重慶市渝中區(qū)2024年重點學校保送生數(shù)學試卷附答案

重點學校保送生數(shù)學試卷一、填空題（每題7分，共70分）1．有1、2、﹣2三個數(shù)，小明分別對這三個數(shù)求了絕對值；小亮分別對這三個數(shù)求了倒數(shù)；小穎分別對這三個數(shù)求了﹣2次冪．將小明、小亮、小穎三人求得的數(shù)各任意選一個相乘，則乘積恰好為整數(shù)的概率為．2．已知，則的值為．3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對角線，∠CAB＝90°，以點A為圓心，以AB的長為半徑作⊙A，交BC邊于點E，交AC于點F，連接DE．且∠ADE＝30°，AD＝6，則陰影部分的面積為．4．將圖1所示的菱形沿兩條對角線剪開后重新拼成圖2、圖3兩種圖案，其中圖2得到的大正方形的面積為5，圖3得到的圖形的外輪廓的周長為，則圖1中sin∠CEB＝．5．若關(guān)于x的一元一次不等式組有解且至多有6個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解是整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)m的值之和為．6．若實數(shù)p、q，滿足，且，則的值為．7．如圖所示，已知銳角△ABC中，，BC＝6，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADE位置，恰好使得CE⊥BC于C，且CE＝BC，連接BD，則BD的長為．8．我們把不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]，又把x﹣[x]稱為x的小數(shù)部分，記作{x}，則有x＝[x]+{x}．如：[2.4]＝2，{2.4}＝0.4，2.4＝[2.4]+{2.4}；[﹣2.4]＝﹣3，{﹣2.4}＝0.6，﹣2.4＝[﹣2.4]+{﹣2.4}，則下列說法正確的是（填序號）．①；②如，則實數(shù)m的取值范圍是﹣6≤m＜4；③若1＜|x|＜2且，則④方程5[x]+2＝{x}+4x的實數(shù)解有4個．9．如果一個四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足，那么稱這個四位數(shù)為“神奇數(shù)”，例如：四位數(shù)1428，∵14+28＝42，∴1428是“神奇數(shù)”；又如四位數(shù)3526，因為35+26≠52，∴3526不是“神奇數(shù)”．若一個“神奇數(shù)”的前三個數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，則滿足條件的所有“神奇數(shù)”的平均數(shù)是．10．如圖所示，平面直角坐標中，四邊形OABC是矩形，點A在第一象限，點B、C在第二象限，S△OAB＝，將△OAB沿OB翻折至△OA'B，反比例函數(shù)恰好經(jīng)過點B和點A'，連接A'C交x軸于點M，則點M的坐標為．二、解答題（11題10分，12、13題每題15分，14、15題每題20分）11．近年來，抽盲盒成為當下青少年喜歡的消費方式，小王同學就樂于收集某商家出品的星球大戰(zhàn)系列盲盒和精靈天團系列盲盒，十月份他在線下實體店購買了若干盒星球大戰(zhàn)盲盒和精靈天團盲盒，分別花費260元和375元，若星球大戰(zhàn)的單價比精靈天團的單價少10元，精靈天團的數(shù)量比星球大戰(zhàn)的數(shù)量多1個．（1）十月份，小王購買的星球大戰(zhàn)和精靈天團的盲盒單價分別為多少元？（2）十一月份，商家在“雙十一”開啟了打折促銷活動．其中星球大戰(zhàn)的單價下降了5元，精靈天團的單價下降了m%．小王為了抽取隱藏款，果斷增加了購買量，星球大戰(zhàn)購買數(shù)量在十月份基礎(chǔ)上增加了5m%，精靈天團購買數(shù)量在十月份的基礎(chǔ)上增加了4m%，結(jié)果這次購物的金額比十月份增加了208元，求m的值．12．如圖1，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，兩對角線交點為O，有兩個動點E、F同時從點A出發(fā)，點E以每秒1個單位長度的速度沿AB邊從A向點B運動，點F以每秒2個單位長度的速度沿折線A→D→C方向運動，當其中一點到達終點時另一點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒，△DOF的面積為y1，△BEF的面積為y2（y1≠0，y2≠0）．（1）請直接寫出y1、y2關(guān)于t的函數(shù)表達式，并注明自變量t的取值范圍．（2）在圖2給定的平面直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)y1的一條性質(zhì)．（3）結(jié)合函數(shù)圖象，求出△DOF和△BEF面積相等時的t的值．13．如圖，筒車是我國古代利用水力驅(qū)動的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水能利物，輪乃曲成”．如圖，半徑為3m的筒車⊙O按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1圈，筒車與水面分別交于點A、B，筒車的軸心O距離水面的高度OC長為2.4m，筒車上均勻分布著若干個盛水筒．若以某個盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間．（參考數(shù)據(jù)sin37.5°≈0.6，cos37.5°≈0.8，sin17°＝cos73°≈0.3）（1）浮出水面2.5秒后，盛水筒P距離水面約多高？（2）若接水槽MN所在直線是⊙O的切線，且與直線AB交于點M，已知MO＝8m，求盛水筒P從最高點開始，至少經(jīng)過多長時間可以將水倒入水槽MN中（即點P恰好在直線MN上）？14．平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣，均為常數(shù)）與y軸相交于點A，與x軸相交于B（﹣3兩點，連接AB，過點C作CD∥AB交拋物線于點D．（1）求出該拋物線的函數(shù)表達式及點D的坐標；（2）如圖1，已知點G是線段AB上方拋物線上一點，過點G作GP∥y軸交CD于P，在線段AC和線段CD上分別有兩個動點K、L，且滿足KL＝2，M是KL的中點，當GP+DP取得最大值時，在線段AB上是否存在一點R，使得RP+RM的值最?。咳舸嬖?，請求出P點的坐標以及RP+RM的最小值；若不存在，請說明理由．（3）如圖2，E是線段BO上一定點，且滿足OE：OB＝4：9，連接AE，將線段AE沿y軸向下平移6個單位至HF，連接EF，T是線段EF上一動點，點A、H同時繞點T逆時針旋轉(zhuǎn)90°，應(yīng)對點分別是A'、H'．在旋轉(zhuǎn)過程中，當△EA'H'是直角三角形時，請直接寫出此時A'的坐標．

答案1．【答案】2．【答案】-23．【答案】π4．【答案】5．【答案】-66．【答案】7．【答案】8．【答案】①9．【答案】472510．【答案】11．【答案】（1）解：設(shè)小王購買的星球大戰(zhàn)的盲盒單價為x元，則精靈天團的盲盒單價為（x+10）元，由題意得：解得：x1＝65，x2＝40，經(jīng)檢驗，x1＝65，x2＝40都是原方程的解，但x2＝40不符合題意，舍去，∴x＝65，∴x+10＝65+10＝75，答：小王購買的星球大戰(zhàn)的盲盒單價為65元，精靈天團的盲盒單價為75元（2）解：由（1）可知，＝5，由題意得：（65﹣5）×4（1+5m%）+75（1﹣m%）×5（1+4m%）＝260+375+208，整理得：m2﹣200m+1900＝0，解得：m1＝10，m2＝190（不合題意，舍去）．答：m的值為1012．【答案】（1）解：y1關(guān)于t的函數(shù)表達式為y1＝，y2關(guān)于t的函數(shù)表達式為y2＝（2）解：如圖，即為所求函數(shù)的圖象，函數(shù)y1的一條性質(zhì)為：0≤t＜2時，y隨t的增大而減小，或2≤t≤4時，y隨t的增大而增大（3）解：由函數(shù)圖象可知：當△DOF和△BEF面積相等時，t＝3﹣或313．【答案】（1）解：連接OA，OP，過點P作PD⊥OC，垂足為D，如圖：由題意得，筒車每秒轉(zhuǎn)360°÷60＝6°，盛水簡P浮出水面2.5秒后，此時∠AOP＝2.5×6＝15°，∵cos∠AOC＝＝0.8，∴∠AOC≈37.5°，∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝37.5°+15°＝52.5°，∴∠OPD＝37.5°，在Rt△POD中，OD＝OP?sin37.5°＝3×0.6＝1.8m，∴2.4﹣1.8＝0.6m，答：此時盛水簡P距離水面的高度0.6m（2）解：如圖，因為點P在⊙O上，且MN與⊙O相切，所以當P在直線MN上時，此時P是切點，連接OP，所以O(shè)P⊥MN，在Rt△OPM中，cos∠POM＝∴∠POM＝68°．在Rt△OCM中，cos∠COM＝＝0.3，∴∠COM＝73°，∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180﹣68°﹣73°＝39°，∴需要的時間為＝6.5（秒），答：從最高點開始運動，6.5秒后盛水筒P恰好在直線MN上14．【答案】（1）解：由題意得，y＝﹣，∴A（0，3），∴tan∠ABC＝，∵CD∥AB，∴tan∠BCD＝tan∠ABC＝，設(shè)點D（m，﹣），∴，∴m＝﹣4，∴y＝﹣＝﹣5，∴D（﹣4，﹣5）（2）解：如圖1，設(shè)G（t，﹣），P（t，），則PD＝2（yP﹣yD）＝2∴GP+DP＝﹣t2﹣t+10，∴當t＝﹣時，GP+DP最大，∴，∴P作點P關(guān)于AB的對稱點P'，PP'交AB于V，作P'W⊥PG于W，∴∠IP'P＝∠IPP'＝30°，∴∠P'IW＝60°，∵tan∠ACB＝，∴∠ACB＝60°，∴∠BAC＝90°，∴P'V＝PV＝AC＝2OC＝2，∴PP'＝4，∴P'W＝∵﹣∴P'（﹣），∵∠ACD＝∠ACB+∠BCP＝60°+30°＝90°，點M是KL的中點，∴CM＝1，∴點M在以C為圓心，1為半徑的圓上運動，連接CP'，交AB于R，交⊙C于M，此時BP+RM最小，∵CP'＝∴BP+RM的最小值為：；（3）解：如圖2，∵OB＝3，OE：OB＝4：9，∴OE＝4，∴E（﹣4，0），F(xiàn)（﹣4，﹣6，），H（0，﹣3），點A、H繞點E，F(xiàn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°分別至X，Y，及S，T，∴X（﹣7，4），Y（﹣13，﹣2），S（﹣1，4），T（﹣7，﹣2），∴XY的解