全國統(tǒng)一高考數學試卷（文科）（新課標ⅱ）（含解析版）

全國統(tǒng)一高考數學試卷（文科）（新課標口）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的

1.（5分）已知集合人={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},則APB=（）

A.。B.{2}C.{0}D.{-2}

2.（5分）l+3i=（）

l-i

A.l+2iB.-l+2iC.1-2iD.-1-2i

z

3.（5分）函數f（x）在x=x0處導數存在，若p：f（x0）=0：q：x=xo是f（x）

的極值點，則（）

A.p是q的充分必要條件

B.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

C.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

4.（5分）設向量a，b滿足Ia+bl=V10,a_bl=A/6?則a?b=（）

A.1B.2C.3D.5

5.（5分）等差數列{a』的公差為2,若a2,a4，as成等比數列，則{aj的前n

項和Sn=（）

A.n（n+1）B.n（n-1）C.n（n+l）D.n（n-l）

22

6.（5分）如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的

是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯

切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）

7.（5分）正三棱柱ABC-AiBiCi的底面邊長為2,側棱長為6，D為BC中點,

則三棱錐A-BiDCi的體積為（）

A.3B.3C.1D.亨

2

8.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的x,t均為2,則輸出的S=（)

開始J

/輸入x,7

M=l^=3

D.7

x+y-1》0

9.（5分）設x,y滿足約束條件卜力-1<0,則z=x+2y的最大值為（）

x-3y+3>0

A.8B.7C.2D.1

10.（5分）設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30。的直線交于C

于A,B兩點，則|AB=（）

叵

AB.6C.12D.773

.3

1L（5分）若函數f（x）=kx-Inx在區(qū)間（1,+8）單調遞增，則k的取值范

圍是（）

A.(-8,-2]B.(-8,-1]C.[2,+8)D.[1,+8)

12.(5分)設點M(xo,1）,若在圓0：x2+y2=l上存在點N,使得NOMN=45。,

則xo的取值范圍是（)

A.[-1,1]B.i]"正日"［一亭承

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.（5分）甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中

選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為.

14.（5分）函數f（x）=sin（x+4））-2sinc|）cosx的最大值為.

15.（5分）偶函數y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，f（3）=3,則f（-1）=.

16.（5分）數列｛aj滿足an+i=--—，a&=2,則a1=______.

1-an

三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（12分）四邊形ABCD的內角A與C互補，AB=1,BC=3,CD=DA=2.

（1）求C和BD；

（2）求四邊形ABCD的面積.

18.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA,平面ABCD,E

為PD的中點.

（I）證明：PB〃平面AEC；

（口）設AP=1,AD=?,三棱錐P-ABD的體積V=近，求A到平面PBC的距離.

4

19.（12分）某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民，

根據這50位市民對兩部門的評分（評分越高表明市民的評價越高）繪制的莖

葉圖如圖：

甲部門乙郃門

359

440448

975122456677789

976653321106011234688

98877766555554443332100700113449

6655200S123345

6322209011456

10000

（I）分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數;

（口）分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率;

（ni）根據莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.

20.(12分)設Fi，F(xiàn)2分別是C：3_+，=1(a>b>0)的左，右焦點，M是C

a2b,2

上一點且MF2與X軸垂直，直線MFi與C的另一個交點為N.

(1)若直線MN的斜率為3,求C的離心率；

(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且MN=5|FiN，求a,b.

21.(12分)已知函數f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切

線與x軸交點的橫坐標為-2.

(I)求a；

(II)證明：當kVl時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

三、選修4-1：幾何證明選講

22.(10分)如圖，P是。。外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與。。相

交于點B,C,PC=2PA,D為PC的中點，AD的延長線交。。于點E,證明：

(I)BE=EC；

(II)AD?DE=2PB2.

四、選修4-4,坐標系與參數方程

23.在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系,

半圓C的極坐標方程為p=2cos0,0G[0,2L]

2

(I)求C的參數方程；

(II)設點D在半圓C上，半圓C在D處的切線與直線I：y=bx+2垂直，根據

(1)中你得到的參數方程，求直線CD的傾斜角及D的坐標.

五、選修4-5：不等式選講

24.設函數f(x)=|x+—|+1x-a|(a>0).

a

(I)證明：f(x)22；

(H)若f(3)<5,求a的取值范圍.

全國統(tǒng)一高考數學試卷(文科)(新課標口)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的

1.(5分)已知集合人={-2,0,2},B=(x|x2-x-2=0},則APB=()

A.0B.{2}C.{0}D.{-2}

【考點】IE：交集及其運算.

【專題】5J：集合.

【分析】先解出集合B,再求兩集合的交集即可得出正確選項.

【解答】解：VA={-2,0,2},B={x?x2-x-2=0}={-1,2},

.,.AHB={2}.

故選:B.

【點評】本題考查交的運算，理解好交的定義是解答的關鍵.

2.(5分)2=()

1-i

A.l+2iB.-l+2iC.1-2iD.-1-2i

【考點】A5：復數的運算.

【專題】5N：數系的擴充和復數.

【分析】分子分母同乘以分母的共攏復數1+i化簡即可.

【解答】解：化簡可得

l+3i=(l+3i)(l+i)=l-3+4i=-2+4i=_1+2i

1-i(1-i)(l+i)i-i22

故選:B.

【點評】本題考查復數代數形式的化簡，分子分母同乘以分母的共貌復數是解決

問題的關鍵，屬基礎題.

3.(5分)函數f(x)在x=xo處導數存在，若p：f(xo)=0：q：x=xo是f(x)

的極值點，則()

A.p是q的充分必要條件

B.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

C.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】5L：簡易邏輯.

【分析】根據可導函數的極值和導數之間的關系，利用充分條件和必要條件的定

義即可得到結論.

【解答】解：函數f(x)=x3的導數為f(x)=3x2,由？答0)=0,得x0=0,但此

時函數f(x)單調遞增，無極值，充分性不成立.

根據極值的定義和性質，若x=x°是f(x)的極值點，則￥(X。)=0成立，即必要

性成立，

故P是q的必要條件，但不是q的充分條件，

故選：C.

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用函數單調性和極值之間

的關系是解決本題的關鍵，比較基礎.

4.（5分）設向量a，b滿足Ia+bl=V10>Ia_b=娓，則a*b=（）

A.1B.2C.3D.5

【考點】90：平面向量數量積的性質及其運算.

【專題】5A：平面向量及應用.

【分析】將等式進行平方，相加即可得到結論.

【解答】解：：Ia+bI=A/10，a"b=巫,

，分另平方得之2+2春。,=10,a2-2a*b+b2=6>

兩式相減得4a*b=10-6=4,

即a*b=l，

故選:A.

【點評】本題主要考查向量的基本運算，利用平方進行相加是解決本題的關鍵，

比較基礎.

5.(5分)等差數列｛aj的公差為2,若a2,a4，as成等比數列，則｛aj的前n

項和Sn=()

A.n(n+1)B.n(n-1)C.—n+1)D.nd

22

【考點】83：等差數列的性質.

【專題】54：等差數列與等比數列.

【分析】由題意可得a42=(a4-4)(a4+8),解得可得a】，代入求和公式可得.

【解答】解：由題意可得a42=a2?a8,

即a42=(a4-4)3+8),

解得a4=8,

/.ai=a4_3X2=2,

nln

Sn=nai+^-^d,

2

=2n+nAnzlz_X2=n(n+1),

2

故選:A.

【點評】本題考查等差數列的性質和求和公式，屬基礎題.

6.(5分)如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm),圖中粗線畫出的

是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯

切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()

【考點】L!：由三視圖求面積、體積.

【專題】5F：空間位置關系與距離.

【分析】由三視圖判斷幾何體的形狀，通過三視圖的數據求解幾何體的體積即可.

【解答】解：幾何體是由兩個圓柱組成，一個是底面半徑為3高為2,一個是底

面半徑為2,高為4,

組合體體積是：32H?2+22TI*4=34R.

底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯的體積為：32兀義6=54兀

切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為：54兀-34兀=9.

54兀27

故選：C.

【點評】本題考查三視圖與幾何體的關系，幾何體的體積的求法，考查空間想象

能力以及計算能力.

7.（5分）正三棱柱ABC-AiBiCi的底面邊長為2,側棱長為遂，D為BC中點,

則三棱錐A-BiDCi的體積為（）

A.3B.3C.1D.返

22

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】5F：空間位置關系與距離.

【分析】由題意求出底面BiDCi的面積，求出A到底面的距離，即可求解三棱錐

的體積.

【解答】解：???正三棱柱ABC-AiBiCi的底面邊長為2,側棱長為U，D為BC

中點，

底面BiDCi的面積：A.x2X-V/3=A/3>

A到底面的距離就是底面正三角形的高：V3.

三棱錐A-BiDCi的體積為：=義?*英=1。

3

故選：C.

【點評】本題考查幾何體的體積的求法，求解幾何體的底面面積與高是解題的關

鍵.

8.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x,t均為2,則輸出的S=()

A.4B.5C.6D.7

【考點】EF：程序框圖.

【專題】5K：算法和程序框圖.

【分析】根據條件，依次運行程序，即可得到結論.

【解答】解：若x=t=2,

則第一次循環(huán)，1W2成立，則M=：x2=2，S=2+3=5,k=2,

第二次循環(huán)，2W2成立，則M=1_X2=2，S=2+5=7,k=3,

此時3W2不成立，輸出S=7,

故選：D.

【點評】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，比較基礎.

'x+y-l>0

9.（5分）設x,y滿足約束條件.xp-l《O，則z=x+2y的最大值為（）

,x-3y+3）0

A.8B.7C.2D.1

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】59：不等式的解法及應用.

【分析】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z

的最大值.

【解答】解：作出不等式對應的平面區(qū)域，

由z=x+2y,得y=-9片'

平移直線y=-由圖象可知當直線y=-夕號經過點A時，直線y=-5號

的截距最大，此時z最大.

由,十1=0,得產3,

Ix-3y+3=0Iy=2

即A（3,2）,

此時z的最大值為z=3+2X2=7,

故選:B.

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數形結合是解決線性規(guī)劃題目的常

用方法.

10.（5分）設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30。的直線交于C

于A,B兩點，則|AB|=（）

A.2?B.6C.12D.7A/3

【考點】K8：拋物線的性質.

【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程.

【分析】求出焦點坐標，利用點斜式求出直線的方程，代入拋物線的方程，利用

根與系數的關系，由弦長公式求得|AB|.

【解答】解：由y2=3x得其焦點F（二，0）,準線方程為x=-3.

44

則過拋物線y2=3x的焦點F且傾斜角為30。的直線方程為y=tan30°（x-W）=2叵（x

43

-2）.

4

代入拋物線方程，消去V，得16x2_I68X+9=0.

設A（xi，yi）,B（X2，丫2）

則Xl+X2=-i^^^,

162

所以IAB|=xi+8+x2+3=3+a+且=12

44442

故選：C.

【點評】本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，弦長公式的應用,

運用弦長公式是解題的難點和關鍵.

11.（5分）若函數f（x）=kx-Inx在區(qū)間（1,+8）單調遞增，則k的取值范

圍是（）

A.（…，-2]B.（…，-1]C.[2,+8）D.[1,+8）

【考點】6B：利用導數研究函數的單調性.

【專題】38：對應思想；4R：轉化法；51：函數的性質及應用.

【分析】求出導函數f'（x）,由于函數f（x）=kx-lnx在區(qū)間（1,+8）單調遞

增，可得f（x）20在區(qū)間（1,+8）上恒成立.解出即可.

【解答】解：f（x）=k-l,

X

?..函數f（x）=kx-lnx在區(qū)間（1,+8）單調遞增，

（x）20在區(qū)間（1,+8）上恒成立.

而y=L在區(qū)間（1,+8）上單調遞減，

x

Ak^l.

，k的取值范圍是：[1,+8）.

故選：D.

【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性、恒成立問題的等價轉化方法，

屬于中檔題.

12.（5分）設點M（xo，1）,若在圓0：x2+y2=i上存在點N,使得NOMN=45。,

則xo的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[-1,1]C.[-&，&]D.[-返，返]

2222

【考點】JE：直線和圓的方程的應用.

【專題】5B：直線與圓.

【分析】根據直線和圓的位置關系，利用數形結合即可得到結論.

【解答】解：由題意畫出圖形如圖：點M(xo,1),要使圓。：x2+y2=l上存在

點N,使得NOMN=45。，

則NOMN的最大值大于或等于45。時一定存在點N,使得NOMN=45。，

而當MN與圓相切時NOMN取得最大值，

此時MN=1,

圖中只有M，到M"之間的區(qū)域滿足MN=1,

?'?Xo的取值范圍是[-1,1].

【點評】本題考查直線與圓的位置關系，直線與直線設出角的求法，數形結合是

快速解得本題的策略之一.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.(5分)甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中

選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為1.

一g—

【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】51：概率與統(tǒng)計.

【分析】所有的選法共有3X3=9種，而他們選擇相同顏色運動服的選法共有3

種，由此求得他們選擇相同顏色運動服的概率.

【解答】解：所有的選法共有3X3=9種，而他們選擇相同顏色運動服的選法共

有3種，

故他們選擇相同顏色運動服的概率為a=L,

93

故答案為：1.

3

【點評】本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎題.

14.(5分)函數f(x)=sin(x+4))-2sind)cosx的最大值為1.

【考點】GP：兩角和與差的三角函數；HW：三角函數的最值.

【專題】56：三角函數的求值；57：三角函數的圖像與性質.

【分析】直接利用兩角和與差三角函數化簡，然后求解函數的最大值.

【解答】解：函數f(x)=sin(x+4))-2sin4)cosx

=sinxcos巾+sin4)cosx-2sin巾cosx

=sinxcosc|)-sin巾cosx

=sin(x-4))<1.

所以函數的最大值為1.

故答案為：L

【點評】本題考查兩角和與差的三角函數，三角函數最值的求解，考查計算能力.

15.(5分)偶函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，f(3)=3,則f(-1)=

3.

【考點】3K：函數奇偶性的性質與判斷.

【專題】51：函數的性質及應用.

【分析】根據函數奇偶性和對稱性的性質，得到f(x+4)=f(x),即可得到結論.

【解答】解：法1：因為偶函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，

所以f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),

即f(x+4)=f(x),

則f(-1)=f(-1+4)=f(3)=3,

法2：因為函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，

所以f(1)=f(3)=3,

因為f(x)是偶函數，

所以f(-1)=f(1)=3,

故答案為：3.

【點評】本題主要考查函數值的計算，利用函數奇偶性和對稱性的性質得到周期

性f(x+4)=f(x)是解決本題的關鍵，比較基礎.

16.(5分)數列｛aj滿足an，i=--—，as=2,則a]=—.

F-2-

【考點】8H：數列遞推式.

【專題】11：計算題.

【分析】根據a8=2,令n=7代入遞推公式an4，*，求得a7,再依次求出a6,

1-an

as的結果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出ai的值.

【解答】解：由題意得，am產二a8=2,

1-an

令n=7代入上式得，a8=」一，解得a7=L；

l-a72

令n=6代入得，37=—-—，解得36=-1；

1-%

令n=5代入得，a6=-J—,解得as=2；

1-a5

根據以上結果發(fā)現(xiàn)，求得結果按2,1,-1循環(huán)，

2

,.?8+3=2…2,故ai=L

2

故答案為：1.

2

【點評】本題考查了數列遞推公式的簡單應用，即給n具體的值代入后求數列的

項，屬于基礎題.

三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(12分)四邊形ABCD的內角A與C互補，AB=1,BC=3,CD=DA=2.

（1）求C和BD；

（2）求四邊形ABCD的面積.

【考點】HP：正弦定理；HR：余弦定理.

【專題】56：三角函數的求值.

【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出關系式，將BC,CD,以及cosC

的值代入表示出BD2,在三角形ABD中，利用余弦定理列出關系式，將AB,

DA以及cosA的值代入表示出BD2,兩者相等求出cosC的值，確定出C的度

數，進而求出BD的長；

（2）由C的度數求出A的度數，利用三角形面積公式求出三角形ABD與三角形

BCD面積，之和即為四邊形ABCD面積.

【解答】解：(1)在^BCD中，BC=3,CD=2,

由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC*CDcosC=13-12cosc①，

在4ABD中，AB=1,DA=2,A+C=n,

由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB*ADcosA=5-4cosA=5+4cosC②，

由①②得：cosC=L,

2

貝UC=60°,BD=V7；

(2)VcosC=—,cosA=-—,

22

/.sinC=sinA=V^,

2_

則S=i-AB?DAsinA+LBC?CDsinC=Lx1X2xK+Lx3X2乂?=2。

【點評】此題考查了余弦定理，同角三角函數間的基本關系，以及三角形面積公

式，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵.

18.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA,平面ABCD,E

為PD的中點.

(I)證明：PB〃平面AEC；

(口)設AP=1,AD=M，三棱錐P-ABD的體積V=近，求A到平面PBC的距離.

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LS：直線與平面平行；MK：點、線、

面間的距離計算.

【專題】5F：空間位置關系與距離.

【分析】(I)設BD與AC的交點為0,連結E0,通過直線與平面平行的判定

定理證明PB〃平面AEC；

(II)通過AP=1,AD=A/3＞三棱錐P-ABD的體積金求出AB,作AH1PB

4

角PB于H,說明AH就是A到平面PBC的距離.通過解三角形求解即可.

【解答】解：(I)證明：設BD與AC的交點為0,連結E0,

VABCD是矩形，

二。為BD的中點

YE為PD的中點，

，E0〃PB.

EOu平面AEC,PBQ平面AEC

，PB〃平面AEC；

(II)VAP=1,AD=?,三棱錐P-ABD的體積V=1,

_4

,,V吟PA，AB?AB=尊，

664

AAB=fPB={1+G)2嚕

作AH1PB交PB于H,

由題意可知BC_L平面PAB,

/.BJAH,

故AHJ_平面PBC.

又在三角形PAB中，由射影定理可得：研粵型_3屬

PB13

A到平面PBC的距離三叵.

【點評】本題考查直線與平面垂直，點到平面的距離的求法，考查空間想象能力

以及計算能力.

19.（12分）某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民，

根據這50位市民對兩部門的評分（評分越高表明市民的評價越高）繪制的莖

葉圖如圖:

甲部門乙郃門

359

440448

975122456677789

976653321106011234688

98877766555554443332100700113449

66552008123345

6322209011456

10000

（I）分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數；

（U）分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率;

（Hi）根據莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.

【考點】BA：莖葉圖；BB：眾數、中位數、平均數；CB：古典概型及其概率計

算公式.

【專題】51：概率與統(tǒng)計.

【分析】(I)根據莖葉圖的知識，中位數是指中間的一個或兩個的平均數，首

先要排序，然后再找，

(II)利用樣本來估計總體，只要求出樣本的概率就可以了.

(m)根據(工)(口)的結果和莖葉圖，合理的評價，恰當的描述即可.

【解答】解：(I)由莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分有小到大順序，排在

排在第25,26位的是75,75,故樣本的中位數是75,所以該市的市民對甲

部門的評分的中位數的估計值是75.

50位市民對乙部門的評分有小到大順序，排在排在第25,26位的是66,68,故

樣本的中位數是區(qū)遨-67,所以該市的市民對乙部門的評分的中位數的估計

2

值是67.

(H)由莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為

全。工會。,

故該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率得估計值分別為0.1,0.16,

(m)由莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數高于乙部門的評分的中位數，

而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分標準差要小于乙部門的標準差，

說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、

評價差異較大.

【點評】本題主要考查了莖葉圖的知識，以及中位數，用樣本來估計總體的統(tǒng)計

知識，屬于基礎題.

分)設分別是的左，右焦點，是

20.(12Fi，F(xiàn)2C：Z+￡=l(a>b>0)MC

a2b,2

上一點且MF2與x軸垂直，直線MFi與C的另一個交點為N.

(1)若直線MN的斜率為百，求C的離心率；

4

(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN=5|FIN1,求a,b.

【考點】K4：橢圓的性質.

【專題】5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題.

【分析】(1)根據條件求出M的坐標，利用直線MN的斜率為W,建立關于a,

4

c的方程即可求C的離心率；

(2)根據直線MN在y軸上的截距為2,以及|MN|=5|FiN|,建立方程組關系,

求出N的坐標，代入橢圓方程即可得到結論.

【解答】解：(1);M是C上一點且MF2與x軸垂直，

22

；.M的橫坐標為c,當x=c時，y=—,即M(c,—

aa

若直線MN的斜率為0，

4

bi2

即tanNMFiF2=3-=*—=員，

2c2ac4

222

即b=—ac=a-c,

2

即c?+3ac-a2=0>

2

則e2+ye-l=0,

即2e2+3e-2=0

解得e=2或e=-2(舍去)，

2

即e=l.

2

(口)由題意，原點。是F1F2的中點，則直線MFi與y軸的交點D(0,2)是線

段MFi的中點，

設M(c,y),(y>0),

2242

貝！J幺+?_=1，E|Jy2b解得y=",

a2b2a2&

YOD是△MFiFz的中位線，

k2

—=4,即b2=4a,

a

由|MN|=5|FIN|,

則|MFI|=4FiN

解得|DF/=21FIN|,

即可=2踣

設N(X1，yi),由題意知yiVO,

貝ij(-c,-2)=2(xi+c,yi).

丫

,21=-2[y1=-i

代入橢圓方程得寫+七二1，

將b2=4a代入得更於應+1_=i，

4a24a

【點評】本題主要考查橢圓的性質，利用條件建立方程組，利用待定系數法是解

決本題的關鍵，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度.

21.(12分)已知函數f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切

線與x軸交點的橫坐標為-2.

(I)求a；

(II)證明：當kVl時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6H：利用導數研究曲線上某點切線

方程.

【專題】53：導數的綜合應用.

【分析】(I)求函數的導數，利用導數的幾何意義建立方程即可求a；

(□)構造函數g(x)=f(x)-kx+2,利用函數導數和極值之間的關系即可得

到結論.

【解答】解：(I)函數的導數f'(x)=3x2-6x+a；f'(0)=a；

則y=f(x)在點(0,2)處的切線方程為y=ax+2,

?.?切線與x軸交點的橫坐標為-2,

Af(-2)=-2a+2=0,

解得a=l.

(II)當a=l時，f(x)=x3-3x2+x+2,

設g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,

由題設知1-k>0,

當xWO時，g'(x)=3x2-6x+l-k>0,g(x)單調遞增，g(-1)=k-1,g(0)

=4,

當x>0時，令h(x)=x3-3x2+4,貝Ug(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).

貝Ih，(x)=3x2-6x=3x(x-2)在(0,2)上單調遞減，在(2,+°0)單調遞增，

...在x=2時，h(x)取得極小值h(2)=0,

g(-1)=k-1,g(0)=4,

則g(x)=0在(-8,0］有唯一實根.

Vg(x)>h(x)2h(2)=0,

Ag(x)=0在(0,+8)上沒有實根.

綜上當k<l時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

【點評】本題主要考查導數的幾何意義，以及函數交點個數的判斷，利用導數和

函數單調性之間的關系是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力.

三、選修4-1：幾何證明選講

22.(10分)如圖，P是。。外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與。。相

交于點B,C,PC=2PA,D為PC的中點，AD的延長線交。0于點E,證明：

(I)BE=EC；

(II)AD?DE=2PB2.

O

D

【考點】N4：相似三角形的判定；NC：與圓有關的比例線段.

【專題】17：選作題；5Q：立體幾何.

【分析】（I）連接OE,0A,證明OE_LBC,可得E是它的中點，從而BE=EC；

（口）利用切割線定理證明PD=2PB,PB=BD,結合相交弦定理可得AD?DE=2PB2.

【解答】證明：（工）連接OE,0A,貝Ij/OAE=NOEA,NOAP=90。，

VPC=2PA,D為PC的中點，

；.PA=PD,

；.NPAD=NPDA,

VZPDA=ZCDE,

ZOEA+ZCDE=ZOAE+ZPAD=90°,

AOEIBC,

，E是祕的中點，

；.BE=EC；

（口）:PA是切線，A為切點，割線PBC與。。相交于點B,C,

，PA2=PB?PC,

VPC=2PA,

；.PA=2PB,

；.PD=2PB,

/.PB=BD,

.*.BD*DC=PB*2PB,

VAD*DE=BD<DC,

/.AD?DE=2PB2.

【點評】本題考查與圓有關的比例線段，考查切割線定理、相交弦定理，考查學

生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

四、選修4-4,坐標系與參數方程

23.在直角坐標系xOy中