一次函數(shù)與反比例函數(shù)：5年（2019-2023）中考1年模擬數(shù)學(xué)真題分項匯編（解析版）

專題09一次函數(shù)與反比例函數(shù)

五年中考真題

考點1一次函數(shù)與反比例函數(shù)

一、單選題

1.（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（B卷））反比例函數(shù)y=9的圖象一定經(jīng)過的點是（）

X

A.（-3,2）B.（2,-3）C.（-2,-4）D.（2,3）

【答案】D

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，只要點的橫縱坐標(biāo)之積等于々即可判斷該點在函數(shù)圖象上，據(jù)此求解.

【詳解】解：：-3x2=-6,2x（—3）=-6,—2x（Y）=8,2x3=6,

點（2,3）在反比例函數(shù)y=：的圖象上，

故選：D.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知點的橫縱坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

2.（2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點，點A是反比例函數(shù)

k

y=圖像上的一點，過點A分別作軸于點河，〉軸于直代,若四邊形40QN的面積

為2.則人的值是（）

【答案】A

【分析】證明四邊形4VoM是矩形，根據(jù)反比例函數(shù)的女值的兒何意義，即可解答.

【詳解】解：AWLx軸于點M,AN_Ly軸于直N,ZMON=90°,

.??四邊形⑷WON是矩形，

四邊形的面積為2,

■.\k\=2,

反比例函數(shù)在第一、三象限，

:.k=2,

故選：A.

【點睛】本題考查了矩形的判定，反比例函數(shù)的攵值的幾何意義，熟知在一個反比例函數(shù)圖像上任取一

點，過點分別作X軸，y軸的垂線段，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為閑是解題的關(guān)鍵.

3.（2023年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)真題）下列一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小的函數(shù)是（）

A.y=2x+lB.y=x-4C.y=2xD.y=-x+l

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)、正比例函數(shù)的增減性與系數(shù)的關(guān)系判斷即可.

【詳解】解：由一次函數(shù)、正比例函數(shù)增減性知，x系數(shù)小于0時，y隨x的增大而減小，

y=-x+l,-l<0

故只有D符合題意，

故選：D.

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2

4.（2020?廣西賀州?統(tǒng)考中考真題）在反比例函數(shù)y=—中，當(dāng)A-1時，y的值為（）

x

A.2B.—2C.yD.——

【答案】B

【分析】把x=-l代入函數(shù)解析式可得y的值.

［詳解】把L1代入1得：產(chǎn)-2,

X

故選：B.

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，圖象上點的坐標(biāo)適合解析式是關(guān)鍵.

k

5.（2020?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)8=奴+力（存0）與反比例函數(shù)％=一（后0,x>0）

x

的交點A坐標(biāo)為（2,1）,當(dāng)yE”時，x的取值范圍是（)

y

【答案】A

【分析】根據(jù)一次函數(shù)yi=ax+b（a/0）與反比例函數(shù)%=5人力。，》>。）的交點坐標(biāo)即可得到結(jié)論.

X

【詳解】由圖象得，當(dāng)yE”時，x的取值范圍是0〈g2,

故選：A.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)A的坐標(biāo)，結(jié)合圖象是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?貴州黔西?中考真題）對于反比例函數(shù)尸-』，下列說法錯誤的是（）

X

A.圖象經(jīng)過點（1,-5）

B.圖象位于第二、第四象限

C.當(dāng)xVO時，y隨x的增大而減小

D.當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大

【答案】C

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以

解答本題.

【詳解】解：反比例函數(shù)尸---

X

A、當(dāng)x=l時，y=-：=-5,圖像經(jīng)過點（1,-5）,故選項A不符合題意；

B、???k=-5<0,故該函數(shù)圖象位于第二、四象限，故選項B不符合題意；

C、當(dāng)x<0時，y隨x的增大而增大，故選項C符合題意；

D、當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大，故選項D不符合題意；

故選C.

【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?湖南懷化?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交x軸于點C,交反比例函數(shù)（。>1）的圖像

X

于4、8兩點，過點8作8nLy軸，垂足為點。，若S/C￡>=5,則〃的值為（）

【答案】D

【分析】設(shè)8（加，巴I],由%質(zhì)為=1力±口即可求解.

kmJ2m

【詳解】解：設(shè)

???8￡＞，y軸

1a—1

S^BCD二—m----=5,

2tn

解得：4=11

故選：D.

【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，掌握反比例函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?山東濱州?統(tǒng)考中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)丫="+1與y=-“（k為常數(shù)且

X

4#0）的圖象大致是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)題意中的函數(shù)解析式和函數(shù)圖象的特點，可以判斷哪個選項中的圖象是正確的.

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)曠=日+1可得，該函數(shù)圖象與），軸的交點在X軸上方，排除B、D選項，

當(dāng)％>0時，函數(shù)y=^+l的圖象在第一、二、三象限，函數(shù)y=-A在第二、四象限，故選項A正確，

x

故選：A.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思

想解答.

9.（2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)真題）一次函數(shù)y=Ax-l的函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)x=2時，y

的值可以是（）

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得k的取值范圍，再把x=2代入函數(shù)），=丘-1,從而判斷函數(shù)值y的取

值.

【詳解】???一次函數(shù)y=履-1的函數(shù)值y隨x的增大而減小

k<0

.?.當(dāng)x=2時，y=2k-\<-l

故選：D

【點睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟悉一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2023年湖南省邵陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，矩形OAfiC的頂點8和正方形的頂點E都在反比

例函數(shù)丫=勺430）的圖像上，點8的坐標(biāo)為（2,4）,則點E的坐標(biāo)為（）

O\AD1c

A.（4,4）B.（2,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】D

【分析】根據(jù)y=±（左wO）經(jīng)過（2,4）確定解析式為丁=二設(shè)正方形的邊長為羽則點E（2+x,x）,代入解

XX

析式計算即可.

【詳解】經(jīng)過（2,4）,

Q

???解析式為y=2，

X

設(shè)正方形的邊長為X,則點E（2+X,x）,

/.（2+x）x=8,

解得為=2,々=-4（舍去），

故點E（4,2）,

故選D.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，解方程，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

11.（2023年廣西壯族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，過y=X（x>0）的圖象上點A,分別作x軸，y軸的平行

X

線交y=的圖象于B,。兩點，以AB,AO為鄰邊的矩形438被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分

X

別記為5，邑，S3,S4,若S2+S3+，=|,則k的值為（）

D.1

［分析］設(shè)A（a,A）,則根據(jù)坐標(biāo)求得S]=ab=Z,=S4=1,推

得S3=（_（）x（_：）=；,即可求得.

［詳解］設(shè)A（a/）,則

???點A在y=*＞。）的圖象上

則S[=出?=A,

同理???8,。兩點在＞=-‘的圖象上,

貝"2=S,=I

故扁子i4

故必=2,

:?k=2,

故選：C.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的面積公式等，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2019?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，一束光線從點A（4,4）出發(fā)，經(jīng)y軸上的點C反射后經(jīng)過點

3（1,0）,則點C的坐標(biāo)是（）

y

一A（4A）,

o\Bafi）x

A.（0,；）B.（0,3C.（0,1）D.（0,2）

【答案】B

【分析】延長AC交x軸于點。，利用反射定律，可得N1=NOCB,利用ASA可證

ACODS^COB（ASA）,已知點8坐標(biāo)，從而得點。坐標(biāo)，利用A,。兩點坐標(biāo)，求出直線AO的解析式,

即可求得點C坐標(biāo).

【詳解】如圖所示，延長AC交X軸于點/）.設(shè)C（0,c）

V這束光線從點A（4,4）出發(fā)，經(jīng)y軸上的點C反射后經(jīng)過點8（1,0）,

???由反射定律可知，Zl=ZOCB,

VZl=ZOCD,

ZOCB=ZOCD,

,：CO人DB于O,

：.ZCOD=ZCOB=90°,

"NOCD=ZOCB

在ACOD和AC。?中，OC=OC,

NCOD=ZCOB

ACODSB〈ASA）,

:.OD=OB=\,

D（-l,0）,

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+h,

f4=4k+b

將點A（4,4）,點。（一1,0）代入得：0[_%+〃，

解得：;，

b=-

5

44

直線A￡>的解析式為：y=-x+-,

故選B.

【點睛】本題考查了反射定律、全等三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識點，綜合

性較強(qiáng)，難度略大.

13.（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，點A、B分別在y,x軸上，

3。_1_工軸.點M、N分別在線段BC、AC上，BM=CM,NC=2AN,反比例函數(shù)y=七">0）的圖象經(jīng)

X

過M、N兩點，P為x正半軸上一點，且QP:8P=1:4,4”的面積為3,則氏的值為（）

【答案】B

【分析】過點N作NQLx軸于點。，設(shè)點A的坐標(biāo)為4（0,。）（。>0）,點M的坐標(biāo)為

M（5/?,c）（b>0,c>0）,點N的坐標(biāo)為N（m,〃）（〃?>0,”>0）,則C（56,2c）,OA=a,OB=5b,先求出點N

的坐標(biāo)為N（學(xué)，誓至），再根據(jù)S謝=SmiOANQ-SA”-S=3可得2ab+bc=9,然后將點的坐

標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可得2a=7c,從而可得兒的值，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點N作NQ_Lx軸于點。,

設(shè)點A的坐標(biāo)為A（0,a）（”>0）,點M的坐標(biāo)為M（5b,c）S>0,c>0）,點N的坐標(biāo)為

N（m,〃乂加>0,〃>0）,則C（5，,2c）,OA=a,0B=5b,

OP:BP=1:4f

OP=b,BP=4b,

,NC=2AN,

5h

=2（/n-0）m=一

3

解得

〃一2c=：（4一2（7），2a+2c

n=---------

3

5b2a+2c

:.N

33

OQ=^-,NQ=2a^2c

...pQ=OQ-OP=y,

一APN的面積為3,

2a+2c+〃竺.2=3

S梯形OANQ-SAO尸-SNPQ=3,即5X

32233

整理得：2ab+bc=9,

kSh2a+2c

將點M（5"c）,N，誓"代入y=勺得：k=5bc=—

x33

整理得：2a=7c,

9

將勿=7c代入2而+匕。=9得：Qbc+bc=9,解得/尤二石,

O

45

貝株=5兒=^"

故選：B.

【點睛】本題主要考查J'反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確求出點N的坐標(biāo)是解

題關(guān)鍵.

二、填空題

14.（2022?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）若一次函數(shù)產(chǎn)履-2的函數(shù)值y隨著自變量x值的增大而增大，則仁—

（寫出一個滿足條件的值）.

【答案】2（答案不唯一）

【分析】根據(jù)函數(shù)值J隨著自變量x值的增大而增大得到%>0,寫出一個正數(shù)即可.

【詳解】解：???函數(shù)值），隨著自變量x值的增大而增大，

：.k>0,

：.k=2（答案不唯一）.

故答案為：2（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)：E>0,y隨x的增大而增大；Z<0,y隨x的

增大而減小是解題的關(guān)鍵.

15.（2021.黑龍江哈爾濱.統(tǒng)考中考真題）已知反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點（2,-5）,則出的值為.

X

【答案】-10

【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：?.?反比例函數(shù)y=g的圖象經(jīng)過點（2,-5）,

.?=2x（-5）=T0；

故答案為-10.

【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.（2023年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在反比例函數(shù)y=±（Z為常

X

1Q

數(shù)，k>0,X>O）的圖象上，過點A作X軸的垂線，垂足為5,連接04.若一03的面積為葭，則

k=______________.

191

【答案】

66

L1Q

【分析】由女的幾何意義可得5=五，從而可求出k的值.

【詳解】解：408的面積為專=:=?,

2212

19

所以％=

6

19

故答案為：

6

【點睛】本題主要考查了人的幾何意義.用女表示三角形A05的面積是本題的解題關(guān)鍵.

17.（2023年四川省成都市數(shù)學(xué)中考真題）若點4（-3,丫|）,5（-1,%）都在反比例函數(shù)〉=3的圖象上，則％

y2（填“〉”或

【答案】＞

【分析】根據(jù)題意求得必，y2,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：?.?點A（-3,yJ,8（-1,%）都在反比例函數(shù)＞=:的圖象上，

.6。6.

?-y1=—=-2＞=--=-6,

—J—1

-2＞-6,

???X＞為，

故答案為：＞.

【點睛】本題考查了比較反比例函數(shù)值，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9

18.（2023年四川省達(dá)州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)＞=一的圖象相交于AB兩

x

點，以AB為邊作等邊三角形A8C,若反比例函數(shù)y=（的圖象過點C,則女的值為.

y=2x

【分析】過點A作仞，x軸交無軸于點。，過點C作CEJ_x軸于點E,連接OC,首先聯(lián)立，2求出

丫=一

Ix

A（l,2）,B（-l,-2）,然后利用勾股定理求出AO=80=石，OC=y/ACi-O^=715＞然后證明出

NOCE^NAOD,利用相似三角形的性質(zhì)得到CE=G，OE=2yf3,最后將卜2石,6）代入y求解即

可.

【詳解】如圖所示，過點A作A￡>_Lx軸交x軸于點￡>,過點C作CE_Lx軸于點E,連接0C,

2

?..一次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)），=￡的圖象相交于48兩點,

x

y=2x

二聯(lián)立2,即2X=4,

X

解得x=±l,

.?.4(1,2),B(-l,-2),

.*.00=1,AD=2,

二。4=6+22=芯，

,AO=BO=>/5,

?；,A8C是等邊三角形，

ACOLAB,ZACO=Z.BCO=-ZACB=30°,

2

AC=2OA=2百，

-,-0C=-OT=岳,

NAOC=90。，

ZAOD+ZCOE=9Q°,

?：Z4DO=90。，

ZAOD+ZOAD^90°,

：.ZOAD=ZCOE,

又NCEO=乙ODA=90°,

VOCESVAOD,

.OCCEOEHnV15CEOE

AOODAD石12

二解得CE=G，OE=20,

.?.點C的坐標(biāo)為（-26,6）,

將卜26,6）代入y=;得，k=-2&0=-6.

故答案為：—6.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

19.（2023年四川省樂山市中考數(shù)學(xué)真題）定義：若x,y滿足f=4y+/,y2=4x+r且X*），（f為常數(shù)），

則稱點M（x,y）為“和諧點”.

（1）若尸（3,附是“和諧點”，則〃?=.

（2）若雙曲線y=X（-3<x<-l）存在“和諧點”，則k的取值范圍為.

x

【答案】-73<%<4

【分析】（1）根據(jù)“和諧點”的定義得到3?=4,〃+/,*=4x3+/,整理得到川+4〃L21=0,解得

孫=-7,外=3（不合題意，舍去），即可得到答案；

（2）設(shè)點（。力）為雙曲線y=?-3<x<-l）上的“和諧點”，根據(jù)“和諧點”的定義整理得到

（a-/?）（a+/?+4）=0,由6得至!|a+6+4=0,貝lJ6=-a-4,由6=人（一3<a<-1）進(jìn)一步得至！|

k=-（a+2『+4,且-根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到出的取值范圍.

【詳解】解：（1）若洋3,m）是“和諧點”,則32=4%+r,/=4x3+f,

則32—4帆=;??2—12=/,

???32-4m=^2-12,

即療+4加一21=0,解得帆=-7,私=3（不合題意,舍去）,

/.w=-7,

故答案為：一7

(2)設(shè)點(。2)為雙曲線y=：(-3<<<-1)上的“和諧點”,

X

a2=4b+t,b2=4a+t,b=-(-3<a<-l),

a

即a2-4b=b2-4a，

J(a+Z?)(a-Z?)+4(a-人)=0,

則(a—Z?)(Q+/?+4)=0,

Vaxb,

??a+力+4=0,

即。二一。一4,

V/?=-(-3<a<-l),

a

k=ab=a(-a-4)=-a2-4a=-^a+2y+4,且-3<a<-1,

對拋物線A=—(a+2『+4來說，

V-l<0,

開口向下，

當(dāng)a=-l時，％=-(-1+2)2+4=3,

當(dāng)a=-3時，上=一(一3+2)2+4=3,

.?,對稱軸為a=—2,—3<a<—1>

...當(dāng)a=-2時，％取最大值為4,

.”的取值范圍為3<%<4,

故答案為：3<%<4

【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，讀懂題意，熟練掌握反比例函

數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.(2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，MN垂直于x

軸，以MN為對稱軸作ODE的軸對稱圖形，對稱軸MN與線段OE相交于點F,點力的對應(yīng)點8恰好落

在反比例函數(shù)y=K(x<0)的圖象上，點。、E的對應(yīng)點分別是點C、A.若點A為OE的中點，且

X

則左的值為.

【分析】連接BO,設(shè)4G=EG=a,由對稱的性質(zhì)知￡C=AO=A￡=2?,AC=EO=4?,利用相似三角

形的判定和性質(zhì)求得以￡加=：*16=2,則“AS=2,根據(jù)SMCBUSAACB+SAWB以及反比例函數(shù)的幾何意

O

義求解即可.

設(shè)對稱軸MN與x軸交于點G,

：.ODE與△C54關(guān)于對稱軸MN,

AG=EG,AC=EO,EC=AO,

?..點A為OE的中點，

設(shè)AG=EG—a,則EC=AO=AE-2a,

AC=EO-4a,

..\

?dA￡4F-，

.Q-J.。_1

?*°AEGF—~g，

?.?GF\OD,

：.△EFGSAEDO,

,*S&EOD=三X16=2，

o

?q—?

VAC=4afA0=2a,

??S^OCB=S&ACB+S4AQB=2+1=3

.?.綱=3,

：%<0,

.*.k=-6,

故答案為：-6.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、中點的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、反比例函數(shù)的定義等內(nèi)容,

解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)定義與性質(zhì)，能根據(jù)題意在圖形中找到對應(yīng)關(guān)系，能挖掘圖形中的隱含信息

等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等.

21.（2019?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，反比例函數(shù)『=3、>0）的圖象經(jīng)過矩形0ABC對角線的交點

M,分別交AB,BC于點、D、E.若四邊形。。BE的面積為12,則k的值為.

【答案】4

【分析】本題可從反比例函數(shù)圖象上的點E、。入手，分別找出AOCE、\0AD.X。45c的面積與

閡的關(guān)系，列出等式求出k值.

【詳解】?：E,M、。位于反比例函數(shù)圖象上，

=,

SA%￡=萬|&|'^HOAD2^1

過點M作軸于點G,作MNJ_x軸于點N,

四邊形ONMG是矩形，

,*?S矩形ONMG=14，

??,"為矩形ABCO對角線的交點,

S矩形ABCO=4S矩開勿鹿同=4網(wǎng)

?..函數(shù)圖象在第一象限,

：.k>0,

kk

S矩形A8CO=S&OCE+^^OAD+S四邊形ODBE=]+/+12=4Z,

故答案為4

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與

坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|.

22.（2023年四川省自貢市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，直線y=-$+2與x軸，y軸分別交于4,B兩點，點。

是線段4B上一動點，點H是直線y=-gx+2上的一動點，動點雙帆0）,F（m+3,O）,連接

BE,DF,HD.當(dāng)3E+OF取最小值時，38/7+5W7的最小值是.

【分析】作出點C（3,-2）,作于點。，交x軸于點F,此時BE+止的最小值為CD的長，利用

解直角三角形求得尸（,，0）,利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立即可求得點。的坐標(biāo)，過點。

作DGLy軸于點G,此時38〃+5?！钡淖钚≈凳?3G的長，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：???直線y=-gx+2與x軸，y軸分別交于A,B兩點，

???3（0,2）,A（6,0）,

作點B關(guān)于x軸的對稱點夕（0,-2）,把點夕向右平移3個單位得到C（3,-2）,

作CD_LA8于點。，交x軸于點F,過點8'作B'E〃CD交x軸于點E,則四邊形EFC8'是平行四邊形,

此時，BE=B'E=CF,

：.BE+QF=CF+￡)F=CD有最小值，

貝|JCP=2,OP=3,

---NCFP=ZAFD,

：.ZFCP=ZFAD,

tanZ.FCP=tanZFAD,

.PF^_OB即竺二

PCOA26

,".PF=|,則

設(shè)直線co的解析式為y="+》,

3k+b=-2

k=3

則,解得

—k+b^Ob=-\\

3

???直線8的解析式為y=3x-11,

39

y=3x-\\x=一

10

聯(lián)立,1,解得

y=一一x+27

3y——

10

3971

即。

過點。作軸于點G,

直線y=_gx+2與X軸的交點為則=|,

3

???sin/O3Q=絲="=3,

BQ士5

2

3

HG=BHsin/GBH=BH,

??.3BH+5DH=5（|8"+O"）=5（"G+O"）=5DG,

3939

即3B〃+5￡>，的最小值是5DG=5xe=，，

102

故答案為：-

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，利用軸對稱求最短距離，解題的關(guān)鍵是靈活運用所

學(xué)知識解決問題.

三、解答題

23.（2021?青海西寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=1x與反比例函數(shù)y="（x>0）的圖象交于點A,

2x

2

軸于點8,延長A8至點C,連接OC.若cosNBOC=§,OC=3.

（1）求OB的長和反比例函數(shù)的解析式；

（2）將.A08繞點。旋轉(zhuǎn)90。，請直接寫出旋轉(zhuǎn)后點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo).

2

【答案】（1）OB=2,y=-（x>0）-（2）A<-L2）或（1,-2）

x

【分析】（1）由三角函數(shù)值，即可求出。8=2,然后求出點A的坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)的解析式;

（2）根據(jù)題意，可分為：順時針旋轉(zhuǎn)90度和逆時針旋轉(zhuǎn)90度，兩種情況進(jìn)行分析，即可得到答案.

【詳解】解：（1）軸于點8

ZOBC=90°

2

在RtZXOBC中，OC=3,cosZBOC=-

，點A的橫坐標(biāo)為2

又?.?點A在正比例函數(shù)y=-x的圖象上

y=—x2=1,

-2

，4（2,1）

把A（2,l）代入y=A,得1=&

x2

:.k=2,

2

...反比例函數(shù)的解析式是y=*（x>0）；

X

（2）根據(jù)題意，

?.?點A為（2,1）,

?..將AOB繞點。旋轉(zhuǎn)90。，

則分為：順時針旋轉(zhuǎn)90度和逆時針旋轉(zhuǎn)90度，如圖:

4（一1,2）或（1,一2）.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，以及三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

所學(xué)的知識，正確的畫出圖像進(jìn)行分析.

4

24.（2022.重慶.統(tǒng)考中考真題）反比例函數(shù)y=上的圖象如圖所示，一次函數(shù)丁二辰+力（kwO）的圖象與

x

4

y=一的圖象交于A（，％4）,8（-2,〃）兩點，

X

⑴求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在所給的平面直角坐標(biāo)系中面出該函數(shù)的圖象;

⑵觀察圖象，直接寫出不等式丘+。〈上4的解集；

x

⑶一次函數(shù)y=的圖象與無軸交于點c,連接。4,求。4C的面積.

【答案】(1)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x+2；函數(shù)圖象見解析；

⑵XV—2或Ovxvl

(3)2

4

【分析】(1)把4九4),3(-2/)分別代入丁=—求出加，〃的值，再運用待系數(shù)法求出〃，〃的值即可;

x

(2)根據(jù)交點坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象即可解答；

(3)先求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積公式求解即可.

4

【詳解】(1)??,一次函數(shù)＞="+'(女工0)的圖象與丁=—的圖象交于4也4),B(—2,〃)兩點，

x

4

.??把A(肛4),8(-2,〃)分別代入"—，得，

x

4m=4,-2n=4,

解得，m=1,/?=-2,

??.A(1,4),B(-2,-2),

把A(l,4),8(-2,-2)代入產(chǎn)奴+,得：

肚+6=4

\-2k+b=-2f

k=2

解得,

h=2

...一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x+2；

畫出函數(shù)圖象如下圖：

4

(2)?.?直線y=2x+2與反比例函數(shù)y==交于點A(1,4),B(-2,-2)

X

???當(dāng)XV-2或0<xvl時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，

4

??.不等式"+b〈一的解集為了<—2或0<x<l；

X

(3)如圖，

4

X

345

對于y=2x+2,當(dāng)y=0時,2x+2=0,

解得，x=-l,

...點C的坐標(biāo)為(-1,0)

VA(1,4)

=gx1x42

【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系.

25.(2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)真題)如圖，點A的坐標(biāo)是(-3,0),點8的坐標(biāo)是(0,4),點、C為OB

x

(2)一次函數(shù)圖像經(jīng)過4、4兩點，求該一次函數(shù)的表達(dá)式.

【答案】(i)y=§

X

13

(2)y=-x+-

【分析】(1)由點B的坐標(biāo)是(0,4),點C為。8中點，可得C(0,2),OC=BC=2,由旋轉(zhuǎn)可得：

BC=BC=2,NCBC'=90。，可得C'(2,4),可得％=2x4=8,從而可得答案；

(2)如圖，過4作A'〃_L8C于H,則NAOB=NA'〃3=90。，而NW=90°,AB=AB,證明

ABO^BAH,可得A。=8〃=3,OB=A'〃=4,4(4,1),設(shè)直線A4,為》=皿+〃，再建立方程組求

解即可.

【詳解】(1)解：???點B的坐標(biāo)是(0,4),點C為。8中點，

AC(0,2),OC=BC=2,

由旋轉(zhuǎn)可得：BC=BC=2,NCBC'=90。，

C(2,4),

女=2x4=8,

Q

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=±；

X

(2)如圖，過A作AH_L3C于”，

則ZAQ8=ZA7/5=90。，而ZABA=90。，AB=AB,

A1oTX

：.ZABO+ZBAO=90。=ZABO+ZABO,

Z.?BAOTA^BH,

A..ABO^BAH,

：.AO=BH=3,OB=A'H=4,

：.OH=4-3=\,

：.A（4,1）,

設(shè)直線44'為？=，火+〃，

1

nt=-

-3m+n=07

,,解得：

4A"?+n=\3'

n=—

7

13

???直線A4'為尸尸+,.

【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，全等三角形的

判定與性質(zhì)，熟練的求解4（4,1）是解本題的關(guān)鍵.

9

26.（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一次函數(shù)丫="+：（攵為常數(shù)，ZwO）的圖象與反比例

4

函數(shù)產(chǎn)夕，〃為常數(shù)，〃/0）的圖象在第一象限交于點4。,〃），與x軸交于點網(wǎng)-3,0）.

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

⑵點戶在x軸上，是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出點尸的坐標(biāo).

393

【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為反比例函數(shù)的解析式為），=士

44x

⑵(-8,0)或(2,())或(5,0)

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，把已知點代入再解方程即可得出答案；

(2)首先利用勾股定理求出得AB的長，再分兩種情形討論即可.

【詳解】(1)解：把點8(-3,0)代入一次函數(shù)y=得，

9

-3*+-=0,

4

3

解得：k=j

4

39

故一次函數(shù)的解析式為y=，

44

anan

把點代入y=+得”=(+：=3,

，A(1,3),

把點A(l,3)代入)，=竺，得機(jī)=3,

X

故反比例函數(shù)的解析式為y=±；

X

(2)解：8(—3,0),A(l,3),AB=5,

當(dāng)鉆=P8=5時，P(-8,0)或(2,0),

當(dāng)=時，點R8關(guān)于直線x=l對稱，

45,0),

綜上所述：點P的坐標(biāo)為(-8,0)或(2,0)或(5,0).

【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，等腰三角形的性質(zhì)等知識，

運用分類思想是解題的關(guān)鍵.

27.(2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線A8所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）在x軸上是否存在一點P,使AMP周長的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

【答案］⑴>=9，y=-1x+4

x2

⑵在x軸上存在一點P（5,0）,使周長的值最小，最小值是26+4&.

【分析】（1）過點A作A￡_Lx軸于點E，過點B作8￡>_Lx軸于點。，證明ACEWCBQ（AAS）,則

CD=AE=3、BD=EC=m,由。E=3-機(jī)得到點A的坐標(biāo)是（3-6,3）,由A、3（6,/%）恰好落在反比例函

數(shù)>=:第一象限的圖象上得到3（3-〃?）=&〃，解得機(jī)=1,得到點A的坐標(biāo)是（2,3）,點8的坐標(biāo)是

（6,1）,進(jìn)一步用待定系數(shù)法即可得到答案；

（2）延長AE至點A,使得EA=AE,連接A'B交x軸于點P,連接轉(zhuǎn)，利用軸對稱的性質(zhì)得到

/3=A尸，A'（2,-3）,則AP+P3=/T8,由AB=2石知A8是定值，此時一ABP的周長為

=最小，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，求出點P的坐標(biāo)，再求出周長最

小值即可.

【詳解】（1）解：過點A作AE_Lx軸于點E,過點8作軸于點D,

則NAEC=NCDB=90°,

?.?點C（3,0）,B（6,m）,

/.OC-3,0D=6,BD=m,

???CD=OD-OC=39

???ABC是等腰直角三角形，

ZACB=90°,AC=BC,

■:ZACE+/BCD=/CBD+/BCD=90°,

:.ZACE=/CBD,

.?…ACE均CBO（AAS）,

:.CD=AE=3,BD=EC=m,

:.OE=OC—EC=3—m,

???點A的坐標(biāo)是（3-九3）,

b

???A、B（6,6）恰好落在反比例函數(shù)尸乙第?象限的圖象上.

x

3（3—/n）=6m,

解得機(jī)=1,

???點A的坐標(biāo)是（2,3）,點8的坐標(biāo)是（6,1）,

/.k=6m=6,

...反比例函數(shù)的解析式是y=9,

X

設(shè)直線AB所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=px+q,把點4和點B的坐標(biāo)代入得,

1

2〃+4=3

'解得P=N

6p+q=iq=4

直線A8所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-gx+4,

（2）延長AE至點4,使得EA=AE,連接AB交x軸于點P,連接AP,

.,.點4與點A關(guān)于x軸對稱,

AAP=A'P,A（2,-3）,

AP+PB=AP+PB=A'B,

AP+P3的最小值是A3的長度，

,/AB=J（2-6）2+（3-爐=2石，即A8是定值,

/.此時,A8P的周長為AP+PB+AB=AB+A!B最小,

設(shè)直線AB的解析式是y=m+t,

2n+t=-3

則

6n+t=\

n=1

解得

,=一5

直線A'3的解析式是y=x-5,

當(dāng)y=0時，0=x-5>解得x=5,

即點P的坐標(biāo)是（5,0）,

此時AP+PB+AB=AB+A'B=2^+^/(2-6)2+(-3-1)2=2石+4夜，

綜上可知，在x軸上存在一點尸（5,0）,使」WP周長的值最小，最小值是2石+4夜.

【點睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理求

兩點間距離、軸對稱最短路徑問題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)

鍵.

28.（2023年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，直線，=去+〃與x軸交于點

⑵當(dāng)丘+6＞竺時，直接寫出x的取值范圍;

X

（3）在雙曲線、='上是否存在點尸，使2/WP是以點A為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P的坐

X

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y="

X

⑵xv—2或0cx<6

（3）（3,—2）或（1,—6）

【分析】（1）將A（4,0）,B（0,2）代入，=日+樂求得一次函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而可得點C的坐標(biāo)，再將點C的

坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可；

（2）將一次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組，求得交點坐標(biāo)即可得出結(jié)果；

（3）過點A作交y軸于點勾股定理得出點M的坐標(biāo)，在求出直線AP的表達(dá)式，與反比例

函數(shù)聯(lián)立方程組即可.

/\\f4k+b=0

【詳解】（1）解：把&4,0）,磯0,2）代入丫=丘+6中得：6=2，

k=-L

.,J2,

b=2

.?.直線，="+6的解析式為y=-gx+2,

在y=-]X+2中，當(dāng)x=6時，y=