全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)ⅱ）（含解析版）

全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)口）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的

1.（5分）已知集合人={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},則APB=（）

A.。B.{2}C.{0}D.{-2}

2.（5分）l+3i=（）

l-i

A.l+2iB.-l+2iC.1-2iD.-1-2i

z

3.（5分）函數(shù)f（x）在x=x0處導(dǎo)數(shù)存在，若p：f（x0）=0：q：x=xo是f（x）

的極值點，則（）

A.p是q的充分必要條件

B.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

C.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

4.（5分）設(shè)向量a，b滿足Ia+bl=V10,a_bl=A/6?則a?b=（）

A.1B.2C.3D.5

5.（5分）等差數(shù)列{a』的公差為2,若a2,a4，as成等比數(shù)列，則{aj的前n

項和Sn=（）

A.n（n+1）B.n（n-1）C.n（n+l）D.n（n-l）

22

6.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的

是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯

切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）

7.（5分）正三棱柱ABC-AiBiCi的底面邊長為2,側(cè)棱長為6，D為BC中點,

則三棱錐A-BiDCi的體積為（）

A.3B.3C.1D.亨

2

8.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的x,t均為2,則輸出的S=（)

開始J

/輸入x,7

M=l^=3

D.7

x+y-1》0

9.（5分）設(shè)x,y滿足約束條件卜力-1<0,則z=x+2y的最大值為（）

x-3y+3>0

A.8B.7C.2D.1

10.（5分）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30。的直線交于C

于A,B兩點，則|AB=（）

叵

AB.6C.12D.773

.3

1L（5分）若函數(shù)f（x）=kx-Inx在區(qū)間（1,+8）單調(diào)遞增，則k的取值范

圍是（）

A.(-8,-2]B.(-8,-1]C.[2,+8)D.[1,+8)

12.(5分)設(shè)點M(xo,1）,若在圓0：x2+y2=l上存在點N,使得NOMN=45。,

則xo的取值范圍是（)

A.[-1,1]B.i]"正日"［一亭承

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.（5分）甲、乙兩名運(yùn)動員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動服中

選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率為.

14.（5分）函數(shù)f（x）=sin（x+4））-2sinc|）cosx的最大值為.

15.（5分）偶函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，f（3）=3,則f（-1）=.

16.（5分）數(shù)列｛aj滿足an+i=--—，a&=2,則a1=______.

1-an

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（12分）四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1,BC=3,CD=DA=2.

（1）求C和BD；

（2）求四邊形ABCD的面積.

18.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA,平面ABCD,E

為PD的中點.

（I）證明：PB〃平面AEC；

（口）設(shè)AP=1,AD=?,三棱錐P-ABD的體積V=近，求A到平面PBC的距離.

4

19.（12分）某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民，

根據(jù)這50位市民對兩部門的評分（評分越高表明市民的評價越高）繪制的莖

葉圖如圖：

甲部門乙郃門

359

440448

975122456677789

976653321106011234688

98877766555554443332100700113449

6655200S123345

6322209011456

10000

（I）分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù);

（口）分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率;

（ni）根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.

20.(12分)設(shè)Fi，F(xiàn)2分別是C：3_+，=1(a>b>0)的左，右焦點，M是C

a2b,2

上一點且MF2與X軸垂直，直線MFi與C的另一個交點為N.

(1)若直線MN的斜率為3,求C的離心率；

(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且MN=5|FiN，求a,b.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切

線與x軸交點的橫坐標(biāo)為-2.

(I)求a；

(II)證明：當(dāng)kVl時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

三、選修4-1：幾何證明選講

22.(10分)如圖，P是。。外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與。。相

交于點B,C,PC=2PA,D為PC的中點，AD的延長線交。。于點E,證明：

(I)BE=EC；

(II)AD?DE=2PB2.

四、選修4-4,坐標(biāo)系與參數(shù)方程

23.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,

半圓C的極坐標(biāo)方程為p=2cos0,0G[0,2L]

2

(I)求C的參數(shù)方程；

(II)設(shè)點D在半圓C上，半圓C在D處的切線與直線I：y=bx+2垂直，根據(jù)

(1)中你得到的參數(shù)方程，求直線CD的傾斜角及D的坐標(biāo).

五、選修4-5：不等式選講

24.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+—|+1x-a|(a>0).

a

(I)證明：f(x)22；

(H)若f(3)<5,求a的取值范圍.

全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo)口)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的

1.(5分)已知集合人={-2,0,2},B=(x|x2-x-2=0},則APB=()

A.0B.{2}C.{0}D.{-2}

【考點】IE：交集及其運(yùn)算.

【專題】5J：集合.

【分析】先解出集合B,再求兩集合的交集即可得出正確選項.

【解答】解：VA={-2,0,2},B={x?x2-x-2=0}={-1,2},

.,.AHB={2}.

故選:B.

【點評】本題考查交的運(yùn)算，理解好交的定義是解答的關(guān)鍵.

2.(5分)2=()

1-i

A.l+2iB.-l+2iC.1-2iD.-1-2i

【考點】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】分子分母同乘以分母的共攏復(fù)數(shù)1+i化簡即可.

【解答】解：化簡可得

l+3i=(l+3i)(l+i)=l-3+4i=-2+4i=_1+2i

1-i(1-i)(l+i)i-i22

故選:B.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的化簡，分子分母同乘以分母的共貌復(fù)數(shù)是解決

問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

3.(5分)函數(shù)f(x)在x=xo處導(dǎo)數(shù)存在，若p：f(xo)=0：q：x=xo是f(x)

的極值點，則()

A.p是q的充分必要條件

B.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

C.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】5L：簡易邏輯.

【分析】根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定

義即可得到結(jié)論.

【解答】解：函數(shù)f(x)=x3的導(dǎo)數(shù)為f(x)=3x2,由？答0)=0,得x0=0,但此

時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，無極值，充分性不成立.

根據(jù)極值的定義和性質(zhì)，若x=x°是f(x)的極值點，則￥(X。)=0成立，即必要

性成立，

故P是q的必要條件，但不是q的充分條件，

故選：C.

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和極值之間

的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).

4.（5分）設(shè)向量a，b滿足Ia+bl=V10>Ia_b=娓，則a*b=（）

A.1B.2C.3D.5

【考點】90：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】5A：平面向量及應(yīng)用.

【分析】將等式進(jìn)行平方，相加即可得到結(jié)論.

【解答】解：：Ia+bI=A/10，a"b=巫,

，分另平方得之2+2春。,=10,a2-2a*b+b2=6>

兩式相減得4a*b=10-6=4,

即a*b=l，

故選:A.

【點評】本題主要考查向量的基本運(yùn)算，利用平方進(jìn)行相加是解決本題的關(guān)鍵，

比較基礎(chǔ).

5.(5分)等差數(shù)列｛aj的公差為2,若a2,a4，as成等比數(shù)列，則｛aj的前n

項和Sn=()

A.n(n+1)B.n(n-1)C.—n+1)D.nd

22

【考點】83：等差數(shù)列的性質(zhì).

【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】由題意可得a42=(a4-4)(a4+8),解得可得a】，代入求和公式可得.

【解答】解：由題意可得a42=a2?a8,

即a42=(a4-4)3+8),

解得a4=8,

/.ai=a4_3X2=2,

nln

Sn=nai+^-^d,

2

=2n+nAnzlz_X2=n(n+1),

2

故選:A.

【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題.

6.(5分)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm),圖中粗線畫出的

是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯

切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()

【考點】L!：由三視圖求面積、體積.

【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】由三視圖判斷幾何體的形狀，通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可.

【解答】解：幾何體是由兩個圓柱組成，一個是底面半徑為3高為2,一個是底

面半徑為2,高為4,

組合體體積是：32H?2+22TI*4=34R.

底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯的體積為：32兀義6=54兀

切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為：54兀-34兀=9.

54兀27

故選：C.

【點評】本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，幾何體的體積的求法，考查空間想象

能力以及計算能力.

7.（5分）正三棱柱ABC-AiBiCi的底面邊長為2,側(cè)棱長為遂，D為BC中點,

則三棱錐A-BiDCi的體積為（）

A.3B.3C.1D.返

22

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】由題意求出底面BiDCi的面積，求出A到底面的距離，即可求解三棱錐

的體積.

【解答】解：???正三棱柱ABC-AiBiCi的底面邊長為2,側(cè)棱長為U，D為BC

中點，

底面BiDCi的面積：A.x2X-V/3=A/3>

A到底面的距離就是底面正三角形的高：V3.

三棱錐A-BiDCi的體積為：=義?*英=1。

3

故選：C.

【點評】本題考查幾何體的體積的求法，求解幾何體的底面面積與高是解題的關(guān)

鍵.

8.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x,t均為2,則輸出的S=()

A.4B.5C.6D.7

【考點】EF：程序框圖.

【專題】5K：算法和程序框圖.

【分析】根據(jù)條件，依次運(yùn)行程序，即可得到結(jié)論.

【解答】解：若x=t=2,

則第一次循環(huán)，1W2成立，則M=：x2=2，S=2+3=5,k=2,

第二次循環(huán)，2W2成立，則M=1_X2=2，S=2+5=7,k=3,

此時3W2不成立，輸出S=7,

故選：D.

【點評】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，比較基礎(chǔ).

'x+y-l>0

9.（5分）設(shè)x,y滿足約束條件.xp-l《O，則z=x+2y的最大值為（）

,x-3y+3）0

A.8B.7C.2D.1

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z

的最大值.

【解答】解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，

由z=x+2y,得y=-9片'

平移直線y=-由圖象可知當(dāng)直線y=-夕號經(jīng)過點A時，直線y=-5號

的截距最大，此時z最大.

由,十1=0,得產(chǎn)3,

Ix-3y+3=0Iy=2

即A（3,2）,

此時z的最大值為z=3+2X2=7,

故選:B.

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常

用方法.

10.（5分）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30。的直線交于C

于A,B兩點，則|AB|=（）

A.2?B.6C.12D.7A/3

【考點】K8：拋物線的性質(zhì).

【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】求出焦點坐標(biāo)，利用點斜式求出直線的方程，代入拋物線的方程，利用

根與系數(shù)的關(guān)系，由弦長公式求得|AB|.

【解答】解：由y2=3x得其焦點F（二，0）,準(zhǔn)線方程為x=-3.

44

則過拋物線y2=3x的焦點F且傾斜角為30。的直線方程為y=tan30°（x-W）=2叵（x

43

-2）.

4

代入拋物線方程，消去V，得16x2_I68X+9=0.

設(shè)A（xi，yi）,B（X2，丫2）

則Xl+X2=-i^^^,

162

所以IAB|=xi+8+x2+3=3+a+且=12

44442

故選：C.

【點評】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用,

運(yùn)用弦長公式是解題的難點和關(guān)鍵.

11.（5分）若函數(shù)f（x）=kx-Inx在區(qū)間（1,+8）單調(diào)遞增，則k的取值范

圍是（）

A.（…，-2]B.（…，-1]C.[2,+8）D.[1,+8）

【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】38：對應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）,由于函數(shù)f（x）=kx-lnx在區(qū)間（1,+8）單調(diào)遞

增，可得f（x）20在區(qū)間（1,+8）上恒成立.解出即可.

【解答】解：f（x）=k-l,

X

?..函數(shù)f（x）=kx-lnx在區(qū)間（1,+8）單調(diào)遞增，

（x）20在區(qū)間（1,+8）上恒成立.

而y=L在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞減，

x

Ak^l.

，k的取值范圍是：[1,+8）.

故選：D.

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，

屬于中檔題.

12.（5分）設(shè)點M（xo，1）,若在圓0：x2+y2=i上存在點N,使得NOMN=45。,

則xo的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[-1,1]C.[-&，&]D.[-返，返]

2222

【考點】JE：直線和圓的方程的應(yīng)用.

【專題】5B：直線與圓.

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【解答】解：由題意畫出圖形如圖：點M(xo,1),要使圓。：x2+y2=l上存在

點N,使得NOMN=45。，

則NOMN的最大值大于或等于45。時一定存在點N,使得NOMN=45。，

而當(dāng)MN與圓相切時NOMN取得最大值，

此時MN=1,

圖中只有M，到M"之間的區(qū)域滿足MN=1,

?'?Xo的取值范圍是[-1,1].

【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與直線設(shè)出角的求法，數(shù)形結(jié)合是

快速解得本題的策略之一.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.(5分)甲、乙兩名運(yùn)動員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動服中

選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率為1.

一g—

【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】51：概率與統(tǒng)計.

【分析】所有的選法共有3X3=9種，而他們選擇相同顏色運(yùn)動服的選法共有3

種，由此求得他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率.

【解答】解：所有的選法共有3X3=9種，而他們選擇相同顏色運(yùn)動服的選法共

有3種，

故他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率為a=L,

93

故答案為：1.

3

【點評】本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.(5分)函數(shù)f(x)=sin(x+4))-2sind)cosx的最大值為1.

【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；HW：三角函數(shù)的最值.

【專題】56：三角函數(shù)的求值；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】直接利用兩角和與差三角函數(shù)化簡，然后求解函數(shù)的最大值.

【解答】解：函數(shù)f(x)=sin(x+4))-2sin4)cosx

=sinxcos巾+sin4)cosx-2sin巾cosx

=sinxcosc|)-sin巾cosx

=sin(x-4))<1.

所以函數(shù)的最大值為1.

故答案為：L

【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)最值的求解，考查計算能力.

15.(5分)偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，f(3)=3,則f(-1)=

3.

【考點】3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)，得到f(x+4)=f(x),即可得到結(jié)論.

【解答】解：法1：因為偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

所以f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),

即f(x+4)=f(x),

則f(-1)=f(-1+4)=f(3)=3,

法2：因為函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

所以f(1)=f(3)=3,

因為f(x)是偶函數(shù)，

所以f(-1)=f(1)=3,

故答案為：3.

【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，利用函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)得到周期

性f(x+4)=f(x)是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).

16.(5分)數(shù)列｛aj滿足an，i=--—，as=2,則a]=—.

F-2-

【考點】8H：數(shù)列遞推式.

【專題】11：計算題.

【分析】根據(jù)a8=2,令n=7代入遞推公式an4，*，求得a7,再依次求出a6,

1-an

as的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出ai的值.

【解答】解：由題意得，am產(chǎn)二a8=2,

1-an

令n=7代入上式得，a8=」一，解得a7=L；

l-a72

令n=6代入得，37=—-—，解得36=-1；

1-%

令n=5代入得，a6=-J—,解得as=2；

1-a5

根據(jù)以上結(jié)果發(fā)現(xiàn)，求得結(jié)果按2,1,-1循環(huán)，

2

,.?8+3=2…2,故ai=L

2

故答案為：1.

2

【點評】本題考查了數(shù)列遞推公式的簡單應(yīng)用，即給n具體的值代入后求數(shù)列的

項，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(12分)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1,BC=3,CD=DA=2.

（1）求C和BD；

（2）求四邊形ABCD的面積.

【考點】HP：正弦定理；HR：余弦定理.

【專題】56：三角函數(shù)的求值.

【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出關(guān)系式，將BC,CD,以及cosC

的值代入表示出BD2,在三角形ABD中，利用余弦定理列出關(guān)系式，將AB,

DA以及cosA的值代入表示出BD2,兩者相等求出cosC的值，確定出C的度

數(shù)，進(jìn)而求出BD的長；

（2）由C的度數(shù)求出A的度數(shù)，利用三角形面積公式求出三角形ABD與三角形

BCD面積，之和即為四邊形ABCD面積.

【解答】解：(1)在^BCD中，BC=3,CD=2,

由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC*CDcosC=13-12cosc①，

在4ABD中，AB=1,DA=2,A+C=n,

由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB*ADcosA=5-4cosA=5+4cosC②，

由①②得：cosC=L,

2

貝UC=60°,BD=V7；

(2)VcosC=—,cosA=-—,

22

/.sinC=sinA=V^,

2_

則S=i-AB?DAsinA+LBC?CDsinC=Lx1X2xK+Lx3X2乂?=2。

【點評】此題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形面積公

式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.

18.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA,平面ABCD,E

為PD的中點.

(I)證明：PB〃平面AEC；

(口)設(shè)AP=1,AD=M，三棱錐P-ABD的體積V=近，求A到平面PBC的距離.

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LS：直線與平面平行；MK：點、線、

面間的距離計算.

【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】(I)設(shè)BD與AC的交點為0,連結(jié)E0,通過直線與平面平行的判定

定理證明PB〃平面AEC；

(II)通過AP=1,AD=A/3＞三棱錐P-ABD的體積金求出AB,作AH1PB

4

角PB于H,說明AH就是A到平面PBC的距離.通過解三角形求解即可.

【解答】解：(I)證明：設(shè)BD與AC的交點為0,連結(jié)E0,

VABCD是矩形，

二。為BD的中點

YE為PD的中點，

，E0〃PB.

EOu平面AEC,PBQ平面AEC

，PB〃平面AEC；

(II)VAP=1,AD=?,三棱錐P-ABD的體積V=1,

_4

,,V吟PA，AB?AB=尊，

664

AAB=fPB={1+G)2嚕

作AH1PB交PB于H,

由題意可知BC_L平面PAB,

/.BJAH,

故AHJ_平面PBC.

又在三角形PAB中，由射影定理可得：研粵型_3屬

PB13

A到平面PBC的距離三叵.

【點評】本題考查直線與平面垂直，點到平面的距離的求法，考查空間想象能力

以及計算能力.

19.（12分）某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民，

根據(jù)這50位市民對兩部門的評分（評分越高表明市民的評價越高）繪制的莖

葉圖如圖:

甲部門乙郃門

359

440448

975122456677789

976653321106011234688

98877766555554443332100700113449

66552008123345

6322209011456

10000

（I）分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)；

（U）分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率;

（Hi）根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.

【考點】BA：莖葉圖；BB：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；CB：古典概型及其概率計

算公式.

【專題】51：概率與統(tǒng)計.

【分析】(I)根據(jù)莖葉圖的知識，中位數(shù)是指中間的一個或兩個的平均數(shù)，首

先要排序，然后再找，

(II)利用樣本來估計總體，只要求出樣本的概率就可以了.

(m)根據(jù)(工)(口)的結(jié)果和莖葉圖，合理的評價，恰當(dāng)?shù)拿枋黾纯?

【解答】解：(I)由莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分有小到大順序，排在

排在第25,26位的是75,75,故樣本的中位數(shù)是75,所以該市的市民對甲

部門的評分的中位數(shù)的估計值是75.

50位市民對乙部門的評分有小到大順序，排在排在第25,26位的是66,68,故

樣本的中位數(shù)是區(qū)遨-67,所以該市的市民對乙部門的評分的中位數(shù)的估計

2

值是67.

(H)由莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為

全。工會。,

故該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率得估計值分別為0.1,0.16,

(m)由莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于乙部門的評分的中位數(shù)，

而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分標(biāo)準(zhǔn)差要小于乙部門的標(biāo)準(zhǔn)差，

說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、

評價差異較大.

【點評】本題主要考查了莖葉圖的知識，以及中位數(shù)，用樣本來估計總體的統(tǒng)計

知識，屬于基礎(chǔ)題.

分)設(shè)分別是的左，右焦點，是

20.(12Fi，F(xiàn)2C：Z+￡=l(a>b>0)MC

a2b,2

上一點且MF2與x軸垂直，直線MFi與C的另一個交點為N.

(1)若直線MN的斜率為百，求C的離心率；

4

(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN=5|FIN1,求a,b.

【考點】K4：橢圓的性質(zhì).

【專題】5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題.

【分析】(1)根據(jù)條件求出M的坐標(biāo)，利用直線MN的斜率為W,建立關(guān)于a,

4

c的方程即可求C的離心率；

(2)根據(jù)直線MN在y軸上的截距為2,以及|MN|=5|FiN|,建立方程組關(guān)系,

求出N的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1);M是C上一點且MF2與x軸垂直，

22

；.M的橫坐標(biāo)為c,當(dāng)x=c時，y=—,即M(c,—

aa

若直線MN的斜率為0，

4

bi2

即tanNMFiF2=3-=*—=員，

2c2ac4

222

即b=—ac=a-c,

2

即c?+3ac-a2=0>

2

則e2+ye-l=0,

即2e2+3e-2=0

解得e=2或e=-2(舍去)，

2

即e=l.

2

(口)由題意，原點。是F1F2的中點，則直線MFi與y軸的交點D(0,2)是線

段MFi的中點，

設(shè)M(c,y),(y>0),

2242

貝！J幺+?_=1，E|Jy2b解得y=",

a2b2a2&

YOD是△MFiFz的中位線，

k2

—=4,即b2=4a,

a

由|MN|=5|FIN|,

則|MFI|=4FiN

解得|DF/=21FIN|,

即可=2踣

設(shè)N(X1，yi),由題意知yiVO,

貝ij(-c,-2)=2(xi+c,yi).

丫

,21=-2[y1=-i

代入橢圓方程得寫+七二1，

將b2=4a代入得更於應(yīng)+1_=i，

4a24a

【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，利用條件建立方程組，利用待定系數(shù)法是解

決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切

線與x軸交點的橫坐標(biāo)為-2.

(I)求a；

(II)證明：當(dāng)kVl時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線

方程.

【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(I)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程即可求a；

(□)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-kx+2,利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系即可得

到結(jié)論.

【解答】解：(I)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x2-6x+a；f'(0)=a；

則y=f(x)在點(0,2)處的切線方程為y=ax+2,

?.?切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為-2,

Af(-2)=-2a+2=0,

解得a=l.

(II)當(dāng)a=l時，f(x)=x3-3x2+x+2,

設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,

由題設(shè)知1-k>0,

當(dāng)xWO時，g'(x)=3x2-6x+l-k>0,g(x)單調(diào)遞增，g(-1)=k-1,g(0)

=4,

當(dāng)x>0時，令h(x)=x3-3x2+4,貝Ug(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).

貝Ih，(x)=3x2-6x=3x(x-2)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+°0)單調(diào)遞增，

...在x=2時，h(x)取得極小值h(2)=0,

g(-1)=k-1,g(0)=4,

則g(x)=0在(-8,0］有唯一實根.

Vg(x)>h(x)2h(2)=0,

Ag(x)=0在(0,+8)上沒有實根.

綜上當(dāng)k<l時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)交點個數(shù)的判斷，利用導(dǎo)數(shù)和

函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力.

三、選修4-1：幾何證明選講

22.(10分)如圖，P是。。外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與。。相

交于點B,C,PC=2PA,D為PC的中點，AD的延長線交。0于點E,證明：

(I)BE=EC；

(II)AD?DE=2PB2.

O

D

【考點】N4：相似三角形的判定；NC：與圓有關(guān)的比例線段.

【專題】17：選作題；5Q：立體幾何.

【分析】（I）連接OE,0A,證明OE_LBC,可得E是它的中點，從而BE=EC；

（口）利用切割線定理證明PD=2PB,PB=BD,結(jié)合相交弦定理可得AD?DE=2PB2.

【解答】證明：（工）連接OE,0A,貝Ij/OAE=NOEA,NOAP=90。，

VPC=2PA,D為PC的中點，

；.PA=PD,

；.NPAD=NPDA,

VZPDA=ZCDE,

ZOEA+ZCDE=ZOAE+ZPAD=90°,

AOEIBC,

，E是祕的中點，

；.BE=EC；

（口）:PA是切線，A為切點，割線PBC與。。相交于點B,C,

，PA2=PB?PC,

VPC=2PA,

；.PA=2PB,

；.PD=2PB,

/.PB=BD,

.*.BD*DC=PB*2PB,

VAD*DE=BD<DC,

/.AD?DE=2PB2.

【點評】本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查切割線定理、相交弦定理，考查學(xué)

生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

四、選修4-4,坐標(biāo)系與參數(shù)方程

23.在直角坐標(biāo)系xOy中