2023-2024海淀區(qū)初三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末試題及答案

2023-2024海淀區(qū)初三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末練習(xí)2023.1

1.方程f-3x-5=0的根的狀況是

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法確定是否有實(shí)數(shù)根

2.在RtzXABC中，ZC=90°,BC=3,AB=5,貝UsinA的值為

A.-B.-C.-D.-

5543

3.若右圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是

A.長方體B.正方體C.圓柱D.圓錐

4.小丁去看某場(chǎng)電影，只剩下如圖所示的六個(gè)空座位供他選擇，座位號(hào)分

別為1號(hào)、4號(hào)、6號(hào)、3號(hào)、5號(hào)和2號(hào).若小丁從中隨機(jī)抽取一個(gè)，則抽到

的座位號(hào)是偶數(shù)的概率是H

2]_2

A.B.D.

6323

5.如圖，AABC和△AiBCi是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形，若Ci為OC的中點(diǎn)，AB=4,

則48的長為

A.1B.2C.4D.8

6.已知點(diǎn)4(為，V)，8(X2,”)是反比例函數(shù))=—3二的圖象上的兩點(diǎn),

x

若X[V0<X2,則下列結(jié)論正確的是

A.yi<0<j2B.y2VoVyiC.2VoD.y2<yi<0

7.如圖，AB是半圓O的直徑，AC為弦，OOLAC于。，過點(diǎn)。作

OE〃AC交半圓。于點(diǎn)￡過點(diǎn)E作E凡L4B于尸.若AC=2,則。尸

的長為

￡3

A.B.一C.1D.2

24

8.如圖1,在矩形A8CO中，AB<BC,AC,交于點(diǎn)。點(diǎn)E為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連接OE,BE,過E作于F.設(shè)4E=x,圖1中某條線段的長為y,若表示y與x的

函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這條線段可能是圖1中的

AD

o

圖1圖2

A.線段EFB.線段。EC.線段CED.線段BE

二、填空題(本題共16分，每小題4分)

9.若扇形的半徑為3cm,圓心角為120。，則這個(gè)扇形的面積為cm2.

10.在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為2m的竹竿的影長為1m,同時(shí)測(cè)得一棟建筑物的影長為12m,

那么這棟建筑物的高度為.m.

11.如圖，拋物線y=與直線y^bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為

A(-2,4),,則關(guān)于x的方程/—法一c=0的解為

■n2,

12.對(duì)于正整數(shù)〃，定義尸又)=?其中/(〃)表示〃的

J5)，

首位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和.例如：/(6)=62=36

F(123)=/(123)=l2+32=10.

規(guī)定耳(〃)=F(〃)，丘|(〃)=/(4(〃))(%為正整數(shù)).例如：

耳(123)="123)=10,F2(123)=尸(耳(123))=F(10)=1.

(1)求：6(4)=,鳥35(4)=

(2)若《,(4)=89，則正整數(shù)/?的最小值是

三、解答題(本題共30分，每小題5分)

2o,50

13.計(jì)算:(-l)+sin3O-(n-3.14)

14.如圖，△ABC中，AB=AC,。是BC中點(diǎn)，BE_L4C于E.求證：/XACD^ABCE.

BDC

15.已知是一元二次方程/一3》一2=0的實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式！'”+1)?！ā?)一1的值.

m

16.拋物線丁=2》2平移后經(jīng)過點(diǎn)4((),3),8(2,3),求平移后的拋物線的表達(dá)式.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系.x0y中，正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)

k

y=一的圖象交于A,B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,ACLx軸于點(diǎn)C,

x

連接BC.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=(圖象上的一點(diǎn)，且滿意△。尸(7與4

x

ABC的面積相等，請(qǐng)干脆寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

4

18.如圖，ZkABC中，ZACB=90°,sin/I=-,BC=8,。是AB中點(diǎn)，過點(diǎn)8作

直線C。的垂線，垂足為E.

(1)求線段CQ的長；

A

(2)求cosZABE的值.

四、解答題(本題共20分，每小題5分)

19.已知關(guān)于x的一元二次方程儂2—(m+2)%+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根石,々.

(1)求機(jī)的取值范圍；

(2)若馬＜0,且土＞一1，求整數(shù)〃，的值.

20.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，據(jù)調(diào)研顯示，每個(gè)檔次的日產(chǎn)量及相應(yīng)

的單件利潤如下表所示(其中x為正整數(shù)，且IWxWlO)：

??????

質(zhì)量檔次12X10

日產(chǎn)量(件)9590.??100-5%???50

單件利潤(萬元)68???2x+4???24

為了便于調(diào)控，此工廠每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品.當(dāng)生產(chǎn)質(zhì)量檔次為x的產(chǎn)品時(shí)，當(dāng)

天的利潤為y萬元.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)工廠為獲得最大利潤，應(yīng)選擇生產(chǎn)哪個(gè)檔次的產(chǎn)品？并求出當(dāng)天利潤的最大值.

21.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A,B,C在。。上，與。。相切，射線AO

交BC于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)F.點(diǎn)P在射線AO上，且NPCB=2NBAF.

(1)求證：直線PC是。。的切線；

(2)若48=而，AD=2,求線段PC的長.

22.閱讀下面材料：

小明視察一個(gè)由1x1正方形點(diǎn)陣組成的點(diǎn)陣圖，圖中水平與豎直方向上隨意兩個(gè)相

鄰點(diǎn)間的距離都是1.他發(fā)覺一個(gè)好玩的問題：對(duì)于圖中出現(xiàn)的隨意兩條端點(diǎn)在點(diǎn)陣上

且相互不垂直的線段，都可以在點(diǎn)陣中找到一點(diǎn)構(gòu)造垂直，進(jìn)而求出它們相交所成銳角

的正切值.

請(qǐng)回答：

（1）如圖1,A、B、C是點(diǎn)陣中的三個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)邳c(diǎn)陣中找到點(diǎn)。，作出線段CO,使得

CD±AB；

（2）如圖2,線段A8與CZ）交于點(diǎn)0.為了求出NAO。的正切值，小明在點(diǎn)陣中找到了

點(diǎn)E,連接AE,恰好滿意于一凡再作出點(diǎn)陣中的其它線段，就可以構(gòu)造相像三

角形，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決.

請(qǐng)你幫小明計(jì)算：0C=；tanZAC>D=；

圖2圖3

參考小明思索問題的方法，解決問題：

如圖3,計(jì)算：tanNAQD=

五、解答題(本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25小題8分)

k

23.在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)>=一的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(1,4),.

X

(1)求代數(shù)式相〃的值；

(2)若二次函數(shù)y=(x-1了的圖象經(jīng)過點(diǎn)8,求代數(shù)式〃而一2m2〃+3〃?〃一4九的值；

(3)若反比例函數(shù)y=-的圖象與二次函數(shù)y=a(x-l)2的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，且該交

X

點(diǎn)在直線y=x的下方，結(jié)合函數(shù)圖象，求。的取值范圍.

八

5-

4?

3?

2-

-5-4-3-2~~t-0-12~3~4~5^

1■

24.如圖1,在AABC中，8c=4,以線段AB為邊作△A8。，使

得A￡>=BD,連接。C,再以。C為邊作△CDE,使得DC=DE,

NCDE=4ADB=a.

(1)如圖2,當(dāng)NABC=45。且a=90。時(shí)，用等式表示線段

AD,OE之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)將線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF,

連接B尸，AF.

①若a=90。，依題意補(bǔ)全圖3,求線段4尸的長;

②請(qǐng)干脆寫出線段A尸的長(用含a的式子表示).

圖2圖3備用圖

25.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，設(shè)點(diǎn)尸（％,y）,。（毛，斗）是圖形W上的隨意兩點(diǎn).

定義圖形W的測(cè)度面積：若|%-尤2|的最大值為根，瓦一%|的最大值為"，則

為圖形W的測(cè)度面積.

例如,若圖形W是半徑為1的。0.當(dāng)P,Q分別是。。與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖l,|x,-x2|

取得最大值，且最大值，〃=2；當(dāng)P,。分別是。。與），軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖2,也一功|取

得最大值，且最大值"=2.則圖形W的測(cè)度面積5=，加=4.

（1）若圖形W是等腰直角三角形ABO,04=08=1.

①如圖3,當(dāng)點(diǎn)A,8在坐標(biāo)軸上時(shí)，它的測(cè)度面積S=；

②如圖4,當(dāng)ABLc軸時(shí)，它的測(cè)度面積S=；

（2）若圖形W是一個(gè)邊長為1的正方形ABCD,則此圖形測(cè)度面積S的最大值

為;

（3）若圖形W是一個(gè)邊長分別為3和4的矩形ABCC,求它的測(cè)度面積S的取值范圍.

圖4

數(shù)學(xué)試卷答案及評(píng)分參考

閱卷須知：

1.為便于閱卷，本試卷答案中有關(guān)解答題的推導(dǎo)步驟寫的較為具體,閱卷時(shí)，只要考生將

主要過程正確寫出即可.

2.若考生的解法與給出的解法不同,正確者可參照評(píng)分參考相應(yīng)給分.

3.評(píng)分參考中所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

一、選擇題（本題共32分，每小題4分）

題號(hào)12345678

答案AADCBBCB

二、填空題（本題共16分，每小題4分）

9.3乃；10.24；

11.玉=-2,彳2=1;12.（1）37,26；（每個(gè)答案1分）（2）6.（2分）

三、解答題：（本題共30分，每小題5分）

13.（本小題滿分5分）

解：原式=-1+工-1+2...........................................................................................................4分

2

14.（本小題滿分5分）

證明：D是BC中點(diǎn),

.".AD1SC,

：.ZADC=90°.....................................................1分

YBELAC,

ZB￡C=90°.

，ZADC=ZBEC.............................................?.2分

在AACD和"CE中，

[ZACD=ZBCE,

[ZADC=ZBEC,

.?.△4CDs△B"..................................................5分

15.（本小題滿分5分）

解：由己知，可得加2—3加一2=0.........................1分

；?m2—2=3m...................................................2分

.?.原式=西土1=曰=獨(dú)=3......

.5分

mmm

16.（本小題滿分5分）

解：設(shè)平移后拋物線的表達(dá)式為y=2f+版+。

???平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,3),3(2,3),

3=c,

3=8+2b+c.

所以平移后拋物線的表達(dá)式為y=2_?—4X+3........................................................5分

解二：?.?平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,3),8(2,3),

.?.平移后的拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l................................................................1分

二設(shè)平移后拋物線的表達(dá)式為y=2(%-+%....................................................2分

/.3=2x(2-l)2+Jt..............................................................................................3分

???左=1.....................................................................................................................4分

所以平移后拋物線的表達(dá)式為y=2(x—1『+1.....................................................5分

17.(本小題滿分5分)

解：(1)將％=2代入y=2x中，得y=2x2=4.

???點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,4)..............................................................................................1分

點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-的圖象上，

X

???左=2x4=8.....................................................................................................2分

Q

，反比例函數(shù)的解析式為丁=一........................................3分

x

(2)P(l,8)或P(—1,—8)..........................................................................................5分

18.(本小題滿分5分)

4

解：(1):△ABC中，ZACB=90°,sinA=—,8c=8,

5

O

=—^=4=10.......................................................................................1分

sinA4

5

?△ABC中,ZACB=90°,，是AB中點(diǎn),

：.CD=-AB=5................................................................................................2分

2

(2)法一：過點(diǎn)C作C尸，A8于凡如圖.

ZCFD=90°.

在RSABC中，由勾股定理得AC=jAfi2-Be?=J1()2—8?=6.

'：CFAB=ACBC,

ACBC24

........................3分

AB~~5

,：BELCE,

，ZBED=9Q°.

"：NBDE=NCDF,

，NABE=NDCF.................................4分

24

CFV24

cosZ.ABE=cosZ.DCF--=-=一.............................5分

CD525

法二：是AB中點(diǎn)，AB=10,

二BD=-AB=5.......................................................3分

2

,?SMDC=/SgBC

在R3A8C中，由勾股定理得4C=J/R2一=J1()2-82=6.

SM*=—X6X8=24.

,SXBDC=12?

：.-BE-CD=12.

2

,:CD=5,

A

24

BE=—4分

5

?:BELCE,

：.ZBED=90°.

24

cosNABE=—=^-=—5分

BD525

四'解答題(本題共20分，每小題5分)

19.(本小題滿分5分)

解：(1)由已知，得加工0且A=(m+2)--4x2/%=m2-4團(tuán)+4=(〃2-2)2〉0,

；?加w0且加W2................................................2分

（2）原方程的解為、=如等也

2

，x=1或％=—......................................................3分

m

x2<0,

2

??X1—1,x?=—<0.

~m

/.m<0.

X?

m1

—>-l.

2

***ITI>—2.

又,/mw。且/nw2,

/--2<m<0...................................................4分

V/n是整數(shù)，

/.m=-1.......................................................5分

20.(本小題滿分5分)

解:(1)y=(100-5x)(2x+4)=-10x2+180x+400......................2分

(14E0且x為整數(shù)).

22

(2)?：y=-lOx+18()x+400=-10(x-9)+1210.3分

又?.TWxWlO且x為整數(shù)，

...當(dāng)X=9時(shí)，函數(shù)取得最大值1210.

答：工廠為獲得最大利潤，應(yīng)生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品，當(dāng)天的最大利潤為1210萬元.

5分

21.（本小題滿分5分）

解：（1）連接0C.

與。。相切于點(diǎn)A,

J.FALAD.

,：四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AD//BC,

J.FALBC.

經(jīng)過圓心0,

尸是BC的中點(diǎn)，BE=CE,ZOEC=9Q°...........................1分

ZCOF^2ZBAF.

'：ZPCB=2ZBAF,

，NPCB=NCOF.

ZOC￡+ZCOF=180°-ZOEC=90°,

ZOCE+ZPCB=90°.

J.OCIPC.

點(diǎn)c在。。上，

...直線PC是。O的切線......................................................................................2分

(2)：四邊形ABC。是平行四邊形，

.??8C=A￡>=2.

：.BE=CE^\.

在RSA8E中，NAEB=90°,AB=y/10,

：.AE=dAB?-BE。=3.

設(shè)。。的半徑為r,則OC=Q4=r,OE=3-r.

在RSOCE中，ZOEC=90°,

：.OC2=OE2+CE2.

：.r2=(3-r)2+l.

解得r=°............................................................................................................3分

3

,?ZCOE=ZPCE,ZOEC=ZCEP=90°.

：.40CES&CPE......................................................................................................4分

.OE_OC

"~CE~~CP'

1CP

23.（本小題滿分7分）

k

解：(1),??反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(l,4),

x

：.k=4..........................................................1分

4

???反比例函數(shù)的解析式為y=—.

x

4

?/反比例函數(shù)y二—的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(m,拉)，

x

/.nm=4..........................................................2分

(2)；二次函數(shù)y=(x-l)2的圖象經(jīng)過點(diǎn)3(加,〃)，

/.鹿=(加一I)。.....................................................3分

/.n=nr-2〃z+l.

m2-2m=n-\.

由(1)得加?=4,

二原式=4m2—8m+12—4〃

=4(m2—2m)+12—4n

=4(/7—1)+12—4H

=8........................................................4分

4

(3)由(1)得反比例函數(shù)的解析式為y=—.

x

令丁=工，可得12=4,解得x=±2.

4

，反比例函數(shù)y=—的圖象與直線y=x交于

x

點(diǎn)(2,2)，(—2,-2)......................5分

當(dāng)二次函數(shù)y=a(x-i)2的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,2)時(shí)，可得。=2；

2

當(dāng)二次函數(shù)y=fl(x-l)92的圖象經(jīng)過點(diǎn)(―2,—2)時(shí)，可得a=-士.

9

?:二次函數(shù)y=a(x一的頂點(diǎn)為(1,0),

2

由圖象可知，符合題意的a的取值范圍是0<。<2或。<一一........7分

9

(注：只寫0<a<2或只寫“<_2,減1分.)

9

24.(本小題滿分7分)A

(1)AD+DE=4.........................................................1分

(2)①補(bǔ)全圖形，如右圖所示................2分

解：設(shè)DE與8C相交于點(diǎn)兒連接AE,

交3C于點(diǎn)G,如圖.

.?ZADB=ZCDE=90°,

???ZADE=ZBDC,

在"OE與△8￡)C中，

AD=BD,

</ADE=NBDC,

DE=DC,

MADEABDC..................................................3分ZXJ/

：.AE=BC,NAED=/BCD.4///

DE與3C相交于點(diǎn)H,:?NGHE=NDHC.FE

：./EGH=/EDC=9。。..................................................................................................4分

線段C8沿著射線CE的方向平移，得到線段ER

：.EF=CB=4fEF//CB.

：.AE=EF.CB//EF,：.ZAEF=ZEGH=90°,

AE=EFf^AEF=90°,^AFE=45°.

EFr-

：.AF=---------=4V2....................................................................................................5分

cos45

a

②AF=8sin1-...........................................................................................................7分

25.(本小題滿分8分)

解：(1)①1;...................................................................