（新教材人教A版2019）高中數(shù)學必修第二冊分章節(jié)基礎知識

第6章平面向量及其應用

§6.1.平面向量的概念

1.平面向量的概念：

向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.

向量的模：向量屈的大小，也就是向量M的長度（或稱模），記作I入可.

零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作6.

單位向量：長度等于1個單位的向量叫做單位向量.

平行（共線）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.記作:a11b.

規(guī)定：零向量與任意向量平行.

相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

§6.2.平面向量的運算

§6.2.1.向量的加法運算

1.向量加法的法則：向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.

2.卜+囚在卜|+忖（當且僅當a與B方向方向相同時等號成立）.

3.向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a結(jié)合律：（a+B）+c=a+（B+c）

§6.2.2.向量的減法運算

1.相反向量：

與a長度相等，方向相反的向量叫做。的相反向量.記作一。.

2.向量減法的定義：

a加上行的相反向量，叫做〃與B的差.

3,向量減法的法則：三角形法則.

OA-OB=BA

§6.2.3.向量的數(shù)乘運算

1.數(shù)乘的定義：實數(shù)X與向量"的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘.記作：2。，它的長度和方向

規(guī)定如下：

⑴以〃卜|山忖；

(2)當2>()時，2〃的方向與。的方向相同；當4<0時，4〃的方向與。的方向相反.

2.運算律：

3.線性運算：向量的加.減.數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.

4.平面向量共線定理：

向量〃與B共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)丸，使B=

§6.2.4.向量的數(shù)量積

1.向量的夾角：

已知兩個非零向量。，b9。是平面上的任意一點，作函=￡,礪=B，則萬)叫做向量

Q與B的夾角.

2.〃與B垂直：

如果。與B的夾角是工,則〃與B垂直，記作〃

2

3.數(shù)量積：

已知兩個非零向量。，石,它們的夾角為e，我們把數(shù)量忖Wcos。叫做向量〃與B的數(shù)量積(或內(nèi)積),

記作。也即。B網(wǎng)cos0.

4.投影向量:

向量￡在B上的投影向量：在平面內(nèi)任取一點。，作兩=￡,兩=瓦過點M作直線ON的垂線，垂足為

,則0Mx就是向量。在向量B上的投影向量.

設與B同方向的單位向量為e,。與B的夾角為夕，則OM[=|^|cosOe.

5.數(shù)量積的性質(zhì)：

(1)a.e=e?a=14cos6

(2)==O

(3)a-a=\^或口卜用=呵

(4)\a-b\<\a\^\

6.數(shù)量積的運算律：

(1)a-b=b-a

(2)(Xa”==心(與)

(3)(^a+b^'C-a-c+b'C

—*■—?\2-2—*—?—*2/—?—?\/——?\—2—2

(a+b\=a+2a-b+b,[a+b\-\a-b\=a-b.

§6.3平面向量基本定理及坐標表示

§6.3.1平面向量基本定理

平面向量基本定理：

如果3，]是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量￡,有且只有一對實數(shù)為,4，

使+44.｛外6)叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

§6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示

1.正交分解：

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

2.向量Q的坐標表示：

在平面直角坐標系中，設與x軸.y軸方向相同的兩個單位向量分別為7,]，取｛；,1｝作為基底.對于平面內(nèi)

的任意一個向量〃，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)％,y,使得〃=xi+yj,這樣平面內(nèi)的任

一向量。都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對（％,y）叫做向量〃的坐標,記作a=（x,y）,其中x叫做。在

x軸上的坐標，y叫做。在y軸上的坐標，a=（x,y）叫做向量。的坐標表示.

§6.3.3平面向量加.減運算的坐標表示

1.設〃=（%,%）,B=（%2，%），則：

⑴+%2，x+%），

⑵加3式%]-%，%-%），

即：兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）

2.已知4再，必）,8（犬2，為），則AB=（%2一再，%一乂）.

§6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標表示

1.設a=（%,y）,則A,a-（2x,2y）.

2.設a=（石,乂）3二（%2，%），則向量共線的充要條件是玉%-=。

§6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示

1.設。=（%,%）石=（%2，%），貝心

(1)a-b=xix2+yiy2

(2),卜Jx；+y；

(3)a±b<^a-b=0^xlx2+y1y2=0

X］乜+42

(4)

2+短.也+為2

(5)設4(匹，％),8(/，乂)，則：AB=J(%2-/F+(為-％y?

6.4平面向量的應用

b'+c2-a'

cosA=

a2=b2+c2-2bccosA,2bc

a2+c2-b2

1.余弦定理：yb1=a2+c2—2accosB,推論：<cosB=

lac

c2=a2+b2-labcosC.

a2+b2-c2

cosC=

lab

2.正弦定理：

1=上=，=2氐

sinAsinBsinC

（其中R為AA5c外接圓的半徑）

<=>a=2RsinA,b=2RsinB.c—2RsinC;

..a.b.「c

osinA=——,sinB=——,sinC=——;

2R2R2R

OQ:Z7:c=sinA:sin5:sinC

第7章復數(shù)

§7.1復數(shù)的概念

1.復數(shù)：形式如Z=Q+瓦￡7?)的數(shù)叫復數(shù)，其中，叫虛數(shù)單位，Z2=-1.

a叫復數(shù)的實部，b叫復數(shù)的虛部.

2.復數(shù)的分類

復數(shù)z=a+bi

疾數(shù)S=o)

<上,［純虛數(shù)(。=0,。w0)

虛數(shù)S。0)<,工?

［非純虛數(shù)(ow0,bw0)

3.復數(shù)的幾何意義

復平面：用來表示復數(shù)的直角坐標系，其中龍軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.

復數(shù)z=a+bi<一對應>復平面內(nèi)的點Z(〃,/?)

復數(shù)z=a+4<一一對應>平面向量場

4.復數(shù)的模

向量厲的模叫復數(shù)Z=Q+初(〃力￡尺)的模或絕對值，^\z\=\a+b^=yla2+b2.

5.共期復數(shù)

當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共相復數(shù)，復數(shù)N的共機

復數(shù)用z表示，z=a-bi.

§7.2復數(shù)的四則運算

1.復數(shù)的加、減運算及其幾何意義

(1)復數(shù)加減法：(〃+①)±(。+成)=(〃±c)+0±d)；

(2)復數(shù)加法的幾何意義：

復數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行：

y

OZyOZ2分別對應復數(shù)〃+4,c+山，即OZ]=(〃,/?),OZ2=(c,d),\z

則OZ]+OZ2=(〃+c,Z?+d)對應復數(shù)(〃+c)+(Z?+d)i.

//

2.復數(shù)的乘、除運算

(1)復數(shù)的乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i；J

a+bi(a+bi}(c—di}ac+bdbe—ad.

(2)復數(shù)的除法———=7———j^-=――+――京I.

c+ai\c-\-ai)\c—ai)c+〃c+〃

3.常見的運算規(guī)律

(1)|N|=|-z|;(2)z-z=|z「='「=a2+/；

第8章立體幾何初步

§8.1基本立體圖形

空間幾何體的結(jié)構(gòu)：

⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺、球.

⑵棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相

平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.

斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱.

平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體.

(3)棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的

多面體叫棱錐.

正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正棱錐.

(4)棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面

體叫做棱臺.

(5)圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

叫圓柱.

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫圓柱的軸；

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫圓柱的底面.

側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫圓柱的側(cè)面.

母線：平行于軸的邊都叫圓柱側(cè)面的母線.

(6)圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所

圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓錐.

(7)圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺，

(8)球：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面，球面所圍

成的旋轉(zhuǎn)體叫球體，簡稱球.半圓的圓心叫球的球心.連結(jié)球心和球面上任意一

點的線段叫球的半徑.連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑.

§8.2立體圖形的直觀圖

斜二測畫法：

(1)建立平面直角坐標系：在已知平面圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點0.

(2)畫出斜坐標系：在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應的x'軸和y軸，兩軸相交于點O,，

且使NxQy'=45°或135°,它們確定的平面表示水平面.

(3)畫對應圖形：在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x軸，長度保持不

變.在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y軸，且長度為原來一半.

§8.3簡單幾何體的表面積與體積

(1)圓柱側(cè)面積；S側(cè)面?/(廠是底面圓半徑，/是母線長)

(2)圓錐側(cè)面積：S惻面=〃?r?/(r是底面圓半徑，/是母線長)

(3)體積公式：

V柱體=SZ；V錐體=；S1；%體=；丸卜’+后+S)

(4)球的表面積和體積：

S球=4成92,V球=§4成o3.

§8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

§8.4.1平面

1.三個事實：

基本事實1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

(即不共線的三點確定一個平面)

基本事實2：如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直

線.

2.三個推論：

推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

§8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1.空間中直線和直線的位置關(guān)系

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線.

(相交直線

共面直線＜)

空間中直線和直線的位置關(guān)系：｛［異面直線

、異面直線

2.空間中直線和平面的位置關(guān)系

,(直線與平面相交

直線在平面外《

空間中直線和平面的位置關(guān)系力［直線與平面平行

、直線在平面內(nèi)

3.空間中平面和平面的位置關(guān)系

1兩個平面平行

空間中平面和平面的位置關(guān)系：《

［兩個平面相交

§8.5空間直線、平面的平行

§8.5.1直線與直線平行

1.基本事實4：平行與同一條直線的兩條直線平行.

2.定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

§8.5.2直線與平面平行

1.線面平行判定定理（線線平行二＞線面平行）：

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

2.線面平行性質(zhì)定理（線面平行二＞線線平行）：

一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.

§8.5.3平面與平面平行

1.面面平行判定定理1（線面平行二＞面面平行）：

如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.

2.面面平行判定定理2（線線平行二＞面面平行）：

如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條直線平行，那么這兩個平面平行.

3.面面平行性質(zhì)定理（面面平行二＞線線平行）：

兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.

4.面面平行的定義推論（面面平行二＞線面平行）：

如果兩個平面平行，那么一■個平面內(nèi)的任意一■條直線都與另一■個平面平行.

§8.6空間直線、平面的垂直

§8.6.1直線與直線垂直

1.異面直線所成的角定義：

已知兩異面直線6,經(jīng)過空間任一點。分別作直線a//。,6//6,我們把直線a,/?所成

的角叫做異面直線a,6所成的角.空間兩條直線所成角的取值范圍是［0°,90°］.

2.兩條異面直線互相垂直的定義：

如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直.

§8.6.2直線與平面垂直

1.直線與平面垂直的定義：

如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線/與平面a互相垂直.

2.線面垂直定義的推論（線面垂直n線線垂直）：

如果一條直線垂直于一個平面，那么該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線.

3.點到平面的距離的定義：

過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條，過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂

足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段.垂線段的長度叫這個點到平面的距離.

4.線面垂直判定定理（線線垂直n線面垂直）：

如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

5.線面垂直性質(zhì)定理：

（1）垂直于同一個平面的兩條直線平行.

（2）如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于該平面.

6,直線和平面所成的角的定義：

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

直線和平面所成的角范圍是[0°,90°].

7.直線到平面的距離的定義：

一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到平面

的距離.

8.兩個平行平面間的距離的定義：

如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，把它叫做

兩個平行平面間的距離.

§8.6.3平面與平面垂直

1.二面角的定義：

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平

面叫二面魚的面.

記作：例如二面角a—AB—/7或二面角tz—/—，或二面角P-1-Q.

2.二面角的平面角：

在二面角/一，的棱上任取一點0,分別在兩個半平面內(nèi)作射線,則

NAQB為二面角a—/—，的平面角.

二面角的范圍是[0°,180°].

3.兩個平面互相垂直的定義：

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

4.面面垂直判定定理（線面垂直=>面面垂直）：

如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.

5.面面垂直性質(zhì)定理（面面垂直=>線面垂直）：

兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一

個平面垂直.

第9章統(tǒng)計

§9.1隨機抽樣

1.抽樣調(diào)查

根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計和

推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查.

樣本：從總體中抽取的那部分個體稱為樣本.

樣本容量（樣本量）：樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本容量.

2.簡單隨機抽樣

設一個總體含有N（N為正整數(shù)）個個體，從中逐個抽取〃（/W水M個個體作為樣本，如果抽

取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法

叫做放回簡單隨機抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進入樣本的各個個體

被抽到的概率都相等，我們這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣，放回簡單隨機抽樣和

不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣.

3.分層隨機抽樣

按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個

子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這

樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣.

§9.2用樣本估計總體

1.總體取值規(guī)律的估計

頻率分布直方圖的畫法：

（1）求極差（2）決定組距和組數(shù)（3）將數(shù)據(jù)分組（4）列頻率分布表

頻率

（5）畫頻率分布直方圖：縱軸表示近正，小長方形面積=頻率.

2.總體百分位數(shù)的估計

（1）第p百分位數(shù)：它使得這組數(shù)據(jù)中至少。％的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有

（100-/?）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

⑵第P百分位數(shù)的計算步驟：

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

②計算i="xp%.

③若，不是整數(shù)，而大于，的比鄰整數(shù)為了,則第p百分位數(shù)為第/項數(shù)據(jù)，若，是整數(shù)，則

第p百分位數(shù)為第i項與第?+1項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

⑶四分位數(shù)：第25、50、75百分位數(shù)稱為四分位數(shù)。

3.總體集中趨勢的估計：

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

對數(shù)值型數(shù)據(jù)（如身高、收入）集中趨勢的描述可以用平均數(shù)、中位數(shù);

而對分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別）集中趨勢的描述可以用眾數(shù).

4.總體離散程度的估計

方差與標準差：一■組樣本數(shù)據(jù)占,工2,…，尤”

舟…)2

$2及（…）；

方差:標準差：S=

第10章概率

§10.1隨機事件與概率

§10.1.1有限樣本空間與隨機事件

1,隨機試驗：

對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗.

2.有限樣本空間：

樣本點：隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，用①表示.

樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間，用Q表示.

有限樣本空間：如果一個隨機試驗有幾個可能結(jié)果，則稱樣本空間。=｛阻，?，…,例｝為有

限樣本空間.

3.隨機事件

隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.

隨機事件：樣本空間Q的子集稱為隨機事件，簡稱事件.

基本事件：只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.

事件A發(fā)生：在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.

必然事件：Q

不可能事件：0

必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形，這樣每個事件都是樣本空間的子集.

§10.1.2事件的關(guān)系和運算

1.事件8包含事件A:

若事件A發(fā)生，則事件8一定發(fā)生，就稱事件3包含事件A（或事件A包含于事件3）,

記作BqA（或4口3）.

2.事件的相等：

如果事件3包含事件A,事件A也包含事件5,則稱事件A和事件3相等.

3.并事件（或和事件）：

事件A與事件3至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事

件B中，我們稱這個事件為事件A與事件3的并事件（或和事件）.記作AU8（或A+3）.

4.交事件（或積事件）：

事件A與事件3同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件5中，我

們稱這個事件為事件A與事件3的交事件（或積事件）.記作AC8（或AB）.

5.互斥事件：

如果事件A與事件5不能同時發(fā)生，即AC8是一個不可能事件，即則稱事

件A與事件3互斥（或互不相容）.

6.對立事件：

如果事件A和事件8在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即