2022年山東省濟(jì)南市長清區(qū)數(shù)學(xué)高三上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，為非零向量，則“存在正數(shù)，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件2．二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．80 C． D．1603．已知向量，夾角為，，，則()A．2 B．4 C． D．4．若函數(shù)在時(shí)取得最小值，則（）A． B． C． D．5．設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）A．2 B． C． D．36．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．7．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為，將函數(shù)的圖象向右平行移動個(gè)單位長度后得到函數(shù)圖象，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．9．設(shè)，則，則（）A． B． C． D．10．（）A． B． C． D．11．已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．12．設(shè)集合，，則（）．A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在中，已知，為邊的中點(diǎn)．若，垂足為，則的值為__．14．定義在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個(gè)點(diǎn)，，，在半徑為的圓上，且，分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓，這三個(gè)半圓和構(gòu)成平面區(qū)域，則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.15．（5分）某膳食營養(yǎng)科研機(jī)構(gòu)為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素（這些元素可以延緩衰老，還能起到抗癌的效果）對人體的作用，現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．16．某校高二（4）班統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)中午在食堂用餐時(shí)間，有7人用時(shí)為6分鐘，有14人用時(shí)7分鐘，有15人用時(shí)為8分鐘，還有4人用時(shí)為10分鐘，則高二（4）班全體同學(xué)用餐平均用時(shí)為____分鐘.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC.（1）證明：平面平面（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)，若的解集為．（1）求的值；（2）若正實(shí)數(shù)，，滿足，求證：．19．（12分）已知函數(shù)（1）已知直線：，：.若直線與關(guān)于對稱，又函數(shù)在處的切線與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)，則當(dāng)，時(shí)，求證：①；②.20．（12分）已知函數(shù)f(x)=ex-x2-kx（其中e為自然對數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1．21．（12分）在銳角中，分別是角的對邊，，，且．（1）求角的大??；（2）求函數(shù)的值域．22．（10分）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，（1）求的值與拋物線的方程；（2）拋物線上第一象限內(nèi)的動點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，拋物線上第四象限內(nèi)的動點(diǎn)，滿足，求直線的斜率范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得，再由數(shù)量積運(yùn)算即可說明成立；必要性中，由數(shù)量積運(yùn)算可得，不一定有正數(shù)，使得，所以不成立，即可得答案.【詳解】充分性：若存在正數(shù)，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數(shù)，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡單題.2、A【解析】

求出二項(xiàng)式的展開式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項(xiàng)式展開式的通式為，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通式，是基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)模長計(jì)算公式和數(shù)量積運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由于，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，模長的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時(shí)的值．【詳解】解：，其中，，，故當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

分析：題設(shè)的直線與拋物線是相離的，可以化成，其中是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，也就是到焦點(diǎn)的距離，這樣我們從幾何意義得到的最小值，從而得到的最小值.詳解：由①得到，，故①無解，所以直線與拋物線是相離的.由，而為到準(zhǔn)線的距離，故為到焦點(diǎn)的距離，從而的最小值為到直線的距離，故的最小值為，故選A.點(diǎn)睛：拋物線中與線段的長度相關(guān)的最值問題，可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動線段的長度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點(diǎn)的距離來求解.6、A【解析】

由得,然后分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因?yàn)?所以,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的方法是分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算.7、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合為函數(shù)的一條對稱軸可求得，代入輔助角公式得的解析式.根據(jù)三角函數(shù)圖像平移變換，即可求得函數(shù)的解析式.【詳解】函數(shù)，由輔助角公式化簡可得，因?yàn)闉楹瘮?shù)圖象的一條對稱軸，代入可得，即，化簡可解得，即，所以將函數(shù)的圖象向右平行移動個(gè)單位長度可得，則，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角化簡三角函數(shù)式的應(yīng)用，三角函數(shù)對稱軸的應(yīng)用，三角函數(shù)圖像平移變換的應(yīng)用，屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)換底公式可得，再化簡，比較的大小，即得答案.【詳解】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.10、B【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【詳解】．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．11、D【解析】

判斷，利用函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算得到答案.【詳解】∵，∴．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.12、D【解析】

根據(jù)題意，求出集合A，進(jìn)而求出集合和，分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，則故選：D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡單題目,二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

，由余弦定理，得，得，，，所以，所以．點(diǎn)睛：本題考查平面向量的綜合應(yīng)用．本題中存在垂直關(guān)系，所以在線性表示的過程中充分利用垂直關(guān)系，得到，所以本題轉(zhuǎn)化為求長度，利用余弦定理和面積公式求解即可．14、【解析】

先找到平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的最大值為，再利用三角恒等變換化簡即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理，得，所以，，取AB中點(diǎn)E，AC中點(diǎn)F，BC中點(diǎn)G，如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點(diǎn)距離最大值為，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問題，涉及到距離的最值問題，在處理這類問題時(shí)，一定要數(shù)形結(jié)合，本題屬于中檔題.15、【解析】

記只雌蛙分別為，只雄蛙分別為，從中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，其基本事件為，共15個(gè)，選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為，共9個(gè)，故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．16、7.5【解析】

分別求出所有人用時(shí)總和再除以總?cè)藬?shù)即可得到平均數(shù).【詳解】故答案為：7.5【點(diǎn)睛】此題考查求平均數(shù)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算出所有數(shù)據(jù)之和，易錯(cuò)點(diǎn)在于概念辨析不清導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）證明平面即平面平面得證；（2）分別以所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，再利用向量方法求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BC，所以因?yàn)?所以.即又.所以平面因?yàn)槠矫?所以平面平面（2）解：由題可得兩兩垂直，所以分別以所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由.得令，得又平面，所以平面的一個(gè)法向量為.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明，考查二面角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18、（1）；（2）證明見詳解.【解析】

（1）將不等式的解集用表示出來，結(jié)合題中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式證明.【詳解】解：（1），，，因?yàn)榈慕饧癁?，所以，；?）由（1）由柯西不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，，，等號成立．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的解法，利用柯西不等式證明不等式的問題，屬于中檔題.19、（1）（2）①證明見解析②證明見解析【解析】

（1）首先根據(jù)直線關(guān)于直線對稱的直線的求法，求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線與垂直列方程，解方程求得的值.（2）①構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)函數(shù)證得當(dāng)時(shí)，，由此證得.②由①知成立，整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得，由此得到，即，化簡后得到.【詳解】（1）由解得必過與的交點(diǎn).在上取點(diǎn)，易得點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)為，即為直線，所以的方程為，即，其斜率為.又因?yàn)?，所以，，由題意，解得.（2）因?yàn)?，所?①令，則，則，且，，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以存在，使時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，，即，所以，即成立.②由①知成立，即有成立.令，即.所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)?，所以，所以時(shí)，，即時(shí)，.【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)圖象的對稱性，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等基礎(chǔ)知識；考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，推理與運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用意識.20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）求出，記，問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同解，求導(dǎo)，研究極值即可得結(jié)果；（2）由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，且，則可求出極大值，記，求導(dǎo)，求單調(diào)性，求出極值即可.【詳解】（1），由，記，，由，且時(shí)，，單調(diào)遞減，，時(shí)，，單調(diào)遞增，，由題意，方程有兩個(gè)不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，且，所以的極大值為，記，則，因?yàn)?，所以，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的極大值不小于1.解法二：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，且，所以的極大值為，因?yàn)?，，所?即函數(shù)的極大值不小于1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查學(xué)生綜合分析能力與轉(zhuǎn)化能力，是一道中檔題.21、（1）；（2）【解析】

（1）由向量平行的坐標(biāo)表示、正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡求得，進(jìn)而得到；（2）利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)為，根據(jù)的范圍可確定的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可確定所求函數(shù)的值域.【詳解】（1），，由正弦定理得：，即，，，，又，.（2）在銳角中，，．．，，，，函數(shù)的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換、解三角形和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題；涉及到共線向量的坐標(biāo)表示、利用三角恒等變換公式