新教材2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第2課時兩個計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊

第六章第2課時兩個計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用A級必備學(xué)問基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]如圖所示,在A,B間有四個焊接點(diǎn)1,2,3,4,若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路,則電路不通,現(xiàn)發(fā)覺A,B間電路不通,則焊接點(diǎn)脫落的不同狀況有()A.9種 B.11種 C.13種 D.15種2.[探究點(diǎn)一]已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},從兩個集合中各取一個元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則在直角坐標(biāo)系中,位于第一、二象限不同點(diǎn)的個數(shù)為()A.18 B.16 C.14 D.103.[探究點(diǎn)二]把10個蘋果分成三堆,要求每堆至少1個,至多5個,則不同的分法共有()A.4種 B.5種 C.6種 D.7種4.[探究點(diǎn)一]某城市的電話號碼由七位升為八位(首位數(shù)字均不為零),則該城市可增加的電話部數(shù)是()A.9×8×7×6×5×4×3×2B.8×97C.9×107D.8.1×1075.[探究點(diǎn)二]某縣總工會利用業(yè)余時間開設(shè)太極、書法、繪畫三個培訓(xùn)班,甲、乙、丙、丁四人報(bào)名參與,每人只報(bào)名參與一項(xiàng),且甲、乙不參與同一項(xiàng),則不同的報(bào)名方法種數(shù)為.

6.[探究點(diǎn)一]現(xiàn)有某類病毒記作XmYn,其中正整數(shù)m,n(m≤7,n≤9)可以隨意選取,則不同的選取種數(shù)為,m,n都取到奇數(shù)的概率為.

7.[探究點(diǎn)二]五個工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的5個不同的子項(xiàng)目,每個工程隊(duì)承建1個,其中甲工程隊(duì)不能承建1號子項(xiàng)目,則不同的承建方案有種.

8.[探究點(diǎn)三]如圖所示的幾何體是由一個三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成的,現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相鄰的面均不同色,則不同的涂色方案共有種.9.[探究點(diǎn)二]某文藝小組有20人,其中會唱歌的有14人,會跳舞的有10人,從中選出會唱歌與會跳舞的各1人參與演出,且既會唱歌又會跳舞的至多選1人,有多少種不同的選法?10.[探究點(diǎn)三]有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的4塊試驗(yàn)田中,每塊試驗(yàn)田種植一種作物,相鄰的試驗(yàn)田(有公共邊)不能種植同一種作物,共有多少種不同的種植方法?B級關(guān)鍵實(shí)力提升練11.一植物園的參觀路徑如圖所示,若要全部參觀并且路途不重復(fù),則不同的參觀路途共有()A.6種 B.8種 C.36種 D.48種12.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B為集合M的非空子集,若對?x∈A,y∈B,x<y恒成立,則稱(A,B)為集合M的一個“子集對”,則集合M的“子集對”共有個.

13.將三個分別標(biāo)有A,B,C的球隨機(jī)放入編號為1,2,3,4的四個盒子中.求:(1)1號盒中無球的不同方法種數(shù);(2)1號盒中有球的不同放法種數(shù).14.(1)從5種顏色中選出3種顏色,涂在一個四棱錐的五個頂點(diǎn)上,每一個頂點(diǎn)涂一種顏色,并使同一條棱上的兩個頂點(diǎn)異色,求不同的涂色方法數(shù);(2)從5種顏色中選出4種顏色,涂在一個四棱錐的五個頂點(diǎn)上,每個頂點(diǎn)上涂一種顏色,并使同一條棱上的兩個頂點(diǎn)異色,求不同的涂色方法數(shù).C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練15.稱子集A?M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}是“好的”,假如它有下述性質(zhì)——“若2k∈A,則2k-1∈A且2k+1∈A(k∈N)”(空集和M都是“好的”),則M中有多少個包含2個偶數(shù)的“好的”子集?

參考答案第2課時兩個計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1.C依據(jù)可能脫落的焊接點(diǎn)的個數(shù)分類探討:若脫落1個,則是焊接點(diǎn)1,4脫落,共2種狀況;若脫落2個,則是焊接點(diǎn)(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)脫落,共6種狀況;若脫落3個,則是焊接點(diǎn)(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)脫落,共4種狀況;若脫落4個,則是焊接點(diǎn)(1,2,3,4)脫落,共1種狀況.由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有2+6+4+1=13種狀況.故選C.2.C分兩類:第1類,以集合M中的元素為橫坐標(biāo),以集合N中的元素為縱坐標(biāo),位于第一、其次象限不同點(diǎn)的個數(shù)為3×2=6;第2類,以集合N中的元素為橫坐標(biāo),以集合M中的元素為縱坐標(biāo),位于第一、其次象限不同點(diǎn)的個數(shù)為4×2=8.由分類加法計(jì)數(shù)原理,位于第一、其次象限不同點(diǎn)的個數(shù)為6+8=14.3.A三堆中“最多”的一堆為5個,其他兩堆總和為5,每堆至少1個,只有2種分法,即1和4,2和3兩種方法.三堆中“最多”的一堆為4個,其他兩堆總和為6,每堆至少1個,只有2種分法,即2和4,3和3兩種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理,不同的分法共有2+2=4種.4.D電話號碼是七位數(shù)字時,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,該城市可安裝電話9×106部,同理升為八位時,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,該城市可安裝電話9×107部,所以可增加的電話部數(shù)是9×107-9×106=8.1×107.5.54甲有三個培訓(xùn)班可選,甲、乙不參與同一項(xiàng),所以乙有兩個培訓(xùn)班可選,丙、丁各有三個培訓(xùn)班可選,依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的報(bào)名方法種數(shù)為3×2×3×3=54.6.632063因?yàn)檎麛?shù)m,n滿意m≤7,n≤9,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,(m,n)全部可能的取值的種數(shù)為7×9=63,其中m,n都取到奇數(shù)的狀況有4×5=20種,故所求概率為207.96完成承建任務(wù)可分五步.第1步,支配1號子項(xiàng)目,有4種不同的承建方案;第2步,支配2號子項(xiàng)目,有4種不同的承建方案;第3步,支配3號子項(xiàng)目,有3種不同的承建方案;第4步,支配4號子項(xiàng)目,有2種不同的承建方案;第5步,支配5號子項(xiàng)目,有1種承建方案.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,共有4×4×3×2×1=96種不同的承建方案.8.12先涂三棱錐P-ABC的三個側(cè)面,再涂三棱柱的三個側(cè)面,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有3×2×1×2=12種不同的涂法.9.解易知既會唱歌又會跳舞的有4人,只會唱歌的有10人,只會跳舞的有6人.第1類,首先從只會唱歌的10人中選出1人,有10種不同的選法,從會跳舞的10人中選出1人,有10種不同的選法,共有10×10=100種不同的選法;第2類,從既會唱歌又會跳舞的4人中選1人,再從只會跳舞的6人中選1人,共有4×6=24種不同的選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有100+24=124種不同的選法.10.解(方法一)第一步,A試驗(yàn)田有4種種植方法;其次步,B試驗(yàn)田有3種種植方法;第三步,若C試驗(yàn)田種植的作物與B試驗(yàn)田相同,則D試驗(yàn)田有3種種植方法,此時有1×3=3種種植方法;若C試驗(yàn)田種植的作物與B試驗(yàn)田不同,則C試驗(yàn)田有2種種植方法,D試驗(yàn)田也有2種種植方法,共有2×2=4種種植方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知,有3+4=7種種植方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,共有N=4×3×7=84種不同的種植方法.(方法二)第一類,若試驗(yàn)田A,D種植同種作物,則試驗(yàn)田A,D有4種不同的種植方法,試驗(yàn)田B有3種種植方法,試驗(yàn)田C也有3種種植方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,共有4×3×3=36種種植方法;其次類,若試驗(yàn)田A,D種植不同作物,則試驗(yàn)田A有4種種植方法,試驗(yàn)田D有3種種植方法,試驗(yàn)田B有2種種植方法,試驗(yàn)田C有2種種植方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,共有4×3×2×2=48種種植方法.綜上所述,由分類加法計(jì)數(shù)原理得,共有N=36+48=84種種植方法.11.D選擇參觀路途分步完成:第一步,選擇三個“環(huán)形”路途中的一個,有3種方法,再按逆時針或順時針方向參觀有2種方法;其次步,選擇余下兩個“環(huán)形”路途中的一個,有2種方法,也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法;最終一個“環(huán)形”路途,也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有3×2×2×2×2=48種方法,故選D.12.17當(dāng)A={1}時,B有23-1=7種狀況;當(dāng)A={2}時,B有22-1=3種狀況;當(dāng)A={3}時,B有1種狀況;當(dāng)A={1,2}時,B有22-1=3種狀況;當(dāng)A={1,3},{2,3},{1,2,3}時,B均有1種狀況,所以集合M的“子集對”共有7+3+1+3+3=17個.13.解(1)1號盒中無球即A,B,C三個球只能放入2,3,4號盒子中,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有33=27種放法;(2)1號盒中有球可分三類:第一類是1號盒中有一個球,共有3×32=27種放法,其次類是1號盒中有兩個球,共有3×3=9種放法,第三類是1號盒中有三個球,有1種放法.由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有27+9+1=37種放法.14.解(1)如圖,由題意知,四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所涂色互不相同,則A,C必需顏色相同,B,D必需顏色相同,所以共有5×4×3×1×1=60種不同的涂色方法.(2)(方法一)由題意知,四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所涂色互不相同,則A,C可以顏色相同,B,D可以顏色相同,并且兩組中必有一組顏色相同.所以,先從兩組中選出一組涂同一顏色,有2種選法;假設(shè)B,D顏色相同,則從5種顏色中,選出四種顏色涂在S,A,B,C四個頂點(diǎn)上,有5×4×3×2=120種不同的涂色方法.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有2×120=240種不同的涂色方法.(方法二)分兩類.第1類,C與A顏色相同.由題意知,四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所涂色互不相同,它們有5×4×3=60種不同的涂色方法.共有5×4×3×1×2=120種不同的涂色方法.第2類,C與A顏色不同.由題意知,四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所涂色互不相同,它們有5×4×3=60種不同的涂色方法.共有5×4×3×2×1=120種不同的涂色方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有120+120=240種不同的涂色方法.15.解含有2個偶數(shù)的“好的”子集A,有兩種不同的情形:①兩偶數(shù)是相鄰的,有4種可能:2,4;4,6;6,8;8,10.每種狀況必有3個奇數(shù)相隨(如2