2021-2022學年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（2分）下列四個圖形中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．2．（2分）如圖，若AB＝AC，則添加下列一個條件后，仍無法判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC3．（2分）下列各組數(shù)作為三角形的三邊長，其中能構成直角三角形的是（）A．1，， B．3，4，7 C．2，3，4 D．，，4．（2分）等腰三角形兩邊長分別為2和4，則這個等腰三角形的周長為（）A．6 B．8 C．10 D．8或105．（2分）到三角形三個頂點距離都相等的點是（）A．三角形的三條角平分線的交點 B．三角形的三邊垂直平分線的交點 C．三角形的三條高線的交點 D．三角形的三條中線的交點6．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AC＝5，則正方形ABDE和正方形CBGF的面積差為（）A．10 B．15 C．20 D．257．（2分）在△ABC中，∠ACB為鈍角，用無刻度的直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點P，使∠BPC＝2∠A，下列作法正確的是（）A． B． C． D．8．（2分）如圖，四邊形ABCD是正方形，M、N分別為邊AB、AD的中點，點P在正方形的邊上（包括頂點），且△MNP是等腰三角形，則符合條件的點P的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．（2分）已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周長為14，若AB＝5，BC＝4，AC＝．10．（2分）如圖，l垂直平分線段AB，垂足為點C，P為直線l上一點，連接PA．若PA＝5，PC＝4，則BC＝．11．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分線，BD＝5，則點D到邊AC的距離為．12．（2分）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，則AB邊上的高線長為．13．（2分）若等腰三角形的一個角為70°，則其頂角的度數(shù)為．14．（2分）如圖，四邊形ABCD中，∠ABD＝∠ACD＝90°，P是邊AD的中點．若BC＝3，AD＝8，則△BPC的周長為．15．（2分）如圖，把一張長方形紙片按如圖方式折疊，使點B和點D重合，折痕為EF．若∠DFC＝70°，則∠DEF＝°．16．（2分）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，AD＝5，EF＝2，則CD的長為．17．（2分）如圖，在一個直角三角形ABC紙片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，將其折疊，恰使邊AB落在斜邊AC上，點B落在點E處，折痕交邊BC于點F，則BF的長為cm．18．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝12，線段AD＝10，連接BD，△ABC繞點A順時針旋轉一周，在運動過程中，當B、C、D三點在同一條直線上時，則BD的長為．三、解答題（本大題共8小題，共64分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（6分）如圖，點C、E在BF上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．求證：BE＝CF．20．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．求四邊形ABCD的面積．21．（8分）如圖，等邊△ABC中，BD是邊AC上的高，延長BC到點E，使CE＝CD，求證：BD＝DE．22．（8分）如圖，一棵高5.4m的大樹被臺風刮斷，測得樹梢著地點到樹根的距離BC＝3.6m，求大樹折斷處離地面的高度AB．23．（6分）已知四邊形ABCD，AC是四邊形ABCD的對角線，用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）如圖①，在對角線AC上求作一點M，使BM＝CM．（2）如圖②，AB＝CD，在對角線AC上求作一點N，使△ABN和△CDN的面積相等．24．（9分）小明在學習完“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合”，繼續(xù)探索，他猜想“如果三角形的一條角平分線是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形”并進行證明．已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點．求證：△ABC是等腰三角形．小明的證法：如圖，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為點E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵①，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵D為BC中點，∴BD＝CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BED＝∠CFD＝90°，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴②．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．請把小明的證法補充完整，并用不同的方法完成證明．25．（9分）如圖①，△ABC和△CDE是等邊三角形，連接AE、BD，連接DA并延長交BC于點F，AE＝CE．（1）求證：△DBC≌△EAC；（2）如圖②，作△ADE的邊AD上的高線EG，交BA的延長線于點P，求證：PB＝PE．26．（10分）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，正方體的棱長為2cm，A是正方體的頂點，P為棱BC的中點．螞蟻從點A爬行到點P的最短路徑的長為cm（結果保留根號）．（2）如圖②，四棱錐的底面四邊形ABCD是正方形，O是四棱錐的頂點，四棱錐的四個側面是全等的等腰三角形，側棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P為側棱OC的中點．圖③所示的四棱錐的側面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點P的最短路徑，并求出它的長（結果保留根號）．（3）圖④中的幾何體是由底面相同的正方體和四棱錐組成．正方體的棱長為acm，M是正方體的頂點，四棱錐的四個側面是全等的等腰三角形，O是四棱錐的頂點，側棱OA＝OB＝OC＝OD＝bcm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P為側棱OC的中點．正方體的側面展開圖如圖⑤所示，在圖中畫出螞蟻從點M爬行到點P的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的思路．

2021-2022學年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（2分）下列四個圖形中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項B能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：B．2．（2分）如圖，若AB＝AC，則添加下列一個條件后，仍無法判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC【解答】解：A、根據(jù)ASA（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AB＝AC）能推出△ABE≌△ACD，正確，故本選項錯誤；B、根據(jù)SAS（∠A＝∠A，AB＝AC，AE＝AD）能推出△ABE≌△ACD，正確，故本選項錯誤；C、兩邊和一角對應相等的兩三角形不一定全等，錯誤，故本選項正確；D、根據(jù)AAS（∠A＝∠A，AB＝AC，∠AEB＝∠ADC）能推出△ABE≌△ACD，正確，故本選項錯誤；故選：C．3．（2分）下列各組數(shù)作為三角形的三邊長，其中能構成直角三角形的是（）A．1，， B．3，4，7 C．2，3，4 D．，，【解答】解：A、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故本選項符合題意；B、32+42≠72，不符合勾股定理的逆定理，故本選項不符合題意；C、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故本選項不符合題意；D、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故本選項不符合題意．故選：A．4．（2分）等腰三角形兩邊長分別為2和4，則這個等腰三角形的周長為（）A．6 B．8 C．10 D．8或10【解答】解：①2是腰長時，三角形的三邊分別為2、2、4，∵2+2＝4，∴不能組成三角形；②2是底邊時，三角形的三邊分別為2、4、4，能組成三角形，周長＝2+4+4＝10，綜上所述，三角形的周長為10．故選：C．5．（2分）到三角形三個頂點距離都相等的點是（）A．三角形的三條角平分線的交點 B．三角形的三邊垂直平分線的交點 C．三角形的三條高線的交點 D．三角形的三條中線的交點【解答】解：∵到三角形的一邊的兩端點距離相等的點在這邊的垂直平分線上，∴到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，故選：B．6．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AC＝5，則正方形ABDE和正方形CBGF的面積差為（）A．10 B．15 C．20 D．25【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∴AB2﹣BC2＝AC2＝25，∴正方形ABDE和正方形CBGF的面積差為AB2﹣BC2＝25．故選：D．7．（2分）在△ABC中，∠ACB為鈍角，用無刻度的直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點P，使∠BPC＝2∠A，下列作法正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接PC，∵∠BPC＝2∠A，且∠BPC＝∠A+∠ACP，∴∠A＝∠ACP，∴PA＝PC，∴點P是線段AC中垂線上的點，故選：A．8．（2分）如圖，四邊形ABCD是正方形，M、N分別為邊AB、AD的中點，點P在正方形的邊上（包括頂點），且△MNP是等腰三角形，則符合條件的點P的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：如圖，∵△MNP是等腰三角形，∴符合條件的點P的個數(shù)有4個，故選：D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．（2分）已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周長為14，若AB＝5，BC＝4，AC＝5．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF的周長為14，∴△ABC的周長為14，又∵AB＝5，BC＝4，∴AC＝14﹣5﹣4＝5，故答案為：5．10．（2分）如圖，l垂直平分線段AB，垂足為點C，P為直線l上一點，連接PA．若PA＝5，PC＝4，則BC＝3．【解答】解：連接PB，∵直線l垂直平分線段AB，垂足為點C，PA＝5，∴PB＝PA＝5，在Rt△PBC中，PC2+BC2＝PA2，∴42+BC2＝52，解得：BC＝3（舍去負值），故答案為：3．11．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分線，BD＝5，則點D到邊AC的距離為5．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AC于E，∵AD是∠BAC的平分線，∠B＝90°，∴DE＝BD＝5，即點D到AC邊的距離是5．故答案為：5．12．（2分）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，則AB邊上的高線長為．【解答】解：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，∴△ABC的面積＝×5×12＝30，∴AB邊上的高線長為30×2÷13＝．故答案為：．13．（2分）若等腰三角形的一個角為70°，則其頂角的度數(shù)為70°或40°．【解答】解：（1）當70°角為頂角，頂角度數(shù)即為70°；（2）當70°為底角時，頂角＝180°﹣2×70°＝40°．故答案為：70°或40°．14．（2分）如圖，四邊形ABCD中，∠ABD＝∠ACD＝90°，P是邊AD的中點．若BC＝3，AD＝8，則△BPC的周長為11．【解答】解：∵∠ABD＝∠ACD＝90°，P是邊AD的中點，∴PB＝PC＝AD，∵AD＝8，∴PB＝PC＝8＝4，∴△BPC的周長＝PB+PC+BC＝4+4+3＝11，故答案為：11．15．（2分）如圖，把一張長方形紙片按如圖方式折疊，使點B和點D重合，折痕為EF．若∠DFC＝70°，則∠DEF＝55°．【解答】解：如圖，由折疊的性質(zhì)知：∠EFB＝∠EFD．∵∠DFC＝70°，∠EFB+∠EFD+∠DFC＝180°，∴∠EFB＝＝55°．又AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝55°．故答案是：55．16．（2分）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，AD＝5，EF＝2，則CD的長為5．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，在△ABF與△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE，CE＝AF＝4，CD＝AB，∵AE＝AF﹣EF＝4﹣2＝2，∴DF＝AD﹣AE﹣EF＝5﹣2﹣2＝1，∴DE＝EF+DF＝2+1＝3，∴BF＝DE＝3，∴AB＝，∴CD＝AB＝5，故答案為：5．17．（2分）如圖，在一個直角三角形ABC紙片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，將其折疊，恰使邊AB落在斜邊AC上，點B落在點E處，折痕交邊BC于點F，則BF的長為cm．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴AC＝＝＝10cm，設BF＝x，則CF＝6﹣x，根據(jù)折疊可知：EF＝BF＝xcm，AE＝AB＝8cm，∠AEF＝∠B＝90°，∴EC＝AC﹣AE＝10﹣8＝2（cm），∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，∴根據(jù)勾股定理得：（6﹣x）2＝x2+22，解得：x＝，∴BF＝cm，故答案為：．18．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝12，線段AD＝10，連接BD，△ABC繞點A順時針旋轉一周，在運動過程中，當B、C、D三點在同一條直線上時，則BD的長為2或14．【解答】解：如圖，當點B在AD的上方時，過點A作AH⊥CB于H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝12，AH⊥BC，∴AH＝BH＝CH＝6，∴DH＝＝＝8，∴DB＝DH﹣BH＝2，當點B'在AD的下方時，過點A作AH'⊥C'B'于H'，同理可求DH'＝8，∴DB'＝14，綜上所述：BD的長為14或2，故答案為：14或2．三、解答題（本大題共8小題，共64分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（6分）如圖，點C、E在BF上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．求證：BE＝CF．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴BC＝EF，∴BC﹣CE＝EF﹣CE，∴BE＝CF．20．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．求四邊形ABCD的面積．【解答】解：連接AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，S△ABC＝AB?BC＝×4×3＝6，在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴S△ACD＝AC?AD＝×5×12＝30．∴四邊形ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36．21．（8分）如圖，等邊△ABC中，BD是邊AC上的高，延長BC到點E，使CE＝CD，求證：BD＝DE．【解答】證明：∵等邊△ABC中，BD是邊AC上的高，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠DBC＝∠CED，∴BD＝DE．22．（8分）如圖，一棵高5.4m的大樹被臺風刮斷，測得樹梢著地點到樹根的距離BC＝3.6m，求大樹折斷處離地面的高度AB．【解答】解：設AB＝xm，則AC＝（5.4﹣x）m，依題意得：x2+（3.6）2＝（5.4﹣x）2，整理得：10.8x﹣16.2＝0，解得：x＝1.5．答：大樹折斷處離地面的高度AB＝1.5m．23．（6分）已知四邊形ABCD，AC是四邊形ABCD的對角線，用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）如圖①，在對角線AC上求作一點M，使BM＝CM．（2）如圖②，AB＝CD，在對角線AC上求作一點N，使△ABN和△CDN的面積相等．【解答】解：（1）如圖①，點M為所作；（2）如圖②，點N為所作．24．（9分）小明在學習完“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合”，繼續(xù)探索，他猜想“如果三角形的一條角平分線是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形”并進行證明．已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點．求證：△ABC是等腰三角形．小明的證法：如圖，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為點E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵①AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵D為BC中點，∴BD＝CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BED＝∠CFD＝90°，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴②∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．請把小明的證法補充完整，并用不同的方法完成證明．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為點E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵D為BC中點，∴BD＝CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．故答案為：AD平分∠BAC；∠B＝∠C．法二：延長AD至M，使得AD＝MD，連接CM，在△ABD與△MCD中，，∴△ABD≌△MCD（SAS），∴AB＝CM，∠BAD＝∠M，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠M＝∠DAC，∴AC＝CM，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．25．（9分）如圖①，△ABC和△CDE是等邊三角形，連接AE、BD，連接DA并延長交BC于點F，AE＝CE．（1）求證：△DBC≌△EAC；（2）如圖②，作△ADE的邊AD上的高線EG，交BA的延長線于點P，求證：PB＝PE．【解答】證明：（1）∵△ABC和△CDE是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△DBC和△EAC中，，∴△DBC≌△EAC（SAS）；（2）連接BE，如圖②所示：∵△DBC≌△EAC，∴BD＝AE，∵AE＝CE，CE＝CD，∴BD＝CD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC，AD平分BC，∵EG⊥AD，∴EG∥BC，∴∠PEB＝∠CBE，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SSS），∴∠ABE＝∠CBE，∴∠PEB＝∠ABE，∴PB＝PE．26．（10分）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，正方體的棱長為2cm，A是正方體的頂點，P為棱BC的中點．螞蟻從點A爬行到點P的最短路徑的長為cm（結果保留根號）．（2）如圖②，四棱錐的底面四邊形ABCD是正方形，O是四棱錐的頂點，四棱錐的四個側面是全等的等腰三角形，側棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P為側棱OC的中點．圖③所示的四棱錐的側面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點P的最短路徑，并求出它的長（結果保留根號）．（3）圖④中的幾何體是由底面相同的正方體和四棱錐組成．正方體的棱長為acm，M是正方體的頂點，四棱錐的四個側面是全等的等腰三角形，O是四棱錐的頂點，側棱OA＝OB＝OC＝OD＝bcm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P為側棱OC的中點．正方體的側面展開圖如圖⑤所示，在圖中畫出螞