專題12 平行線的證明壓軸題的三種考法（解析版）-2024年?？級狠S題攻略（9年級上冊人教版）

專題12平行線的證明壓軸題的三種考法類型一、三角形折疊問題例1．我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于”．在三角形紙片中，點D，E分別在邊上，將沿折疊，點C落在點的位置．(1)如圖1，當(dāng)點C落在邊上時，若，則＝，可以發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，當(dāng)點C落在內(nèi)部時，且，，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)點C落在外部時，若設(shè)的度數(shù)為x，的度數(shù)為y，請求出與x，y之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，互余(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平角定義求出，再利用折疊性質(zhì)即可求出，然后利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)平角定義求出，，然后利用折疊性質(zhì)可得，然后利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)平角定義求出，再利用折疊性質(zhì)即可求出，然后利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，由折疊得：.∴，∵，∴與的數(shù)量關(guān)系是互余．（2）解：∵，∴，由折疊得：∴，∴的度數(shù)為；（3）解：如圖：∵，∴，由折疊得：，∴，∴與x，y之間的數(shù)量關(guān)系：．【點睛】本題考擦汗折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵．例2．在中，平分交于點，交于點，P是邊上的動點（不與重合），連接，將沿翻折得，記．

(1)如圖1，點與點重合時，用含的式子表示；(2)當(dāng)點與點不重合時，①如圖2，若平分交于點，猜想之間存在的等量關(guān)系，并說明你的理由；②若，請直接寫出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆敬鸢浮?1)(2)①；理由見解析；②或【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可得出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出，根據(jù)折疊得出，根據(jù)求出結(jié)果即可；（1）①在上截取，連接，證明，得出，證明為等腰直角三角形，得出，證明，得出，求出即可；②分兩種情況，當(dāng)點P在點E的左側(cè)時，當(dāng)點P在點E的右側(cè)時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，根據(jù)折疊可知，，∴．（2）解：①；理由如下：在上截取，連接，如圖所示：

∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，根據(jù)折疊可知，，，，∵平分，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)點P在點E的左側(cè)時，如圖所示：

∵平分，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，根據(jù)折疊可知，，，∴；當(dāng)點P在點E的右側(cè)時，如圖所示：

∵，，∴，根據(jù)折疊可知，，，∴；綜上分析可知，或．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，作出相應(yīng)的輔助線，構(gòu)造全等三角形，注意分類討論．【變式訓(xùn)練1】（1）如圖1，把三角形紙片折疊，使個頂點重合于點．這時，__________；

（2）如果三角形紙片折疊后，個頂點并不重合于同一點，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；（3）折疊后如圖所示，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系_______；（4）折疊后如圖，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系：_______；【答案】（1）；（2）成立，詳見解析；（3）；（4）．【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可；（3）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)計算即可；（4）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）由折疊性質(zhì)可知：，，，∴，，，∵∴，∴，故答案為：，（2）由由折疊性質(zhì)可知：，，，∴，，，∵，，，，∴，同理：，，∴，（3）根據(jù)(2)可知：，，如圖3，∵，，∴，∴，故答案為：，（4）根據(jù)（2）（3）可知：，，，∴，∴，故答案為：【點睛】此題考查了翻折、角的計算，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【變式訓(xùn)練2】（1）如圖，把沿折疊，使點落在點處，試探究、與的關(guān)系；（2）如圖2，若，，作的平分線，與的外角平分線交于點，求的度數(shù)；（3）如圖3，若點落在內(nèi)部，作，的平分線交于點，此時，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明過程．【答案】（1）

（2）

（3），證明見解析【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知，，再根據(jù)平角的定義得到，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出，再由角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)推出即可；（3）先推出，，再由三角形外角的性質(zhì)推出，利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理推出，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下：由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，；（2）解：，，，，的平分線，與的外角平分線交于點，，，，，又，，；（3）解：，理由如下；由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，，的平分線交于點，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】有一張正方形紙片ABCD，點E是邊AB上一定點，在邊AD上取點F，沿著EF折疊，點A落在點A′處，在邊BC上取一點G，沿EG折疊，點B落在點B′處．(1)如圖1，當(dāng)點B落在直線A′E上時，猜想兩折痕的夾角∠FEG的度數(shù)并說明理由．(2)當(dāng)∠A′EB′=∠B′EB時，設(shè)∠A′EB′=x．①試用含x的代數(shù)式表示∠FEG的度數(shù)．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此時∠FEG的度數(shù)；若不可能，請說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)①當(dāng)點B′落在∠A′EG內(nèi)部時，∠FEG=90°+；當(dāng)點B′落在∠A′EF內(nèi)部時，∠FEG=90°?；②EB′可能平分∠FEG，當(dāng)點B′落在∠A′EG內(nèi)部時，∠FEG=108°；當(dāng)點B′落在∠A′EF內(nèi)部時，∠FEG=()°．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)結(jié)合平角的性質(zhì)即可求解；（2）①分當(dāng)點B′落在∠A′EG內(nèi)部和點B′落在∠A′EF內(nèi)部時兩種情況討論求解即可；②分點B′落在∠A′EG內(nèi)部和點B′落在∠A′EF內(nèi)部時兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∠FEG=90°．由折疊可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG．又∵∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG=180°，∴∠A′EF+∠B′EG=90°，∠FEG=90°；（2）解：由折疊可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG．①（i）如圖，當(dāng)點B′落在∠A′EG內(nèi)部時，∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=∠B′EB，∴∠B′EB=3x．∴∠AEA′=180°?∠A′EB=180°?(∠B′EB+∠A′EB′)=180°?4x，∴∠BEG=∠BEB′=，∠AEF=∠AEA′=90°?2x，∴∠FEG=180°?∠BEG?∠AEF=90°+．（ⅱ）如圖2，當(dāng)點B′落在∠A′EF內(nèi)部時，∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=∠B′EB，∴∠B′EB=3x，∴∠AEA′=180°?∠A′EB=180°?(∠B′EB?∠A′EB′)=180°?2x，∴∠BEG=∠BEB′=，∠AEF=∠AEA′=90°?x．∴∠FEG=180°?∠BEG?∠AEF=90°?．綜上所述，當(dāng)點B′落在∠A′EG內(nèi)部時，∠FEG=90°+；當(dāng)點B′落在∠A′EF內(nèi)部時，∠FEG=90°?．②EB′可能平分∠FEG，理由如下：（i）當(dāng)點B′落在∠A′EG內(nèi)部時，∠FEG=90°+．∵EB′平分∠FEG，∴∠B′EG=∠FEG=45°+．又∵∠B′EG=∠BEB′=，∴45°+=，解得x=36°．此時∠FEG=90°+=108°．（ⅱ）當(dāng)點B′落在∠A′EF內(nèi)部時，∠FEG=90°?．∵EB′平分∠FEG，∴∠B′EG=∠FEG=45°?．又∵∠B′EG=∠BEB′=，∴45°?=，解得x=()°．此時∠FEG=90°?=()°．綜上所述，當(dāng)點B′落在∠A′EG內(nèi)部時，∠FEG=108°；當(dāng)點B′落在∠A′EF內(nèi)部時，∠FEG=()°．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用翻折不變性解決問題．類型二、三角形內(nèi)角和定理與外角和定理例．在中，，平分，點F為射線上一點（不與點E重合），且于點D．

(1)如圖1，如果點F在線段上，且，，則______．(2)如果點F在的外部，分別作出和的角平分線，交于點K，請在圖2中補(bǔ)全圖形，探究、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)如圖3，若點與點重合，、分別平分和的外角，連接，過點作交延長線于點，交的延長線于點，若，且，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)畫圖見解析，，理由見解析(3)【分析】（1）先求出，進(jìn)而得到，，根據(jù)得到，即可求出；（2）根據(jù)題意先畫出圖形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義得到，再由三角形內(nèi)角和定理得到，則，據(jù)此即可得到答案；（3）根據(jù)得到，得到，從而求出，進(jìn)而求出，結(jié)合，得到．根據(jù)，得到，求出．從而分別求出，，，再求出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為即可求出．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）解：，理由如下：在中，，∵平分，∴，∵，∴，∵和的角平分線交于點K，∴，∵，∴，∴，∴；

（3）解：設(shè)，∵平分，∴，∴，∵∴，∴，，∴，∵、分別平分和的外角，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴．∴，，∴，∵，∴，∴在四邊形中，（四邊形內(nèi)角和可以看做是兩個三角形的內(nèi)角和）．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理，三角形角平分線，綜合性較強(qiáng)，第（3）步難度較大．熟知相關(guān)定理，并根據(jù)題意進(jìn)行角的表示與代換是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖1，是中邊上的高，點D是上一點，連接交于點F，．(1)求證：；(2)若，求證：；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長至點G，連接，，若，，求線段的長．（注：不能應(yīng)用等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)和判定）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）首先根據(jù)高的意義得出，，再結(jié)合已知條件可得到，據(jù)此得出結(jié)論；（2）首先根據(jù)高的意義及（1）的結(jié)論可得出，然后再結(jié)合已知條件可得出，據(jù)此可證明和全等，進(jìn)而可得出結(jié)論；（3）首先根據(jù)四邊形的面積的面積面積可得出，過點作交的延長線于點，再證和全等，從而得，由（2）可知，據(jù)此可得，然后根據(jù)可求出的長，進(jìn)而可得出的長．【詳解】（1）證明：是中邊上的高，，，，，，即：；（2）證明：由（1）知：，，，，，又∵，，即：，，即：，∵，，在和中，，，；（3）解：∵是中邊上的高，，，，∵，，，即：，，由（2）知：，，，過點作交的延長線于點，則，由（1）知：，，，由（2）知：，即：，在和中，，，，由（2）知：，，，

∵，，即：，，．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積計算公式等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與技巧，理解全等三角形的性質(zhì)，難點是在解答（3）時，過點作交的延長線于點，從而構(gòu)成全等三角形．【變式訓(xùn)練2】綜合與探究：

(1)如圖1，，分別是的兩個內(nèi)角，的平分線，說明的理由．【深入探究】(2)①如圖2，，分別是的兩個外角，的平分線，與之間的等量關(guān)系是；②如圖3，，分別是的一個內(nèi)角和一個外角的平分線，，交于點，探究與之間的等量關(guān)系，并說明理由．【拓展應(yīng)用】(3)請用以上結(jié)論解決下列問題：如圖4，在中，，分別平分，，，，分別在，，的延長線上，，分別平分，，，分別平分，．若，則的度數(shù)是．【答案】(1)見解析(2)①；②，理由見解析(3)．【分析】（1）利用角平分線的定義得出，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）①利用三角形內(nèi)角和定理可得，，利用角平分線的定義可得，，從而得到，化簡即可求解；②利用三角形的外角性質(zhì)可得，，從而得到，化簡即可求解；（3）由（1）知：，即可求出，利用三角形內(nèi)角和定理可得，再利用角平分線的性質(zhì)可得，利用三角形內(nèi)角和定理可得，再由（2）②可知，求解即可．【詳解】（1）解：、分別是、的平分線，，，，，，，；（2）解：①與之間的等量關(guān)系是：，理由如下：、分別是的兩個外角、的平分線，，，，，，，，，，，，；②與之間的等量關(guān)系是：，理由如下：、分別是的一個內(nèi)角和一個外角的平分線，，，，，．（3）解：由（1）知：，，，，，、分別平分、，，．由（2）②知：，，【點睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟記三角形外角性質(zhì)，內(nèi)角和定理，角平分線的定義．類型三、平行線性質(zhì)與判定例．如圖①，已知，一條直線分別交、于點E、F，，，點Q在上，連接．

(1)已知，求的度數(shù)；(2)求證：平分．(3)在（1）的條件下，若，將繞著點F順時針旋轉(zhuǎn)，如圖②，若當(dāng)邊轉(zhuǎn)至線段上時停止轉(zhuǎn)動，記旋轉(zhuǎn)角為，請求出當(dāng)為多少度時，與某一邊平行？(4)在（3）的條件下，直接寫出與之間的關(guān)系．【答案】(1)(2)見解析(3)或或或(4)與相差．【分析】（1）由，得，又，得證；（2）由（1），由，得，，由等角的余角相等，得，命題得證；（3）由分別與的三邊分別平行，分情況討論處理；（4）在（3）的各種情況下，分別計算與的度數(shù)，可得結(jié)論與相差．【詳解】（1）解：∵，∴，又，∴，∴；（2）解：∵，∴，，∴，∴平分．（3）解：①與的邊平行時，如下圖1及圖4，

如圖1，∵,∴,又,∴,；如圖4，,；②與的邊平行時，如下圖2，

，，∴；

③與的邊平行時，如下圖3，,∴，

綜上，旋轉(zhuǎn)角為或或或．（4）解：時，，；時，，；時，，；時，，；綜上，與相差．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，周角的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，，點P在直線上，作，交于點M，點F是直線上的一個動點，連接，于點E，平分．

(1)若點F在點E左側(cè)且，求的度數(shù)；(2)當(dāng)點在線段（不與點M，E重合）上時，設(shè)，直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)將射線從（1）中的位置開始以每秒的速度繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)至的位置，轉(zhuǎn)動的時間為t秒，求當(dāng)t為何值時，為直角三角形．【答案】(1)9°(2)(3)為秒或秒【分析】（1）平行線的性質(zhì)得到，三角形內(nèi)角和，得到，角平分線得到，垂直得到，進(jìn)而求出的度數(shù)，利用，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，同法（1）求出，的度數(shù)，利用，進(jìn)行求解即可；（3）分和，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：，．在中，，．平分，．，，，．（2）解：如圖，

，．在中，，．平分，．，，，．（3），當(dāng)為直角三角形時，存在兩種情況：情況一：當(dāng)時，初始狀態(tài)時，旋轉(zhuǎn)過的度數(shù)為．轉(zhuǎn)動的時間為（秒）．情況二：當(dāng)時，．初始狀態(tài)時，旋轉(zhuǎn)過的度數(shù)為．轉(zhuǎn)動的時間為（秒）．綜上：當(dāng)為秒或秒時，為直角三角形．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，與角平分線和高線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和．解題的關(guān)鍵時熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．【變式訓(xùn)練2】【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，已知，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形中，，點E是線段上一點．，，求的度數(shù)；【拓展提高】（3）如圖3，在四邊形中，，點E是線段上一點，若平分，．①試求出的度數(shù)；②已知，，點G是直線上的一個動點，連接并延長．2.1若恰好平分，當(dāng)與四邊形中一邊所在直線垂直時，________；2.2如圖4，若是的平分線，與的延長線交于點F，與交于點P，且，則________（用含的代數(shù)式表示）．

【答案】（1）見解析（2）40°（3）①90°②2.1：15°或60°或120°，2.2：【分析】（1）由，再結(jié)合兩直線平行內(nèi)錯角相等即可證明；（2）過點作，交于點，再結(jié)合（1）證明計算求值即可；（3）①設(shè)，，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，求得即可；②第一問根據(jù)三角形內(nèi)角和，求得，由得到，進(jìn)而可得，再分和所在直線垂直、和所在直線垂直于、和所在直線垂直三種情況計算求值即可；第二問利用三角形外角的性質(zhì)求得，進(jìn)而可得，再由計算角度差即可解答；【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴；（2）如下圖過點作，交于點，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴；（3）①設(shè)，，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；②2.1：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，如圖和所在直線垂直于點M時：

，如圖和所在直線垂直于點G時：

∵，∴，，如圖和所在直線垂直于點C時：

，∴或或；2.2：由2.1可知，，∵，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴；【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識；掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．如圖，長方形紙片，點，分別在，邊上，將紙片沿折疊，使點落在邊上的點處，然后再次折疊紙片使點與點重合，點落在點，折痕為，若，則度．【答案】【分析】根據(jù)將紙片沿折疊，使點落在邊上的點處，得出，，可得，根據(jù)四邊形為長方形，得出，可得，可求，根據(jù)為對稱軸，可得，可得，根據(jù)，列方程，解方程即可．【詳解】解：∵紙片沿折疊，使點落在邊上的點處，，，，∵四邊形為長方形，，，，∵再次折疊紙片使點與點重合，點落在點，折痕為，四邊形與四邊形關(guān)于對稱，，∵，，∵，，，，，故答案為：【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及其推論，恰當(dāng)應(yīng)用折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，中沿將四邊形翻折，使點、點分別落在點和點處，再將沿翻折，使點落在點處，若，，則的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)折疊，得到對應(yīng)角相等，利用平角是和對頂角相等，求出，利用三角形內(nèi)角和為，求出，進(jìn)而求出，再利用外角的性質(zhì)，即可求出．【詳解】解：如圖，由題意得：，，，；故答案為：．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，平角的定義，三角形的內(nèi)角和為，以及外角的性質(zhì)．熟練掌握折疊后，對應(yīng)角相等，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．3．在中，，點D是下方一點，連接，，過點D作，連接，分別過點B、D作直線、，使得，平分，平分，則．【答案】【分析】過點作，根據(jù)角平分線的定義，設(shè)，則，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，即可得出結(jié)果．【詳解】解：過點作，

平分，平分，設(shè)，則，，，，，，，，，在中，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，作出正確的輔助線是本題的關(guān)鍵．4．（1）如圖1，將紙片沿折疊，使點落在四邊形內(nèi)點的位置．則之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；

（2）如圖2，若將（1）中“點落在四邊形內(nèi)點的位置”變?yōu)椤包c落在四邊形外點的位置”，則此時之間的數(shù)量關(guān)系為：_________；

（3）如圖3，將四邊形紙片（，與不平行）沿折疊成圖3的形狀，若，，求的度數(shù)；（4）在圖3中作出的平分線，試判斷射線的位置關(guān)系，當(dāng)點在邊上向點移動時（不與點重合），的大小隨之改變（其它條件不變），上述，的位置關(guān)系改變嗎？為什么？【答案】（1），（2）；（3）；（4）位置不改變，．【分析】（1）連接，證明，結(jié)合，，再利用角的和差關(guān)系可得答案；（2）連接，證明，結(jié)合，，再利用角的和差關(guān)系可得答