第三章 因式分解（知識(shí)歸納+題型突破）七年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊單元速記巧練（湘教版）

第第頁第三章因式分解（知識(shí)歸納+題型突破）1、了解平方差公式、完全平方公式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算和推理．2、能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)為正整數(shù)）．1、因式分解概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解。2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：（2）運(yùn)用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：（4）分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解。（5）運(yùn)用求根公式法：若的兩個(gè)根是、，則有：3、因式分解的一般步驟：（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；（3）對二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考慮用分組分解法。題型一多項(xiàng)式的因式分解【例1】（判斷是否是因式分解）（2024上·廣東東莞·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列等式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的是因式分解的意義，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式．利用因式分解的定義判斷即可．【詳解】解：A、，從左到右的變形是整式乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)不符合題意D、，符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【例2】（公因式）（2023上·全國·八年級(jí)課堂例題）（1）多項(xiàng)式的公因式是；（2）多項(xiàng)式的公因式是；（3）多項(xiàng)式的公因式是；（4）多項(xiàng)式的公因式是．【答案】；；；．【分析】本題主要考查了公因式，根據(jù)當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的，進(jìn)而得出答案，掌握公因式的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（）根據(jù)公因式的概念可得：公因式是；（）根據(jù)公因式的概念可得：公因式是；（）根據(jù)公因式的概念可得：公因式是；（）根據(jù)公因式的概念可得：公因式是；故答案為：（）；（）；（）；（）．【例3】（已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)）（2024上·北京東城·八年級(jí)北京二中校聯(lián)考期中）【例題講解】因式分解：．∵為三次二項(xiàng)式，若能因式分解，則可以分解成一個(gè)一次二項(xiàng)式和一個(gè)二次多項(xiàng)式的乘積．故我們可以猜想可以分解成，即，展開等式右邊得：，∴恒成立．∴等號(hào)左右兩邊的同類項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等，即，解得，∴．【方法歸納】設(shè)某一多項(xiàng)式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù)，利用當(dāng)兩個(gè)多項(xiàng)式為恒等式時(shí)，同類項(xiàng)系數(shù)相等的原理確定這些系數(shù)，從而得到待求的值，這種方法叫待定系數(shù)法．【學(xué)以致用】(1)若，則__________；(2)若有一個(gè)因式是，求k的值及另一個(gè)因式．【答案】(1)1(2)，另一個(gè)因式為：．【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式的乘法，因式分解等知識(shí)，掌握題干給出的待定系數(shù)法，是解答本題的關(guān)鍵．（1）將展開，結(jié)合多項(xiàng)式的恒等關(guān)系即可求解；（2）設(shè)多項(xiàng)式另一個(gè)因式為，利用題干給出的待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，（2）設(shè)多項(xiàng)式另一個(gè)因式為，則，，，，，，即另一個(gè)因式為：．鞏固訓(xùn)練：1．（2023下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）下列式子從左到右的變形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C2．（2023上·新疆哈密·八年級(jí)期末）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了因式分解，根據(jù)因式分解的定義“把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡整式的積的形式”依次判定即可得，掌握因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，不屬于因式分解，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、，屬于因式分解，選項(xiàng)說法正確，符合題意；C、，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、，屬于整式乘法，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．3．（2023上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)?？计谥校┫铝凶冃?，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查判斷是否是因式分解．根據(jù)將一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、是因式分解，符合題意；B、等式右邊不是整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意；C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合題意；D、等式右邊不是整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意；故選A．4．（2024上·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解，其中m、n都為整數(shù)，則m的值是（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】本題主要考查了因式分解與多項(xiàng)式乘法之間的關(guān)系，根據(jù)多項(xiàng)式乘法把等式右邊展開得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．5．（2023上·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期中）將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解得到，則分別是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了因式分解和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，能正確根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開是解此題的關(guān)鍵．先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，再合并同類項(xiàng)，再根據(jù)已知條件求出答案即可．【詳解】解：∴∴故選A6．（2017上·福建泉州·八年級(jí)泉州第十六中學(xué)校考期中）若多項(xiàng)式可分解為，則a+b的值為（）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】本題主要考查因式分解以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則．根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則把展開，再求出a，b的值，進(jìn)而求解．【詳解】解：∵可分解為，∴，∴，∴，，∴，故選：A．7．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）若多項(xiàng)式可以分解為，則的值是（

）A． B．4 C．10 D．【答案】B8．（2023上·甘肅金昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查公因式的確定，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，找公因式的要點(diǎn)是：①公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母取各項(xiàng)都含有的相同字母；③相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．【詳解】解：因此的公因式是故選：B．9．（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）多項(xiàng)式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查公因式，找出多項(xiàng)式中各項(xiàng)的系數(shù)的最大公約數(shù)，以及相同字母的最低指數(shù)次冪，即可得到答案．【詳解】解：系數(shù)的最大公約數(shù)是，相同字母的最低指數(shù)次冪是，∴公因式為．故選：C．10．（2024上·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，則的值為.【答案】【分析】設(shè)另一個(gè)因式為，得，根據(jù)整式的乘法運(yùn)算法則即可求解．本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對題中所給解題思路的理解，同時(shí)要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．【詳解】解：設(shè)另一個(gè)因式為，得，則∴，解得，∴另一個(gè)因式為，的值為．故答案為：．11．（2023下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）（1）多項(xiàng)式中，各項(xiàng)的公因式是；（2）多項(xiàng)式中，各項(xiàng)的公因式是．【答案】12．（2023上·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期中）多項(xiàng)式的公因式為．【答案】【分析】本題主要考查公因式的確定，根據(jù)公因式的定義，先找出系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母的最低指數(shù)次冪，然后即可確定公因式．【詳解】解：多項(xiàng)式中，系數(shù)的最大公約數(shù)是4，相同字母的最低指數(shù)次冪是，因此公因式是．故答案為：．13．（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）多項(xiàng)式的公因式是．【答案】【分析】本題主要考查公因式的確定，根據(jù)公因式的概念求解即可．熟練掌握找公因式的要點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，特別注意首項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為正數(shù)．找公因式的要點(diǎn)是：公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)都含有的相同字母；相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．【詳解】解：∵多項(xiàng)式有三項(xiàng)，∴，，中系數(shù)的公因數(shù)是，字母部分公因式為，∴多項(xiàng)式的公因式是．故答案為：．14．（2023上·湖南長沙·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）完成下面各題(1)若二次三項(xiàng)式可分解為，則______；(2)若二次三項(xiàng)式可分解為，則______；______；(3)已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及k的值．【答案】(1)(2)9，5(3)另一個(gè)因式為，的值為12．【分析】本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對題中所給解題思路的理解，同時(shí)要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．（1）將展開，根據(jù)所給出的二次三項(xiàng)式即可求出的值；（2）展開，可得出一次項(xiàng)的系數(shù)，繼而即可求出的值；（3）設(shè)另一個(gè)因式為，得，可知，，繼而求出和的值及另一個(gè)因式．【詳解】（1）解：，，解得：；故答案為：；（2）解：，，；故答案為：9，5；（3）解：設(shè)另一個(gè)因式為，得，則，，解得：，，故另一個(gè)因式為，的值為12．題型二提公因式法【例1】（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）因式分解：（1）；（2）；（3）．【答案】【分析】（1）利用提公因式法，即可因式分解；（2）利用提公因式法，即可因式分解；（3）利用提公因式法，即可因式分解．【詳解】解：（1）；（2）；（3）故答案為：，，．【例2】（2023下·貴州貴陽·八年級(jí)?？计谥校├靡蚴椒纸饪梢院啽阌?jì)算：分解正確的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】利用提取公因式法分解因式即可得．【詳解】解：原式，故選：B．【例3】（2022上·八年級(jí)單元測試）已知，那么的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先對題目中的式子進(jìn)行因式分解，然后代入求值．【詳解】解：∵，故選：A．【例4】（2023上·福建莆田·八年級(jí)校考階段練習(xí)）觀察等式：；；；……已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，，，……，，，若，用含的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，分解因式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先根據(jù)題意得到規(guī)律，再把所求式子提取公因式，進(jìn)而化簡得到，再由，可得原式．【詳解】解：；；；……，以此類推，由題知，，∵，∴原式，又∵，∴原式．故選：D．鞏固訓(xùn)練1．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┌讯囗?xiàng)式，提取公因式后，余下的部分是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求結(jié)果．熟練掌握提公因式是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】，則余下的部分是x．故選：C．2．（2023下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A3．（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查提公因式法，提取計(jì)算即可．【詳解】解：故選：A．4．（2023上·四川內(nèi)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)m滿足，則代數(shù)式的值為（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】本題主要考查代數(shù)式變形，利用整體法求代數(shù)式的值，先對進(jìn)行局部因式分解，即變形為，最后逐步降次，可以求出代數(shù)式的值．【詳解】解：原式；∵；∴；即；∴；∵；∴；故選：C．5．（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若，則A為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查因式分解，先提取公因式，然后再利用完全平方公式展開后整理，可得答案．【詳解】解：∵，，，又∵，∴．故選D．6．（2018下·七年級(jí)單元測試）計(jì)算(-2)1999+(-2)2000等于(

)A．-23999 B．-2 C．-21999 D．21999【答案】D【詳解】【分析】把(-2)2000分解成(-2)1999×(-2)1，然后再提取公因式(-2)1999，然后得出答案.【詳解】(-2)1999+(-2)2000=(-2)1999+(-2)1999×(-2)1=(-2)1999×(1-2)=(-2)1999×(-1)=21999故選：D．7．（2021下·河北邢臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，那么代數(shù)式的值是（

）A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001【答案】B【分析】先將化為，再將轉(zhuǎn)化為，再將代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：B．8．（2022上·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則的值是(

)A．0 B．1 C．－1 D．2【答案】A【分析】把分組，每三個(gè)數(shù)作為一組，再每組提取公因式，再整體代入求值即可．【詳解】解：∵，而∴故選A9．（2023下·河北石家莊·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列分解因式的過程，再回答所提出的問題：．（1）上述分解因數(shù)的方法是，其應(yīng)用了次；（2）若分解，則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是．【答案】提公因式法22017/【分析】（1）將視為一個(gè)整體，觀察分解因式的過程即可得到答案；（2）觀察（1）得出規(guī)律，即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：上述分解因數(shù)的方法是提取公因式法，共應(yīng)用了2次，故答案為：提取公因式法，2；（2）由（1）可得：當(dāng)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)為時(shí)，需要提取公因式2次，結(jié)果為，當(dāng)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)為時(shí)，需要提取公因式次，結(jié)果為，分解，則需應(yīng)用上述方法2017次，結(jié)果是，故答案為：2017，．10．（2023下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，求的值．【答案】【詳解】解：，，，．11．（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）把下列各式進(jìn)行因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題的關(guān)鍵．（1）直接提取公因式，進(jìn)而因式分解得出答案；（2）直接提取公因式，進(jìn)而因式分解得出答案；（3）直接提取公因式，進(jìn)而因式分解得出答案；（4）直接提取公因式，進(jìn)而因式分解得出答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．12．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)校聯(lián)考期中）化簡求值：，其中【答案】；原式【分析】本題考查了整式混合運(yùn)算的化簡求值，因式分解，先利用提公因式法對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，然后利用整式混合運(yùn)算的法則進(jìn)行化簡，再代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．13．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）提取公因式因式分解解題即可；（2）提取公因式分解因式即可；（3）把看成整體提取公因式分解因式即可；（4）把看成整體提取公因式分解因式即可．【詳解】（1）；（2）；（3））；（4）．題型三公式法【例1】（判斷能否用公式法分解因式）（2023上·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列多項(xiàng)式中，能用公式法分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式進(jìn)行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．【詳解】解：A選項(xiàng)，式子中單項(xiàng)式有三項(xiàng)，且平方項(xiàng)符號(hào)相同，滿足完全平方公式分解因式形式，故選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，式子中單項(xiàng)式有兩項(xiàng)，且符號(hào)相同，不滿足平方差公式分解因式形式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，式子中單項(xiàng)式有兩項(xiàng)，且符號(hào)相同，不滿足平方差公式分解因式形式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，式子中單項(xiàng)式有兩項(xiàng)，且含有相同的字母，應(yīng)用提取公因式法分解因式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【例2】（綜合運(yùn)用提公因式法、公式法分解因式）（2023上·山東日照·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）因式分解(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵：（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可；（4）先利用完全平方公式分解因式，再提取公因數(shù)2分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：【例3】（因式分解在簡算中的運(yùn)用）（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）利用乘法公式簡便計(jì)算．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，熟知平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）把原式變形為，再利用平方差公式進(jìn)行求解即可；（2）原式根據(jù)完全平方公式變形為，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【例4】（公式法在數(shù)字變化規(guī)律問題中的應(yīng)用）（2023上·廣東廣州·八年級(jí)廣州市天河區(qū)匯景實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┯?jì)算：．【答案】/【分析】接利用平方差公式把每一個(gè)算式因式分解，再進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】解：原式=，故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山東德州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，熟背完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意對各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析即可選出本題答案．【詳解】解：∵，∴A選項(xiàng)能用完全平方公式分解因式，不符合題意；∵，∴B選項(xiàng)能用完全平方公式分解因式，不符合題意；∵，即不符合完全平方公式，∴C選項(xiàng)不能用完全平方公式分解因式，符合題意；∵，∴D選項(xiàng)能用完全平方公式分解因式，不符合題意；故選：C．2．（2023上·河南南陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列各多項(xiàng)式中，能運(yùn)用公式法分解因式的有（）（1）（2）（3）（4）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，據(jù)此逐項(xiàng)分析，即可作答．【詳解】解：，故（1）符合題意；不能運(yùn)用公式法分解因式，故（2）不符合題意；，故（3）符合題意；，不能運(yùn)用公式法分解因式，故（4）不符合題意；所以能運(yùn)用公式法分解因式的有（1）和（3），故選：B3．（2023上·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）要使多項(xiàng)式能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解因式，整式可以是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【詳解】解：A.是完全平方公式因式分解，不合題意；B.不能用平方差公式因式分解，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.，不能用平方差公式因式分解，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.，能用平方差公式因式分解，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．4．（2023上·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若能用完全平方公式因式分解，則的值為（

）A． B． C．或11 D．13或【答案】C【分析】本題考查了完全平方公式分解因式，根據(jù)題意，得，列式計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意，得，∴或，解得或．故選C．5．（2024上·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：（1）；（2）；（3）．【答案】【分析】本題考查因式分解，熟記平方差公式和完全平方公式是解答的關(guān)鍵．（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）提公因式a即可求解；（3）利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）．故答案為：；；．6．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）若，，則．【答案】【分析】本題考查了平方差公式因式分解，根據(jù)平方差公式，可得，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，故答案為：．7．（2024上·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律問題，平方差公式，先將原式用平方差公式變形，可以得到，再分組計(jì)算即可求解．【詳解】解：．8．（2023上·福建廈門·八年級(jí)廈門雙十中學(xué)校考期末）已知，，則的值是．【答案】【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，把所求式子因式分解為，再代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．9．（2023上·全國·八年級(jí)課堂例題）已知，，則的值是．【答案】【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解．先提出公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)完全平方公式的變形，可得，即可求解．【詳解】解：∵，，∴．∴原式．10．（2023上·全國·八年級(jí)課堂例題）分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了因式分解：（1）先提取公因式y(tǒng)，然后再運(yùn)用完全平方公式因式分解即可；（2）先提取公因式，然后再運(yùn)用完全平方公式因式分解即可；（3）先運(yùn)用平方差公式，再運(yùn)用完全平方公式因式分解即可；（4）先整理，再提出公因式即可．【詳解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：11．（2023下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）因式分解：(1)（2a-1）（a＋1）-7（a＋1）；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)2（a＋1）（a-4）(2)2（a＋b）（a-b）(3)(4)(5)（7m-n）（7n-m）【詳解】解：（1）原式＝（a＋1）（2a-1-7）＝（a＋1）（2a-8）＝2（a＋1）（a-4）．（2）原式＝（a＋b）[（a＋b）＋（a-3b）]＝（a＋b）（2a-2b）＝2（a＋b）（a-b）．（3）原式．（4）原式．（5）原式＝[3（m＋n）＋4（m-n）][3（m＋n）-4（m-n）]＝（7m-n）（7n-m）．12．（2023下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）把下列各式因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【詳解】解：（1）原式．（2）原式．13．（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）因式分解：；（2）利用因式分解計(jì)算：．【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了因式分解和因式分解的應(yīng)用，熟知因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接根據(jù)完全平方公式將原式變形為，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）；（2）．14．（2023上·山東東營·八年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴?1)；(2)．（用簡便方法計(jì)算）【答案】(1)(2)36【分析】本題主要考查了分解因式，有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式和完全平方公式，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用完全平方公式進(jìn)行簡便計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．15．（2023上·陜西安康·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）利用乘法公式計(jì)算：．【答案】100【分析】本題考查完全平方公式，利用完全平方公式進(jìn)行簡算即可．掌握完全平方公式，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．16．（2023上·重慶·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)?？计谥校┖啽阌?jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，平方差公式．（1）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）利用因式分解進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．17．（2023上·吉林長春·八年級(jí)校考期中）請你參考黑板中老師的講解，用乘法公式進(jìn)行簡便計(jì)算：利用乘法公式有時(shí)可以進(jìn)行簡便計(jì)算．例1：；例2：．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)1；【分析】（1）根據(jù)完全平方公式即可求出答案．（2）根據(jù)平方差公式即可求出答案．【詳解】（1）原式；（2）．題型四十字相乘法【例1】（2024上·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識(shí)的掌握與運(yùn)用．（1）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（2）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（3）先分組，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：，．【例2】（2019下·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解呢？我們已經(jīng)知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1c2．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成，常數(shù)項(xiàng)c分解成，并且把a(bǔ)1，a2，c1，c2如圖①所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么就可以分解為a1xc1a2xc2，其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項(xiàng)－6也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按圖②所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)－1，于是就可以分解為(x2)(x3)．請同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：=．【理解與應(yīng)用】請你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：（1）=；（2）=．【探究與拓展】對于形如的關(guān)于x，y的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解．如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=mxpyjnxqyk，請你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：（1）分解因式=；（2）若關(guān)于x，y的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求m的值；（3）已知x，y為整數(shù)，且滿足，請寫出一組符合題意的x，y的值．【答案】閱讀與思考：圖見解析，x-3x2；理解與應(yīng)用：（1）x12x7；（2）2xy3x2y；探究與拓展：（1）x2y13xy4；（2）43或-78；（3）x=－1，y=0．【分析】【閱讀與思考】利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；【理解與應(yīng)用】（1）利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；（2）利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；【探究與拓展】（1）根據(jù)二元二次多項(xiàng)式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可得到答案；（2）根據(jù)二元二次多項(xiàng)式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可求解；（3）根據(jù)二元二次多項(xiàng)式的十字相乘法，對方程進(jìn)行分解因式，化為二元一次方程，進(jìn)而即可求解．【閱讀與思考】畫十字交叉圖：∴=x-3x2．故答案是：x-3x2；【理解與應(yīng)用】（1）畫十字交叉圖：∴2x25x7=x12x7，故答案是：x12x7；（2）畫十字交叉圖：∴6x27xy2y2=2xy3x2y，故答案是：2xy3x2y；【探究與拓展】（1）畫十字交叉圖：∴3x25xy2y2x9y4x2y13xy4，故答案是：x2y13xy4；（2）如圖，∵關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3=－24，7=1×(－2)+1×9，－5=1×(－8)+1×3，∴m=9×3+(－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3=－78．∴m的值為：43或－78；（3）∵，∴，畫十字交叉圖：∴，∴或，∵x，y為整數(shù)，∴x=－1，y=0是一組符合題意的值．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·上海浦東新·七年級(jí)校聯(lián)考期末）分解因式：．【答案】【分析】本題考查十字相乘法分解因式，先把當(dāng)成一個(gè)整體進(jìn)行分解，再逐個(gè)括號(hào)進(jìn)行分解即可．【詳解】．2．（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：材料將一個(gè)形如的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足且，則可以把因式分解成．(1)根據(jù)材料，把分解因式．(2)結(jié)合材料和材料，完成下面小題：①分解因式：；②分解因式：．【答案】(1)(2)①，②【分析】本題考查了因式分解．掌握十字相乘法和完全平方公式進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)進(jìn)行解答即可；（2）①將看成一個(gè)整體，令，分解因式，然后再還原即可；②令，原式可變?yōu)?，即，進(jìn)行因式分解可得，代換后進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，∴；（2）①解：令，原式∴；②解：令，原式∴原式，∴．3．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【教材呈現(xiàn)】人教版八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)教材第121頁的閱讀與思考：型式子的因式分解型式子是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的一類多項(xiàng)式，如何將這種類型的式子進(jìn)行因式分解呢?在第102頁的練習(xí)第2題中，我們發(fā)現(xiàn)，.這個(gè)規(guī)律可以利用多項(xiàng)式的乘法法則推導(dǎo)得出：因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得

①利用①式可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式。例如，將式子分解因式。這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，因此這是一個(gè)型的式子.利用①式可得.上述分解因式的過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)（圖1）.這樣，我們也可以得到.利用上面的結(jié)論，可以直接將某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式：（1）分解因式：_____________；【知識(shí)應(yīng)用】（2），則_________，_________；【拓展提升】（3）如果，其中m，p，q均為整數(shù)，求m的值.【答案】（1）（2）（3）【分析】本題主要考查某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式及其應(yīng)用：（1）根據(jù)閱讀材料中提供的方法進(jìn)行解答即可；（2）先將等號(hào)右邊的括號(hào)括號(hào)展開合并，根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可得結(jié)論；（3）先將等號(hào)右邊的括號(hào)括號(hào)展開合并，根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可得，根據(jù)m，p，q均為整數(shù)討論求解即可.【詳解】解：（1）∵，∴，故答案為：；（2）由，∴，解得，，故答案為：；（3）由，∴，∵m，p，q均為整數(shù)，∴，此時(shí)；或者，此時(shí)；或者，此時(shí)；或者，此時(shí)；或者，此時(shí)；或者，此時(shí)；綜上，的值為：4．（2024上·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┪覀冇泄剑海催^來，就得到可以作為因式分解的公式：．如果有一個(gè)關(guān)于的二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式，它的常數(shù)項(xiàng)可以看作兩個(gè)數(shù)與的積，而它的一次項(xiàng)的系數(shù)恰是與的和，它就可以分解為，也就是說：當(dāng)，時(shí)，有．例如：；；；．下面是某同學(xué)對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程．解：設(shè)，則原式．(1)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？（填“是”或“否”）．若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果．(2)請你運(yùn)用上述公式并模仿以上方法，嘗試對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．【答案】(1)否，(2)【分析】本題考查了十字相乘法，掌握整體思想是解題關(guān)鍵．（1），故可繼續(xù)分解；（2）設(shè)，原式可分解為；將代入可繼續(xù)分解．【詳解】（1）解：設(shè)，則原式故答案為：否，（2）解：設(shè)，則原式，∴5．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由得，；利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式，例如：將式子分解因式．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，所以．解：請仿照上面的方法，解答下列問題：(1)分解因式：________；(2)分解因式：________；【答案】(1)；(2)．【分析】此題考查了利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，弄清題中的分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)所給材料信息即可求解；（）先將看作一個(gè)整體進(jìn)行因式分解，隨后再對每一個(gè)因式進(jìn)一步分解即可；【詳解】（1）解：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，∴，∴，故答案為：；（2）先把看成整體，則．故答案為：．6．（2023上·上海青浦·七年級(jí)?？计谥校┯煤啽惴椒ㄓ?jì)算：．【答案】．【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，先設(shè)，然后通過十字相乘法因式分解進(jìn)行解答即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握十字相乘法因式分解的應(yīng)用．【詳解】解：設(shè)，則原式，，，∴原式．7．（2022下·貴州銅仁·七年級(jí)統(tǒng)考期中）(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)的系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)，于是就可以分解為．請同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應(yīng)用】請你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究與拓展】對于形如的關(guān)于，的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖4．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式，請你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：①

分解因式__________；②

若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求的值．【答案】(1)(2)；(3)；43或【分析】（1）首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，寫出結(jié)果即可．（2）①把二次項(xiàng)系數(shù)2寫成，常數(shù)項(xiàng)寫成，滿足，寫出分解結(jié)果即可．②把項(xiàng)系數(shù)6寫成，把項(xiàng)系數(shù)2寫成，滿足，寫出分解結(jié)果即可．（3）①把項(xiàng)系數(shù)3寫成，把項(xiàng)系數(shù)-2寫成，常數(shù)項(xiàng)-4寫成滿足條件，寫出分解結(jié)果即可．②把項(xiàng)系數(shù)1寫成，把項(xiàng)系數(shù)-18寫成，常數(shù)項(xiàng)-24寫成或滿足條件，寫出分解結(jié)果，計(jì)算即可．【詳解】（1）首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，所以．故答案為：．（2）①把二次項(xiàng)系數(shù)2寫成，，滿足，所以．故答案為：．②把項(xiàng)系數(shù)6寫成，把項(xiàng)系數(shù)2寫成，滿足，所以．故答案為：．（3）①把項(xiàng)系數(shù)3寫成，把項(xiàng)系數(shù)-2寫成，常數(shù)項(xiàng)-4寫成滿足條件，所以．故答案為：．②把項(xiàng)系數(shù)1寫成，把項(xiàng)系數(shù)-18寫成，常數(shù)項(xiàng)-24寫成或滿足條件，所以m=或m=，故m的值為43或-78．8．（2021下·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：材料1：將一個(gè)形如x2＋px＋q的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n則可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：將“x＋y看成一個(gè)整體，令x+y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再將“A”還原得：原式＝（x＋y＋1）2上述解題用到“整體思想”整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）根據(jù)材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題；①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2【分析】（1）將x2+2x-24寫成x2+（6-4）x+6×（-4），根據(jù)材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；（2）①令x-y=A，原式可變?yōu)锳2-8A+16，再利用完全平方公式即可；②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可變?yōu)锽（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解為（B-3）（B+1），再代換后利用十字相乘法和完全平方公式即可．【詳解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；（2）①令x-y=A，則原式可變?yōu)锳2-8A+16，A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；②設(shè)B=m2-2m，則原式可變?yōu)锽（B-2）-3，即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．9．（2018上·湖南長沙·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面材料，解答后面的問題：“十字相乘法”能將二次三項(xiàng)式分解因式，對于形如的關(guān)于，的二次三項(xiàng)式來說，方法的關(guān)鍵是將項(xiàng)系數(shù)分解成兩個(gè)因數(shù)，的積，即，將項(xiàng)系數(shù)分解成兩個(gè)因式，的積，即，并使正好等于項(xiàng)的系數(shù)，那么可以直接寫成結(jié)果：例：分解因式：解：如圖1，其中，，而所以而對于形如的關(guān)于，的二元二次式也可以用十字相乘法來分解．如圖2．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式例：分解因式解：如圖3，其中，，而，，所以請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）分解因式：①．②．（2）若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求的值．【答案】（1）；；（2）61或-82．【分析】（1）結(jié)合題意畫出圖形，即可得出結(jié)論；（2）用十字相乘法把能分解的幾種情況全部列出求出m的值即可．【詳解】解：（1）①如下圖，其中，所以，；②如下圖，其中，而，所以，；（2）如下圖，其中，而或，∴若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，的值為61或-82．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是因式分解-十字相乘法，讀懂題意，掌握十字相乘法分解因式的步驟是解此題的關(guān)鍵．10．（2019上·江西南昌·八年級(jí)南昌大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校└鶕?jù)多項(xiàng)式乘法法則，因此，這種因式分解的方法稱為十字相乘法，按照上面方法對下列式子進(jìn)行因式分解（1）

（2）

（3）（4）

（5）【答案】(1)(x+2)(x+5)；(2)(x+9)(x-2)；(3)(2x-1)(x-2)；(4)(2y+1)(3y-2)；(5)(x-2y+1)(x-y-3).【分析】(1)觀察可知10=2×5，7=2+5，由此進(jìn)行因式分解即可；(2)觀察可知—18=-2×9，7=-2+9，由此進(jìn)行因式分解即可；(3)觀察可知二次項(xiàng)系數(shù)2=1×2，常數(shù)項(xiàng)2=(-1)×(-2)，一次項(xiàng)系數(shù)-5=1×(-1)+2×(-2)，據(jù)此進(jìn)行因式分解即可；(4)觀察可知二次項(xiàng)系數(shù)6=2×3，常數(shù)項(xiàng)-2=1×(-2)，一次項(xiàng)系數(shù)-1=2×(-2)+3×1，據(jù)此進(jìn)行因式分解即可；(5)原式前三項(xiàng)利用材料中的方法進(jìn)行分解，然后變形為(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3，據(jù)此利用提公因式法繼續(xù)進(jìn)行分解即可得.【詳解】(1)原式=(x+2)(x+5)；(2)原式=(x+9)(x-2)；(3)原式=(2x-1)(x-2)；(4)原式=(2y+1)(3y-2)；(5)原式=(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3=(x-2y)(x-y)+(x-y)-(3x-6y+3)=(x-y)(x-2y+1)-3(x-2y+1)=(x-2y+1)(x-y-3).題型五分組分解法【例1】（2023上·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法等等．①分組分解法：例如：．②拆項(xiàng)法：例如：．仿照以上方法分解因式：(1)；(2)．(3)解決問題：已知、、、為的三邊長，，且為等腰三角形，求的周長．【答案】(1)(2)(3)的周長是5【分析】本題考查因式分解及其應(yīng)用，分組分解法，拆項(xiàng)法因式等知識(shí)，掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用分別分組分解法將看出一組，再用平方差公式因式分解即可；（2）運(yùn)用拆項(xiàng)法將拆成，再運(yùn)用（1）的方法因式分解即可；（3）將化成平方和等于0的形式，從而求出a、b，再運(yùn)用等腰三角形的定義分類討論即可得解．【詳解】（1）解：；（2）；（3），，，，，，，是等腰三角形，或(不符合三角形三邊關(guān)系，舍去)的周長．【例2】（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列文字與例題：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法稱作分組分解．例如：以下兩個(gè)式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．①；②試用上述方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了分解因式分組分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．（1）原式前三項(xiàng)結(jié)合，后兩項(xiàng)結(jié)合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可；（2）原式后三項(xiàng)提取，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式【例3】（2023上·四川內(nèi)江·八年級(jí)威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┫乳喿x以下材料，然后解答問題：以上分解因式的方法稱為分組分解法．(1)請用分組分解法分解因式：(2)拓展延伸①若，求x，y的值；②求當(dāng)x、y分別為多少時(shí)，代數(shù)式有最小的值，最小的值是多少？【答案】(1)(2)①；②當(dāng)，時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是【分析】本題考查了公式法因式分解法和分組分解法的應(yīng)用：（1）先把原式變形為，可得，即可；（2）①先把原式變形為，可得，即可；②先把原式變形為，可得，再由，，可得，時(shí)，代數(shù)式有最小的值，最小的值是，即可．【詳解】（1）解：；（2）解：①∵，∴，∴，，，∴，②，，，時(shí)，代數(shù)式有最小的值，最小的值是．此時(shí)，，，即當(dāng)，時(shí)，代數(shù)式有最小的值，最小的值是．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下面的材料，再完成后面的任務(wù)．材料一材料二如果把一個(gè)多項(xiàng)式各個(gè)項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以利用分組的方法來分解因式，這種因式分解的方法叫做分組分解法．例在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替，不僅可以簡化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．例進(jìn)行因式分解的過程：設(shè)，原式(1)填空：因式分解_______；(2)因式分解（寫出詳細(xì)步驟）：；(3)若三邊分別為a，b，c，其中，，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)是等邊三角形；理由見解析【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用；（1）根據(jù)材料1，分組分解即可求解；（2）根據(jù)材料2，利用換元法，設(shè)，進(jìn)而因式分解即可求解；（3）根據(jù)完全平方公式因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：，故答案為：．（2）解：設(shè)，則原式（3）解：是等邊三角形，理由如下；∵∴，∴∴又∵，∴∴是等邊三角形2．（2023上·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：(1)因式分解：；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解的新方法，及其應(yīng)用．(1)根據(jù)方法，適當(dāng)分組分解即可．(2)先因式分解，后代入求值即可．【詳解】（1）．（2），又，故原式．3．（2023上·全國·八年級(jí)課堂例題）（1）若，，是三角形的三邊長，且滿足關(guān)系式，試判斷這個(gè)三角形的形狀．（2）若，，是的三邊長，且滿足，則是什么形狀？【答案】（1）三角形是等腰三角形；（2）是等邊三角形【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用；（1）把通過因式分解求值即可；（2）通過把配方后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】（1）∵，∴，∴，∴．∵，∴，即，∴這個(gè)三角形是等腰三角形．（2）∵，∴．∴，即．∴，，，∴，，，∴，∴是等邊三角形．4．（2023下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）觀察下列因式分解的過程：①（分成兩組）（直接提取公因式）；②（分成兩組）（直接運(yùn)用公式）．請仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】解：（1）．（2）．5．（2023上·陜西延安·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀與思考：因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，如：“”，觀察這個(gè)式子發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，其分解過程為：，這種因式分解的方法叫作“分組分解法”，根據(jù)以上方法，解答下列問題：(1)因式分解：；(2)已知，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查綜合運(yùn)用提取公因式法，公式法進(jìn)行復(fù)雜的分解因式，掌握提取公因式法，公式法進(jìn)行分組分解因式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)材料提示，前兩項(xiàng)結(jié)合，后兩項(xiàng)結(jié)合提取公因式即可求解；（2）根據(jù)材料提示，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式，再代入求值即可．【詳解】（1）原式；（2）原式，，，原式．6．（2023上·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）通過學(xué)習(xí)，我們知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，與此同時(shí)，某些多項(xiàng)式只用上述一種方法無法因式分解．下面是甲、乙兩位同學(xué)對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程．甲：（先分成兩組）．乙：（先分成兩組）．兩位同學(xué)分解因式的方法叫做分組分解法，請你仔細(xì)觀察并對以下多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查分組分解法因式分解（1）根據(jù)題干所提供的方法，結(jié)合分組分解法的分組原則進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)分組分解法的分組原則進(jìn)行解答即可；【詳解】（1）解：（2）解：7．（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式只用上述一種方法無法分解，例如，我們細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以分解，后兩項(xiàng)也可以分解，分別分解后會(huì)產(chǎn)生公因式就可以完整的分解了，過程為：這種方法叫分組分解法，利用這種方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】此題考查了分組分解法分解因式，（1）直接將前三項(xiàng)分組，再利用乘法公式分解因式進(jìn)而得出答案；（2）直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)分組，再利用提取公因式法分解因式即可；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分組分解法分解因式，公式法因式分解及其應(yīng)用．【詳解】（1）原式，，；（2）原式，，．8．（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：將因式分解．經(jīng)過小組合作交流，得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式小明由此體會(huì)到，對項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達(dá)到因式分解的目的．這種方法可以稱為分組分解法．(溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止)請你也試一試?yán)梅纸M分解法進(jìn)行因式分解：(1)因式分解：；(2)因式分解：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分組分解法因式分解；（1）先分組，然后根據(jù)提公因式法與平方差公式因式分解即可求解；（2）先分組，然后根據(jù)提公