第12講 直角三角形（4大考點(diǎn)）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期考試滿分全攻略滬教版（解析版）

第12講直角三角形（4大考點(diǎn)）

圖形定理符號(hào)

A/r

在RfMBC與RtMBC中，

如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直

角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角AC^A'C',AB^A'B',

k.形全等（簡(jiǎn)記：H.L）

/.RtMBC9Rt\A'B'C\H.L)

Cc

2.直角三角形的性質(zhì)定理及推論

定理1直角三角形的兩個(gè)銳角互余；

推論1：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)

直角三角形斜邊上的中線等的直角邊等于斜邊的一半；

定理2

于斜邊的一半.推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那

么這條直角邊所對(duì)的角等于30°.

3.勾股定理

圖形名稱定理符號(hào)表示

邊的定理在直角三角形中，斜邊大于直角邊.在Rt/^ABC中，c>a,c>b

A

直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊在R/AABC中，NC=90°,

勾股定理

的平方.

如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊

AbC勾股定理在R/AABC中，c2^a2+b2,

的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

逆定理.-.ZC=90°

4.兩點(diǎn)的距離公式

①數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)m、n,則AB的距離為|加

②如果直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)6（X1,y）、鳥(niǎo)（々，為），那么《、鳥(niǎo)兩點(diǎn)間的距離

2

利=y］（^-x2f+（）\-y2）.

u考點(diǎn)精講

考點(diǎn)一：直角三角形全等的判定與直角三角形的性質(zhì)

一、填空題

1.（2022?上海?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在梯形48C。中，AD//BC,A￡>=3,AB=CD=4,ZA=120°,

則下底BC的長(zhǎng)為

【分析】分別過(guò)點(diǎn)A作AELBC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)F,分別利用解直角三角形的知識(shí)得出BE、

CF的長(zhǎng)，繼而可得出答案.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE_LBC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作OF,8c于點(diǎn)F,

：.BE=2,

同理可得CF=2,

故BC的長(zhǎng)=BE+￡F+FC=4+AD=7.

故答案為：7

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，解答本題的關(guān)

鍵是求*BE及CF的長(zhǎng)度，要求我們熟練記憶等腰梯形的幾個(gè)性質(zhì).

2.（2022?上海市羅星中學(xué)八年級(jí)期末）已知.A8C是等腰三角形，AO是BC邊上的高，且3c=2A￡>,那

么此三角形的頂角的度數(shù)為=.

【答案】3（T或者90°

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分情況討論，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：如圖1,取A8的中點(diǎn)E,連接OE,

B

困1

BC=2AD,BA=BC,

AD=AEf

ADLBD,E是K4的中點(diǎn),

:.ED=-AB=AE,

2

.二A￡D是等邊三角形，

/.Z￡A￡>=60°,

/.ZB=30°；

如圖2,ABC是等腰三角形，

圖2

ADLBC,AB=AC,

/.BD=DC,

AD=、BC=BD,

2

工班>是等腰直角三角形,

/.ZB=45°,

vAB=AC,

/.ZC=ZB=45°,

/.ZBAC=90°；

故答案為：30°或90。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì),

三角形內(nèi)角和定理，分類討論并畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

3.(2021?上海普陀?八年級(jí)期末)如圖，在AASC中，

(1)用直尺和圓規(guī)分別作NACB的平分線、線段A8的中垂線、它們的交點(diǎn)例(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡,

在圖上清楚地標(biāo)注點(diǎn)M)；

(2)過(guò)點(diǎn)M作ME_L8C,MFLAC,垂足分別為點(diǎn)E、F.求證：BE=AF.

【分析】(1)利用尺規(guī)作出NA8C的角平分線，線段A8的中垂線即可；

(2)證明RjMEB絲RJME4,可得3E=A尸.

(1)

解：證明：如圖，連接AM,BM,

.點(diǎn)M在A8的垂直平分線上，

：.MA=MB,

平分ZBAC,MEYAB,MF1AC,

:.ME=MF,

,ZMEB=^MFA=9CP,

在MEB和RtAMFC中,

fMB=MA

[ME=MF'

RtMEB^RtMFA（HL）,

；.BE=AF.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

4.（2021?上海?八年級(jí)專題練習(xí)）已知I,如圖，BD是NABC的平分線，AB=BC,點(diǎn)P在BD上，PM±AD,

PN±CD,垂足分別是M、N.

（1）求證：PM=PN；

（2）聯(lián)結(jié)MN,求證：PD是MN的垂直平分線.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得/ABD=NCBD,然后利用“邊角邊”證明△ABD和ACBD全等，根

據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得NADB=/CDB,然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證明即可

得到答案；

（2）利用“HL”證明RSPDM絲RtAPDN,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DM=DN,然后根據(jù)線段的垂

直平分線性質(zhì)定理的逆定理即可得到結(jié)論；

【詳解】解：（1）：BD為NABC的平分線，

，/ABD=NCBD,

在^ABD和4CBD中，

AB=BC

"NABD=NCBD,

BD=BD

/.△ABD^ACBD(SAS),

AZADB=ZCDB,

?點(diǎn)P在BD上，PM1AD,PN±CD,

APM=PN（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）;

(2)在RtAPDM和RtAPDN中,

PM=PN

PD=PD

PDMgR3PDN（HL）,

；.DM=DN,

.?.D在MN的垂直平分線上，

PM=PN,

.??P在MN的垂直平分線上，

...PD是MN的垂直平分線.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定

出全等三角形并得到NADB=NCDB和DM=DN是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?上海?八年級(jí)期末）（1）已知，如圖，在三角形A8C中，A。是邊上的高.尺規(guī)作圖：作ZABC

的平分線/（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，寫(xiě)出結(jié)論）；

（2）在己作圖形中，若/與AO交于點(diǎn)E,^BE=AC,BD=AD,求證：AB=BC.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）直接運(yùn)用“角平分線——尺規(guī)作圖”的方法進(jìn)行作圖即可.

（2）過(guò)點(diǎn)E作于”，將AB分成兩部分，再證明8”=80，AH=CD,即可求證.

【詳解】（1）NABC的角平分線如圖所示：

A

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)E作于"，

平分乙4BC,EHA.AB,ED1.BC,

：.EH=ED,

?；BE=BE,

:.△BDE學(xué)ABHE(HL),

'：BH=BD,

\BD=AD

在RtABDE和/?/△AOC中1nN.

ILJtL—zi

:?/\BDE冬/\ADC(HL),

工DE=DC,

:?HE=CD,

9

：AD=BDfZADB=90°t

：.NBAD=45。,

9

：HE±ABf

：.ZHEA=ZHAE=45%

：.HE=AH=CD,

：.BC=BD+CD=BH+AH=AB.

A

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及角平分線的尺規(guī)作圖，掌握全等三角形

的判定定理和正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

6.(2022?上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)八年級(jí)期末)已知：如圖，AB//CD,ZABD=90°,ZAED=90°,BD

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)HL證明用得出N8A￡)=/E4。再由AB〃CD可推出/EA￡>=NADC,最

后根據(jù)外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：在RfAABD與Rt^AED中，

[AD=AD

\BD=DE'

：.RtAABD咨RtAAED(HL),

:.NBAD=NEAD,

'：AB//CD,

：.ZBAD=ZADC,

：.ZEAD=ZADC,

,：NAFC=ZEAD+ZADC,

：.NAFC=2NADC.

【點(diǎn)睛】本題考查J'全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形

的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?上海松江?八年級(jí)期末）如圖，在四邊形A8CZ）中，A8=A￡>,BC>CD,AC平分NBC。，過(guò)點(diǎn)A作

AE1.BC,垂足為點(diǎn)E.

（1）求證：CE=CD+BE；

⑵如果CE=3BE,求Ssg的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；

⑵與也、：SAAC。=2:1.

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AFLCD交CD延長(zhǎng)線于F,先根據(jù)AC平分/BCD,AELBC,AFYCD,得出AE=AF,

ZAEB=ZAFD=90°,再證RtXABE絲RtAADF(HL),得出BE=DF,然后證明RtbACEqACF(HL)

即可；

(2)先求出BC=4BE,CD=2BE,,JsSABC=-BC?AE2BE1AE,S^ADC=-CD1AF5E?AE即

A22

可.

(1)

證明：過(guò)點(diǎn)A作A凡LCD交CD延長(zhǎng)線于F,

：AC平分/8C￡>,AE1.BC,AFLCD,

J.AE^AF,N4EB=/A尸￡)=90°,

在RtAABE和Rt^ADF中，

jAB=AD

[AE-AF'

:.RtAABE公RtXADF(HL),

：.BE=DF,

在RfAACE和RdACF中，

AC=AC

AE=AF

:.RtXACEmR小ACF(HL),

：.CE=CF,

：.CE=CF=CD+DF=CD+BE；

解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE,

：.S^ABC=-BC?AE工鞠BEAE=2BE1AE,

22

CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE,

：.SzAOC=-CD1AF-SS2BEAE=BE1AE,

22

/.SMBC：SMCD=2BE^EtBEAE=2:1.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，線段和差倍分，掌握角平分線性

質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，線段和差倍分是解題關(guān)鍵.

8.（2021?上海市南匯第四中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知出△ABC中，NAC8=90。，/B=15。，邊AB的垂

直平分線交邊BC于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)3,取線段BE的中點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)。凡求證：AC=DE（說(shuō)明：此題的證

明過(guò)程需要批注理由）

【詳解】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得：AE=BE,再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：。尸與8E的關(guān)

系，最后根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)得AC和AE的關(guān)系，從而得出結(jié)論.

【解答】證明：連接AE,

???OE是AB的垂直平分線（已知），

：.AE=BE,NEQB=90。（線段垂直平分線的性質(zhì)），

；.NEAB=NEBA=15。（等邊對(duì)等角），

.../AEC=30°（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）,

心△EDB中，

?.?尸是BE的中點(diǎn)（已知）,

DF=；BE（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），

用AACE中，VZAEC=30°（已知），

...AC=；AE（直角三角形30。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半），

：.AC=DF（等量代換）.

【點(diǎn)睛】本題考查中垂線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，直角三角形30。角所對(duì)的邊與斜邊之間的關(guān)

系，能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵.

9.（2022?上海?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,△ABC是邊長(zhǎng)為26的等邊三角形，已知G是邊AB上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)、（G點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合），S.GE//AC,GF//BC,若AG=x,S^GEF=y.

圖1備用圖

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)定義域；

（2）點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使△GEF成為直角三角形，若能，請(qǐng)求出AG長(zhǎng)度：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形，若能，直接寫(xiě)出SAGEF的值；若不能，請(qǐng)

說(shuō)明由.

【答案】（l）y=-且（0<x<2\/3）

42

（2）AG=|?或AG=：G

⑶能，S^GEF=

【分析】(1)如圖，過(guò)點(diǎn)F作FDLGE于點(diǎn)D.由題意易得△AFG,△BEG都是等邊三角形，則可得NEGF=60°

及FG、EG,可求得FD,則可得y與x的關(guān)系；

(2)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能使△GE尸成為直角三角形；分兩種情況考慮：NEFG=90°；ZFEG=90°,利

用30度角直角三角形的性質(zhì)即可求得AG的值；

(3)若四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形，則ACEF是等邊三角形，AFEG是等邊三角形,由等邊三角形的性

質(zhì)可求得AFEG的邊長(zhǎng)，則可求得其面積.

(1)

如圖，過(guò)點(diǎn)尸作尸CGE于點(diǎn)D

「△ABC是邊長(zhǎng)為2代的等邊三角形，B.GE//AC,GF//BC,

.?.△AFG是等邊三角形，△BEG是等邊三角形，

'?FG=AG=x,EG=BG=2>/3—x,ZJE,GF=60°>

二在RtZ\FDG中，N￡)FG=30°,

DG--FG=-x,由勾股定理得：FD=VFG2—DG2=避~x,

222

y=gEG.在￡)=g(2后=-4工2+-1x(0<x<2相)；

圖1

⑵

當(dāng)NEFG=90。時(shí)，

?；/EGF=60°,

：.FG=-EG,

2

即x=g(26_@,解得：x=|6;

當(dāng)NFEG=90。時(shí)，

,?ZEGF=60°,

:.EG=-FG,

2

即*2癢x,解得：戶紗；

綜上所述：AG=|g或AG=；G；

⑶

若四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形，

則△CE/7是等邊二角形，4FEG是等邊二角形,

EF=FG=AG=GB='AB=B

2

由(1)知，F(xiàn)D=—x>/3=-

22

S.rFF=-GE-FD=-y/3x-=-y[3.

△由2224

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意分類討論思想的運(yùn)用.

10.(2022?上海?八年級(jí)期末)已知△ABC和AAOE都是等腰直角三角形，其中NA8C=/ADE=90。，連接

BD、EC,點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，連接8M、DM.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡＞、E分別在AC、AB上時(shí)，求證：為等腰直角三角形；

(2)如圖2,將圖1中的AADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，使點(diǎn)力落在4B上，此時(shí)(1)中的結(jié)論“ABMO為等

腰直角三角形”還成立嗎？請(qǐng)對(duì)你的結(jié)論加以證明；

(3)如圖3,將圖2中的AAOE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，△BMC為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若

成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析；

(2)成立，證明見(jiàn)解析；

(3)成立，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)/ABC=NCDE=90。，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，

可得即有NA/BC=/MC8,ZMDC=ZMCD,則可得NMBC+/MQC

=NMCB+NMCD=/ACB,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，ZBMD=ZEMB+ZEMD=2ZACfi=2x45°=90°,即

可證得△為等腰直角三角形；

(2)延長(zhǎng)0M交BC于N,先證明△EMD畛△CMM即有。例ED=CN,進(jìn)而有AD=CN,BD=BN,

JjllJWBM=^DN=DM,可得8MLOV,即/8MQ=90。，則有△8MQ為等腰直角三角形；

(3)作CN〃8。交。M延長(zhǎng)線于N,連接8N,先證明△EM。絲/XCMN,根據(jù)(2)的方法同理可證得△BMC

為等腰直角三角形.

(1)

ZABC=ZCDE=9Q°，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，

：.BM=MC=；EC,DM=MC=^EC,

:.BM=DM,NMBC=/MCB,NMDC=NMCD,

NMBC+NMDC=NMCB+NMCD=NACB,

：NEMB=NMBC+NMCB,ZEMD=ZMDC+ZMCD,

：.ZBMD=ZEMB+ZEMD=ZMBC+ZMCB+ZMDC+ZMCD=2NACB=2x45°=90°,

...△8M。為等腰直角三角形；

(2)

成立；

如圖1,延長(zhǎng)。M交8c于N,

?.?△/18(7和4AOE都是等腰直角三角形，N48c=/AZ)E=90。,

：.BA=BC,DE=DA,ZEDB=90°,

：.NEDB=NDBC,

：.ED//BC,

：.NDEM=/NCM,

?.?M為EC中點(diǎn)，

；.EM=CM,又4EMD=4CMN,

△EM。絲△CMN,

：.DM=MN,ED=CN,

.'.AD=CN,

：.BD=BN,

:.BM=；DN=DM,

：.BMVDN,EPZBMD=90°,

...△BMC為等腰直角三角形；

(3)

成立；如圖2,作CN〃BD交DM延長(zhǎng)線于N,連接BN,

'：CN//BD,

：.NBAC=/MCN=45。,

：.NE=NMCN=45。,

*：NDME=NNMC,EM=CM,

：./\EMD@/\CMN,

：.CN=DE=AD,MN=DM,

XVNDAB=180°-45°-45°=90°,NBCN=450+45°=90°,

，NDAB=NBCN,

又BA=BC,

.,.△OBA絲△NBC(SAS),

:.NDBA=/NBC,BD=BN；

：.NDBN=NABC=90。,

.?.△QBN是等腰直角三角形，且8M是底邊中線，

：.BMLDM,NDBM=NBDM=45。,BM=DM=MN,

即ABM。為等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題是一道三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等

于斜邊的一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識(shí)，充分利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的

一半的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

11.(浦東新區(qū)2020期末25)(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖1,ZXACB和4DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A,D,E在同一直線上，連接BE.

填空：①NAEB的度數(shù)為；②線段AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)拓展探究如圖2,AACB和4DCE均為等腰直角三角形，NACB=NDCE=90°,點(diǎn)A,D,E在同一

直線上，CM為4DCE中DE邊上的高，連接BE,請(qǐng)判斷NAEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

【答案】結(jié)論：(1)60；(2)AD=BE；應(yīng)用：ZAEB=90°；AE=2CM+BE；

【解析】解：探究：(1)在△CDA/Z\CEB中，AC=BC,ZACD=ZBCE,CD=CE,AACDA^ACEB,

/.ZCEB=ZCDA=120°,又NCED=60°,.\ZAEB=120o-60°=60°；(2)VACDA^ACEB,.,.AD=BE；

應(yīng)用：ZAEB=90°；AE=2CM+BE；理由：；4ACB和△DCE均為等腰直角三角形，NACB=/DCE=90°,

AAC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCB=ZDCE-ZDCB,即NACD=ZBCE,/.AACD^ABCE,

AAD=BE,ZBEC=ZADC=135°.AZAEB=ZBEC-ZCED=135°-45°=90°.在等腰直角三角形DCE

中，CM為斜邊DE上的高,ACM=DM=ME,ADE=2CM..\AE=DE+AD=2CM+BE.

考點(diǎn)二：勾股定理與兩點(diǎn)的距離公式

一、填空題

1.(2022?上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)八年級(jí)期末)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)A(,”,O)、8((),3),且AB=5,那

么m的值是.

【答案】±4

【分析】由4見(jiàn)0)、3(0,3),再根據(jù)長(zhǎng)度公式可得出AB的距離表達(dá)式，由AB=5即可求得加的值.

【詳解】解：8(0,3),

???=—0)2+(0—3)2=加+9,

?/AB=5,

??\lm2+9=5,

tn=±4.

故答案為：±4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用勾股定理求兩點(diǎn)距離，掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解決此題的關(guān)鍵.

2.(2022?上海?八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試)小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲,如圖1,在RtZ\4BC中，ZACB=90°,

ZB=30。，AC=l.第一步，在A3邊上找一點(diǎn)。，將紙片沿折疊，點(diǎn)A落在4處，如圖2,第二步，

將紙片沿CA折疊，點(diǎn)。落在次處，如圖3.當(dāng)點(diǎn)次恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí)，線段的長(zhǎng)為

D'

圖3

【答案】g或2-石

【分析】因?yàn)辄c(diǎn)次恰好在原直角三角形紙片的邊上，所以分為當(dāng)W落在A8邊上和BC邊上兩種情況分析,

根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：當(dāng)W落在48邊上時(shí)，如圖(1)：

設(shè)“交于點(diǎn)E,

由折疊知：Z￡4,D=ZA=60°,

AD=A:D=A'iy,Diy±A'E.A'C=AC

ZACB=90°,Zfi=30°,AC=\

AB=2,BC=￡

設(shè)=則在Rf,A'￡￡＞中，A'E=-x

2

在中，￡C=-BC=—

22

,AC=AC

1E,

:.—x+——=1

22

即x=2-6.

B

當(dāng)D0落在8c邊上時(shí)，如圖（2）

因?yàn)檎郫B，ZACD-ZA'CD=ZA'CD'=30°,

A'D'=^A'C=^A!B,A'C=A'B=AC^\

:.AD=A'D'=~.

2

圖(2)'、

\

XV

故答案為：■^或2-6

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱變換，勾股定理，直角三角形中30°的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

3.(浦東四署2020期末23)直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)A(-1,0)、3(5,4),在y軸上求一點(diǎn)P,使得AA5P

是以NP為直角的直角三角形.

【答案】(0,5)或(0,-1)；

222222

【解析】解：設(shè)P((),y)，由勾股定理得：AB=(5+l)+4=52,A產(chǎn)=/+/=/+],BP^5+(4-y),

因?yàn)镹P=90。，所以A8?=Ap2+8p2即52=y2+i+25+(4—y)2,解得必=5』=-1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(0,5)或(0,-1)

4.(2022?上海松江?八年級(jí)期末)如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，正比例函數(shù)y=6x的圖像與一個(gè)反比例函數(shù)

圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作ABLx軸，垂足為點(diǎn)B,AB=3.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)在直線AB上是否存在點(diǎn)C,使點(diǎn)C到直線OA的距離等于它到點(diǎn)B的距離？若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)已知點(diǎn)P在直線A8上，如果AAOP是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)y=—

X

⑵C(五1)或C(6-3)

⑶戶的坐標(biāo)為：(省,2代+3)或(6,3-29或(石,-3)或(6,1)

【分析】(1)先求解A的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式，從而可得答案；

(2)分兩種情況討論：如圖，作NAO3的角平分線交A3于C,過(guò)C作CT_LQ4于7,而AB_Lx軸，則

CT=CB,如圖，作/BOT的角平分線交AB于C,過(guò)C作CT^AO于T,交x軸于G,則CT=CB,再利用角

平分線的性質(zhì)與全等三角形的性質(zhì)，勾股定理可得答案；

(3)畫(huà)出圖形，分4種情況討論，當(dāng)M=AO=2g時(shí)，當(dāng)4鳥(niǎo)=49=26時(shí)，當(dāng)OA=AO=2Q時(shí)，當(dāng)

乙0=乙4時(shí)，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理可得答案.

(1)

解：軸，AB=3,

\力=3，

\\[3XA=3,則

設(shè)反比例函數(shù)為)，=竺，

X

\〃?=6?336，

所以反比例函數(shù)為y=逆.

X

(2)

解：存在，46,1)或。(省,-3卜理由如下：

如圖，作NAOB的角平分線交于-C,過(guò)C作CT_Lar于「

QA(G,3),則OB=MOA=*百j+32=2瓜

S；ACRB：AOgCT

而“VACO_2________2_______

sii，

ZBCOIfiCgOB^OBgBC

、ACAO

BCBO

、AC26c

BC6

\8c=6?3

如圖，作/BOT的角平分線交A3于C,過(guò)C作C7八AO于7，交x軸于G,

則CT=C8,而OC=OC,?OBC?OTC90?,

\OB=OT=?

而?GTO?ABO90靶GOT=?AOB,

\VGTO/VABO,

\GT=AB=3,GO=AO=2后,設(shè)CB=CT=5

\（3+〃『=〃2+（26+可，

解得：〃=3,

\q省,-3）,

綜上：。（百,1）或C（止,-3）

（3）

解：如圖，QAO=2拒,AOP為等腰三角形,

當(dāng)M=AO=26時(shí)，匕8=2百+3,4（6,26+3）,

當(dāng)Ag=AO=2>/§時(shí)，《8=2百-3,￡（百,3-26），

當(dāng)04=40=26時(shí)，4B=AB=3,6（G,-3）,

當(dāng)40=^A時(shí)，設(shè)乙

\（可+e2=（3_e:

解得：e=l,巴（6,1）.

綜上:P的坐標(biāo)為:（省,2若+3）或使,3-2碼或（瘋一3）或（百,1）

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡(jiǎn)與二次根式的除法運(yùn)算，熟練的運(yùn)用以上知

識(shí)解題是關(guān)鍵.

5.（2021?上海市洋涇菊?qǐng)@實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC紙片中，AC=3,BC=4,AB=5,

按圖所示的方法將△AC。沿A。折疊，使點(diǎn)C恰好落在邊A8上的點(diǎn)C處，點(diǎn)尸是射線4B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求折痕A。長(zhǎng).

(2)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AP=x,DP=y.求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域.

(3)當(dāng)AAP。是等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng).

【答案】⑴地

2

(2)y關(guān)于工的函數(shù)解析式為y=一6%+?(0?x<10)

⑶以的值為厚或:6或6

o2

【分析】(1)根據(jù)題意由翻折可知：CD=DC',AC=AC'=3,設(shè)CD=DC'=x,在RmBDC中,根據(jù)B^C'I^+CB2,

構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

(2)根據(jù)題意直接利用勾股定理進(jìn)行分析即可解決問(wèn)題；

(3)根據(jù)題意分三種情形：①%=PD,?AP=AD,③當(dāng)P￡?=AD時(shí)，分別求解即可.

(1)

由翻折可知：CD=DC,AC=AC'=3,設(shè)CO=OC=x,

在RMDC中，BD2=C'D2+C'B2,

：.(4-x)2=^+22,

解得：x=13,

AD=VAC2+DC2=^32+(|)2=乎.

⑵

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在。。左側(cè)，AC=AC'=3,則PC=3-x,

c

,:DP=y]C'D2+PC'2，

???y=J(|)2+(3—X)2=JX2-6X+^(04X410).

當(dāng)點(diǎn)P在CO右側(cè)，同理可得丫=、。2-6%+竺(04x410).

，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y={X，-6x+—(0<x<10).

(3)

①當(dāng)％=P。時(shí)，設(shè)以=PD=〃?，

在RmPCD中，；P^DCa+C'P2,

3

2

:.tn2=(―)+(3—TH)2,

2

解得：機(jī)=),

O

：.PA=—.

8

②當(dāng)AD=AP，、有時(shí)，即P在時(shí)，△ADP是等腰三角形,

③當(dāng)PO=A。時(shí)，點(diǎn)尸在AB的延長(zhǎng)線上.如圖4,

D

AP=2AC=6.

綜上所述，滿足條件的出的值為詈或］不或&

82

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)由分類討論的思想思考問(wèn)題.

6.（2022?上海浦東新?八年級(jí)期末）某中學(xué)初二年級(jí)游同學(xué)在學(xué)習(xí)了勾股定理后對(duì)《九章算術(shù)》勾股章產(chǎn)生

了學(xué)習(xí)興趣.今天，他學(xué)到了勾股章第7題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索

盡.問(wèn)索長(zhǎng)幾何？”本題大意是：如圖，木柱繩索AC比木柱AB長(zhǎng)三尺，BC的長(zhǎng)度為8尺，求:

繩索AC的長(zhǎng)度.

BC

【答案】繩索長(zhǎng)是7―3尺

6

【分析】設(shè)AC=x,則A3=x-3,由勾股定理及即可求解.

【詳解】設(shè)AC=x,則A3=x—3,

在RjABC中，AB2+BC2=AC2,

：.（X-3）2+82=X2,

73

解得：1=

6

答：繩索長(zhǎng)是973尺.

O

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理得應(yīng)用，用題意列出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

7.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，有兩條互相垂直的公路4,%A廠離公路4的距離

為2千米，離公路4的距離為5千米；8廠離公路人的距離為11千米，離公路乙的距離為4千米；現(xiàn)在要在

公路4上建造一倉(cāng)庫(kù)P，使A廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離與8廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離相等，求倉(cāng)庫(kù)P的位置.

?A

?B

【答案】倉(cāng)庫(kù)P在公路4上，且在公路4的右側(cè)，離公路4的距離為6千米處.

【分析】以直線44建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題述可得A廠，B廠所在點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)倉(cāng)庫(kù)P所在點(diǎn)的坐標(biāo)

為(x,0),根據(jù)“月廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離與B廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離相等”列出方程，求解，根據(jù)方程的解可得出倉(cāng)庫(kù)

P的位置.

【詳解】解：44為兩條互相垂直的公路，以44建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖，

X

?A

*B

--------------------2---------------

12

根據(jù)題意可知42,5),8(11,4),

設(shè)P(x,O),則(2-X)2+52=(11-X)2+42

整理得：18x=108,

解得x=6.

故倉(cāng)庫(kù)P在公路4上，且在公路4的右側(cè)，離公路4的距離為6千米處.

【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間的距離公式.能建立合適的直角坐標(biāo)系，并根據(jù)“廠到P倉(cāng)庫(kù)的距離與B廠到

P倉(cāng)庫(kù)的距離相等”列出方程是解決此題的關(guān)鍵.

口鞏固提升

1.(松江區(qū)2020期末5)下列條件中不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是()

A.兩個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等B.兩條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等

C.一條直角邊和斜邊分別對(duì)應(yīng)相等D.一個(gè)銳角和一條斜邊分別對(duì)應(yīng)相等

【答案】A：

【解析】解：4兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，不能說(shuō)明兩三角形能夠完全重合，符合題意；從可以利用邊角邊判

定兩三角形全等，不符合題意；G可以利用邊角邊或從判定兩三角形全等，不符合題意；以可以利用角

角邊判定兩三角形全等，不符合題意.故選：A.

2.(金山2020期末4)下列四組數(shù)據(jù)表示三角形的三邊長(zhǎng)，其中不能構(gòu)成直角三角形的一組數(shù)據(jù)是()

A.1cm,2>/2cm,4cmB.5cm,12cm,13cm:

C.3cm,4cm,5cm:D.7cm,24cm,25cm

【答案】A;

【解析】解:A、?.T，(2/)2=9=3?H42,...不能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)正確；B、-169=132,

能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、?.?32+4三25=52,...能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、：

72+242=625=2、.?.能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.

3.(市西2020期末4)式子2>+(y+l)2可以理解為()

A.兩點(diǎn)(x,y)與(一2,1)間的距離B.兩點(diǎn)(x,y)與(2,1)間的距離

C.兩點(diǎn)(x,y)與(一2,—1)間的距離D.兩點(diǎn)(x,y)與(2,—1)間的組離.

【答案】D；

【解析】解：J(x_2>+(y+l)2=J(x—2)2+式子&*一2尸+(y+1產(chǎn)可以理解為兩點(diǎn)

(x,y)與(2,—1)間的距離.故選：D.

4.(浦東南片2020期末5)下列各組數(shù)據(jù)是線段長(zhǎng)，其中丕能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是()

A.1,1,V2B.l,dC.1,73,2D.G,4,石

【答案】D；

【解析】解：A.『+『=(五了,此三角形是直角三角形，故不符合題意；B.12+(>/2)2=(^)2,此三角

形是直角三角形，故不符合題意；C.『+（6）2=22,此三角形是直角三角形，故不符合題意；D.

（百）2+（"）2此三角形不是直角三角形，故符合題意；故選：D.

5.（徐教院附2019期中6）在銳角△ABC中，AD±BC,BE±AC,垂足分別為D、E,AD與BE交于點(diǎn)F,BF

=AC那么/ABC等于（）

A.60°B.50°C.48°D.45°

【答案】D；

【解析】解：如圖，VAD±BC,BE±AC,AZBDF=ZADC=ZBEC=90",/.ZDBF+ZC=ZC+ZCAD,

'BF=AC

：.ZDBF=ZDAC,在△BDF和中，,=.?.△BDF絲Z\ADC（AAS）,ABD=AD,

ZBDF=ZADC

.'.△ABD是等腰直角三角形，.?.NABC=45°.故選D.

6.（浦東新區(qū)2020期末6）如圖，在R/A48C中，ZBC4=9O°,CD是高，BE平分NABC交CD于點(diǎn)E,

EF〃AC交AB于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G.在結(jié)論：⑴NEFD=NBCD；（2）AD=CD;（3）CG=EG；（4）

=中，一定成立的有（）

【解析】解：：EF〃AC,ZBCA=90°,，/CGE=NBCA=90°,AZBCD+ZCEG=90",又；CD是高，

.,.ZEFD+ZFED=90°,VZCEG=ZFED（對(duì)頂角相等），AZEFD=ZBCD,故（1）正確；只有/A=45°,即

△ABC是等腰直角三角形時(shí)，AD=CD,CG=EG而立，故（2）（3）不一定成立，錯(cuò)誤；：BE平分NABC,

"NEFD=NBCD

：.ZEBC-ZEBF,在ABCE和aBFE中，,NEBC=NE8F,/.ABCE^ABFE（AAS）,；.BF=BC,故（4）正確，

BE=BE

綜上所述，正確的有（1）（4）共2個(gè).故選：B.

7.（2019復(fù)附10月考18）如圖，在用AA5C中，AB±AC,AD1BC,BE平分NABC,交AD于點(diǎn)E,

EF//AC,下列結(jié)論一定成立的是（)

A.AB=BF；B.AE=ED；C.AD=DC；C.ZABE=ZDFE.

【答案】A；

【解析】解：易知=又EF〃AC,所以NBFE=NC,故NBFE=NBAE,又BE平分NA3C,

所以NABE=NFBE,又BE=BE,所以ABE4四兇石尸，所以AB=BF,故A正確；B、C,D不一定正確，故

答案選A.

二、填空題

8.（青浦實(shí)驗(yàn)2019期中13）已知直角三角形的一個(gè)銳角為36°,則另一個(gè)銳角的大小為.

【答案】54°；

【解析】解：設(shè)另一銳角為X,則X+36°=9O。，所以尤=90。一36°=54。，故答案為54°.

9.（徐匯龍華2019期中13）如圖，AABC中，己知NC=90°,DE是AB的垂直平分線，若

ZDAC.ZDAB^1:2,那么的C=度.

【答案】54。；

【解析】解：..?朦是48的垂直平分線，.?.的=以，.?./生/為6,?.?ND4C:N￡）AB=1:2,...設(shè)

則/氏/加田2x,VZC=90°,.?.戶2戶2戶90°,解得：產(chǎn)18°,AZBAC=3A=54°.故答案為54°.

10.（松江區(qū)2020期末13）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)一（3,2）和0（-1,5）,那么尸0=.

【答案】5；

【解析】解：?*⑶2）和0（-1,5）,.?/gj（3+1了+（5-2）2=5,故答案為：5

11.（浦東新區(qū)2020期末16）如圖，一棵大樹(shù)在離地3米處折斷，樹(shù)頂端落在離樹(shù)桿底部4米處，那么

這棵樹(shù)折斷之前的高度是米.

【答案】8；

【解析】解:根據(jù)題意可得樹(shù)頂端到折斷處的長(zhǎng)為斤不=5米,則這棵樹(shù)折斷之前的高度是5+3=8米.

12.（2019位育10月考18）在AABC中，ZACB=90°,CA=CB,AD是AA5C中NC4B的平分線，點(diǎn)E

在直線AB上，如果DE=2CD,那么.

【答案】127.5°或7.5°；

【解析】解：過(guò)點(diǎn)D作。尸，45于點(diǎn)F,則DF=DC；當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，因?yàn)镈E=2DC=2DF,故

ZDEF=30。,NEDF=60。，而ZADF=90°--NCAB=90°-22.5°=67.5。，所以ZADE=67.5°-60°=7.5°；

2

當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得：NADE=67.5。+60。=127.5。；故NADE=127.5。或7.5。.

13.（市西2020期末14）如圖，在四邊形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1,且NABC=90°,貝U/DAB

的度數(shù)是°.

【答案】135。；

【解析】解：VAB：BC：CD：DA=2：2：3：1,且NABC=90°,.\AB=BC,/.ZBAC=ZACB=45°,

二設(shè)AB=2x,則BC=2x,CD=3x,DA=x,/.AC2=AB'+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2,又CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2,/.AC2=CD-AD2,

,..Ad+AD'CD；AACD是直角三角形，.,.ZDAC=90°,；./DAB=45°+90°=135°.

14.(2019曹楊10月考15)如圖，已知ZACB=90°,CDA3于點(diǎn)D,那么圖中與NA相等的角是.

【答案】NDCB；

【解析】解：因?yàn)閆ACB=90。，所以NA+N3=90。；又C?_L/W，所以N￡）C8+N8=90。，所以NQCS=ZA.

15.（金山2020期末17）已知AABC中，ZA=90°,角平分線BE、CF交于點(diǎn)0,則NB0C=

【答案】135°

【解析】解：VZA=90",.?.NABC+NACB=90°,；角平分線BE、CF交于點(diǎn)0,Z0BC+Z0CB=45°,

/.ZB0C=180°-45°=135°.故答案為135°.

16.(金山2020期末16)已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(-3,1)和8(3,—1),則A、3兩點(diǎn)間的距離等于.

【答案】2而;

【解析】解：???直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(-3,1)和B(3,-1),:.卜、B兩點(diǎn)間的距離等于

7(3+3)2+(-1-1)2=2>/10.故答案為2A而.

17.(2019華理附10月考18)已知：如圖，在火〃VLBC中，N84C=9O°且AB=AC,D是邊BC上一點(diǎn)，E

是邊AC上一點(diǎn)，AD=AE,若AABZ)為等腰三角形，則NCDE的度數(shù)為.

【答案】22.5°或33.75°；

【解析】解：設(shè)NCDE=x,則NAED=x+45°