第06講利用導數研究雙變量問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：方法篇 1方法一：分離雙參數，構造函數 1方法二：比值法換元 5方法三：變更主元法 11方法四：借助根與系數關系化雙變量為單變量 13方法五：借助對數平均不等式解決雙變量問題 19方法六：值域法解決雙變量函數相等問題 25方法七：最值法解決雙變量不等式問題 30第一部分：方法篇方法一：分離雙參數，構造函數典型例題例題1．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知函數．(1)討論函數f(x)的單調性；(2)當時，若，求證：例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其中為常數，且．(1)當時，若在，上的最大值為1，求實數的值；(2)若，且函數有兩個不相等的零點，，證明：．精練核心考點1．（2023春·河南南陽·高二南陽中學?？茧A段練習）已知函數有兩個零點．(1)求a的取值范圍；(2)設是的兩個零點，證明：．2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其中為自然對數的底數.（1）求函數的單調區(qū)間和極值；（2）設方程的兩個根分別為，，求證：.方法二：比值法換元典型例題例題1．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考二模）已知函數有兩個極值點、.(1)求的取值范圍；(2)若時，不等式恒成立，求的最小值.例題2．（2023·全國·模擬預測）已知函數，．(1)討論的單調性；(2)若，當時，證明：．精練核心考點1．（2023春·遼寧朝陽·高三校聯考開學考試）已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)若有兩個零點，，證明：．2．（2023春·四川成都·高二校考期中）已知函數．(1)若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．(2)設，點為曲線上的兩個不同點，若，且存在，使得曲線在點處的切線與直線平行，試證明.方法三：變更主元法典型例題例題1．（2023·上海浦東新·高一華師大二附中階段練習）使不等式恒成立的的取值范圍是________.例題2．（2023高一單元測試）對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.精練核心考點1．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）對于，不等式恒成立的的取值范圍是_____________2．（2023·上海浦東新·高一上海市實驗學校校考期末）設．(1)求在上的最小值；(2)當時，若不等式在上有解，求x的取值范圍．方法四：借助根與系數關系化雙變量為單變量典型例題例題1．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數有兩個極值點，且，求的取值范圍．例題2．（2023·全國·高二專題練習）已知函數，（1）求函數的單調增區(qū)間；（2）若函數有兩個極值點，，不等式恒成立，求實數的取值范圍．例題3．（2023·江蘇·高二專題練習）已知函數（為自然對數的底數），其中.（1）在區(qū)間上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.（2）若函數的兩個極值點為，證明：.精練核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）若函數存在兩個極值點，，（），則的取值范圍是（
）A． B． C． D．2．（2023·江蘇·高二專題練習）已知函數在和時取極值，且.（1）已知，求的值；（2）已知，求的取值范圍.3．（2023·全國·高三專題練習）設函數（1）討論的單調性；（2）若有兩個極值點和，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．方法五：借助對數平均不等式解決雙變量問題典型例題例題1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知函數，且在內有兩個極值點（）．(1)求實數的取值范圍；(2)求證：．例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．(1)當時，，求實數的取值范圍；(2)若，使得，求證：．精練核心考點1．（多選）（河北省衡水市第二中學2023屆高三上學期一模數學試題）直線：與的圖象交于、兩點，在A?B兩點的切線交于，的中點為，則（
）A． B．點的橫坐標大于1C． D．的斜率大于02．（2022·全國·高三專題練習）設函數為的導函數.(1)求的單調區(qū)間；(2)討論零點的個數；(3)若有兩個極值點且，證明：.方法六：值域法解決雙變量函數相等問題典型例題例題1．（2023春·四川宜賓·高二四川省高縣中學校?？计谥校┮阎瘮担?，若，，使得，則實數的取值范圍是（
）A． B．C．
D．例題2．（2023春·湖南長沙·高一校聯考階段練習）已知函數，.若，則實數________；若對，總使成立，則實數的取值范圍為________.例題3．（2023秋·遼寧·高一大連二十四中校聯考期末）已知函數，.(1)若函數在區(qū)間上存在零點，求實數的取值范圍；(2)若對任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.精練核心考點1．（2023·全國·高一專題練習）已知函數，若存在且，使得成立，則實數的取值范圍是（
）A． B． C． D．2．（2023秋·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的奇函數，其中、，且.(1)求、的值；(2)判斷在上的單調性，并用單調性的定義證明；(3)設，若對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.（2023·江蘇·高一專題練習）已知函數，，若對任意，總存在，使成立，則實數m的取值范圍為_________方法七：最值法解決雙變量不等式問題典型例題例題1．（2023秋·上海徐匯·高一上海市西南位育中學?？计谀┮阎瘮担魧τ谌我?，存在，使得，則實數的取值范圍為（
）A． B． C． D．例題2．（2023春·四川眉山·高二仁壽一中校考階段練習）（1）已知函數，若對任意的，都有，求實數的取值范圍；（2）已知函數，集合，若任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍．例題3．（2023秋·海南海口·高一?？谝恢行？计谀┮阎瘮禐槎x在上的偶函數，且當時，.(1)①作出函數在上的圖象；②若方程恰有6個不相等的實根，求實數的取值范圍；設，若，，使得成立，求實數的最小值.精練核心考點1．（2023秋·浙江·高一期末）已知函數是偶函數，且有且僅有兩個零點．(1)求實數a，b的值；(2)設，若對任意和，
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