高中數(shù)學(xué)必修三統(tǒng)計概率大題

必修三統(tǒng)計概率

解答題（共26小題）

1.某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表:

年份2007200820092010201120122013

年份代號t1234567

人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9

（I）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（U）利用（I）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均

純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式

n__

，,E（t.-7）（y--y）八一一

分別為：b=izi___________________，a=y~bt-

n-9

￡（t「t）2

i=l

2.對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進展統(tǒng)計，隨機抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的

次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組頻數(shù)頻率

|10,15)100.25

[15,20)24n

[20,25)mP

[25,30]20.05

合計M1

（I）求出表中M,p及圖中a的值；

（H）假設(shè)該校高三學(xué)生有240人，試估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10,15）內(nèi)的人數(shù)；

（?。┰谒颖局?，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25,

30）內(nèi)的概率.

3.某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如以以下列圖，其中成績分組區(qū)間是：[50,60）,[60,70）,

[70,80）,[80,90）,[90,100].

(1)求圖中a的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的平均分；

(3)假設(shè)這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（x）與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（y）之比方表所示，求數(shù)學(xué)成

績在[50,90）之外的人數(shù).

分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)亙

x：y1：12：13：44：5

4.某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員，對他們進展年齡狀況和承受教育程度（學(xué)歷）的訪

學(xué)歷35歲以下35?50歲50歲以上

本科803020

研究生X20y

（I）用分層抽樣的方法在35?50歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個容量為5冰.

中任取2人，求至少有1人的學(xué)歷為研究生的概率；50M*0S090100ca

（口）在這個公司的專業(yè)技術(shù)人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個人，其中35歲以下48人，50歲以上10

人，再從這N個人中隨機抽取出1人，此人的年齡為50歲以上的概率為互，求x,y的值.

39

5.為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下:

性別男女

是否需要志愿

需要4030

不需要160270

（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)老年人中，需要志愿幫助的老年人的比例說明理由.附:

2

n(ad-be)p(k2>k)0.00.0100.001

R2_

'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)k3.8416.63510.828

6.某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制

頻率分布直方圖(如以以下列圖)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50],[50,60]，…，[80,90],[90,100]

(1)求頻率分布圖中a的值；

(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；

(3)從評分在[40,60]的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在[40,50]的概率.

7.某網(wǎng)站針對2014年中國好聲音歌手A,B,C三人進展網(wǎng)上投票，結(jié)果如下：

觀眾年齡支持A支持B支持C

20歲以下200400800

20歲以上(含20歲)100100400

(1)在所有參與該活動的人中，用分層抽樣的方法抽取n人，其中有6人支持A,求n的值.

(2)在支持C的人中，用分層抽樣的方法抽取6人作為一個總體，從這6人中任意選取2人，求恰有1人在20歲以

下的概率.

8.某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組；第一組[13,

14),第二組[14,15),第五組[17,18],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

(1)假設(shè)成績大于或等于14秒且小于16秒認(rèn)為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；

(2)設(shè)m,n表示該班某兩位同學(xué)的百米測試成績，且m,ne[13,14)U[17,18],求事件"|m-n|>l"的概率.

9.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品A的直徑均位于區(qū)間[110,118]內(nèi)(單位：mm).假設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的直徑位于區(qū)間[110,112],

[112,114],[114,116],[116,118]內(nèi)該廠可獲利分別為10,20,30,10(單位：元)，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品A中隨

機100件測量它們的直徑，得到如以以下列圖的頻率分布直方圖.

(I)求a的值，并估計該廠生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均利潤；

(U)現(xiàn)用分層抽樣法從直徑位于區(qū)間[112,116)內(nèi)的產(chǎn)品中隨機抽取一個容量為5的樣

本，再從樣本中隨機抽取兩件產(chǎn)品進展檢測，求兩件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間[114,116)內(nèi)的概率.

10.某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180),)180,200),[200,200),[220.240),[240,260),

[260,280),[280,300)分組的頻率分布直方圖如圖.

(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

(3)在月平均用電量為，[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取

11戶居民，則月平均用電量在[220.240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶

12.某校在一次考試中，5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和地理成績?nèi)绫恚?/p>

學(xué)生的編號i12345

數(shù)學(xué)成績X8075706560

地理成績y7066686462

(1)根據(jù)上表，利用最小二乘法，求出y關(guān)于x的線性回歸方程j=Rx+；〔其中個=0.36)；

(2)利用(1)中的線性回歸方程，試估計數(shù)學(xué)90分的同學(xué)的地理成績(四舍五入到整數(shù))；

(3)假設(shè)從五人中選2人參加數(shù)學(xué)競賽，其中1、2號不同時參加的概率是多少

13.為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下，隨時間變化繁殖情況，得如下實驗數(shù)據(jù)：

天數(shù)t(天)34567

繁殖個數(shù)y(千個)).53k.―仁

(1)求y關(guān)于t的線性回歸方藕一

(2)利用11)中的回歸方程，預(yù)測t=8時，細(xì)菌繁殖個數(shù).

￡(口-t)-y)

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：b=------------------------,a=y-bt.

￡Ct-7)2

i=l

14.某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖，其中成績分組區(qū)間如下：

組號第一組第二組第三組第四組第五組

分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

(I)求圖中a的值；

(口)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分；

(印)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學(xué)生，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽取2名，求其

中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率

15.20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖：

(I)求頻率分布直方圖中a的值；in)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學(xué)生人數(shù)；

(m)從成績在[50,70)的學(xué)生任選2人，求此2人的成績都在[60,70)中的概率.

16.某中學(xué)高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽?總分值100分)的莖葉圖如

圖，其中甲班學(xué)生的平均分是85,乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83.

(1)求x和y的值；(2)計算甲班7位學(xué)生成績的方差$2；

(3)從成績在90分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生，求甲班至少有一名學(xué)生的概率.

17.某單位N名員工參加"社區(qū)低碳你我他”活動.他們的年齡在25歲至50歲之間.按年齡分組：第1組[25,30),

第2組[30,35),第3組[35,40),第4組[40,45),第5組[45,50],得到的頻率分布直方圖如以以下列圖.下表是

年齡的頻率分布表.

區(qū)間[25,30)[30,35][35,40][40,45][45,50]

人數(shù)25ab

(1)求正整數(shù)a,b,N的值；(2)現(xiàn)要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1,2,

3組的人數(shù)分別是多少

(3)在12)的條件下，從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動，求恰有1人在第3組的概率.

18.某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民，根據(jù)這50位市民對兩部門的評分(評分越高說

明市民的評價越高)繪制的莖葉圖如圖：

(I)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)；

(口)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率；

(UI)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.

19.某校夏令營有3名男同學(xué)，A、B、C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年級情況如表：

一年級二年級三年級

男同學(xué)ABC

女同學(xué)XYZ

現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性一樣)

(I)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；

(口)設(shè)M為事件"選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)"，求事件M發(fā)生的概率.

20.設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運發(fā)動人數(shù)分別為27,9,18,先采用分層抽取的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運

發(fā)動組隊參加比賽.

(I)求應(yīng)從這三個協(xié)會中分別抽取的運發(fā)動的人數(shù)；

(H)將抽取的6名運發(fā)動進展編號，編號分別為Ai,A2,A3,A4,A5,A6,現(xiàn)從這6名運發(fā)動中隨機抽取2人參

加雙打比賽.

(i)用所給編號列出所有可能的結(jié)果；

(ii)設(shè)A為事件"編號為A5和A6的兩名運發(fā)動中至少有1人被抽到"，求事件A發(fā)生的概率.

21.某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)

參加書法社團未參加書法社團

參加演講社團85

未參加演講社團230

（I）從該班隨機選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加一個社團的概率；

（H）在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)Ai,A2,A3,A4,As,3名女同學(xué)Bi,B2,

B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，求Ai被選中且Bi未被選中的概率.

22.對一批共50件的某電器進展分類檢測，其重量（克）統(tǒng)計如下：

質(zhì)量段[80,85）[85,90）[90,95][95,100]

件數(shù)5a15b

規(guī)定重量在82克及以下的為"A"型，重量在85克及以上的為"B"型,該批電器有"A"型2件

（I）從該批電器中任選1件，求其為"B"型的概率；

（口）從重量在[80,85）的5件電器中，任選2件，求其中恰有1件為"A"型的概率.

23.如以以下列圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績.乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法

確認(rèn)，假設(shè)這個數(shù)字具有隨機性，并在圖中以a表示.

（I）假設(shè)甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績一樣，求a的值；

（II）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率；

（田）當(dāng)a=2時，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不超過2分

的概率.

24.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分

如下：

A地區(qū)：62738192958574645376

78869566977888827689

B地區(qū)：73836251914653736482

93486581745654766579

（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不

要求計算出具體值，給出結(jié)論即可）；

（2）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：

滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

記事件C："A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級〃，假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立，根據(jù)所

給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的頻率，求C的概率.

25.某小組共有A、B、C、D、E五位同學(xué)，他們的身高（單位：米）以及體重指標(biāo)（單位：千克/米2）如下表所示:

ABCDE

身高1.691.731.751.791.82

體重指標(biāo)19.225.118.523.320.9

（I）從該小組身上下于1.80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率

（H）從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9）中的概率.

26.某校從參加某次知識競賽的同學(xué)中，選取60名同學(xué)將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成[40,50）,[50,60）,[60,

70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]六組后，得到局部頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，答復(fù)以下問題.

（I）求分?jǐn)?shù)在[70,80）內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

（口）從頻率分布直方圖中，估計本次考試成績的中位數(shù)；

〔?。┘僭O(shè)從第1組和第6組兩組學(xué)生中，隨機抽取2人，求所抽取2人成績之差的絕對值大于10的概率.

2015年11月17日必修三統(tǒng)計概率

參考答案與試題解析

一.解答題（共26小題）

1.（2014?黑龍江）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份2007200820092010201120122013

年份代號t1234567

人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9

(I)求y關(guān)于t的線性回歸方程；

CH)利用(I)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)

2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

n__

￡(y-t)-y)

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=------------------------,a=y-bt.

￡(t「T)2

i=l

【考點】線性回歸方程.

【專題】計算題；概率與統(tǒng)計.

【分析】(I)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法可得橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，橫標(biāo)和縱標(biāo)的積的和，與橫標(biāo)的平方和，

代入公式求出b的值，再求出a的值，寫出線性回歸方程.

(H)根據(jù)上一問做出的線性回歸方程，代入所給的t的值，預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入，這是一個

估計值.

【解答】解：(I)由題意，t=-x(1+2+3+4+5+6+7)=4,

7

y=lx(2.9+33+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

7

.工(-3)X(-1.4)+(-2)X(-1)+(7)X(-0.7)+0*0.1+1X0.5+2X0.9+3XL6_14_05,

9+4+1+0+1+4+928'，

a=y-bt=4.3-0.5x4=2.3.

??.y關(guān)于t的線性回歸方程為j=0.5t+2.3；

(II)由(I)知，b=0.5>0,故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.

A

將2015年的年份代號t=9代入y=0.51+2.3,得：

A

y=0.5x9+2.3=6.8,

故預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.

【點評】此題考察線性回歸分析的應(yīng)用，此題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法認(rèn)真做出線性回歸方程的系數(shù)，這是整個

題目做對的必備條件，此題是一個根基題.

2.(2014?高州市模擬)對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進展統(tǒng)計，隨機抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名

學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組頻數(shù)頻率

[10,15)100.25

[15,20)24n

[20,25)mP

[25,30)20.05

合計M1

(I)求出表中M,p及圖中a的值；

(H)假設(shè)該校高三學(xué)生有240人，試估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間［10,15)內(nèi)的人數(shù)；

(HI)在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間［25,

30)內(nèi)的概率.

【考點】隨機抽樣和樣本估計總體的實際應(yīng)用；頻率分布直方圖.

【專題】計算題；圖表型.

【分析】(I)根據(jù)頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系即頻率等于頻數(shù)除以樣本容量，寫出算式，求出式子中的字母的

值.

(II)根據(jù)該校高三學(xué)生有240人，分組［10,15)內(nèi)的頻率是0.25,估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間

內(nèi)的人數(shù)為60人.

(III)這個樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有m+2=6人，設(shè)出在區(qū)間［20,25)內(nèi)的人為ai,a2,a3,

a4,在區(qū)間［25,30)內(nèi)的人為bi,b2,列舉出所有事件和滿足條件的事件，得到概率.

【解答】解：(I)由分組［10,15)內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25知，辛0.25，

???M=40.

頻數(shù)之和為40,

?；a是對應(yīng)分組［15,20)的頻率與組距的商，

,24

"a=40X5~0,12

［口)因為該校高三學(xué)生有240人，分組［10,15)內(nèi)的頻率是0.25,

二估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人.

(田)這個樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有m+2=6人，

設(shè)在區(qū)間［20,25)內(nèi)的人為ai,a2,到a4,在區(qū)間［25,30)內(nèi)的人為bi,b2.

則任選2人共有(ai,a2)>(ai,a3),(ai,a4)>(ai,bi),(ai,b2).(a2,a3)>(a2>a4).(a2.bi),(a2,b2)>(as>

a4))(a3)bi),(a3,b2),(a4,bi),(a*b2),(bi,b2)15種情況，

而兩人都在［25,30)內(nèi)只能是(bi,b2)一種，

所求概率為P=1-工1

1515

【點評】此題考察頻率分步直方圖，考察用樣本估計總體，考察等可能事件的概率，考察頻率，頻數(shù)和樣本容量之間

的關(guān)系，此題是一個根基題.

3.(2012?廣東)某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如以以下列圖，其中成績分組區(qū)間是：［50,60),

［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］.

(1)求圖中a的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的平均分；

(3)假設(shè)這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)〔X)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比方表所示，求數(shù)學(xué)成

績在［50,90)之外的人數(shù).

分?jǐn)?shù)段［50,60)［60,70］［70,80］［80,90)

X：yh12：1%,4%*.5

【考點】用樣本的頻率分布估計總體分布：頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

【專題】概率與統(tǒng)計.

【分析】⑴由頻率分布直方圖的性質(zhì)可10(2a+0.02+0.03+0.04］=1,解方程即可得到a的值；

(2)由平均數(shù)加權(quán)公式可得平均數(shù)為55x0.05+65x0.4+75x0.3+85x0.2+95x0.05,計算出結(jié)果即得；

(3)按表中所給的數(shù)據(jù)分別計算出數(shù)學(xué)成績在分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，從總?cè)藬?shù)中減去這些段內(nèi)的人數(shù)即可得出數(shù)學(xué)成績在

［50,90)之外的人數(shù).

【解答】解：(1)依題意得，10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005；

(2)這100名學(xué)生語文成績的平均分為：55x0.05+65x0.4+75x0.3+85x0.2+95x0.05=73(分)；

(3)數(shù)學(xué)成績在［50,60)的人數(shù)為：100x0.05=5,

數(shù)學(xué)成績在［60,70)的人數(shù)為：100X0.4X,=20，

數(shù)學(xué)成績在［70,80)的人數(shù)為：100X0.3x2=40，

3

數(shù)學(xué)成績在［80,90)的人數(shù)為：］00Xo.2X*1=25，

所以數(shù)學(xué)成績在［50,90)之外的人數(shù)為：100-5-20-40-2數(shù)10.

【點評】此題考察頻率分布估計總體分布，解題的關(guān)鍵是理解頻率分布直方圖，熟練掌握頻率分布直方圖的性質(zhì)，且

能根據(jù)所給的數(shù)據(jù)建設(shè)恰當(dāng)?shù)姆匠糖蠼?

4.(2014?煙臺三模)某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員，對他們進展年齡狀況和承受教育程度(學(xué)歷)的調(diào)查，其結(jié)果(人

數(shù)分布)如下表：

學(xué)歷35歲以下35?50歲50歲以上

本科803020

研究生X20y

(I)用分層抽樣的方法在35?50歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從

中任取2人，求至少有1人的學(xué)歷為研究生的概率；

(H)在這個公司的專業(yè)技術(shù)人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個人，其中35歲以下48人，50歲以上10

人，再從這N個人中隨機抽取出1人，此人的年齡為50歲以上的概率為巨，求x,y的值.

39

【考點】分層抽樣方法；古典概型及其概率計算公式.

【專題】計算題.

【分析】(I)用分層抽樣得到學(xué)歷為本科的人數(shù)，后面的問題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是從5個人中容

易抽取2個，事件數(shù)可以列舉出，滿足條件的事件是至少有1人的學(xué)歷為研究生，從列舉出的事件中看出結(jié)果.

(II)根據(jù)在抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，表示出年齡為50歲以上的概率，利用解方程思想解出x,y的值.

【解答】解：(I)用分層抽樣的方法在35?50歲中抽取一個容量為5的樣本，

設(shè)抽取學(xué)歷為本科的人數(shù)為m

理J解得m=3

505

二抽取了學(xué)歷為研究生2人，學(xué)歷為本科的3,分別記作Si、S2;Bi,B2、B3

從中任取2人的所有基本領(lǐng)件共10個：(Si,Bi)、(Si,B2)、(Si,B3)、

(S2,Bl)、(S2,B2)、(S2,B3)、(Si,S2〕、(Bl,B2)、(B2,B3)、(Bl,B3)

其中至少有1人的學(xué)歷為研究生的基本領(lǐng)件有7個：(Si,BI)、(Si,B2)、(Si,B3)、

(S2,Bi)、(S2,B2)、(S2,B3)、(SI,S2)

???從中任取1人，至少有1人的教育程度為研究生的概率為工

10

(n)解：依題意得：乃

N39

解得N=78

35?50歲中被抽取的人數(shù)為78-48-10=20

.481。?,解得x=40,y=5

80+x5020+y

x=40,y=5

【點評】此題考察分層抽樣方法，考察古典概型的概率及其概率公式，考察利用列舉法列舉出試驗包含的所有事件，

列舉法是解決古典概型的首選方法.

5.(2010?河北)為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)

果如下：

性別男女

是否需要志愿

需要___ko_30

不需要160270

(1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)老年人中，需要志愿幫助的老年人的比例說明理由.附:

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(k2>k)0.00.0100.001

k3.8416.63510.828

【考點】簡單隨機抽樣；獨立性檢驗.

【專題】計算題.

【分析】(1)由列聯(lián)表可知調(diào)查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供幫助，兩個數(shù)據(jù)求比值得到該地區(qū)老

年人中需要幫助的老年人的比例的估算值.

(2)根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機變量的觀測值公式，得到觀測值的結(jié)果，把觀測值的結(jié)果與臨界值進展比較，

看出有多大把握說該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).

(3)從樣本數(shù)據(jù)老年人中需要幫助的比例有明顯差異，調(diào)查時，可以先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年

人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣方法更好.

【解答】解：(1)???調(diào)查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供幫助，

?,?該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值為國=14%.

500

(2)根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機變量的觀測值公式，

2500x(40X270-30X160)2

----------------------------------------=9967-

200X300X70X430

9.967>6.635,

有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).

(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老

年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩

層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣方法更好.

【點評】此題主要考察統(tǒng)計學(xué)知識，考察獨立性檢驗的思想，考察利用數(shù)學(xué)知識研究實際問題的能力以及相應(yīng)的運算

能力.

6.(2015?安徽)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門

的評分，繪制頻率分布直方圖(如以以下列圖)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為［40,50］,［50,60］,［80,90］,［90,100］

(1)求頻率分布圖中a的值；

(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；

(3)從評分在［40,60］的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在［40,50］的概率.

【考點】頻率分布直方圖.

【專題】概率與統(tǒng)計.

【分析】(1)利用頻率分布直方圖中的信息，所有矩形的面積和為1,得到a；

(2)對該部門評分不低于80的即為90和100,的求出頻率，估計概率;

(3)求出評分在［40,60］的受訪職工和評分都在［40,50］的人數(shù)，隨機抽取2人，列舉法求出所有可能，利用古典概

型公式解答.

【解答】解：(1)因為(0.004+a+0.018+0.022x2+0.028)xl0=l,解得a=0.006；

(2)由的頻率分布直方圖可知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022+0.018)x10=0.4,所以該企業(yè)職工對該

部門評分不低于80的概率的估計值為0.4：

(3)受訪職工中評分在［50,60)的有：50x0.006x10=3(人),記為Ai,A2,A3；

受訪職工評分在［40,50)的有：50x0.004x10=2(人)，記為Bi,B2.

從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，

分別是{Al,A2},{Ai,A3},{Ai,Bi},{Ai,B2},{A2,A3},{A2,Bi},{A2,B2},{A3,Bi},{A3,B2},{Bi,

B2},

又因為所抽取2人的評分都在［40,50)的結(jié)果有1種，即{Bi,B2},

故所求的概率為P=A.

10

【點評】此題考察了頻率分布直方圖的認(rèn)識以及利用圖中信息求參數(shù)以及由頻率估計概率，考察了利用列舉法求滿足

條件的事件，并求概率.

7.(2015?宿州一模)某網(wǎng)站針對2014年中國好聲音歌手A,B,C三人進展網(wǎng)上投票，結(jié)果如下：

觀眾年齡支持A支持B支持C

20歲以下200400800

20歲以上(含20歲)100100400

(1)在所有參與該活動的人中，用分層抽樣的方法抽取n人，其中有6人支持A,求n的值.

(2)在支持C的人中，用分層抽樣的方法抽取6人作為一個總體，從這6人中任意選取2人，求恰有1人在20歲以

下的概率.

【考點】分層抽樣方法；古典概型及其概率計算公式.

【專題】計算題；概率與統(tǒng)計.

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣時，各層的抽樣比相等，結(jié)合構(gòu)造關(guān)于n的方程，解方程可得n值.

(2)計算出這6人中任意選取2人的情況總數(shù)，及滿足恰有1人在20歲以下的情況數(shù)，代入古典概率概率計算公式,

可得答案.

【解答】解：(1)..?利用層抽樣的方法抽取n個人時，從“支持A方案”的人中抽取了6人，

.6=___________n__________,

"100+200-200+400+800+100+100+400,

解得n=40；

(2)從"支持C方案”的人中，用分層抽樣的方法抽取的6人中，

年齡在20歲以下的有4人，分別記為1,2,3,4,年齡在20歲以上(含20歲)的有2人，記為a,b,

則這6人中任意選取2人，共有C’15種不同情況，

分別為：(1,2),(1,3),［1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),［3,a),(3,b),

(4,a),(4,b),(a,b),

其中恰好有1人在20歲以下的事件有：

(1,a),(1,b),⑵a),(2,b),［3,a),［3,b),(4,a),(4,b)共8種.

故恰有1人在20歲以下的概率P=A.

15

【點評】此題考察的知識點是古典概型概率計算公式，其中熟練掌握利用古典概型概率計算公式求概率的步驟，是解

答的關(guān)鍵.

8.(2015?日照二模)某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分

成五組；第一組［13,14),第二組［14,15),…，第五組［17,18］,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

(1)假設(shè)成績大于或等于14秒且小于16秒認(rèn)為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；

(2)設(shè)m,n表示該班某兩位同學(xué)的百米測試成績，且m,nG|13,14)U［17,18］,求事件的概率.

【考點】用樣本的頻率分布估計總體分布；頻率分布直方圖；古典概型及其概率計算公式.

【專題】計算題.

【分析】(1)利用頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標(biāo)乘以組距求出績大于或等于14秒且小于16秒的頻率；利用頻

數(shù)等于頻率乘以樣本容量求出該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù).

(2)按照(1)的方法求出成績在［13,14)及在［17,18］的人數(shù)；通過列舉得到m,n都在［13,14)間或都在［17,18］

間或一個在［13,14)間一個在［17,18］間的方法數(shù)，三種情況的和為總基本領(lǐng)件的個數(shù)；分布在兩段的情況數(shù)是事

件"|m-n|>l"包含的基本領(lǐng)件數(shù)；利用古典概型的概率公式求出事件"|m-n|>l〃的概率.

【解答】解：(1)由直方圖知，成績在［14,16)內(nèi)的人數(shù)為：50x0.16+50x0.38=27(人)，

所以該班成績良好的人數(shù)為27人、

(2)由直方圖知,成績在［13,14)的人數(shù)為50x0.06=3人，

設(shè)為為x,y,z；成績在［17,18］的人數(shù)為50x0.08=4人，設(shè)為A、B、C、D.

假設(shè)m,nG［13,14)時，有xy,xz,yz共3種情況；

假設(shè)m,n€［17,18］時，有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6種情況;

假設(shè)m,n分別在［13,14）和［17,18］內(nèi)時，

ABCD

XxAxBxCxD

yyAyBycyD

zzAzBzCzD

有12種情況、

所以，基本領(lǐng)件總數(shù)為3+6+12=21種，事件所包含的基本領(lǐng)件個數(shù)有12種、

.?.P(|m-n|>l)喏'(12分)

【點評】此題考察頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標(biāo)乘以組距、考察頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量、考察列舉法求完

成事件的方法數(shù)、考察古典概型的概率公式.

9.(2014?岳陽二模)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品A的直徑均位于區(qū)間［110,118］內(nèi)(單位：mm).假設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的直徑

位于區(qū)間［110,112］,［112,114］,［114,116］,［116,118］內(nèi)該廠可獲利分別為10,20,30,10(單位:元)，現(xiàn)從該

廠生產(chǎn)的產(chǎn)品A中隨機100件測量它們的直徑，得到如以以下列圖的頻率分布直方圖.

(I)求a的值，并估計該廠生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均利潤；

(口)現(xiàn)用分層抽樣法從直徑位于區(qū)間［112,116)內(nèi)的產(chǎn)品中隨機抽取一個容量為5的樣

本，再從樣本中隨機抽取兩件產(chǎn)品進展檢測，求兩件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間［114,116)內(nèi)的概率.

【考點】分層抽樣方法；古典概型及其概率計算公式.

【專題】計算題；概率與統(tǒng)計.

【分析】(I)利用所有小矩形的面積之和為1求得a值；根據(jù)頻數(shù)=頻率x樣本容量求得各組的頻數(shù)，代入平均數(shù)公式

計算；

(II)根據(jù)頻率分布直方圖求得直徑位于區(qū)間口12,114)和［114,116)的頻率之比，可得在兩組中應(yīng)取的產(chǎn)品數(shù)，

利用寫出所有基本領(lǐng)件的方法求符合條件的基本領(lǐng)件個數(shù)比；

【解答】解：⑴由頻率分布直方圖得:2x(0.050+0.150+a+0.075)=l=a=0.225,

直徑位于區(qū)間［110,112)的頻數(shù)為100x2x0.050=10,位于區(qū)間［112,114)的頻數(shù)為100x2x0.150=30,

位于區(qū)間［114,116)的頻數(shù)為100x2x0.225=45,位于區(qū)間［116,118)的頻數(shù)為100x2x0.075=15,

生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均利潤為1°X1°+2O*30+30X45+10X15=22(元)；

100

(II)由頻率分布直方圖得：直徑位于區(qū)間［112,114)和［114,116)的頻率之比為2：3,

二應(yīng)從直徑位于區(qū)間［112,114)的產(chǎn)品中抽取2件產(chǎn)品，記為A、B,

從直徑位于區(qū)間［114,116)的產(chǎn)品中抽取3件產(chǎn)品，記為a、b、c,從中隨機抽取兩件，所有可能的取法有，(A,B),

(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c)

,(a,b),(a,c),(b,c)10種，兩件產(chǎn)品都不在區(qū)間［114,116)的取法只有(A,B)一種，

.?.兩件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間［114,116)內(nèi)的取法有9種.

所求概率為P=X.

10

【點評】此題考察了分層抽樣方法，考察了古典概型的概率計算，讀懂頻率分布直方圖是解答此題的關(guān)鍵.

10.(2015?廣東)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以［160,180),［180,200),［200,200),［220.240),

［240,260),［260,280),［280,300)分組的頻率分布直方圖如圖.

(1)求直方圖中X的值；

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)：

(3)在月平均用電量為，［220,240),［240,260),［260,280),［280,300)的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取

11戶居民，則月平均用電量在［220.240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶

【考點】頻率分布直方圖.

【專題】概率與統(tǒng)計.

【分析】(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+X+O.OO5+O.OO25)x20=l,解方程可得；

(2)由直方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點可得，可得中位數(shù)在［220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a,解方程

(0.002+0.0095++0.011)x20+0.0125x(a-220)=0.5可得；

(3)可得各段的用戶分別為25,15,10,5,可得抽取比例，可得要抽取的戶數(shù).

【解答】解：(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=l,

解方程可得x=0.0075,二直方圖中x的值為0.0075；

(2)月平均用電量的眾數(shù)是220+240=230,

2

???[0.002+0.0095+0.011)x20=0.45<0.5,

二月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)，

設(shè)中位數(shù)為a,由(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125x(a-220)=0.5可得a=224,

???月平均用電量的中位數(shù)為224；

(3)月平均用電量為1220,240)的用戶有0.0125x20x100=25,

月平均用電量為［240,260)的用戶有0.0075x20x100=15,

月平均用電量為［260,280)的用戶有0.005x20x100=10,

月平均用電量為［280,300)的用戶有0.0025x20x100=5,

抽取比例為11=1,

25+15+10+5

.,.月平均用電量在［220,240)的用戶中應(yīng)抽取2