高中數(shù)學(xué)講義微24 恒成立問(wèn)題-最值分析法（含恒成立綜合習(xí)題）

微專題24恒成立問(wèn)題-----最值分析法

最值法求解恒成立問(wèn)題是三種方法中最為復(fù)雜的一種，但往往會(huì)用在解決導(dǎo)數(shù)綜合題目中

的恒成立問(wèn)題。此方法考研學(xué)生對(duì)所給函數(shù)的性質(zhì)的了解，以及對(duì)含參問(wèn)題分類討論的基本功。

是導(dǎo)數(shù)中的難點(diǎn)問(wèn)題。

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

1、最值法的特點(diǎn)：

（1）構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往將參數(shù)與自變量放在不等號(hào)的一側(cè)，整體視為一個(gè)函數(shù)，其函數(shù)含參

（2）參數(shù)往往會(huì)出現(xiàn)在導(dǎo)函數(shù)中，進(jìn)而參數(shù)不同的取值會(huì)對(duì)原函數(shù)的單調(diào)性產(chǎn)生影響一一可

能經(jīng)歷分類討論

2、理論基礎(chǔ)：設(shè)“X）的定義域?yàn)椤?/p>

（1）若Vxe。，均有（其中C為常數(shù)），則

（2）若VxeO,均有（其中C為常數(shù)），則/（x）mmNC

3、技巧與方法：

（1）最值法解決恒成立問(wèn)題會(huì)導(dǎo)致所構(gòu)造的函數(shù)中有參數(shù)，進(jìn)而不易分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

所以在使用最值法之前可先做好以下準(zhǔn)備工作：

①觀察函數(shù)/（x）的零點(diǎn)是否便于猜出（注意邊界點(diǎn)的值）

②縮小參數(shù)與自變量的范圍：

通過(guò)代入一些特殊值能否縮小所求參數(shù)的討論范圍（便于單調(diào)性分析）

觀察在定義域中是否包含一個(gè)恒成立的區(qū)間（即無(wú)論參數(shù)取何值，不等式均成立），縮小

自變量的取值范圍

（2）首先要明確導(dǎo)函數(shù)對(duì)原函數(shù)的作用：即導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性。如果所構(gòu)造

的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜不易分析出單調(diào)性，則可把需要判斷符號(hào)的式子拿出來(lái)構(gòu)造一

個(gè)新函數(shù)，再想辦法解決其符號(hào)。

（3）在考慮函數(shù)最值時(shí)，除了依靠單調(diào)性，也可根據(jù)最值點(diǎn)的出處，即“只有邊界點(diǎn)與極值

點(diǎn)才是最值點(diǎn)的候選點(diǎn)”，所以有的討論點(diǎn)就集中在“極值點(diǎn)”是否落在定義域內(nèi)。

二、典型例題：

例1：設(shè)/（x）=X?一2mx+2,當(dāng)1,+8）時(shí)，加恒成立，求的取值范圍

思路：恒成立不等式為Y-2〃a+2—根20,只需(％?-2相x+2—m)>0,由于左端是

\/min

關(guān)于X的二次函數(shù)，容易分析最值點(diǎn)位置，故選擇最值法

解：恒成立不等式為x?-2/nx+2-〃zN0,令g(x)=V-2儂；+2-加則對(duì)稱軸為尤=加

(1)當(dāng)〃?WT時(shí)，8(力在[-1,+00)單調(diào)遞增,g(x)mjn=^(-1)=1+2m+2—m>0

：.加2—3即加e[-3,-1]

(2)當(dāng)相>一1時(shí)，g(x)在(-1,7〃)單調(diào)遞減，在(加,+0。)單調(diào)遞增

/.me(-1,1]終上所述：me[-3,1]

小煉有話說(shuō)：二次函數(shù)以對(duì)稱軸為分解，其單調(diào)性與最值容易分析。所以二次恒成立不等式

往往可考慮利用最值法，此題中對(duì)稱軸是否在區(qū)間內(nèi)將決定最值的取值，故以此為分類討論

點(diǎn)。

思路二：從另一個(gè)角度看，本題〃7,X容易進(jìn)行分離，所以也可考慮參變分離法

解：x2—2mx+2—m>0<=>(2x+l)/n<x2+2

爐+2、

(1)2x+1>0=>x>——時(shí)，則加工(由于加系數(shù)符號(hào)未定，故分類討論進(jìn)行參變

22"+1，min

分離)

令t=2x+l,r>0(換元時(shí)注意更新新元的取值范圍)

1)29

+22

~4~~t-2t+91(9、

則/+一―2>1

2x+14f4、t)

(2)2x+l=0=>x=--,不等式對(duì)任意的加均成立

2

x2+2

(3)2x+1<0=^>x<-—,m2(注意不等號(hào)變號(hào)??！)

22x+1

max

42_*2

t2-2t+9△/+2.2-3

令f=2x+l,—14/<0,則

2x+\4r47

綜上所述：me[-3,1]

小煉有話說(shuō):

(1)此題運(yùn)用參變分離法解題并不簡(jiǎn)便，不僅要對(duì)X分類討論，還要處理一個(gè)分式函數(shù)的最

值，所以兩個(gè)方法請(qǐng)作一對(duì)比

(2)最后確定機(jī)的范圍時(shí)，是將各部分結(jié)果取交集，因?yàn)榉诸愑懻撌菍?duì)x進(jìn)行的，加的取值

要讓每一部分必須同時(shí)成立才可，所以是“且”的關(guān)系，取交集

v2

例2：已知函數(shù)/(x)=a+x-xlna,對(duì)任意的xpx2e［0,l］,不等式

|/(x,)-/(%2)|<a-l恒成立，則a的取值范圍是

思路：若不等式恒成立，則a—1習(xí)/(%)—，/(X)與/(W)差的最大值即為/(%)

最大值與最小值的差。所以考慮求/(%)=a'+x2-x\na在［0,1］的最大最小值，

/(x)=a”na+2x—lna=(a*-l)lna+2x,若a>l,則a*-1>0,lna>0,所以

(a*—l)lna>0,若0<a<l,則a*—1<0,lna<0,所以(a"—l)lna>0。而2x20,

所以無(wú)論a為何值，/(x)>0,則/(X)在［0,1］單調(diào)遞增。

/(x)max一/(x)min=/(1)一=a—Ina，從而。一1?々一1114,解得

答案：［e,+8)

例3：已知函數(shù)/(x)=alnx+l(a>o),在區(qū)間(l,e)上，/(x)>x恒成立，求a的取值范

圍

思路一：恒成立的不等式為alnx+l>x即alnx-x+l>0,令g(x)=alnx—x+l觀察到

兩點(diǎn)特征：(1)g(x)導(dǎo)函數(shù)易分析單調(diào)性，(2)g(l)=0,對(duì)單調(diào)性會(huì)有一定要求進(jìn)而限制參

數(shù)a的取值。所以考慮使用最值法求解。

解：/(x)>x恒成立即不等式alnx—x+l>0恒成立，令g(x)=alnx—尤+1

只需g(x)1nhi>0即可，g⑴=0

g(x)=--1=---,令g(x)>0=>-~~-〉0=>x<a(分析g(x)的單調(diào)性)

當(dāng)aWl時(shí)g(x)在(l,e)單調(diào)遞減，則g(Xo)<g(l)=O

(思考：為什么以a=l作為分界點(diǎn)討論？因?yàn)檎业絞(l)=0,若要不等式成立，那么一定從x=l處

起g(x)要增(不一定在(l,e)上恒增，但起碼存在一小處區(qū)間是增的)，所以aWl時(shí)導(dǎo)致g(x)在x=l

處開(kāi)始單減，那么一定不符合條件。由此請(qǐng)?bào)w會(huì)零點(diǎn)對(duì)參數(shù)范圍所起的作用)

當(dāng)。>1時(shí)，分x=a是否在(l,e)中討論(最小值點(diǎn)的選取)

若1<a<e,單調(diào)性如表所示

((1)可以比較g(l),g(e)的大小找到最小的臨界值,再求解，但比較麻煩。由于最小值只會(huì)在x=l,x=e

處取得，所以讓它們均大于0即可。(2)由于x=l,x=e并不在(l,e)中，所以求得的只是臨界值，臨界

值等于零也符合條件)

若a”則g(x)在(l,e)上單調(diào)遞增，；.g(x)>g⑴=0,符合題意

綜上所述：a>e—l

小煉有話說(shuō)：此題在a>l的情況也可不分類討論，因?yàn)閺膯握{(diào)區(qū)間分析來(lái)看，在(l,+oo)中

x=a是極大值點(diǎn)，不可能是最小值，所以無(wú)論x=a是否在(l,e),最小值(或臨界值)均

g(l)>0

只會(huì)在邊界處產(chǎn)生，所以只需.,、=>aNe-l即可

[g(e)20

思路二：不等式alnx—x+l>0中。與x便于分離，所以只要分離后的x的函數(shù)易分析出單

調(diào)性，那么就可考慮運(yùn)用參變分離法

解：alnx-x+l>0na>----，令g(x)=----，則只需a>g(x)即可

InxInx'a

,,1

Inx—1H—

(單調(diào)性受分子影響，但無(wú)法直接分析)

(inx)2

令。(x)=lnx-l+」，v/i(l)=0(〃(x)求導(dǎo)函數(shù)，便不含Inx,可分析單調(diào)性，且零點(diǎn)找到,

所以方法二可繼續(xù)進(jìn)行)

11X—1

/(x)=----7=「一>0xe(l,e)在(l,e)上單調(diào)遞增

.?.〃(x)>〃(l)=0(體會(huì)零點(diǎn)配合單調(diào)性對(duì)確定函數(shù)符號(hào)的作用)

.1.g'(x)>0,g(x)在(l,e)上單調(diào)遞增

:.g(x)<g(e)=e-l:.a>e-\(g(x)無(wú)最大值，只有臨界值，故可取等號(hào))

小煉有話說(shuō)：第一點(diǎn)是分析g(x)時(shí)由于g(x)形式復(fù)雜并沒(méi)有對(duì)g(X)直接求導(dǎo)，而是把分

子拿出來(lái)分析。因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，而分母符號(hào)恒正，所以要體會(huì)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)

是對(duì)原函數(shù)的單調(diào)性最有價(jià)值的。第二點(diǎn)是體會(huì)零點(diǎn)與單調(diào)性合作可確定函數(shù)的符號(hào)，這也

是分析〃(X)的重要原因

例4：已知/(x)=L'e“，若對(duì)任意的xe(O,l),均有/(x)>l,求a的取值范圍

1-X

]4-X

思路：恒成立不等式為——>1,可參變分離但函數(shù)比較復(fù)雜，所以考慮利用最值法來(lái)

1-x

分析。發(fā)現(xiàn)x=0時(shí)，左右兩邊剛好相等。這也為最值分析提供方向

1_LY

解：令g(x)=-----"—1,g(0)=0(g(x)從1=0起應(yīng)單調(diào)遞增)

g(x)=———"：2?e"令g(x)>0,即ax2-a+2>0=>ax2>a-2

GT

下面分情況討論：

Q=0時(shí)，g(x)>0恒成立，.二g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增

。<0時(shí)，x1<---=1--,/1-->1

aaa

：.XG(0,1),g(x)>0恒成立，g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增

.2Q-22

a>0時(shí)，x>----=1—

aa

r\

.?.a42時(shí)，％2>巴二恒成立，..收(月在(0,+8)單調(diào)遞增

.?.g(x)在0,乒2]單調(diào)減，在舊三,1]單調(diào)遞增

a)

：.xe0,后斗g(x)<g(0)=0,不符題意，舍去

綜上所述：a<2

小煉有話說(shuō)：本題導(dǎo)函數(shù)形式簡(jiǎn)單，所以直接對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論與取舍

例5：已知函數(shù)/(x)="—1—%—勿？對(duì)任意的工s[o,+8),均有〃x)N0,求實(shí)數(shù)Q的

范圍

思路：此題可用最值法求解，先做好準(zhǔn)備工作，/(0)=0,所以函數(shù)要從x=0開(kāi)始增，求

導(dǎo)觀察特點(diǎn)：

解：/(O)=Of(x)="—2ax—1(不易直接出單調(diào)性，但是發(fā)現(xiàn)其中，'(0)=0,且/'(X)再

求一次導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)容易分析單調(diào)性。進(jìn)而可解)

/(0)=0f'(x)=ex-2a,令./(x)>0即e、>2a,下面進(jìn)行分類討論：

(1)當(dāng)aWO時(shí)，.尸(x)>0,.?./(x)單調(diào)遞增。.?./'(x)>f(O)=O

.?./(X)單調(diào)遞增，/(x)>/(0)=0,滿足條件

(此處為此題最大亮點(diǎn)，體會(huì)三點(diǎn)：①單調(diào)性與零點(diǎn)是如何配合來(lái)確定，(x),.r(x)的符號(hào)的；②每

一步的目的性很強(qiáng)，/‘(X)的作用就是以符號(hào)確定/(X)的單調(diào)性，所以解題時(shí)就關(guān)注了‘(X)的符號(hào)。而

符號(hào)的確定同樣要靠二階導(dǎo)數(shù)與一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)配合來(lái)得到；③/(x),/'(x)的零點(diǎn)是同一個(gè)，進(jìn)而引

發(fā)的連鎖反應(yīng))

(2)當(dāng)。>0時(shí)，x>ln2?(In2a可正可負(fù)，而xe[0,+oo),所以討論ln2a的符號(hào))

①當(dāng)In2a<0=0<a?g時(shí)，x>ln2a恒成立，即_f(x)恒大于零，貝U：

一(%)單調(diào)遞增。；./'(力>/(0)=0

.?./(X)單調(diào)遞增，〃x)>/(0)=0,滿足條件

②當(dāng)In2a>O=a>g，則xw(0,ln2a)時(shí)，(x)<0即/(x)在(0,ln2a)單調(diào)遞減，

：.f\x)</(0)=0;./(x)在(0,ln2a)單調(diào)遞減，/(x)</(0)=0,不符題意,故舍

去

綜上所述：■時(shí)，/(x)20恒成立

小煉有話說(shuō)：這道題的重要特點(diǎn)在于/(x),/'(x)的零點(diǎn)是同一個(gè)，進(jìn)而會(huì)引發(fā)“連鎖反應(yīng)

大家在處理多次求導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，一定要清楚每一層導(dǎo)數(shù)的目的是什么，要達(dá)到目的需要什么，

求出需要的要素。

例6：已知函數(shù)/(x)=x+alnx-l,aeR

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(2)若2/(k+丁一NO對(duì)于任意的1￡口,+8)恒成立，求。的取值范圍

解：⑴/(x)=l+^=^±￡(x>0)

令/(x)>。即x+a>。

①當(dāng)時(shí)，/(另>0恒成立。.??/(力在(0,+8)單調(diào)遞增

②當(dāng)av。時(shí)，解得x>-a

(2)思路：恒成立不等式為2x+2Qlnx—2H------>0,即2x?+2arlnx—2x+lnxN0

x

若參變分離，分離后的函數(shù)較為復(fù)雜(也可解決)。所以考慮最值法，觀察當(dāng)X=1時(shí)，左邊

的值為0,所以對(duì)左邊的函數(shù)的單調(diào)性有所制約，進(jìn)而影響參數(shù)。的取值。

解：恒成立不等式等價(jià)于2/+2adnX-2x+Inx20

設(shè)g(x)=2x2+2axInx-2x+Inx,g(l)=0

???g(x)之。恒成立，g(l)=0

???g(l)?0否則若.?.g'(l)<o,由于g'(x)連續(xù)

所以必存在區(qū)間(1,巾)使得g'(X)<(),即g(X)在(1,〃7)單調(diào)遞減

進(jìn)而玉()e(l,m)，g(xo)<g(l)=0,不符題意

(本質(zhì)：g(l)=o,所以要保證從X=1開(kāi)始的一段小區(qū)間要單調(diào)增，進(jìn)而約束導(dǎo)數(shù)符號(hào))

33

：.a>一一(這是a要滿足的必要條件，最終結(jié)果應(yīng)該是這一部分的子集，下面證a2一—均滿足條件或

22

者尋找一個(gè)更精確的范圍)

3

下面證任意的a>--均滿足條件。

2

3

構(gòu)造函數(shù)"(x)=2x2-3xlnx—2x+lnx(Q=時(shí)的g(x))

則g(x)—/z(x)=(2a+3)xlnx之()

/.VXG(1,+GO),^(X)>/z(x),若要g(x)20恒成立,只需證明Zz(x)之0即可

“X卜”3_」=4/-]=(4x+l),(x7)〉0成立

XXX~X

:."(x)在(1,物)單調(diào)遞增，A'(x)>/z'(l)=O

〃(x)在(1,+8)單調(diào)遞增，〃(x)2〃⑴=0成立

3.

.〔aN—不時(shí),，Vxe[l,+oo),g(x)之〃(x)20恒成立，符合題意

小煉有話說(shuō)：

(1)〃(x)的構(gòu)造的g(x)的解析式可看為以“為自變量的一次函數(shù)G(a),且單調(diào)遞增

(xlnx>0),所以對(duì)于ae-1-,+oo^,無(wú)論x為何值，G(a)>，即g(x)?〃(x)，

與恒成立的不等式不等號(hào)方向一致。

(2)本題核心想法是利用不等式化參數(shù)函數(shù)為常值函數(shù)(函數(shù)的放縮)，進(jìn)而便于對(duì)參數(shù)。取

值范圍的驗(yàn)證。

(3)歸納一下解決此題的方法：為最值法解恒成立問(wèn)題的另一個(gè)方法——構(gòu)造中間函數(shù)

首先先說(shuō)考慮使用這個(gè)方法的前提：

①以參數(shù)為自變量的函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單(最好單調(diào))

②參數(shù)縮小后的范圍，其不等式與含參函數(shù)不等號(hào)方向，以及單調(diào)性保持一致(在本題中

3,,

a>,而g(x)=2；r+2arln尤-2x+lnx剛好關(guān)于。單調(diào)遞增，且要g(x)20。故可引

入〃(x)位于g(x)與0之間)

其步驟如下：

①代入自變量的特殊值縮小參數(shù)的取值范圍(有可能就得到最終結(jié)果)，記為A

②因?yàn)樽罱K結(jié)果A的子集，所以只需證明A均符合條件或者尋找更小的范圍

③如果函數(shù)是關(guān)于參數(shù)的一次函數(shù)(或單調(diào)函數(shù))，可通過(guò)代入?yún)?shù)的邊界值(臨界值)構(gòu)

造新函數(shù)并與原函數(shù)比較大小

④證明新函數(shù)介于原函數(shù)與不等式右側(cè)值之間，進(jìn)而說(shuō)明A中的所有值均滿足條件，即為最

后結(jié)果

例7：已知函數(shù)/(X)=(a卜2-2ax+In無(wú),aeH,若在區(qū)間(l,+o。)上，/(力<0恒

成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

思路：考慮用最值分析法，但可考慮先利用x=l縮小a的討論范圍

解：=a----2a40.，.u>—

八，22

令f(x)<0,即(2a—l)x-l<0=(2a—l)x<l

(1)2a—iWOnavg時(shí)，即aw,/(x)<0恒成立.?.〃%)在(1收)單調(diào)遞

減

.-./(x)</(l)<0滿足條件

(2)a>；時(shí)，，/(x)=^<7--^jx2-2ax+\nx,考慮/(?=In21〉0,不符題

意，舍去

(注：這里需要對(duì)函數(shù)值進(jìn)行估計(jì)、顯然4一J>0,總有一個(gè)時(shí)刻，(。一!1X2-2辦大于零，進(jìn)而

y(x)>o.所以考慮代入特殊值來(lái)說(shuō)明。對(duì)于，所以構(gòu)造時(shí)只需要(。一；)_?-2。1=0即可，解得

4a1

x=----->1,進(jìn)而舍掉a>一的情況)

2a-12

例8：已知函數(shù)〃x)=—曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程為

be—1

龍+(e-l『y-e=O。其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

(1)求a力的值

1_k

(2)如果當(dāng)x#0時(shí)，〃2x)<^恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍

a[bex-\^-bexax

解：⑴f(x)=

伊￡-1)2

a^be-l)-abe1

—J,切線方程：y--------7x+--------v

(加-1)2(Z?e-1)-(eT)(ef

a廣二，而〃1)=a且在切線中，y=」一

("e-1)?(e—1)be-\e-1

a_1

,,(小if("if解得：[I

a_1

bee-1

oyi—k

(2)思路：恒成立不等式為：——若參變分離，則分離后的函數(shù)過(guò)于復(fù)雜，不

利于求得最值，所以考慮利用最值法，先變形不等式，由于e2*-i的符號(hào)不確定(以％=0為

界)，從而需進(jìn)行分類討論。當(dāng)x〉0時(shí)，不等式變形為：(1—左》2'—2xe'-(l—左)>0,設(shè)

g(x)=(1—左)/"—2xe*—(1—左)，可觀察到g(0)=0,則若要尤〉0時(shí)，g(x)〉O,則需

g(0)>0,進(jìn)而解出女W0,再證明女W0時(shí)，g(x)>0即可。將人的范圍縮至左W0時(shí)再證

明x<0時(shí)，g(x)>0即可。

解：由(1)可得恒成立的不等式為：<—

e-1e

Oy1—kz、

當(dāng)x>0時(shí)，2xer<(1-k)(e2x-1)

設(shè)g(x)=(1-左)e2,-2xex-(l-k),可得g(0)=0

若g'(0)<0,貝!]Hxo>0，使得xc(O,Xo)時(shí)，g(x)<0

.?.g(x)在(0,不)單調(diào)遞減則xe(O,Xo)時(shí)，g(x)<g(O)=O與恒成立不等式矛盾

.?.g(0)<0不成立g(0)>0

.?.g'(0)=2(l—左)一220解得：k<Q

下面證明VZ<0均可使得x>0時(shí)，g(x)>0

:.g(x)>0g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增g(x)>g(O)=O,即不等式恒成立

當(dāng)x<0時(shí)，^|^<==2x/>(l—相02,-1)

-.-k<Q同理，g'(x)=2ex[(1-A:)ev-x-1]>0

g(x)在(-oo,0)單調(diào)遞增g(x)<g(0)=0

即左40時(shí)不等式在％6(7?,0)恒成立

綜上所述，k<0

例9：設(shè)函數(shù)/(x)=aex(x+1)(其中e=2.71828….)，g(x)=f+加+2,已知它們?cè)凇?。

處有相同的切線.

(1)求函數(shù)/(x),g(x)的解析式；

(2)若對(duì)VxN-2,妖(x)Ng(x)恒成立，求實(shí)數(shù)z的取值范圍.

解：(1)思路：由題意可知/(x),g(x)在x=0處有公共點(diǎn)，且切線斜率相同

/(x),g(x)在x=0處有相同的切線.

(2)思路：恒成立不等式為2h'(x+l)—(％2+4%+2)20,盡管可以參變分離但分離后關(guān)

于x的函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不易分析單調(diào)性。所以考慮最值法

解：令F(x)=2府(x+1)—，+4x+2),.?.只需產(chǎn)(初加20

令/(x)>0=kex>1

?.?％2—2,口(了)20均成立，.?.尸(0)=2左一220.."21(上一步若直接求單調(diào)增區(qū)間，則需先

對(duì)人的符號(hào)進(jìn)行分類討論。但通過(guò)代入x=0(e°=l,便于計(jì)算)，解得了人要滿足的必要條件，從而簡(jiǎn)

化了步驟。)

:.解得e*>'=>x>ln，?.?xe［-2,+oo)

kk

下面根據(jù)x=InL是否在［—2,進(jìn)行分類討論：

k

①1/<-2=>火>/

k

2

22

尸(x)在［一2,4W)單調(diào)遞增。,/(x)min=F(-2)=-Ike-+2=-(e-k)<0

與已知矛盾(舍)

②1/=-2nA=e?

k

9

22

E(x)在［-2,改o)單調(diào)遞增。F(x)min=F(-2)=-Ike-+2=—(e-Z;)=0

滿足條件

③In—>-2=>1<Zr<e2

k

則

=—ln：(ln：+2)20恒成立，故滿足條件

綜上所述：ke[\,e2~\

小煉有話說(shuō)：本道題的亮點(diǎn)在于代入x=0以縮小上的范圍，x=0并不是邊界點(diǎn)，但是由于

尸(0)易于計(jì)算(主要針對(duì)指數(shù)幕)，且能夠刻畫女的范圍，故首選x=O

例10：(2011浙江,22)設(shè)函數(shù)〃x)=(x—a)21n

(1)若x=e為y=/(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a

(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的xw(0,3e],恒有/(x)W4/成立.注：e為自然

對(duì)數(shù)的底數(shù)

(x-a]1(a\

解：(1)/(x)=2(x-6z)lnx+---------=(x-a)21nx+1——

x卜xJ

???x=e是/(x)的極值點(diǎn)

/(e)=(e-a)[3-=0na=e或a=3e,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意

(2)思路一：恒成立的不等式為21nxK4/,考慮選擇最值法

當(dāng)X￡(O,1]時(shí)，無(wú)論〃為何值，不等式恒成立(/(1)的單調(diào)區(qū)間必然含參數(shù)，首先將恒成立

的部分剔除，縮小x的取值范圍以方便后期討論)

/(x)=,//(x)=(x-?)^2lnx+1--j,i己"(x)=21nx+l-—

?/f(x)=(x—(7)2lnx<4/恒成立,所以/(3e)=(3e—a)21rl3e￡4e2

22

/.3e一一7—<a<3e+.(通過(guò)特殊值代入縮小。的范圍，便于分析討論)

y/ln3e\/ln3e

.?.玉06(1,0),〃(%)=0(解不出具體的極值點(diǎn)，但可以估計(jì)其范圍，利用零點(diǎn)存在性定理，同

時(shí)得到4與%的關(guān)系：/?(x0)=2x0+1--=0)

%

單調(diào)遞增

22

,..、2,f/（x0）=（x0-a）lnx0<4e①

若/（%）=（%—。）Inx<4e2,只需4

f（3e）=（3e-a）2In3e<4/②

32

由力（入0）-21nx0+1-幺得。=2x0Inx0+天）代入①得：4x0lnx0<4en1<%We

%

r\°

由②式得3e—y----------WaS3e-\—1------

Vln3eJln3e

:.綜上所述，aG3e——產(chǎn)供

_Vln3^_

小煉有話說(shuō)：本題有以下幾處亮點(diǎn)：

1、特殊值代入法：這是本題最大的亮點(diǎn)，通過(guò)代入特殊的值縮小x,a的范圍，便于討論，在

有關(guān)恒成立的問(wèn)題中，通過(guò)代入特殊點(diǎn)（邊界點(diǎn)，極值點(diǎn)等）可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提供思路，而

且有一些題目往往不等關(guān)系就在自變量的邊界值處產(chǎn)生

2、對(duì)極值點(diǎn)與的處理，雖無(wú)法求值，但可求出它的范圍，進(jìn)而解決問(wèn)題

思路二：參變分離法：

當(dāng)xe（O,l］時(shí)，無(wú)論。為何值，不等式恒成立

考慮則不等式（.x-a\~\nx<^eo(x-a)<----(體會(huì)將x范圍縮小后所帶來(lái)的

7v7Inx

便利）

2e//26人一4一

?x——j=<a<x+/恒成乂

Vlnxyjinx

a>［x--

則只需<:丁量：

成立

設(shè)g（x）=x言,g'O;)=1+—^=1+-^>0

Vlnx2x(lnx)2x(lnx)2

??.g（x）在（l,3e］單調(diào)遞增,???(g(x))=g(3e)=3e,-----

8〃皿。、>J]n3e

壬,2e,/、?2eex(lnx)5-e

再及。(x)-九+—>,h(x)-1=1r=3-

Snx2x(lnx)2x(lnx尸x(lnx)2

333

令〃(x)>0即x(lnx戶>e,由左邊可得x=e時(shí)，x(lnx)2=e,而y=x(lnx戶單調(diào)遞增,

由此可得xw(l,e),//(x)vO,%￡(e,3e),/[(x)>0(單調(diào)性+根一符號(hào))

在(l,e)單調(diào)增，在(e,3e)單調(diào)遞減。故以了解=〃(e)=3eaW3e一,；；

綜上所述：aG3e——1,3e

_Vin3e_

小煉有話說(shuō)：思路二有另外幾個(gè)亮點(diǎn)：

1、縮小自變量x范圍的作用：使Inx為正，進(jìn)而對(duì)后面的變形開(kāi)方起到關(guān)鍵性作用

3

2、在處理/z(x)的問(wèn)題時(shí)，采取零點(diǎn)與單調(diào)性結(jié)合的方式來(lái)確定符號(hào)。其中y=x(lnx)5的

3

單調(diào)性可以快速判斷。y=x增，y=(lnx)2增，且兩部分的函數(shù)值恒為正數(shù)，那么相乘后

的解析式依然是增函數(shù)。

三、近年模擬題題目精選(三類方法綜合)

1、已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/(x),當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=|x-V^|-V?(?>0),且對(duì)

VxeR,恒有/(x+a)2/(x),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[0,2]B.{0}U[2,4w)C.0,—D.{0}U[16,+oo)

L16J

2、(2016,山東濰坊中學(xué)高三期末)已知函數(shù)/(X)=，當(dāng)xe[―1,1]時(shí)，不等式“X)<m

恒成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

A.—,+oc^B.(工，+8)C.[e,+oo)D.(e,+oo)

3,(2014,遼寧)當(dāng)xe[—2,1]時(shí)，不等式a?―一+41+320恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

r91

A.[-5,—3]B.—6,—C.[-6,-2]D.[-4,-3]

8

4、(2014,新課標(biāo)全國(guó)卷II)設(shè)函數(shù)/(x)=6sinT,若存在/(x)的極值點(diǎn)與滿足

m

22

芯+[y(x0)]<m,則m的取值范圍是()

A.(-oo,-6)U(6,+<x>)B.(-oo,-4)U(4,-Hx>)

C.(-<?,-2)U(2,~HX>)D.(-OO,-1)U(l,+<?)

5、(2015,新課標(biāo)D設(shè)函數(shù)/(x)=/(2x—l)—or+a其中a<l,若存在唯一的整數(shù)

使得/(/)<0,則。的取值范圍是()

一3八「33、八「33、「3八

A.-----,1B.-----,-C.—,—D.—,1

L2e)L4；L2e4；|_2e)

6、(2014,遼寧)已知定義在[0,1]上的函數(shù)/(x)滿足：

①/(0)=/(1)=0

②對(duì)所有的x,ye[0,1],且xwy,有|/(%)一/(y)|<；|]一"

若對(duì)所有的x,ye[0,l],|/(x)—/(y)|<%恒成立，則上的最小值為()

A.-B.-C.—D.-

2427r8

7、(2016,唐山一中)已知函數(shù)/3=也匚上心匚(2R),若存在xw』?,使得

x2

/(力+獷。)〉。，則實(shí)數(shù)8的取值范圍是()

A.(-00,—)B.(-00$C.(-oo,3)D.(-oo,V2)

8、已知函數(shù)/(x)=aln(x+l)-f,在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)p，4,若不等式

++>1恒成立，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是()

p-q

A.[15,-Ko)B.[6,+oo)C.(-oo,15]D.(—oo,6]

9、已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+?2—x+2,若對(duì)任意的％￡((),~KX)),2/,(X)Wg(x)+2

恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

10、已知不等式五+J7WaJTT7對(duì)一切x>O,y>0恒成立，則。的取值范圍是

11、若不等式2|x|——1)對(duì)滿足TWqWI的所有。都成立，則x的取值范圍是

12、(2016,上海理工大附中一月考)已知不等式組,的解集是關(guān)于x的不等

x2-6x+8<0

式2/+奴-9<0解集的一個(gè)子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

13、(2014,重慶)若不等式|2%一1|+?+2|之/+；。+2對(duì)任意實(shí)數(shù)了恒成立，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是

/、(X2—4x+3,x<0

14、(2016,上海十三校12月聯(lián)考)已知=4,不等式

[-X2-2x+3,x>0

f(x+a)>/(2a—x)在[a,a+1]上恒成立，則a的取值范圍是

15、已知函數(shù)=對(duì)任意的xe[l,(加>1),都有/(x—2)<ex,則最大的正整

數(shù)仍為_(kāi)______

16、關(guān)于x的不等式4比2一及+1|+3。20的解集為(-0,y0),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

17、(2016,內(nèi)江四模)已知函數(shù)/\x)=W,g(x)--4'+m-2x+,+m2+2m-l,若

ex

“={xI/(g(x))>e}=R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

18、(2016四川高三第一次聯(lián)考)已知a>O,/(x)=a，nx—V+’a,若不等式

e<f(x)<3e+2對(duì)任意xe[l,e]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

19、已知x>0,y>0,若空+達(dá)之m2+7機(jī)恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

%y

20、若不等式|a—l|2x+2y對(duì)滿足Y+y2=5的一切實(shí)數(shù)X,)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是________

21、已知。>0,函數(shù)/(x)=?%2-x,g(x)=lnx.

⑴若。=；,求函數(shù)p(x)=/(%)—2g(x)的極值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)“，使得/(x)Ng3x)恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)。的取值集合；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

22>(2014,慶安高三期中)已知函數(shù)/(x)=x+3+〃(xW。)，其中a/wH

X

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)P(2,/(2))處的切線方程為y=3x+l,求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)討論函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性；

(3)若對(duì)于任意的aeg,2],不等式/(x)W10在J上恒成立，求人的取值范圍

23、(2016,撫順一模)已知函數(shù)/,(x)=-￡+alnx(aeR)。

(D當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2x+2x2,討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(3)若(2)中函數(shù)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)玉(玉＜々)，且不等式叫恒成立，求實(shí)

數(shù)加的取值范圍。

24、(2015,山東)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l)+a(%2-x),其中awR

(1)討論函數(shù)/(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由

(2)若\/》＞0,/(%)20成立，求。的取值范圍

25、(2015,新課標(biāo)II)設(shè)函數(shù)/(x)=e""+f—3

(1)證明：/(x)在(F,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增

(2)若對(duì)于任意都有|/(%)-/(占)歸6-1,求機(jī)的取值范圍

]+X

26、(2015,北京)已知函數(shù)/(x)=ln^j—

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程

(2)求證：當(dāng)xe(O,l)時(shí)，f(x)＞2x+弓]

(3)設(shè)實(shí)數(shù)人使得〃x)＞攵x+彳對(duì)x?O,l)恒成立，求攵的最大值

27、(2016,蘇州高三調(diào)研)已知函數(shù)/(x)=e*(2x—1)-儂+a(aeR),e是自然對(duì)數(shù)的

底數(shù)

(1)當(dāng)4=1時(shí)，求函數(shù)〃力的單調(diào)區(qū)間

(2)①若存在實(shí)數(shù)x,滿足/(x)＜0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍

②若有且只有唯一整數(shù)％,滿足/(不)<0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍

習(xí)題答案：

1、答案：D

解析：利用對(duì)稱性可作出/(x)的圖像，/(x+a)可視為/(x)的圖像向左平移4個(gè)單位，則

恒成立不等式的幾何含義為/(x+a)的圖像始終在/(x)的上方，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可得：若

a>0,則aZ46naN16；若a=0,也滿足/(x+a)2/(x)。所以a的取值范圍是

{0}U[16,+oo)

2、答案：D

解析：若加>/(x)恒成立，則機(jī)>，f(x)=2泌'+=x(x+2)e",所以/(x)

在(—1,0)單調(diào)遞減，在(0,1)單調(diào)遞增。/(-l)=-L,/(l)=g,所以”?>e

3、答案：C

丫2—4比一3

解析：xe[—2,0)時(shí)，恒成立不等式等價(jià)于aK-------r—

?.?xw[-2,0).?./(%)在[一2,-1]單調(diào)遞減，在(一1,0)單調(diào)遞增

當(dāng)x=0時(shí)，可知無(wú)論a為何值，不等式均成立

當(dāng)xe(0,1]時(shí)，恒成立不等式等價(jià)于a——

x-4x-3，同理設(shè)〃x)=F二號(hào)二3

.?"(X)在(0,1)單調(diào)遞增

「?/(x)max=/⑴=Y**-Cl>-6綜上所述：aG[-6,-2]

4、答案：C

解析：f(x)=>/3?—cos—,令/0=()可得：

mm

??.不等式轉(zhuǎn)化為:

(I

整理后可得：女+—?機(jī)2+3〈加2

I2)

:.3k^Z,使得1一(女+加2>3

若左。0且左。一1,則1—(女+；)<0,不等式不能成立

.??只需4=0或左=一1時(shí)，不等式成立即可

5、答案：D

解析：ex(2x—1)—ax+tz<0=>tz(x—1)>ex(2x—1)

當(dāng)x=l時(shí)，不等式不成立

當(dāng)x>l時(shí)，可得+—>1,與a<l矛盾，故不成立

當(dāng)x<l時(shí)，可得〃<(生;1/=(2+―1

1r

設(shè)g(x)=(2+-1?'(x)=f2+-,2g=

I-x-VIx-\)(x-1)[(x-1)

.?.g(x)在(—8,0)單調(diào)遞增，在(0,1)單調(diào)遞減

?.與唯一的整數(shù)/使得/(/)<0即4<8優(yōu))，又?.?a<l,g(O)=l

二./=0;g(x)在(-oo,0)單調(diào)遞增

6、答案：B

解析：不妨設(shè)0<y<x〈l

當(dāng)x-時(shí)，|/(x)-

1

當(dāng)

X-y>n時(shí)

2-

11

-uBpk--

4nlill4

答黑B

1

x—+2(x-Z?)-\nx-^x-by2

1-x2—lnx-Z?2

解析：----------=4------------------

二問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)椋?XG-,2,使得2f—2法+1>0,即。生土1

8、答案：A

解析：不妨設(shè)0<q<p<l,則恒成立不等式等價(jià)于/(p+l)—/(q+l)>p—q

即/(p+i)_p>/(q+i)-4,設(shè)g(x)=/(x+l)_%，則g(x)在(0,1)單調(diào)遞增

二.g(x)20對(duì)尤￡(0』)恒成立，即a2(2x+3)(x+2)=2x2+7x+6

設(shè)/i(x)=2/+7x+6,可知h{x}在(0,1)單調(diào)遞增

9、答案：aN2

解析：恒成立不等式為:2xlnx<3x2+2ac+l=>。2—21nx-3x——

、幾/\、1zX213X2-2X-1(3尤+1)(X—1)

設(shè)g(x)=21nx-3x-一.\g(x)=一一3o+—=---------；------=----------0------

xxxxx

令g(x)>。??,定義域>u(0,+oo)/.3x4-1>0「?解得xvl

??.〃x)的單調(diào)區(qū)間為:

10、答案：a>y/2

解析：恒成立不等式為a式彳+",所以+6],由均值不等式可知:

4+y人”

4%即此夜

Jx+y

11、答案：(-2,1--1,2)

解析：恒成立不等式為：?(X2-1)-2|X|+1<0,設(shè)/(“)="(/一1)—2國(guó)+I,則不等

f(—1)<0=>—%2-2|Jtl+2<0Ixl>5/3—1r—..

式恒成立只需《'71111，所以百一1<國(guó)<2

/(1)<0^X2-2|X|<0=>0<|X|<2

解得xe(—2,1—百川(6-1，2)

12、答案：aW—3

—4x+3<0

解析：不等式組j[6+80的解集為(z2,3)，由子集關(guān)系可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為Vxc(2,3),

09

不等式2元2+ax—9v0恒成立，從而。<一一2x恒成立，因?yàn)?(x)=一—2x為減函數(shù)，所

XX

以〃力>〃3)=-3,從而。4一3

13、答案：—1,,

2

解析：若不等式恒成立，則