2025版新教材高中數(shù)學(xué)第六章概率3離散型隨機(jī)變量的均值與方差3.2離散型隨機(jī)變量的方差課時(shí)作業(yè)北師大版選擇性必修第一冊

3．2離散型隨機(jī)變量的方差必備學(xué)問基礎(chǔ)練學(xué)問點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1.甲、乙兩人通過雅思索試的概率分別為0.5，0.8，兩人考試時(shí)相互獨(dú)立互不影響，記X表示兩人中通過雅思索試的人數(shù)，則X的方差為()A．0.41B．0.42C．0.45D．0.462．已知隨機(jī)變量X的分布列如下，則X的標(biāo)準(zhǔn)差為()X135P0.40.1mA.0.95B．eq\r(3.2)C．0.7D．eq\r(3.56)3．有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2，2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X.求X的分布列及方差DX.學(xué)問點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)4.下面說法中正確的是()A．離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX反映了X取值的概率的平均值B．離散型隨機(jī)變量X的方差DX反映了X取值相對于均值的離散程度C．離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX反映了X取值的大小規(guī)律D．離散型隨機(jī)變量X的方差DX反映了X取值的概率的平均值5．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,3)，k＝1，2，3，則D(3ξ＋5)＝()A．6B．9C．3D．4學(xué)問點(diǎn)三方差的實(shí)際應(yīng)用6.投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如下所示．股票A收益的分布列收益X/元－102P0.10.30.6股票B收益的分布列收益Y/元012P0.30.40.3(1)投資哪種股票的期望收益較大？(2)投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高？關(guān)鍵實(shí)力綜合練一、選擇題1．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)則Dξ的值為()A．eq\f(29,12)B．eq\f(121,144)C．eq\f(179,144)D．eq\f(17,12)2．若隨機(jī)變量X的分布列如表所示，且EX＝6.3，則DX＝()X4a9P0.50.1bA.－14.39B．7C．5.61D．6.613．有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計(jì)算出樣本均值相等，方差分別為DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估計(jì)()A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較4．已知X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1＜x2，若EX＝eq\f(4,3)，DX＝eq\f(2,9)，則x1＋x2的值為()A．eq\f(5,3)B．eq\f(7,3)C．3D．eq\f(11,3)5．一個(gè)袋中放有大小、形態(tài)均相同的小球，其中紅球1個(gè)、黑球2個(gè)，現(xiàn)隨機(jī)取出小球，當(dāng)有放回地依次取出2個(gè)小球時(shí)，記取出的紅球數(shù)為ξ1；當(dāng)無放回地依次取出2個(gè)小球時(shí)，記取出的紅球數(shù)為ξ2，則()A.Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2B．Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2C．Eξ1＝Eξ2，Dξ1＜Dξ2D．Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ26．[探究題]有甲、乙兩名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，他們在參與同一智力競賽時(shí)，各自的成果為80分、90分、100分的概率分布如下表所示：則下列說法正確的是()A．甲、乙兩名學(xué)生的成果不相當(dāng)，且甲的較穩(wěn)定B．甲、乙兩名學(xué)生的成果不相當(dāng)，且乙的較穩(wěn)定C．甲、乙兩名學(xué)生的成果相當(dāng)，但甲的較穩(wěn)定D．甲、乙兩名學(xué)生的成果相當(dāng)，但乙的較穩(wěn)定二、填空題7．依據(jù)以往的閱歷，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表所示．降水量XX＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷史氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，則工期延誤天數(shù)Y的方差為________．8．設(shè)0＜p＜1，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012Peq\f(p,2)eq\f(1,2)eq\f(1－p,2)則當(dāng)P改變時(shí)，Dξ的最大值是________．9．[易錯(cuò)題]某畢業(yè)生參與人才聘請會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試機(jī)會(huì)的概率為eq\f(2,3)，得到乙、丙兩個(gè)公司面試機(jī)會(huì)的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的．設(shè)X為該畢業(yè)生得到面試機(jī)會(huì)的公司個(gè)數(shù)．若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，則DX＝________．三、解答題10．在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地隨機(jī)抽取兩張，記第一次抽取卡片的標(biāo)號為x，其次次抽取卡片的標(biāo)號為y.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x－2，x－y)，記ξ＝|eq\o(OP,\s\up6(→))|2.(1)求隨機(jī)變量ξ的最大值，并求事務(wù)“ξ取得最大值”的概率；(2)求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望和方差．學(xué)科素養(yǎng)升級練1．[多選題]隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ012Paeq\f(b,2)eq\f(b,2)其中ab≠0，下列說法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝1B．Eξ＝eq\f(3b,2)C．Dξ隨b的增大而減小D．Dξ有最大值2．已知A，B兩個(gè)不透亮盒中各有形態(tài)、大小都相同的紅球、白球若干個(gè)．A盒中有m個(gè)紅球與(10－m)個(gè)白球，B盒中有(10－m)個(gè)紅球與m個(gè)白球(0＜m＜10)，若從A，B盒中各取一個(gè)球，ξ表示所取的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則當(dāng)Dξ取到最大值時(shí)，m的值為________．3．[學(xué)科素養(yǎng)——邏輯推理]為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對1000位顧客進(jìn)行嘉獎(jiǎng)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~，4個(gè)球除所標(biāo)面值外完全相同．(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)所標(biāo)的面值均為10元．求①顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元的概率；②顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~的分布列與均值．(2)商場對嘉獎(jiǎng)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的嘉獎(jiǎng)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~相對均衡，請對袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由．3．2離散型隨機(jī)變量的方差必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．解析：通過雅思索試人數(shù)的分布列為X012P0.10.50.4即EX＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，所以DX＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.169＋0.045＋0.196＝0.41.故選A.答案：A2．解析：由題意得，EX＝1×0.4＋3×0.1＋5×(1－0.4－0.1)＝3.2，∴方差為(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝1.936＋0.004＋1.62＝3.56，∴X的標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(3.56)，故選D.答案：D3．解析：X的全部可能取值為6，9，12.P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)，P(X＝9)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)，P(X＝12)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,15)，∴X的分布列為X6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴EX＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝7.8，DX＝(6－7.8)2×eq\f(7,15)＋(9－7.8)2×eq\f(7,15)＋(12－7.8)2×eq\f(1,15)＝3.36.4．解析：依據(jù)期望與方差的概念可知B選項(xiàng)正確．答案：B5．解析：由題意得Eξ＝eq\f(1,3)×(1＋2＋3)＝2，∴Dξ＝eq\f(1,3)[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝eq\f(2,3)，D(3ξ＋5)＝32×Dξ＝6，故選A.答案：A6．解析：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為EX(－1)×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，EY＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1.因?yàn)镋X＞EY，所以投資股票A的期望收益較大．(2)股票A和股票B投資收益的方差分別為DX＝(－1)2×0.1＋02×0.3＋22×0.6－1.12＝1.29，DY＝02×0.3＋12×0.4＋22×0.3－12＝0.6.因?yàn)镋X和EY相差不大，且DX＞DY，所以投資股票A比投資股票B的風(fēng)險(xiǎn)高．關(guān)鍵實(shí)力綜合練1．解析：Eξ＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，Dξ＝eq\f(1,4)×(1－eq\f(29,12))2＋eq\f(1,3)×(2－eq\f(29,12))2＋eq\f(1,6)×(3－eq\f(29,12))2＋eq\f(1,4)×(4－eq\f(29,12))2＝eq\f(179,144)，故選C.答案：C2．解析：由題可得0.5＋0.1＋b＝1，解得b＝0.4.又由EX＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，解得a＝7，所以方差DX＝(4－6.3)2×0.5＋(7－6.3)2×0.1＋(9－6.3)2×0.4＝5.61，故選C.答案：C3．解析：∵DX甲＞DX乙，∴乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊．答案：B4．解析：∵EX＝eq\f(2,3)x1＋eq\f(1,3)x2＝eq\f(4,3)，∴x2＝4－2x1，DX＝(eq\f(4,3)－x1)2×eq\f(2,3)＋(eq\f(4,3)－x2)2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9).∵x1＜x2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1,x2＝2))，∴x1＋x2＝3.答案：C5．解析：ξ1的全部可能取值為0，1，2，P(ξ1＝0)＝eq\f(4,9)，P(ξ1＝2)＝eq\f(1,9)，P(ξ1＝1)＝1－eq\f(4,9)－eq\f(1,9)＝eq\f(4,9)，故Eξ1＝eq\f(2,3)，Dξ1＝02×eq\f(4,9)＋22×eq\f(1,9)＋12×eq\f(4,9)－eq\f(4,9)＝eq\f(4,9).ξ2的全部可能取值為0，1，P(ξ2＝0)＝eq\f(2×1,3×2)＝eq\f(1,3)，P(ξ2＝1)＝eq\f(2×1×2,3×2)＝eq\f(2,3)，故Eξ2＝eq\f(2,3)，Dξ2＝02×eq\f(1,3)＋12×eq\f(2,3)－eq\f(4,9)＝eq\f(2,9)，故Eξ1＝Eξ2＝eq\f(2,3)，Dξ1＞Dξ2.故選B.答案：B6．解析：EX＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，DX＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，EY＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，DY＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80.∵EX＝EY，DX＜DY，∴甲與乙成果的均值一樣，甲成果的方差較小，因此甲、乙兩名學(xué)生的成果相當(dāng)，但甲的較穩(wěn)定．答案：C7．解析：由題意得，P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1故EY＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，DY＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延誤天數(shù)Y的方差為9.8.答案：9.88．解析：因?yàn)镋ξ＝0×eq\f(p,2)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1－p,2)＝eq\f(3－2p,2)，所以Dξ＝eq\f(p,2)(0－eq\f(3－2p,2))2＋eq\f(1,2)·(1－eq\f(3－2p,2))2＋eq\f(1－p,2)(2－eq\f(3－2p,2))2＝eq\f(1,4)[2－(2p－1)2]≤eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)p＝eq\f(1,2)時(shí)取等號，因此Dξ的最大值是eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．解析：由題意，知eq\f(1,3)×(1－p)2＝eq\f(1,12)，得p＝eq\f(1,2)，所以P(X＝1)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))＋eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))＋eq\f(2,3)×(1－eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,6)，所以EX＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3)，所以DX＝eq\f(1,12)×(0－eq\f(5,3))2＋eq\f(1,3)×(1－eq\f(5,3))2＋eq\f(5,12)×(2－eq\f(5,3))2＋eq\f(1,6)×(3－eq\f(5,3))2＝eq\f(13,18).答案：eq\f(13,18)10．解析：(1)由題意，可知x，y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(x，y)如下表：(1，1)(1，2)(1，3)(2，1)(2，2)(2，3)(3，1)(3，2)(3，3)x－2，x－y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(x－2，x－y)如下表：(－1，0)(－1，－1)(－1，－2)(0，1)(0，0)(0，－1)(1，2)(1，1)(1，0)由上表可知ξ的最大值為5，且當(dāng)x＝1，y＝3或x＝3，y＝1時(shí)取到最大值．有放回地抽取兩張卡片的全部狀況有3×3＝9(種)，因此P(ξ＝5)＝eq\f(2,9).(2)ξ的全部可能取值為0，1，2，5.結(jié)合(1)中表格，可知P(ξ＝0)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,9).隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ0125Peq\f(1,9)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(2,9)因此其數(shù)學(xué)期望為Eξ＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＋5×eq\f(2,9)＝2，方差Dξ＝(0－2)2×eq\f(1,9)＋(1－2)2×eq\f(4,9)＋(2－2)2×eq\f(2,9)＋(5－2)2×eq\f(2,9)＝eq\f(26,9).學(xué)科素養(yǎng)升級練1．解析：依據(jù)分布列的性質(zhì)得a＋eq\f(b,2)＋eq\f(b,2)＝1，即a＋b＝1，故A正確；依據(jù)數(shù)學(xué)期望公式得Eξ＝0×a＋1×eq\f(b,2)＋2×eq\f(b,2)＝eq\f(3b,2)，故B正確；依據(jù)方差公式得Dξ＝(0－eq\f(3b,2))2×a＋(1－eq\f(3b,2))2×eq\f(b,2)＋(2－eq\f(3b,2))2×eq\f(b,2)＝－eq\f(9,4)b2＋eq\f(5,2)b＝－eq\f(9,4)(b－eq\f(5,9))2＋eq\f(25,36)，因?yàn)?＜b＜1，所以當(dāng)b＝eq\f(5,9)時(shí)，Dξ取得最大值eq\f(25,36)，故C不正確，D正確．故選ABD.答案：ABD2．解析：由題意可得：ξ表示紅球的個(gè)數(shù)，則ξ可能取的值為0，1，2.依據(jù)題意可得：P(ξ＝0)＝eq\f(（10－m）m,100)，P(ξ＝1)＝eq\f(（10－m）（10－m）＋m·m,Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10)))＝eq\f(（10－m）2＋m2,100)，P(ξ＝2)＝eq\f(（10－m）m,100)，所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(（10－m）m,100)eq\f(（10－m）2＋m2,100)eq\f(（10－m）m,100)所以Eξ＝1×eq\f(（10－m）2＋m2,100)＋2×eq\f(（10－m）m,100)＝1，所以Dξ＝eq\f(（10－m）m,100)＋eq\f(（10－m）m,100)＝eq\f(－（m－5）2＋25,50)，并且1≤m≤9，所以當(dāng)m＝5時(shí)，Dξ取最大值eq\f(1,2).答案：53．解析：(1)設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X.①依題意，得P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)))＝eq\f(1,2)，即顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元的概率為eq\f(1,2).②依題意，得隨機(jī)變量X的全部可能取值為20，60.P(X＝60)＝eq\f(1,2)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)))＝eq\f(1,2).即隨機(jī)變量X的分布列為X206