浙江省錢(qián)塘聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省錢(qián)塘聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有〖答案〗必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.若直線，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：A2.已知，則該圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，即，故該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．故選：A．3.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.且〖答案〗D〖解析〗方程表示橢圓，，得，得且．故選：D．4.在的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則（）A.10 B.20 C.30 D.40〖答案〗B〖解析〗易知展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，解得.故選：B5.已知三棱錐，是以為斜邊的直角三角形，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，半徑為，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，即，又平面，平面，所以，，所以，所以，因?yàn)槭且詾樾边叺闹苯侨切危?，所以，設(shè)外接球的半徑，球心為，連接、，，則平面且，即，所以三棱錐外接球的表面積是．故選：B．6.已知3名教師和4名學(xué)生排成一排照相，每位教師互不相鄰，且教師甲和學(xué)生乙必須相鄰，一共有多少種不同的排法？（）A.144 B.288 C.576 D.720〖答案〗C〖解析〗先將教師甲和學(xué)生乙捆綁成一個(gè)元素，與另外3名學(xué)生全排列，則有種方法，再將剩下的兩名教師插入除去與教師甲相鄰的四個(gè)空位中，有種方法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有種不同的排法，故選：C7.大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程中曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題目，該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是，，則（）A.數(shù)列第16項(xiàng)為144 B.數(shù)列第16項(xiàng)為128C.200是數(shù)列第18項(xiàng) D.200不是數(shù)列中的項(xiàng)〖答案〗B〖解析〗由此數(shù)項(xiàng)的前10項(xiàng)的規(guī)律可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，對(duì)于AB，，所以A錯(cuò)誤，B正確，對(duì)于C，，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若200中偶數(shù)項(xiàng)，則，得，所以200是此數(shù)列的第20項(xiàng)，所以D錯(cuò)誤，故選：B8.已知拋物線，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，交圓于兩點(diǎn)，其中位于第一象限，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗由題意得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不滿足交拋物線于兩點(diǎn)，舍去，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，方程的判別式，設(shè)，則，，則，，其中的圓心為，半徑為1，故，同理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B.若，則是銳角C.已知向量組是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底D.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A，根據(jù)空間向量共面定理知：空間中三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面，故A正確；對(duì)B，若，則，故B錯(cuò)誤對(duì)C，假設(shè)共面，則，因?yàn)橄蛄拷M是空間的一個(gè)基底，所以不存實(shí)數(shù)，使得成立，故不共面，即也是空間的一個(gè)基底，故C正確.對(duì)D，因?yàn)?，且，所以四點(diǎn)共面，故D正確.故選：ACD.10.已知拋物線，為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)A與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有一條B.動(dòng)點(diǎn)到直線的最小距離為C.動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與到軸距離之和的最小值為1D.過(guò)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線斜率為1〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，如下圖所示：過(guò)點(diǎn)A與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條，一條是以為切點(diǎn)的切線，另一條是過(guò)點(diǎn)A且斜率為0的直線；所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將直線平移到與拋物線相切，切點(diǎn)為A時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最小，如下圖所示：不妨設(shè)切線方程為，聯(lián)立并整理可得，此時(shí)，解得，即切線為；此時(shí)兩平行線之間的距離最小為,即B正確；對(duì)于C，易知拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，作垂直于準(zhǔn)線，垂直于直線，如下圖所示：由拋物線定義可得，所以動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為，而動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，所以動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與到軸距離之和為，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和最??；最小值為焦點(diǎn)到直線的距離再減去1，即，可知C正確；對(duì)于D，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，；與拋物線聯(lián)立并整理可得，由韋達(dá)定理可得，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，可得，又在直線上，解得，即，即直線斜率為1，可得D正確.故選：BCD11.英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)：如圖，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面的過(guò)程得到；一直下去，得到數(shù)列，叫作牛頓數(shù)列．若函數(shù)，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，由，得，所以在點(diǎn)處切線的斜率為，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以A正確，對(duì)于BCD，由選項(xiàng)A可知，，所以，，所以，所以，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以C錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以?shù)列是遞增數(shù)列，所以B正確，因?yàn)椋訢錯(cuò)誤，故選：AB非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.有5本不同的書(shū)，全部借給3人，每人至少1本，共有______種不同的借法.〖答案〗150〖解析〗將5本不同的書(shū)分成滿足題意的3組有1，1，3與2，2，1兩種，分成1、1、3時(shí)，有種分法，分成2、2、1時(shí)，有種分法，所以共有種分法，故〖答案〗為：．13.已知圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗的漸近線方程為，，圓心為，半徑為2，由幾何關(guān)系得，圓心到的距離為1，即，解得，故離心率為故〖答案〗為：14.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗令，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，易知函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即可得在上單調(diào)遞減，由不等式可得；即，因此可得，解得.即不等式的解集為.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.15.已知（1）求；（2）求值．解：（1）因?yàn)椋睿瑒t，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以，所以；（2）對(duì)于，令，可得；令，可得，所以.16.已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)公差為，公比為，，因?yàn)椋?，解得（舍去）或，故，；?），故.17.已知函數(shù)（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：．解：（1）因?yàn)?，則，，則，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，先證，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），再證，設(shè)，，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，，（）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，（）單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，所以．18.如圖，現(xiàn)有三棱錐和，其中三棱錐的棱長(zhǎng)均為，三棱錐有三個(gè)面是全等的等腰直角三角形，一個(gè)面是等邊三角形，現(xiàn)將這兩個(gè)三棱錐的一個(gè)面完全重合組成一個(gè)組合體．（1）求這個(gè)組合體的體積；（2）求證：平面（3）求二面角的余弦值．解：（1）由題意，可將組合體補(bǔ)形為正方體，如圖所示，由，可得正方體棱長(zhǎng)，故多面體的體積；（2）在正方體中，平面平面，平面，故平面，即平面；（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，則，所以，取平面的一個(gè)法向量為，則，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，故二面角的余弦值為.19.如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，則稱它們?yōu)椤皩\生”曲線，若雙曲線與橢圓是“孿生”曲線，且橢圓，（分別為曲線的離心率）（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為①是否存在實(shí)數(shù)，使得，若