；再根據(jù)，可推出，進(jìn)而可證明，說明②正確；連接BD，由三角形中位線可知，再由可進(jìn)一步推出，即，即，說明④正確；在中，，即可求出CG長(zhǎng)度，即可求出AB=2，說明③正確．【詳解】解：∵，∴，∴不能說明，故①錯(cuò)誤．∵，∴，又∵∴，故②正確．如圖連接BD，由題意可知，∵G和F分別為CD和BC的中點(diǎn)，∴，∵∴，即，∴在中，，即,解得∴，故③正確．∵，∴，即，故④正確．綜上正確的有②③④共3個(gè)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，余角，三角形中位線，三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，綜合性強(qiáng)．能夠連接常用的輔助線和證明是解答本題的關(guān)鍵．2．A分析：由是等邊三角形，＝＝＝60°，由沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)AD＝x，CD=DF＝，由BE=2，BC＝，可得CE＝，可證，利用性質(zhì)，即，解方程即可【詳解】解：∵是等邊三角形，∴＝＝＝60°，∵沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，∴，∴＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，∵AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)＝x，＝DF＝，∵BE=2，BC＝，∴CE＝，∵＝，＝60°，∴＝120°，＝120°，∴＝，∵＝，∴，∴，即，解得：，使等式有意義，∴＝，故選擇：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．3．B分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，根據(jù)勾股定理得到AE=，設(shè)PD′=PD=x，則AP=6-x，當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AD′P=90°時(shí)，②當(dāng)∠APD′=90°時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解之即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，

∴AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=CE=3，

∴AE=，

∵沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)D′處，

∴PD′=PD，

設(shè)PD′=PD=x，則AP=6-x，

當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)，

①當(dāng)∠AD′P=90°時(shí)，

∴∠AD′P=∠B=90°，

∵AD∥BC，

∴∠PAD′=∠AEB，

∴△ABE∽△PD′A，

∴，

∴，

∴x=，

∴PD=；

②當(dāng)∠APD′=90°時(shí)，

∴∠APD′=∠B=90°，

∵∠PAE=∠AEB，

∴△APD′∽△EBA，

∴，

∴，

∴x=，

∴PD=，

綜上所述，當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)，PD=或，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．4．B分析：連接，證明四邊形是矩形，再證明，求得與的長(zhǎng)度，由勾股定理求得與，再由矩形的周長(zhǎng)公式求得結(jié)果．【詳解】解：連接，四邊形是矩形，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，矩形是中心對(duì)稱圖形，過矩形的中心．過點(diǎn)，且，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，，設(shè)，則，，，解得，或4，或4，當(dāng)時(shí)，，則，，四邊形的周長(zhǎng)；同理，當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵在于證明四邊形是矩形．5．B分析：連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，通過角的計(jì)算找出∠AOE＝∠COF，結(jié)合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再由，得出，可得出CF?OF的值，進(jìn)而得到k的值．【詳解】如圖，連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，∵由直線AB與反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知A、B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，∴AO＝BO，又∵AC＝BC，∴CO⊥AB，∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE∽△COF，∴，∵，∴，∴CF＝2AE，OF＝2OE，又∵AE?OE＝3，∴CF?OF＝|k|＝4×3＝12，∴k＝±12，∵點(diǎn)C在第二象限，∴k＝?12，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CF?OF＝12．解決該題型題目時(shí)，巧妙的利用了相似三角形的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)邊的比例，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出結(jié)論．6．（1）AM＝BM；（2）；（3）①AC＝；②≤≤．分析：（1）利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，AM即可．（3）①證明△BCM∽△BAC，推出由此即可解決問題．②證明△PFA′∽△MFC，推出，因?yàn)镃M=5，推出即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖①中，∵△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，∴MN垂直平分線段BC，∴CN＝BN，∵∠MNB＝∠ACB＝90°，∴MN∥AC，∵CN＝BN，∴AM＝BM．故答案為：AM＝BM．（2）如圖②中，∵CA＝CB＝6，∴∠A＝∠B，由題意MN垂直平分線段BC，∴BM＝CM，∴∠B＝∠MCB，∴∠BCM＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCM∽△BAC，∴，∴，∴BM＝，∴AM＝AB﹣BM＝10﹣，∴；（3）①如圖③中，由折疊的性質(zhì)可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，∵∠ACB＝2∠A，∴∠BCM＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCM∽△BAC，∴∴，∴BM＝4，∴AM＝CM＝5，∴，∴AC＝．②如圖③﹣1中，∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，∴△PFA′∽△MFC，∴，∵CM＝5，∴，∵點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，∴≤PA′≤，∴≤≤．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．7．（1）PE＝t﹣7（7＜t＜12）；（2）t的值是秒或4秒；（3）當(dāng)≤t≤3時(shí)，S＝t2﹣12t+36；當(dāng)3＜t≤4時(shí)，S＝9；當(dāng)7≤t＜12時(shí)，S＝；（4）t的值為或．分析：（1）根據(jù)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑和速度可得：當(dāng)點(diǎn)P在線段EA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PE＝t﹣AD﹣DE，可得PE的長(zhǎng)；（2）分兩種情況：①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，如圖2，根據(jù)AP+PB＝AB，列方程可得t的值；②當(dāng)3＜t≤7時(shí)，如圖3，根據(jù)DP+PE＝DE，列方程可得t的值；（3）分三種情況：①當(dāng)≤t≤3時(shí)，如圖4，S就是正方形的面積；②當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖5，S就是正方形的面積；③當(dāng)7≤t＜12時(shí)，如圖1，可利用面積差得S的值即可；（4）分兩種情況：①當(dāng)S△EFC：S四邊形ABFE＝1：2時(shí)，即S△EFC：S△ABC＝1：3，先求得FC＝4，由KN∥FC，得，列方程可得t的值；②如圖7，當(dāng)S△AEK：S四邊形BKEC＝1：2時(shí)，即S△AEK：S△ABC＝1：3，同理得AK＝4，由FN∥AK，得，列方程可得t的值．【詳解】解：（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，∴AD＝AB＝3，DE＝BC＝4，當(dāng)點(diǎn)P在線段EA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PE＝t﹣AD﹣DE＝t﹣7（7＜t＜12）；（2）分兩種情況：①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，如圖2，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，∴，∴PN＝，∵四邊形PNQM是正方形，∴PN＝PB＝，∵AP+PB＝AB，∴t+＝6，∴t＝，②當(dāng)3＜t≤7時(shí)，如圖3，∵PE＝PQ＝BD＝3，∵DP+PE＝DE，∴t﹣3+3＝4，∴t＝4，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N落在AC邊上時(shí)，t的值是秒或4秒；（3）分三種情況：①當(dāng)≤t≤3時(shí)，如圖4，S＝PB2＝（6﹣t）2＝t2﹣12t+36；②當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖5，S＝PQ2＝32＝9；③當(dāng)7≤t＜12時(shí)，如圖1，由題意得：PE＝t﹣7，∴AP＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴，∴，∴PQ＝，∵△PNF∽△CBA，∴＝，∴＝，∴FN＝，S＝PQ2﹣PN?NF＝﹣×××（t﹣2）2＝；（4）分兩種情況：①當(dāng)S△EFC：S四邊形ABFE＝1：2時(shí)，即S△EFC：S△ABC＝1：3，∴S△ABC＝3S△EFC，如圖6，過E作EG⊥BC于G，∴×6×8＝3××3×FC，∴FC＝＝，由（2）得：PK＝t，同理得：AK＝，∴KN＝PN﹣PK＝6﹣t﹣t＝6﹣，KE＝5﹣，∵KN∥FC，∴，∴KN?EC＝KE?FC，∴5（6﹣）＝，t＝；②如圖7，當(dāng)S△AEK：S四邊形BKEC＝1：2時(shí)，即S△AEK：S△ABC＝1：3，∴S△ABC＝3S△AEK，∴×6×8＝3××4×AK，∴AK＝4，由（3）知：FN＝，∴FM＝MN﹣FN＝﹣＝，∵sin∠C＝，∴FC＝＝，∴EF＝5﹣FC＝，∵FN∥AK，∴，∴FN?AE＝EF?AK，∴5×＝4×，∴t＝；綜上所述，t的值為或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了相似形的綜合應(yīng)用、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫出圖形，此外要注意分類討論思想在解題中的運(yùn)用，分類時(shí)做到不重復(fù)，不遺漏．8．（1）見解析；（2）；（3）或分析：（1）根據(jù)ASA證明；（2）由（1）得，由折疊得，進(jìn)一步證明，由勾股定理得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可；（3）如圖，連結(jié)HE，分點(diǎn)H在D點(diǎn)左邊和點(diǎn)在點(diǎn)右邊兩種情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出DE的長(zhǎng)，再由勾股定理得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】（1）如圖，由折疊得到，，．又四邊形ABCD是正方形，，，，又正方形，．（2）如圖，連接，由（1）得，，由折疊得，，．四邊形是正方形，，，又，，．，，，．，，（舍去）．（3）如圖，連結(jié)HE，由已知可設(shè)，，可令，①當(dāng)點(diǎn)H在D點(diǎn)左邊時(shí)，如圖，同（2）可得，，，由折疊得，，又，，，又，，，，，，．，，，（舍去）．②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，如圖，同理得，，同理可得，可得，，，，（舍去）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．．9．（1）①見解析；②；（2）當(dāng)或2或時(shí)，是等腰三角形．分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到邊相等，對(duì)角相等，根據(jù)已知條件證明出，得到，由，，得到AC是EF的垂直平分線，得到，，再根據(jù)已知條件證明出，算出面積之比；（2）等腰三角形的存在性問題，分為三種情況：當(dāng)時(shí)，，得到CE=；當(dāng)時(shí)，，得到CE=2；當(dāng)時(shí)，，得到CE=．【詳解】（1）①證明：在菱形中，，，，，∴（ASA），∴．②解：如圖1，連結(jié)．由①知，，．在菱形中，，∴，設(shè)，則．，∴，∴，∴．

（2）解：在菱形中，，，，同理，，∴．是等腰三角形有三種情況：①如圖2，當(dāng)時(shí)，，，，，．②如圖3，當(dāng)時(shí)，，，，∴．③如圖4，當(dāng)時(shí)，，，，．綜上所述，當(dāng)或2或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形中等腰三角形的存在性問題，解決本題的關(guān)鍵在于畫出三種情況的等腰三角形（利用兩圓一中垂），通過證明三角形相似，利用相似比求出所需線段的長(zhǎng)．10．（1）；（2）；（3）分析：（1）利用的面積為2，求出的長(zhǎng)度，得到的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求的解析式；（2）利用，過作軸于，證明，得到，，由直線解析式，求得的坐標(biāo)，從而得到長(zhǎng)度，再證明四邊形為矩形，得到的坐標(biāo)；（3）利用，得到，，，四點(diǎn)共圓，則，，又，轉(zhuǎn)化得到，在上取一點(diǎn)，使，構(gòu)造出，利用兩個(gè)角的正切值相等，列出關(guān)于參數(shù)的方程，求出參數(shù)，再利用直線和直線相交，列出二元一次方程組，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：（1），，，，，，設(shè)直線的解析式為：，代入點(diǎn)，得，，直線的解析式為：；（2）如圖1，過作軸于，軸，，四邊形為矩形，，由題可得，，，又，，在與中，，，，令，則，，，，；（3）如圖2，連接，取中點(diǎn)，連接，，則在中，，同理，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，，，，，，，，，又，，在上取一點(diǎn)，使，則，，，，，則，，，，，，解得，，直線解析式為：，，則直線解析式為：，聯(lián)立，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法，一線三等角模型構(gòu)造全等，四點(diǎn)共圓，三角函數(shù)，交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，其中轉(zhuǎn)化角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．11．（1）；（2）．分析：（1）根據(jù)，可設(shè)，則，，再證明，由相似三角形性質(zhì)即可用k表示出BF，從而求得比值；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由可得，再證，從而，設(shè)，由角平分線性質(zhì)可得：，，設(shè)，則，由列方程即可求出，再根據(jù)即可求出比值．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，設(shè)，則，，又，，，∴，，∴，，∴，；（2）如解圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，∴，設(shè)，平分，，，設(shè)，則，，解得而，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合問題，也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)和角平分線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．難點(diǎn)是構(gòu)造垂直利用角平分線性質(zhì)得線段相等并利用相似進(jìn)行求解．12．（1）；（2）；（3）；（4）(1，15)，(1，－5)，(1，)，(1，)分析：（1）將A(4，1)，C(0，－1)分別代入函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合對(duì)稱軸表達(dá)式列方程組求出參數(shù)即可．

（2）根據(jù)條件，分別構(gòu)造三角形，通過相似求得點(diǎn)B坐標(biāo)，用待定系數(shù)法球直線AB表達(dá)式．

（3）過點(diǎn)P作平行于y軸的直線，將分為同底的兩個(gè)三角形，根據(jù)三角形面積為4，建立等量關(guān)系計(jì)算就可．

（4）構(gòu)造一線三垂直模型，根據(jù)三角形相似求解即可．【詳解】解：(1)由題意列方程組解得：，，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為(2)作AE⊥l于點(diǎn)E，BF⊥l于點(diǎn)F由題意，AE＝4－1＝3∵AD：BD＝3：5∴AE：BF＝3：5∴BF＝5∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1－5＝－4把x＝－4代入，得y＝5∴B(－4，5)將A(4，1)，B(－4，5)代入得解得，m＝3∴直線AB的關(guān)系式為…(3)設(shè)P(x，)作PM∥y軸交直線AB于點(diǎn)M，則M(x，)∴PM＝△ABP的面積＝＝＝4解得，，將，分別代入，解得，∴(，)，(，)…（4）設(shè)第一種情況：當(dāng)，過點(diǎn)B作y軸的平行線，過點(diǎn)Q、點(diǎn)A作x軸平行線，分別相交于點(diǎn)G、點(diǎn)N如下圖：易知∴，即解得：∴第二種情況：當(dāng)，過點(diǎn)A作y軸的平行線，過點(diǎn)B、點(diǎn)Q作x軸平行線，分別相交于點(diǎn)G、點(diǎn)N，如下圖：∵∴，即解得：∴第三種情況：當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)Q作x軸平行線，過點(diǎn)B、點(diǎn)A作y軸平行線，分別相交于點(diǎn)G、點(diǎn)N，如下圖：∵∴，即化簡(jiǎn)得：解得：，∴,．綜上，滿足題意的Q點(diǎn)坐標(biāo)有4個(gè)，分別是：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解析式求法，以及點(diǎn)的存在性問題，三角形相似等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，綜合度很高，能夠根據(jù)題意畫出相關(guān)圖形是解題關(guān)鍵．13．（1）；；（2）證明見解析；（3）滿足條件的點(diǎn)有，．分析：（1）將A（4，0），B（0，-4）的坐標(biāo)代入y=ax2+b，利用待定系數(shù)法得拋物線解析式，再將點(diǎn)E（4，-1），C（0，-3）的坐標(biāo)代入y=mx+n可得問題的答案；（2）設(shè)點(diǎn)，，如圖，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，從而得PF、PD、PC、FC的長(zhǎng)度，從而得到答案；（3）方法一：設(shè)與的交點(diǎn)為，設(shè)，①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)P上方時(shí)，根據(jù)三角形面積公式可得答案；②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)P下方時(shí)，根據(jù)三角形面積公式可得答案．方法二：如圖，分別過點(diǎn)，作，軸，垂是為，，交于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理及面積法即可求出，易證即可求出；得出過點(diǎn)與直線平行，且與直線距離為的直線有兩條：或，再分別與拋物線聯(lián)立求解即可．【詳解】解：（1）將，的坐標(biāo)代入得，∴拋物線的解析式為設(shè)直線為，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入得，∴直線的解析式是；（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，，所以為定值；（3）解：方法一：設(shè)與的交點(diǎn)為，設(shè)①如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，，∵，∴，解得，，（負(fù)根舍去），∴，即，②如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，，∵，∴，解得：，（負(fù)根舍去）∴，即，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有，．方法二：如圖，分別過點(diǎn)，作，軸，垂是為，，交于點(diǎn)，在中，，∴∵∴，即，∵，，∴，∴，即，解得，∴過點(diǎn)與直線平行，且與直線距離為的直線有兩條：或，依題意得解得：（負(fù)根舍去）∴，，∴解得，（負(fù)根舍去）∴，，∴，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有，．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式、由坐標(biāo)得線段長(zhǎng)度、相似三角形的判定與性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵．14．（1）見解析；（2）α＝2∠BAC，見解析；（3）分析：（1）首先證明四邊形ACEC′是平行四邊形，再由AC＝AC′即可證明結(jié)論．（2）如圖3中，過點(diǎn)A作AE⊥C′C于點(diǎn)E，首先證明DC′∥CB，DC′＝BC，推出四邊形BCC′D是平行四邊形，再證明∠BCC′＝90°即可得出結(jié)論．（3）過點(diǎn)A作AE⊥CC′于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，證明△ACE∽△CBF，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出CE的長(zhǎng)，則可求出CC'的長(zhǎng)，可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝∠CAC′＝∠AC′D，∴AC′∥EC，∵∠CAC′＝∠AC′D，∴AC∥EC′，∴四邊形ACEC′是平行四邊形，∵AC＝AC′，∴四邊形ACEC′是菱形．（2）解：當(dāng)α＝2∠BAC時(shí)，四邊形BCC′D是矩形．理由：如圖3中，過點(diǎn)A作AE⊥C′C于點(diǎn)E，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得AC′＝AC，∴∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠ABC，∠AEC＝90°，∵BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∴∠CAE＝∠BCA，∴AE∥BC．同理，AE∥DC′，∴BC∥DC′，又∵BC＝DC′，∴四邊形BCC′D是平行四邊形，又∵AE∥BC，∠AEC＝90°，∴∠BCC′＝180°﹣90°＝90°，∴四邊形BCC′D是矩形．（3）過點(diǎn)A作AE⊥CC′于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，∵BA＝BC，∴CF＝AF＝AC＝×10＝5，在Rt△BCF中，BF＝＝12，在△ACE和△CBF中，∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，∴△ACE∽△CBF，∴，即，解得CE＝，∵AC＝AC'，AE⊥CC'，∴CC'＝2CE＝2×＝，∴BD＝．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題．考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．15．（1）拋物線解析式：（2）證明見解析，值為：（3）點(diǎn)P坐標(biāo)．分析：（1）通過設(shè)，則，，對(duì)稱軸得到①，將A,B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式：，①②③即可求a,b,c得到答案．（2）過D點(diǎn)作DG//x軸，交線段AC于G點(diǎn)，過F點(diǎn)作FT//OA，交射線AD于T點(diǎn)，過C點(diǎn)作CQ//OA，交射線AD于Q點(diǎn)，根據(jù)相似三角形性質(zhì)結(jié)合雙A型模型求出、即可解答．（3）利用三垂直模型構(gòu)造以AC為直角邊、∠ACS=90°，的△ACS，則P在以AS為直徑的圓上，再求出拋物線到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)坐標(biāo)即可解答．【詳解】解：（1）設(shè)，∵∴∴，對(duì)稱軸∴①將A,C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式：

∴①②③聯(lián)立得：∴拋物線解析式：．（2）如圖，過D點(diǎn)作DG//x軸，交線段AC于G點(diǎn)，過F點(diǎn)作FT//OA，交射線AD于T點(diǎn)，過C點(diǎn)作CQ//OA，交射線AD于Q點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∴，∵CQ//x軸，∴∠Q=∠QAO，又∵，∴，∴AC=CQ，∴，同理可得：，由①知：，，∴利用勾股定理得：，∴，∴，∴為定值，為：（3）如解（3）圖，過C點(diǎn)作CS⊥AC，在CS上取S點(diǎn)，取CS=2AC，則，故P點(diǎn)在以AS為直徑的圓上，∵，∴，，過C點(diǎn)作ML⊥y軸，過點(diǎn)A、點(diǎn)S作ML的垂線AM、SL，垂足分別為M、L，∴∠MAC=∠SCL，∴，∴，又∵，，∴，，∴點(diǎn)S坐標(biāo)為（6，-1），又∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0）∴取AS中點(diǎn)R，點(diǎn)R坐標(biāo)為，即設(shè)，則，整理得：，∴，，，，∵當(dāng)時(shí)，故舍去，∵當(dāng)時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形與二次函數(shù)的的知識(shí)，是一道綜合性的壓軸題，能熟練掌握相似變換以及構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切无D(zhuǎn)化線段關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．16．（1）CG=CF，CF⊥CG；（2）成立，CG=CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面積最大值，最小值．分析：（1）觀察猜想

由直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半再結(jié)合30°直角三角形三邊比即可證明；（2）類比探究

先證明△BCD∽△ACE，再證明△ACG∽△BCF，可得結(jié)論；

（3）問題解決

延長(zhǎng)BC至H，使BC=CH=1，連接DG，由三角形中位線定理結(jié)合三角形面積公式可求△CFG的面積=，求出DH最小值即可．【詳解】（1）觀察猜想

∵在Rt△ABC中與Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，

∴AE=2DC=2，AC=BC=，AB=2BC，∠CDE=60°，

∴BC=1，AB=2，

∵點(diǎn)F，G分別是BD，AE的中點(diǎn)，

∴CG=AE=，CG=AG，CF=AB=1，CF=AF，

∴CG=CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°，

∴∠FCG=90°，

∴CF⊥CG，

故答案為：CG=CF，CF⊥CG；

（2）類比探究

仍然成立，

理由如下：

∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，

∴∠BCD=∠ACE，AC=BC，CE=CD，

∴，

∴△BCD∽△ACE，

∴，∠CAE=∠CBD，

∵點(diǎn)F，G分別是BD，AE的中點(diǎn)，

∴BF=BD，AG=AE，

∴∴△ACG∽△BCF，

∴，∠BCF=∠ACG，

∴CG=CF，∠ACB=∠FCG=90°，

∴CF⊥CG；（3）問題解決

如圖，延長(zhǎng)BC至H，使BC=CH=1，連接DH，

∵點(diǎn)F是BD中點(diǎn)，BC=CH=1，

∴CF=DH，

由（2）可知，CF⊥CG，

∴△CFG的面積=×CF×CG=CF2，

∴△CFG的面積=，

∴當(dāng)DH取最大值時(shí)，△CFG的面積有最大值，當(dāng)DH取最小值時(shí)，△CFG的面積有最小值，

∵CD=，

∴點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓上，

∴當(dāng)點(diǎn)D在射線HC的延長(zhǎng)線上時(shí)，DH有最大值為+1，

∴△CFG的面積最大值=，∴當(dāng)點(diǎn)D在射線CH長(zhǎng)線上時(shí)，DH有最小-1，

∴△CFG的面積最小值=．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積公式，證明△ACG∽△BCF是本題的關(guān)鍵．17．（1）AF=DF，AF⊥DF，證明見解析；（2），證明見解析；（3）．分析：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．證明△AHF≌△FJD（SAS），可得結(jié)論；（2）如圖②中，結(jié)論：．證明△AHF∽△FJD，可得結(jié)論；（3）如圖③中，結(jié)論：，證明方法類似（2）．【詳解】解：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，∴BH=CH，CJ=JE，∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ=AH，F(xiàn)H=JE=DJ，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF≌△FJD（SAS），∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；（2）如圖②中，結(jié)論：．理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=120°，∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，∴，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF；（3）如圖③中，結(jié)論：，理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=α，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=180°-α，∴CJ=JE，，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．18．（1）；（2）存在，或；（3）①；②963.3元．分析：（1）先由矩形的性質(zhì)得，再由三角形面積公式求解即可；（2）由折疊的性質(zhì)得：，再證，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解；（3）①先證得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)面積公式列式求解；②根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，∴．∵，∴．∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴故答案為：；（2）存在，理由如下：∵四邊形是矩形，∴．∵Q是的中點(diǎn)，∴．由折疊的性質(zhì)得：，當(dāng)點(diǎn)P、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，，∴．∵，∴．∵∵，∴，∴，即，解得：或；（3）①根據(jù)題意做出輔助線，如圖所示．由題意得：．∵，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴．由，則．∵，∴，∴，∴；②由①知，，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最小值為，∴最低造價(jià)為（元），∴四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低費(fèi)用約為963.3元．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、梯形面積公式、三角形面積公式以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．19．（1）21；（2）存在，6或3；（3）802.75元分析：（1）先由矩形的性質(zhì)得CD∥AB，BC＝AD＝6，再由三角形面積公式求解即可；（2）由折疊的性質(zhì)得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，再證△ADP∽△PCQ，得，解得DP＝6或DP＝3；（3）如圖