浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算方法

四.浮點(diǎn)運(yùn)算器與浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算浮點(diǎn)運(yùn)算器通常由處理階碼的和處理尾數(shù)的兩個定點(diǎn)運(yùn)算器組成 在早期的小或微型機(jī)中，浮點(diǎn)運(yùn)算器通常以任選件方式提供給用戶,主要用于計算浮點(diǎn)數(shù)浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算

對階執(zhí)行加減規(guī)格化舍入(右歸）判溢出浮點(diǎn)數(shù)乘除運(yùn)算階碼加減尾數(shù)乘除舍入與規(guī)格化處理判溢出浮點(diǎn)數(shù)在計算機(jī)內(nèi)的格式浮點(diǎn)數(shù):X=MS

ESEm-1...E2E1

M-1M-2...M-n

符號位

階碼位

尾數(shù)數(shù)碼位

總位數(shù)短浮點(diǎn)數(shù):

1

8

23

32長浮點(diǎn)數(shù):

1

11

52

64

臨時浮點(diǎn)數(shù):1

15

64

80IEEE標(biāo)準(zhǔn)：階碼用移碼，基為2；尾數(shù)用原碼X=MX*2EX浮點(diǎn)數(shù)的階碼的位數(shù)決定數(shù)的表示范圍，

尾數(shù)的位數(shù)決定數(shù)的有效精度。浮點(diǎn)數(shù)在計算機(jī)內(nèi)的格式浮點(diǎn)數(shù):X=M

EE...EE

MM...M

ssm-110-1-2-nIEEE標(biāo)準(zhǔn)：尾數(shù)用原碼X=MX

*2EX浮點(diǎn)數(shù)是數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的子集合，由一個純小數(shù)乘上一個指數(shù)值來組成。在計算機(jī)內(nèi)，其純小數(shù)部分被稱為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，對非0值的浮點(diǎn)數(shù)，要求尾數(shù)的絕對值必須>=1/2，稱滿足這種表示要求的浮點(diǎn)數(shù)為規(guī)格化表示；把不滿足這一表示要求的尾數(shù)，變成滿足這一要求的尾數(shù)的操作過程，叫作浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化處理，通過尾數(shù)移位和修改階碼實(shí)現(xiàn)。浮點(diǎn)數(shù)在計算機(jī)內(nèi)的格式浮點(diǎn)數(shù):X=M

EE...EE

MM...M

ssm-110-1-2-nIEEE標(biāo)準(zhǔn)：尾數(shù)用原碼X=MX*2EX按國際電子電氣工程師協(xié)會規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)要用原碼表示，即符號位Ms:0表示正，1表示負(fù)，且非0值尾數(shù)數(shù)值的最高位M-1必為1,才能滿足浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化表示的要求；既然非0值浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)數(shù)值最高位必定為1，則在保存浮點(diǎn)數(shù)到內(nèi)存前，通過尾數(shù)右移,強(qiáng)行把該位去掉,用同樣多的尾數(shù)位就能多存一位二進(jìn)制數(shù)，有利于提高數(shù)據(jù)表示精度，稱這種處理方案使用了隱藏位技術(shù)。當(dāng)然，在取回這樣的浮點(diǎn)數(shù)到運(yùn)算器執(zhí)行運(yùn)算時，必須先恢復(fù)該隱藏位。浮點(diǎn)數(shù)在計算機(jī)內(nèi)的格式X=Ms

EsEm-1...E1E0

M-1M-2...M-n

IEEE標(biāo)準(zhǔn)：階碼用移碼，基為2X=MX*2EX按國際電子電氣工程師協(xié)會規(guī)定的國際通用標(biāo)準(zhǔn)，浮點(diǎn)數(shù)的階碼用整數(shù)給出，并且要用移碼表示，用作為以2為底的指數(shù)的冪。既然該指數(shù)的底一定為2，可以不必在浮點(diǎn)數(shù)的格式中明確表示出來，只需給出階碼的冪值即可。

移碼表示只用于表示整數(shù)，只用在浮點(diǎn)數(shù)的階碼部分，其定義類似于整數(shù)的補(bǔ)碼定義，差別在符號位。

移碼的符號位是0表示負(fù)，1表示正，與補(bǔ)碼的符號位正好相反，移碼是指機(jī)器數(shù)在數(shù)軸上有個移位關(guān)系；

移碼的數(shù)值位則與補(bǔ)碼的數(shù)值位完全相同。浮點(diǎn)數(shù)格式：關(guān)于移碼的知識浮點(diǎn)數(shù):X=M

EE...EE

MM...M

ssm-110-1-2-nX=MX*2EX移碼表示只用于表示整數(shù)，只用在浮點(diǎn)數(shù)的階碼部分。一位符號位和n位數(shù)值位組成的移碼,其定義為；[E]移=2n+E

-2n<=E<2n

表示范圍：00000000111111110負(fù)數(shù)正數(shù)機(jī)器數(shù)[X]補(bǔ)=X

0

X<2n

2n+1+X-2n

X

0浮點(diǎn)數(shù)格式：關(guān)于移碼的知識一位符號位和n位數(shù)值位組成的移碼,其定義為；[E]移=2n+E

-2n<=E<2n

表示范圍：00000000~11111111

負(fù)數(shù)

正數(shù)

機(jī)器數(shù)0移碼只執(zhí)行二數(shù)的加減運(yùn)算與增1、減1操作。加減運(yùn)算時，符號位計算結(jié)果求反后,才是加減運(yùn)算的正確符號位的值。注意:當(dāng)用雙符號位時，00代表負(fù)，01代表正，而不是11代表正8位的階碼能表示-128~+127，當(dāng)階碼為-128時，其補(bǔ)碼表示為00000000，該浮點(diǎn)數(shù)的絕對值<2-128,人們規(guī)定此浮點(diǎn)數(shù)的值為零，若尾數(shù)不為0就清其為0，并特稱此值為機(jī)器零。8位移碼表示的機(jī)器數(shù)為數(shù)的真值在數(shù)軸上向右平移了128個位置-128+127浮點(diǎn)數(shù)在計算機(jī)內(nèi)的格式浮點(diǎn)數(shù):X=M

EE...EE

MM...M

ssm-110-1-2-nIEEE標(biāo)準(zhǔn)：階碼用移碼，基為2；尾數(shù)用原碼X=MX*2EX階碼用移碼，尾數(shù)用原碼表示浮點(diǎn)數(shù)的好處：(1)機(jī)器零為浮點(diǎn)數(shù)的所有各位均為零；(2)二浮點(diǎn)數(shù)比大小時，可不必區(qū)分階碼位和數(shù)據(jù)位，可視同比二定點(diǎn)小數(shù)一樣對待浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)運(yùn)算（1）對階操作，求階差：

E=

EX-EY，

使階碼小的數(shù)的尾數(shù)右移

E

位，其階碼取大的階碼值；（2）尾數(shù)加減；（3）規(guī)格化處理；（4）舍入操作，可能帶來又一次規(guī)格化；（5）判結(jié)果的正確性，即檢查階碼上下溢出EXX=MX*2

EYY=MY*2

浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)加運(yùn)算舉例X=2010*0.11011011，Y=2100*（-0.10101100）寫出X、Y的正確的浮點(diǎn)數(shù)表示：

階碼用4位移碼

尾數(shù)用9位原碼（含符號位）（含符號位）

[X]浮=0

1010

11011011[Y]浮=1

1100

10101100為運(yùn)算方便，尾數(shù)寫成模4補(bǔ)碼形式：[MX]補(bǔ)=0011011011[MY]補(bǔ)=1101010100

浮點(diǎn)數(shù)加運(yùn)算舉例

X=2010*0.11011011，Y=2100*（-0.10101100）（1）計算階差：

E=EX-EY=EX+(-EY)=1010+0100=0110

注意：階碼計算結(jié)果的符號位在此變了一次反，結(jié)果為-2的移碼，是X的階碼值小，使其取Y的階碼值1100（即+4）；因此，修改[MX]補(bǔ)=000011011011（即右移2位）（2）尾數(shù)求和：000011011011

+

1101010100111000101011浮點(diǎn)數(shù)加運(yùn)算舉例

X=2010*0.11011011，Y=2100*（-0.10101100）（3）規(guī)格化處理：

相加結(jié)果的符號位與數(shù)值的最高位同值，應(yīng)執(zhí)行一次左規(guī)操作,故得[MX]補(bǔ)=1000101011，[EX]移=1011（4）舍入處理：采用0舍1入方案，要入，在最低位加1

1100010101

+

00000000011100010110

（其原碼表示為111101010）

（5）檢查溢出否：和的階碼為1011，不溢出計算后的[X]移

=1

1011

11101010，即23*(-0.11101010)浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)運(yùn)算(1)階碼加、減：乘：EX+EY，除：EX-EY(2)尾數(shù)乘、除：乘：EX*EY，除：EX/EY(3)規(guī)格化處理；(4)舍入操作，可能帶來又一次規(guī)格化；(5)判結(jié)果的正確性，即檢查階碼上下溢出EXX=MX*2

EYY=MY*2

浮點(diǎn)數(shù)乘除運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算舉例

X=2010*0.1011，Y=2100*（-0.1101）寫出X、Y的正確的浮點(diǎn)數(shù)表示：

階碼用4位移碼

尾數(shù)用9位原碼（含符號位）（含符號位）

[X]浮=0

1010

1011

[Y]浮=1

1100

1101浮點(diǎn)數(shù)乘運(yùn)算舉例

X=2010*0.1011，Y=2100*（-0.1101）（1）階碼相加：

積的階碼=

EX+EY=1010+1100=1110

注意：計算結(jié)果的階碼符號位在此變了一次反，

結(jié)果為+6的移碼

（2）尾數(shù)相乘：MX*MY=0.1011*(-0.1101)=-0.10001111

(3)(4)(5)已是規(guī)格化數(shù),不必舍入,也不溢出最眾乘積[MX]移=1111010001111，即26*（-0.10001111）浮點(diǎn)數(shù)除運(yùn)算舉例

X=2010*0.1011，Y=2100*（-0.1101）（1）階碼相減：

積的階碼=

EX-EY=EX+(-EY)