2025屆高考數(shù)學(xué)一輪備考等差數(shù)列專項(xiàng)練

Page9等差數(shù)列專項(xiàng)練一、單選題1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，且，，則（

）A．38 B．20 C．10 D．92．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，則（）A．20 B．27 C．36 D．453．《周髀算經(jīng)》中給出了：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列的結(jié)論.已知某地區(qū)立春與驚蟄兩個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)分別為9尺和7尺，現(xiàn)在從該地日影長(zhǎng)小于7尺的節(jié)氣中隨機(jī)抽取2個(gè)節(jié)氣進(jìn)行日影長(zhǎng)狀況統(tǒng)計(jì)，則所選取這2個(gè)節(jié)氣中恰好有1個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)小于3尺的概率為（

）A． B． C． D．4．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－7，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（

）A．139 B．153C．144 D．1785．已知遞增等差數(shù)列中，，則的（

）A．最大值為－4 B．最小值為4 C．最小值為－4 D．最大值為46．某市抗洪指揮部接到最新雨情通報(bào)，將來城區(qū)攔洪壩外洪水將超過警戒水位，因此須要緊急抽調(diào)工程機(jī)械加高加固攔洪壩．經(jīng)測(cè)算，加高加固攔洪壩工程須要調(diào)用臺(tái)某型號(hào)翻斗車，每輛翻斗車須要平均工作．而抗洪指揮部目前只有一輛翻斗車可馬上投入施工，其余翻斗車須要從其他施工現(xiàn)場(chǎng)抽調(diào)．若抽調(diào)的翻斗車每隔才有一輛到達(dá)施工現(xiàn)場(chǎng)投入工作，要在內(nèi)完成攔洪壩加高加固工程，指揮部至少還須要抽調(diào)這種型號(hào)翻斗車（

）A．輛 B．輛 C．輛 D．輛7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則最小時(shí)，的值為（

）.A．2 B．1或2 C．2或3 D．3或48．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個(gè)數(shù)學(xué)問題，其中一個(gè)問題為“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升.問中間二節(jié)欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量改變勻稱，即由下往上勻稱變細(xì).該問題中由上往下數(shù)的第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為（

）A．升 B．升 C．升 D．升9．已知數(shù)列、都是等差數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為.若，則（

）A． B． C． D．10．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則（）A． B． C． D．11．一個(gè)至少有3項(xiàng)的數(shù)列中，前項(xiàng)和是數(shù)列為等差數(shù)列的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿意若對(duì)隨意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題13．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，（），則an＝__．14．已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列.令，則數(shù)列的前50項(xiàng)和_________.15．在等差數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為_______.16．已知數(shù)列滿意，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則的最小值是______．三、解答題18．等差數(shù)列滿意，.（1）求的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)等比數(shù)列滿意，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1，等差數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，對(duì)隨意，都有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為.①求；②若不等式對(duì)隨意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)的和；(2)設(shè)，證明：.22．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．1．C【詳解】解：依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得．∵，∴或．若，明顯不成立，∴．∴，解得．故選：C．2．C【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，，因此又，.故選C3．B【詳解】設(shè)十二節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，公差為，由題意知：，，可得，所以，令可得：，可得：，所以這十二節(jié)氣的日影長(zhǎng)小于3尺的有個(gè)，分別為，小于尺的有個(gè)，分別為，，，，，，從中任取個(gè)基本領(lǐng)件有，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)，所以所選取這2個(gè)節(jié)氣中恰好有1個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)小于3尺的有，，，，，，，共有個(gè)，所選取這2個(gè)節(jié)氣中恰好有1個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)小于3尺的概率為，故選：B4．B【詳解】∵an＝2n－7，∴，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＝－5，d＝2.∴前n項(xiàng)和.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝.故選：B5．B【詳解】解：∵遞增等差數(shù)列{an}中，a1a2=﹣2，∴a1(a1+d)=﹣2，且d>0，∴d=，∴a1<0，∴a3=a1+2d=≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1=﹣2時(shí)，等號(hào)成立，∴a3有最小值4.故選：B.6．C【詳解】總工作量為：，由題意可知：每調(diào)來一輛車，工作時(shí)間依次遞減，則每輛車的工作時(shí)間成等差數(shù)列，設(shè)第輛車的工作時(shí)間為，則，等差數(shù)列的公差，輛車的工作總時(shí)長(zhǎng)，，，共需輛車完成工程，至少還須要抽調(diào)輛車.故選：C.7．C【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，，所以，因?yàn)椋援?dāng)或時(shí)，其有最小值.故選：C8．A【詳解】解：設(shè)自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為升，升，…，升，則數(shù)列，，…，為等差數(shù)列.依題意有，又因?yàn)?，，?故選：A.9．A【詳解】∵，∴，故選：A10．A【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．11．C【詳解】解：若，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，即①，當(dāng)時(shí)，②，①②得，，，數(shù)列為等差數(shù)列，充分性成立，若數(shù)列為等差數(shù)列，則明顯成立，必要性成立，前項(xiàng)和是數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件，故選：C．12．B【詳解】由已知，對(duì)隨意的，都有成立，即，即，又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，，且是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，，即，解得.故選：B.13．【詳解】數(shù)列{an}滿意a1＝1，（），可得：，,所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1，所以1+（n﹣1）×1＝n，所以．故答案為：14．.【詳解】因?yàn)?，，，由題意得，解得所以則，則.故答案為：.15．【詳解】由題意，等差數(shù)列中，，所以，故答案為：.16．.【詳解】因?yàn)椋?，得．所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．又，，所以，所以，，，…，，…構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，，，…，，…構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．所以當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，．故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．故答案為：.17．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，解得，因此，，令，解得，于是得數(shù)列是遞增等差數(shù)列，其前6項(xiàng)為負(fù)，第7項(xiàng)為0，從第8項(xiàng)起先為正，所以或最小，最小值為．故答案為：18．（1）；（2）.【詳解】解：()∵是等差數(shù)列，，∴解出，，∴.()∵，，是等比數(shù)列，，∴b1=419．（1）．（2）【詳解】解：（1）由條件可知，，.，，，.由題意為等差數(shù)列，，解得，；（2）由（1）知，，①則②①-②可得，.20．（1）；（2）①；②.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，所以當(dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，，所?①所以.②因?yàn)樵谏鲜沁f減函數(shù)，所以在上是遞增的，所以當(dāng)時(shí)，取最小值.所以原不等式恒成立可得21．(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合前項(xiàng)和公式，即可求得結(jié)果；（2）利用錯(cuò)位相減法求得的前項(xiàng)和，再證明即可.(1)因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，又，故數(shù)列{}是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，.(2)由題可知，記，所以①①，得②①②，得，故，又，故，即證.22．（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因?yàn)?，所以，所以．在中，?dāng)時(shí)，．故數(shù)列是以為首項(xiàng)，