專題11 二元一次方程實際應(yīng)用的三種考法（解析版）-2024年?？級狠S題攻略（9年級上冊人教版）

專題11二元一次方程實際應(yīng)用的三種考法類型一、方案問題例．某商店分兩次購進A，B型兩種臺燈進行銷售，兩次購進的數(shù)量及費用如下表所示，由于物價上漲，第二次購進A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進價分別上漲，．購進的臺數(shù)購進所需要的費用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購進A，B型兩種臺燈每臺進價分別是多少元？(2)A，B型兩種臺燈銷售單價不變，第一次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．①求A，B型兩種臺燈每臺售價分別是多少元？②若按照第二次購進A，B型兩種臺燈的價格再購進一次，將再次購進的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為1000元，求有哪幾種購進方案？【答案】(1)第一次購進A型臺燈每臺進價為200元，B型臺燈每臺進價為50元(2)①A型臺燈每臺售價為340元，B型臺燈每臺售價為120元；②有4種購進方案：①購進A型臺燈2臺，B型臺燈14臺；②購進A型臺燈5臺，B型臺燈10臺；③購進A型臺燈8臺，B型臺燈6臺；④購進A型臺燈11臺，B型臺燈2臺【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系式：第一次購買臺A型臺燈的費用第一次購買臺B型臺燈的費用元，第二次購買臺A型臺燈的費用第二次購買臺B型臺燈的費用元，列出方程組，接可求解；（2）①根據(jù)等量關(guān)系式：第一次的臺A型臺燈的利潤第一次的臺B型臺燈的利潤元，第二次的臺A型臺燈的利潤第二次購買臺B型臺燈的利潤元，列出方程組，接可求解；②設(shè)再購進A型臺燈a臺，B型臺燈臺，由按第二次購買的價格購買，a臺A型臺燈售出獲得利潤臺B型臺燈售出獲得利潤元，列方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)第一次購進A型臺燈每臺進價為x元，B型臺燈每臺進價為y元，由題意得：，解得：，答：第一次購進A型臺燈每臺進價為200元，B型臺燈每臺進價為50元．（2）解：①設(shè)A型臺燈每臺售價為m元，B型臺燈每臺售價為n元，由題意得：，解得，，答：A型臺燈每臺售價為340元，B型臺燈每臺售價為120元；②第二次購進的A型臺燈的價格為：（元），B型臺燈的價格為：（元），設(shè)購進A型臺燈a臺，B型臺燈臺，由題意得：，整理得：，∴a、b為自然數(shù)，或或或，有4種購進方案：①購進A型臺燈2臺，B型臺燈14臺；②購進A型臺燈5臺，B型臺燈10臺；③購進A型臺燈8臺，B型臺燈6臺；④購進A型臺燈11臺，B型臺燈2臺．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系式，正確列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】已知有A、B兩種不同規(guī)格的貨車共50輛，現(xiàn)計劃分兩趟把甲種貨物306噸和乙種貨物230噸運往某地，先用50輛貨車共同運輸甲種貨物，再開回共同運輸乙種貨物.其中每輛車的最大裝載量如表：最大裝載量（噸）A型貨車B型貨車甲種貨物75乙種貨物37(1)裝貨時按此要求安排A、B兩種貨車的輛數(shù)，共有幾種方案.(2)使用A型車每輛費用為600元，使用B型車每輛費用800元.在上述方案中，哪個方案運費最省?最省的運費是多少元?(3)在（2）的方案下，現(xiàn)決定對貨車司機發(fā)共2100元的安全獎，已知每輛A型車獎金為m元，每輛B型車獎金為n元，，且m，n均為整數(shù).則___________，____________.【答案】(1)三種方案(2)A種貨車30輛，B種貨車20輛時費用最省，費用為（元）(3)40

45【分析】（1）設(shè)安排A種貨車x輛，則安排B種貨車輛，列出不等式組，求整數(shù)解即可；（2）根據(jù)三種方案判斷即可；（3）根據(jù)二元一次方程，求整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：設(shè)安排A種貨車x輛，則安排B種貨車輛，，解得：，因為x為整數(shù)，所以可以取28，29，30，共三種方案．（2）使用A種貨車費用600元，B種貨車800元，，在上述方案中，安排A種貨車最多時最省費用，即當(dāng)A種貨車30輛，B種貨車20輛時費用最省，費用為：（元）；（3）在（2）的方案下，由題意得：，，，，解得：，經(jīng)驗算，只有當(dāng)時，m=為整數(shù)，其余n的取值不符合要求，此次獎金發(fā)放的具體方案為：每輛A種貨車獎金為40元，每輛B種貨車獎金為45元．【點睛】本題考查一元一次不等式（組）的應(yīng)用，二元一次方程的整數(shù)解問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)根據(jù)不等式（組）解決問題．【變式訓(xùn)練2】“平遙古城三件寶，漆器牛肉長山藥．”平遙推光漆器因其歷史悠久和獨特的制作工藝，和福州脫胎漆器、揚州漆器、成都漆器并稱為中國四大漆器．某漆器廠清明前生產(chǎn)、兩種首飾盒，若生產(chǎn)件首飾盒和件首飾盒，共需投入成本元；若生產(chǎn)件首飾盒和件首飾盒，共需投入成本元．(1)每件，首飾盒的生產(chǎn)成本分別是多少元？(2)該廠準備用不超過元的資金生產(chǎn)這兩種首飾盒共件，且要求生產(chǎn)首飾盒數(shù)量不少于首飾盒數(shù)量的倍，問共有幾種生產(chǎn)方案？(3)將漆器供應(yīng)給商場后，每件首飾盒可獲利元，每件首飾盒可獲利元，在（2）的前提下，請你設(shè)計出總獲利最大的生產(chǎn)方案，并求出最大總獲利．【答案】(1)每件A首飾盒的生產(chǎn)成本是150元，每件B首飾盒的生產(chǎn)成本是80元．(2)共有4種生產(chǎn)方案．(3)生產(chǎn)A首飾盒70件，B首飾盒30件時總獲利最大，最大利潤為8200元．【分析】（1）設(shè)每件A首飾盒的生產(chǎn)成本是元，每件首飾盒的生產(chǎn)成本是元，根據(jù)“生產(chǎn)10件A首飾盒和20件B首飾盒，共需投入成本3100元；若生產(chǎn)20件A首飾盒和10件B首飾盒，共需投入成本3800元”列二元一次方程組，求解即可；（2）設(shè)該廠生產(chǎn)B首飾盒件，根據(jù)用不超過12900元的資金生產(chǎn)這兩種首飾盒共100件，且要求生產(chǎn)A首飾盒數(shù)量不少于B首飾盒數(shù)量的2倍列一元一次不等式組，求解即可；（3）設(shè)該廠總獲利元，表示出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可確定獲利最大時的生產(chǎn)方案．【詳解】（1）解：設(shè)每件A首飾盒的生產(chǎn)成本是x元，每件B首飾盒的生產(chǎn)成本是y元，根據(jù)題意，得，解得，答：每件A首飾盒的生產(chǎn)成本是150元，每件B首飾盒的生產(chǎn)成本是80元．（2）設(shè)該廠生產(chǎn)B首飾盒m件，根據(jù)題意，得，解得，取正整數(shù)：30，31，32，33，共有4種生產(chǎn)方案．（3）設(shè)該廠總獲利w元，根據(jù)題意，得，，隨著的增大而減小，當(dāng)時，取最大值，最大利潤，（件），生產(chǎn)A首飾盒70件，B首飾盒30件時總獲利最大，最大利潤為8200元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】某運輸公司現(xiàn)有190噸防疫物資需要運往外地，擬安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完（兩種貨車均滿載），已知A、B兩種貨車近期的三次運輸記錄，如下表：A貨車（輛）B貨車（輛）防疫物資（噸）第一次128360第二次1812▄第三次54160(1)表格中被污漬蓋住的數(shù)是______．(2)請問A、B兩種貨車每輛每次分別可以運送防疫物資多少噸？(3)請你通過計算說明所有可行的運輸方案．【答案】(1)540(2)A貨車每輛每次可以運貨20噸，B貨車每輛每次可以運貨15噸(3)①A貨車2輛，B貨車10輛；②A貨車5輛，B貨車6輛；③A貨車8輛，B貨車2輛【分析】（1）設(shè)A、B兩種貨車每輛每次分別可以運送防疫物資x噸、y噸，則根據(jù)題意列出方程組，求解即可；（2）根據(jù)（1）知，運送防疫物資A種貨車每輛每次20噸，B種貨車每輛每次15噸；（3）設(shè)A、B兩種貨車各需要m輛、n輛，根據(jù)題意得到20m+15n=190，當(dāng)m=2時，n=10；當(dāng)m=5時，n=6；當(dāng)m=8時，n=2．共三種運輸方案．【詳解】（1）設(shè)A、B兩種貨車每輛每次分別可以運送防疫物資x噸、y噸，則根據(jù)題意，得，解得，（噸）；故答案為：540；（2）由（1）知，A、B兩種貨車每輛每次分別可以運送防疫物資20噸、15噸；（3）設(shè)A、B兩種貨車各需要m輛、n輛，則20m+15n=190,∴，①當(dāng)m=2時，n=10；②當(dāng)m=5時，n=6；③當(dāng)m=8時，n=2．∴①A貨車2輛，B貨車10輛；②A貨車5輛，B貨車6輛；③A貨車8輛，B貨車2輛，共三種可行的運輸方案．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握每種車運輸總噸數(shù)與每車每次運輸噸數(shù)和車數(shù)的關(guān)系，列方程組，列方程解答．類型二、銷售利潤問題例．某手機經(jīng)銷商計劃同時購進甲乙兩種型號手機，若購進2部甲型號手機和5部乙型號手機，共需要資金6000元；若購進3部甲型號手機和2部乙型號手機，共需要資金4600元．(1)求甲、乙型號手機每部進價各為多少元；(2)該店預(yù)計用不少于1.78萬元且不多于1.92萬元的資金購進這兩種型號手機共20部，請問有多少種進貨方案？(3)若甲型號手機的售價為1500元，乙型號手機的售價為1450元，為了促銷，公司決定每售出一臺乙型號手機．返還顧客現(xiàn)金a元，甲型號手機售價不變，要使（2）中購進的手機全部售完，每種方案獲利相同，求a的值．【答案】(1)甲型號手機每部進價為1000元，乙型號手機每部進價為800元．(2)8種(3)a的值為150．【分析】（1）設(shè)未知數(shù)列二元一次方程組解方程即可；（2）設(shè)未知數(shù)列不等式，解不等式，考慮實際問題中取整得到解的可能情況；（3）用（2）中未知數(shù)和a列出利潤計算式，根據(jù)m的值不影響利潤結(jié)果得到含m的項系數(shù)為0，求出a即可．【詳解】（1）設(shè)甲型號手機每部進價為x元，乙型號手機每部進價為y元．依題意，得．解得．答：甲型號手機每部進價為1000元，乙型號手機每部進價為800元．（2）設(shè)購進甲型號手機m部，則購進乙型號手機部．依題意，得，解得．又m為整數(shù)，m可以為9，10，11，12，13，14，15，16．有8種進貨方案．（3）設(shè)20部手機全部銷售完后獲得的總利潤相等，則．（2）中每種方案獲利相同，利潤計算式中不能有含的項，．．答：a的值為150．【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，及定值問題．注意定值問題中一個式子的值與m無關(guān)，則含有m的項中，m的系數(shù)為0．【變式訓(xùn)練1】某商店出售普通練習(xí)本和精裝練習(xí)本，本普通練習(xí)本和本精裝練習(xí)本銷售總額為元；本普通練習(xí)本和本精裝練習(xí)本銷售總額為元．(1)求普通練習(xí)本和精裝練習(xí)本的銷售單價分別是多少？(2)該商店計劃再次購進本練習(xí)本，普通練習(xí)本的數(shù)量不低于精裝練習(xí)本數(shù)量的倍，已知普通練習(xí)本的進價為元/個，精裝練習(xí)本的進價為元/個，設(shè)購買普通練習(xí)本個，獲得的利潤為元；①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式②該商店應(yīng)如何進貨才能使銷售總利潤最大？并求出最大利潤．【答案】(1)普通練習(xí)本：元；精裝練習(xí)本：元(2)；②普通練習(xí)本進本，精裝練習(xí)本進本，利潤最大，最大為元【分析】（1）設(shè)普通練習(xí)本的銷售單價為元，精裝練習(xí)本的銷售單價為元，根據(jù)等量關(guān)系式：本普通練習(xí)本銷售總額精裝練習(xí)本銷售額元；本普通練習(xí)本銷售額精裝練習(xí)本銷售額元，列出方程，解方程即可；（2）①購買普通練習(xí)本個，則購買精裝練習(xí)本個，根據(jù)總利潤=普通練習(xí)本獲得的利潤+精裝練習(xí)本獲得的利潤，列出關(guān)系式即可；②先求出的取值范圍，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)普通練習(xí)本的銷售單價為元，精裝練習(xí)本的銷售單價為元，根據(jù)題意得：，解得：，答：普通練習(xí)本的銷售單價為元，精裝練習(xí)本的銷售單價為元．（2）解：購買普通練習(xí)本個，則購買精裝練習(xí)本個，根據(jù)題意得：；普通練習(xí)本的數(shù)量不低于精裝練習(xí)本數(shù)量的倍，，解得：，中，隨的增大而減小，當(dāng)時，取最大值，（個），（元），答：當(dāng)購買個普通練習(xí)本，個精裝練習(xí)，銷售總利潤最大，最大總利潤為元．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組、一次函數(shù)、一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系和不等關(guān)系列出方程和不等式．【變式訓(xùn)練2】國家為了鼓勵新能源汽車的發(fā)展，實行新能源積分制度，積分越高獲得的國家補貼越多．某品牌的“4S”店主銷純電動汽車A（續(xù)航600千米）和插電混動汽車B，兩種主銷車型的有關(guān)信息如下表：車型純電動汽車A（續(xù)航600千米）插電混動汽車B進價（萬元/輛）2512售價（萬元/輛）2816新能源積分（分/輛）（其中R表示續(xù)航里程）2購進數(shù)量（輛）xy(1)3月份該“4S”店共花費550萬元購進A，B兩種車型，且全部售出共獲得新能源積分130分，則x，y分別為多少？(2)因汽車供不應(yīng)求，該“4S”店4月份決定購進A，B兩種車型共50輛，應(yīng)環(huán)保的要求，所進車輛全部售出后獲得新能源積分不得少于300分，已知每個新能源積分可獲得3000元的補貼，那么4月份如何進貨才能使4S店獲利最大？（獲利包括售車利潤和積分補貼）【答案】(1)x，y的值分別為10和25(2)購進A型車34輛，B型車16輛時獲利最大【分析】（1）設(shè)純電動汽車A型x輛，插電混動汽車B型y輛，根據(jù)表格可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題；（2）設(shè)4月決定購進A型車a輛，共獲利w萬元．根據(jù)題意題意得不等式，求出a的取值范圍，并求出w與a的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：解之得：答：x，y的值分別為10和25（2）解：設(shè)4月決定購進A型車a輛，共獲利w萬元．則4月份的新能源積分為：分由題意得：；，又；（或者）且a為整數(shù)或（且a為整數(shù)）．4S店的獲利∵-0.4＜0，∴w隨a的增大而減小；∴當(dāng)a=34時，即購進A型車34輛，B型車16輛時獲利最大【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程組和不等式求解．【變式訓(xùn)練3】商店銷售10臺型和20臺型電腦的利潤為40000元，銷售20臺型和10臺型電腦的利潤為3500元．（1）求每臺型電腦和型電腦的銷售利潤；（2）該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中型電腦的進貨量不超過型電腦的2倍，設(shè)購進型電腦臺，這100臺電腦的銷售總利潤為元．①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式：②該商店購進型、型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大？（3）實際進貨時，廠家對型電腦出廠價下調(diào)元，且限定商店最多購進型電腦70臺，若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據(jù)以上信息及（2）中條件，設(shè)計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案．【答案】（1）100元，150元；（2）①；②34臺，66臺；（3）當(dāng)時，34臺66臺；當(dāng)時，34~70內(nèi)均可；當(dāng)時，70臺30臺【分析】（1）設(shè)每臺A型加濕器和B型加濕器的銷售利潤分別為元，元，然后根據(jù)題意列出二元一次方程組解答即可；（2）①據(jù)題意得即可確定y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用A型利潤與B型利潤即可求出總利潤y與x的關(guān)系，并確定x的范圍即可；②根據(jù)一次函數(shù)的增減性，解答即可；（3）根據(jù)題意列出函數(shù)數(shù)關(guān)系式，分以下三種情況①<m<50，②m=50，③50<m<100時，m-50>0結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】（1）設(shè)每臺型電腦的銷售利潤為元，每臺型電腦的銷售利潤為元，根據(jù)題意得：解得答：每臺型電腦的銷售利潤為100元，每臺型電腦的銷售利潤為150元；（2）①設(shè)購進型電腦臺，每臺型電腦的銷售利潤為100元，A型電腦銷售利潤為100x元,每臺B型電腦的銷售利潤為150元，B型電腦銷售利潤為元，即這100臺電腦的銷售總利潤為:；，解得．且為正整數(shù)，其中為正整數(shù)，②中，k=，隨的增大而減?。疄檎麛?shù)，∴當(dāng)時，取得最大值，此時．答：商店購進型電腦34臺，型電腦66臺，才能使銷售總利潤最大；（3）根據(jù)題意得，即，其中，且為正整數(shù)．①當(dāng)時，k=，隨的增大而減小，∴當(dāng)時，取得最大值，即商店購進34臺型電腦和66臺型電腦才能獲得最大利潤；②當(dāng)時，k=，，即商店購進型電腦數(shù)量滿足的整數(shù)時，均獲得最大利潤；③當(dāng)50<m<100時，k=，隨的增大而增大．∴當(dāng)時，取得最大值．即商店購進70臺型電腦和30臺型電腦才能獲得最大利潤．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組及一元一次不等式的應(yīng)用，掌握一次函數(shù)的增減性是解答本題的關(guān)鍵．類型三、小題壓軸例．響應(yīng)國家號召，某區(qū)推進新型農(nóng)村建設(shè)，強村富民．村民小紅家準備將一塊良田分成三個區(qū)域來種植三種暢銷型農(nóng)作物．爸爸計劃好三個區(qū)域的占地面積后，小紅主動承擔(dān)起實地劃分的任務(wù)．劃分完畢后，爸爸發(fā)現(xiàn)粗心的小紅將A區(qū)的面積劃分給了B區(qū)，而原B區(qū)的面積錯劃分給了A區(qū)，C區(qū)面積未出錯，造成現(xiàn)B區(qū)的面積占A、B兩區(qū)面積和的比例達到了．為了協(xié)調(diào)三個區(qū)域的面積占比，爸爸只好將C區(qū)面積的分成兩部分劃分給現(xiàn)在的A區(qū)和B區(qū)．爸爸劃分完后，三個區(qū)域的面積比變?yōu)椋敲窗职謴腃區(qū)劃分給B區(qū)的面積與良田總面積的比為．【答案】/【分析】設(shè)爸爸計劃三個區(qū)域的面積分別為，然后根據(jù)小紅以及爸爸的劃分方法列出方程得出、，設(shè)將C區(qū)面積的分成兩部分劃分給現(xiàn)在的A區(qū)為m，則B區(qū)為．由三個區(qū)域的面積比變?yōu)榭闪蟹匠痰贸?，進而得出答案．【詳解】解：設(shè)爸爸計劃三個區(qū)域的面積分別為．則由小紅將A區(qū)的面積劃分給了B區(qū)，而原B區(qū)的面積錯劃分給了A區(qū)，造成現(xiàn)B區(qū)的面積占A、B兩區(qū)面積和的比例達到了，可列方程：，解得：，則此時，A區(qū)：，B區(qū)：，C區(qū)：z，由爸爸只好將C區(qū)面積的分成兩部分劃分給現(xiàn)在的A區(qū)和B區(qū)．爸爸劃分完后，A、B、C三個區(qū)域的面積比變?yōu)椋闪蟹匠蹋?，解得：，設(shè)將C區(qū)面積的分成兩部分劃分給現(xiàn)在的A區(qū)為m，則B區(qū)為．由三個區(qū)域的面積比變?yōu)榭闪蟹匠蹋航獾茫?，∴爸爸從C區(qū)劃分給B區(qū)的面積為：，則爸爸從C區(qū)劃分給B區(qū)的面積與良田總面積的比為：，故答案為：．【點睛】本題考查了多元方程的實際應(yīng)用，讀懂題意，理清數(shù)量關(guān)系列出方程是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】為慶祝五一勞動節(jié)，某電商推出適合不同人群的甲，乙兩種袋裝混合堅果．其中，甲種堅果每袋裝有4千克堅果，1千克堅果，1千克堅果；乙種堅果每袋裝有1千克堅果，2千克堅果，2千克堅果．甲，乙兩種袋裝堅果每袋成本價分別為袋中的，，三種堅果的成本價之和．已知堅果每千克成本價為5元，甲種堅果每袋售價為59.8元，利潤率為30%，乙種堅果的利潤率為20%．若這兩種袋裝堅果的銷售利潤率達到24%，則該電商銷售甲，乙兩種袋裝堅果的數(shù)量之比是．【答案】/【分析】首先求出甲種堅果中每袋成本價，再求出1千克堅果的成本價1千克堅果的成本價，進而得出乙種堅果每袋售價，然后設(shè)該電商銷售甲種袋裝堅果袋，乙種袋裝堅果袋，再根據(jù)題意，列出方程求出比例關(guān)系即可．【詳解】解：∵甲種堅果每袋售價為元，利潤率為，∴甲種堅果中每袋成本價為元，∵甲種堅果每袋裝有4千克堅果，1千克堅果，1千克堅果，∴1千克堅果的成本價1千克堅果的成本價（元），∵乙種堅果每袋裝有1千克堅果，2千克堅果，2千克堅果，∴乙種堅果每袋成本價為（元），∴乙種堅果每袋售價為（元），設(shè)該電商銷售甲種袋裝堅果袋，乙種袋裝堅果袋，根據(jù)題意，可得：，整理，可得：，∴，∴該電商銷售甲，乙兩種袋裝堅果的數(shù)量之比是．故答案為：【點睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用、比例的應(yīng)用，理解題意，得出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】疫情之后，為盡快恢復(fù)實體經(jīng)濟，某地政府通過專項獎勵、稅費減免等舉措，支持商家開展主題促銷，發(fā)放消費券等活動來促進消費市場恢復(fù)．某票務(wù)平臺經(jīng)營飛躍叢林，觀光巴士，海洋樂園，馬戲城四種游玩票務(wù)．一張飛躍叢林票的成本價是一張觀光巴士票的2倍，一張海洋樂園票和一張馬戲城票的成本之和是一張飛躍叢林票成本價的3倍，一張海洋樂園票成本價和一張馬戲城票之差是一張飛躍叢林票的2倍．商家得到支持，響應(yīng)號召，降低利潤之后推出A，B，C三種套餐．A套餐中有觀光巴士票若干（數(shù)量在10到20張之間），1張飛躍叢林票，3張海洋樂園票，4張馬戲城票．B套餐中有5張觀光巴士票，2張飛躍叢林票，4張海洋樂園票，6張馬戲城票．C套餐中有4張觀光巴士票，3張飛躍叢林票，4張海洋樂園票，2張馬戲城票．每種套餐的成本等于四種票的成本之和．每個A套餐的利潤率為，C套餐利潤率為，B套餐的利潤率為A和C套餐利潤率的平均數(shù)．一公司決定從該平臺購買套票為92名員工發(fā)福利．該公司購買A套餐20份，最終票務(wù)平臺獲得的總利潤率為單個B套餐的利潤率．因員工需求，該公司需更多購買B套餐，則該公司購買C套餐個．【答案】17【分析】設(shè)出四種票務(wù)的單價，根據(jù)題意得出它們的關(guān)系，再求出各個套餐的利潤，根據(jù)最終票務(wù)平臺獲得的總利潤率為單個B套餐的利潤率列出方程，求整數(shù)解即可．【詳解】解：設(shè)飛躍叢林，觀光巴士，海洋樂園，馬戲城四種游玩票務(wù)成本價分別為a、b、c、d，設(shè)A套餐中有觀光巴士票m張，購買C套餐n個，由題意得，，解得，；則A套餐的成本為，利潤為；則B套餐的成本為，利潤為；則C套餐的成本為，利潤為；由題意得，，化簡得，，公司需更多購買B套餐，A套餐中有觀光巴士票數(shù)量在10到20張之間，當(dāng)，符合題意，此時，故答案為：17．【點睛】本題考查了二元一次方程組及二元一次方程整數(shù)解問題，解題關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列出方程．【變式訓(xùn)練3】臘八之后，年味漸濃．京東超市某直營店推出甲、乙兩種年貨禮盒，其中甲種禮盒有開心果3袋，腰果3袋，夏威夷果1袋，紙皮核桃1袋；乙種禮盒有開心果4袋，腰果3袋，紙皮核桃3袋．每種禮盒的總成本由該禮盒中所有堅果的成本之和加上包裝盒成本6元/個．已知每袋開心果和每袋腰果的成本價之比為，每袋夏威夷果和每袋紙皮核桃的成本價之比為．甲種禮盒的售價為168元，利潤率是40%，第一周售出甲、乙兩種禮盒共60盒，銷售總額為10270元，總利潤率為30%．第二周直營店通過減少堅果的袋數(shù)推出甲、乙兩種年貨的小號禮盒，甲種小號禮盒的成本價（包含包裝盒成本）降為原甲種禮盒總成本的35%，乙種小號禮盒相比原乙種禮盒開心果、腰果、紙皮核桃各減少2袋，小號包裝盒成本每個4元．如果第二周售出的甲、乙小號禮盒恰好分別與第一周甲、乙兩種禮盒數(shù)量相同，則第二周售出的所有小號禮盒的總成本是元．【答案】3220【分析】先由“甲種禮盒的售價為168元，利潤率是40%”求出甲的成本價為114元/袋，設(shè)紙皮核桃的成本價為a元/袋，則夏威夷果的成本價為2a元/袋，腰果的成本價為4b元/袋，則開心果的成本價為5b元/袋，求出元以及乙每袋成本價為元，再根據(jù)“第一周售出甲、乙兩種禮盒共60盒，銷售總額為10270元，總利潤率為30%”求出甲、乙總成本為7900元，從而求出1袋開心果成本價為元，進一步可求出第二周總成本價【詳解】解：設(shè)甲的成本價為x元/袋，由“甲種禮盒的售價為168元，利潤率是40%”可得，，解得，所以，甲的成本價為114元/袋，設(shè)紙皮核桃的成本價為a元/袋，則夏威夷果的成本價為2a元/袋，腰果的成本價為4b元/袋，則開心果的成本價為5b元/袋，∴，即∴乙每袋成本價=，∵第一周售出甲、乙兩種禮盒共60盒，銷售總額為10270元，總利潤率為30%，∴設(shè)甲乙總成本為y元，則有：，解得，，即甲乙總成本為7900元，設(shè)售出甲m盒，乙盒，則有：，解得，，即1袋開心果成本價為元，第二周：甲成本為元，乙成本=元，則第二周總成本價為：（元）故答案為：3220【點睛】本題主要考查列代數(shù)式，整式加減法，二元一次方程的實際應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵的描述語，找到合適的等量關(guān)系，同時熟悉有關(guān)銷售問題的概念和公式是解決問題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．月某花店從花農(nóng)處進貨了甲、乙、丙三種鮮花，數(shù)量分別為、、，甲、乙、丙三種鮮花單價之比為，由于近期銷售火爆，月花農(nóng)對這三種鮮花的價格進行了調(diào)整，該花店也相應(yīng)調(diào)整了進貨量，相較于月，花店采購甲增加的費用占月所有鮮花采購費用的，月采購甲與乙的總費用之比為，月采購乙的總費用與月采購乙的總費用之比為，采購甲、乙、丙三種鮮花增加的費用之比為，則為．【答案】【分析】由甲、乙、丙三種鮮花單價之比為，設(shè)甲鮮花的單價為，則乙丙兩種鮮花的單價分別為、，由月所購數(shù)量可得它們在本月的費用；由月采購乙的總費用與月采購乙的總費用之比為，則可得月采購乙的總費用；由月采購甲與乙的總費用之比為，可得月采購甲的總費用，則得月采購增加的費用；再由相較于月，花店采購甲增加的費用占月所有鮮花采購費用的，可求得采購三種鮮花的總費用，進而得到采購丙鮮花的費用，最后由采購甲、乙、丙三種鮮花增加的費用之比為，得到、、的關(guān)系，進而求得結(jié)果．【詳解】∵甲、乙、丙三種鮮花單價之比為，設(shè)甲鮮花的單價為，∴乙丙兩種鮮花的單價分別為、，∴月所購甲、乙、丙三種鮮花數(shù)量在本月的費用分別為、、；∵月采購乙的總費用與月采購乙的總費用之比為，∴月采購乙的總費用為；∵月采購甲與乙的總費用之比為，∴月采購甲的總費用為，∴月采購增加的費用為；∵相較于月，花店采購甲增加的費用占月所有鮮花采購費用的，∴月采購三種鮮花的總費用為，∴采購丙鮮花的費用為；∴乙、丙月采購鮮花增加的費用分別為：、∵采購甲、乙、丙三種鮮花增加的費用之比為，∴，由，得；由，得，∴故答案為：．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，解方程組等知識，題目較難，找準入手是關(guān)鍵，注意引入?yún)⒘恳彩顷P(guān)鍵．2．爸爸騎電動車帶著姐弟倆去公園玩，根據(jù)規(guī)定爸爸騎電動車時一次只能搭載一名未成年人．為盡快到達公園又不違反交通法規(guī)，出發(fā)時，爸爸讓姐姐先步行，將弟弟載了一段路程后讓其步行前往公園，并立即原路返回接步行的姐姐，結(jié)果與弟弟同時到達公園．如果姐弟倆步行的速度相同，爸爸一個人騎電動車的速度比搭載一名未成年人時的速度快5千米/時，爸爸與公園的距離與出發(fā)時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則爸爸在這一過程中騎電動車行駛的總路程是．

【答案】//【分析】設(shè)姐姐，弟弟的步行速度為，爸爸搭載一名未成年人時的速度為，根據(jù)姐姐步行路程加上爸爸一個人騎車路程等于弟弟坐車路程，姐姐步行路程加上姐姐坐車路程等于列方程，可求出，的值，從而可得答案．【詳解】解：設(shè)姐姐，弟弟的步行速度為，爸爸搭載名未成年人時的速度為，根據(jù)圖象可得：，解得：，，爸爸在這一過程中騎電動車行駛的總路程是，故答案為：12.6．【點睛】本題考查從函數(shù)的圖象獲取信息以及二元一次方程組應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能從函數(shù)圖象中獲取有用的信息列方程解決問題．3．如果一個三位數(shù)的十位數(shù)字比百位數(shù)字與個位數(shù)字之和大2，我們稱這個三位數(shù)為“榮慶數(shù)”，我們將“榮慶數(shù)”的各位數(shù)字之和記為，比如152，百位數(shù)字與個位數(shù)字之和為，十位數(shù)字是5，，所以152是“榮慶數(shù)”，；若一個“榮慶數(shù)”是13的倍數(shù)，則的最大值是．【答案】812【分析】由，知；設(shè)“榮慶數(shù)”的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，則個位數(shù)字為，可推得是13的倍數(shù)，而，，是正整數(shù)，即可得或或或，從而得到答案．【詳解】解：，；設(shè)“榮慶數(shù)”的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，則個位數(shù)字為，，是13的倍數(shù)，，是13的倍數(shù)，（為非負整數(shù)），，，是正整數(shù)，，，是正整數(shù)，為百位數(shù)字，為十位數(shù)字，，，假設(shè)，此時，此時值最小，，假設(shè)，此時，此時值最大，，，當(dāng)時，，解得，滿足和，，符合題意，當(dāng)時，，此方程無符合題意的，的正整數(shù)解，當(dāng)時，，此方程無符合題意的，的正整數(shù)解，當(dāng)時，，此方程無符合題意的，的正整數(shù)解，當(dāng)時，，解得：，滿足和，，符合題意，當(dāng)時，，解得：，不滿足，不符合題意，當(dāng)時，，此方程無符合題意的，的正整數(shù)解，當(dāng)時，，解得：，不滿足，不符合題意，當(dāng)時，，解得，不滿足，不符合題意，或，或，的值為4或12，的最大值是，故答案位：8，12．【點睛】本題考查整式的加減，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出使是13的倍數(shù)的正整數(shù)，的值．4．“紅纈退風(fēng)花著子，綠針浮水稻抽秧”這是宋朝詩人姚孝錫所作．詩中詠誦的“水稻”是我國種植的重要經(jīng)濟作物．某村在政府的扶持下建起了水稻種植基地，準備種植甲，乙兩種水稻，若種植20畝甲種水稻和30畝乙種水稻，共需投入22萬元；若種植30畝甲種水稻和20畝乙種水稻，共需投入23萬元．(1)種植甲，乙兩種水稻，每畝各需投入多少萬元？(2)經(jīng)測算，種植甲種水稻每畝可獲利（且為常數(shù)）萬元，種植乙種水稻每畝可獲利0.8萬元，村里投入50萬元用來種植這兩種水稻，若要求甲種水稻的種植面積不能少于乙種水稻種植面積的倍，且不能多于乙種水稻種植面積的倍．設(shè)種植乙種水稻畝，該村種植兩種水稻共獲利萬元，請求出關(guān)于的函數(shù)表達式，并求出最大獲利（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)種植甲種水稻每畝需投入0.5萬元，種植乙種水稻每畝需投入0.4萬元；(2)W=100a+(0.8?a)m，最大利潤為（80a+20）萬元(a＞1)．【分析】（1）設(shè)種植甲種水稻每畝需投入x萬元，種植乙種水稻每畝需投入y萬元,根據(jù)等量關(guān)系：種植20畝甲種水稻和30畝乙種水稻，共需投入22萬元；若種植30畝甲種水稻和20畝乙種水稻，共需投入23萬元．列方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)乙種m畝，求出甲種畝，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式組解不等式組，然后根據(jù)甲種水稻獲利+乙種水稻獲利=W，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可求解．(1)解：設(shè)種植甲種水稻每畝需投入x萬元，種植乙種水稻每畝需投入y萬元，根據(jù)題意，得：，解得，答種植甲種水稻每畝需投入0.5萬元，種植乙種水稻每畝需投入0.4萬元；(2)解：設(shè)種植乙種水稻畝，∴乙種水稻投入0.4m，∴甲種水稻投入(50-0.4m)萬元，∴甲種水稻種植畝，根據(jù)題意得，即，解不等式①得，解不等式②得，∴，=+0.8m，當(dāng)，即時，W隨m的增大而減小，∴m=時，W最大=，當(dāng)，，當(dāng)，即時，W隨m的增大而增大，∴當(dāng)m=50時，W最大=，綜合最大利潤為（80a+20）萬元．【點睛】本題考查二元一次方程組解應(yīng)用題，一次函數(shù)應(yīng)用，列代數(shù)式，不等式組解法，一次函數(shù)最值，掌握二元一次方程組解應(yīng)用題，一次函數(shù)應(yīng)用，不等式組解法，一次函數(shù)最值，解題關(guān)鍵是用含m的代數(shù)式表示甲種水稻種植畝數(shù)．5．2019年“雙11期間”，某天貓網(wǎng)店銷售甲、乙兩種羽毛球，已知甲種羽毛球每筒的售價比乙種羽毛球多15元，王老師從該網(wǎng)店購買了2筒甲種羽毛球和1筒乙種羽毛球，共花費165元．（1）該網(wǎng)店甲、乙兩種羽毛球每筒的售價各是多少元？（2）根據(jù)消費者需求，該網(wǎng)店決定用不超過8780元購進甲、乙兩種羽毛球共200筒，且甲種羽毛球的數(shù)量大于乙種羽毛球數(shù)量的，已知甲種羽毛球每筒的進價為50元，乙種羽毛球每筒的進價為40元．①若設(shè)購進甲種羽毛球m筒，則該網(wǎng)店有哪幾種進貨方案？②若所購進羽毛球均可全部售出，請求出網(wǎng)店所獲利潤W（元）與甲種羽毛球進貨量m（筒）之間的關(guān)系式，并說明當(dāng)m為何值時所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）該網(wǎng)店甲種羽毛球每筒的售價為60元，乙種羽毛球每筒的售價為45元；（2）①進貨方案有3種，分別為：方案一，購進甲種羽毛球76筒，乙種羽毛球為124筒，方案二，購進甲種羽毛球77筒，乙種羽毛球為123筒，方案三，購進甲種羽毛球78筒，乙種羽毛球為122筒；②當(dāng)m＝78時，所獲利潤最大，最大利潤為1390元【分析】（1）設(shè)甲種羽毛球每筒的售價為x元，乙種羽毛球每筒的售價為y元，根據(jù)題意列方程組解答即可；（2）①若購進甲種羽毛球m筒，則購進乙種羽毛球為（200﹣m）筒，根據(jù)題意列不等式組即可求出m的取值范圍，進而得出進貨方案；②根據(jù)題意得出W與m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）設(shè)甲種羽毛球每筒的售價為x元，乙種羽毛球每筒的售價為y元，根據(jù)題意可得，解得，答：該網(wǎng)店甲種羽毛球每筒的售價為60元，乙種羽毛球每筒的售價為45元；（2）①若購進甲種羽毛球m筒，則購進乙種羽毛球為（200﹣m）筒，根據(jù)題意可得，解得75＜m≤78，∵m為整數(shù)，∴m的值為76、77、78，∴進貨方案有3種，分別為：方案一，購進甲種羽毛球76筒，乙種羽毛球為124筒，方案二，購進甲種羽毛球77筒，乙種羽毛球為123筒，方案三，購進甲種羽毛球78筒，乙種羽毛球為122筒；②根據(jù)題意可得W＝（60﹣50）m＋（45﹣40）（200﹣m）＝5m＋1000，∵當(dāng)m值越大時，W的值也越大，且75＜m≤78，∴當(dāng)m＝78時，W最大，W最大值為1390，答：當(dāng)m＝78時，所獲利潤最大，最大利潤為1390元．注：通過計算三種方案的利潤，比較得出最大值也對；當(dāng)m＝76時，w＝1380元；當(dāng)m＝77時，w＝1385元；當(dāng)m＝78時，w＝1390元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，弄清題意找準等量關(guān)系列出方程組、找準不等關(guān)系列出不等式組、找準各量之間的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.6．某校在“二十大”勝利閉幕后，組織全校學(xué)生參加了“黨史在心中”知識競賽，校團委選擇了甲、乙兩種馬克杯作為獎品，乙馬克杯比甲馬克杯的單價貴5元，花200元買甲馬克杯與花400元買乙馬克杯的數(shù)量相同．(1)求甲、乙馬克杯的單價；(2)若需購進甲、乙馬克杯共100個，且乙馬克杯數(shù)量不少于甲馬克杯數(shù)量的，則如何購買才能使得費用最少？(3)為獎勵部分競賽成績特別突出的同學(xué)，校團委又選擇了一種可以定制圖案和文字的馬克杯，這種馬克杯的單價為20元/個，校團委同時購買3種馬