北師版八上數(shù)學專題5 一次函數(shù)中的綜合問題（課件）

第四章一次函數(shù)專題5一次函數(shù)中的綜合問題數(shù)學八年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS

◎問題綜述一次函數(shù)的綜合問題，常常涉及三角形全等、三角形存在

性問題、相交型圖象信息問題等.在遇到這些問題時，關鍵是要

認真審題，理清題意，熟練運用一次函數(shù)的知識正確解答.◎要點歸納1.

一次函數(shù)與三角形全等中“三垂直”模型相結合.右圖為

“三垂直”全等模型，其中△

ABC

為等腰直角三角形，

AE

⊥

EC

，

BF

⊥

CF

，

E

，

C

，

F

三點共線，則有△

ACE

≌△

CBF

.

在與一次函數(shù)的綜合題中需要作垂線構造全等三角形.2.

一次函數(shù)中的三角形存在性問題的解題步驟.（1）找點：利用尺規(guī)作圖確定點的位置；（2）求點：利用等量關系或聯(lián)立函數(shù)表達式，直角三角形需要

根據(jù)直角頂點分類討論，再由等腰直角三角形的特殊性，利用

勾股定理或構造全等三角形求解；（3）定點：依據(jù)題意確定符合要求的點的坐標.3.

相交型圖象信息問題.若兩個一次函數(shù)

y1與

y2的圖象的交點坐標為（

x0，

y0），則當

x

＝

x0時，函數(shù)值

y1＝

y2＝

y0；當函數(shù)值

y

＝

y0時，自變量的值

x1

＝

x2＝

x0.數(shù)學八年級上冊BS版02典例講練

類型一

一次函數(shù)中的三角形全等問題

如圖，已知一次函數(shù)

y

＝－2

x

＋2的圖象與

y

軸交于點

A

，

與

x

軸交于點

B

，過點

B

作線段

BC

⊥

AB

且

BC

＝

AB

，直線

AC

交

x

軸于點

D

.

（2）若點

Q

是圖中坐標平面內(nèi)不同于點

B

，

C

的一點，當以點

B

，

D

，

Q

為頂點的三角形與△

BCD

全等時，直接寫出點

Q

的

坐標.（1）求點

A

，

B

，

C

的坐標和直線

AC

的函數(shù)表達式；【思路導航】（1）過點

C

作

CM

⊥

x

軸于點

M

，得到△

AOB

≌△

BMC

，推出點

C

的坐標，再利用待定系數(shù)法求得直線

AC

的函數(shù)表達式；（2）以點

B

，

D

，

Q

為頂點的三角形與△

BCD

全等時，分情況討論求出點

Q

的坐標.（1）解：把

x

＝0代入

y

＝－2

x

＋2中，得

y

＝2.所以點

A

的坐標為（0，2）.把

y

＝0代入

y

＝－2

x

＋2，得－2

x

＋2＝0，解得

x

＝1.所以點

B

的坐標為（1，0）.如圖1，過點

C

作

CM

⊥

x

軸于點

M

，圖1圖1所以∠

AOB

＝∠

BMC

＝90°.因為

AB

⊥

BC

，所以∠

ABC

＝90°.所以∠

ABO

＋∠

MBC

＝90°.所以∠

OAB

＝∠

MBC

.

所以△

AOB

≌△

BMC

（AAS）.所以

BM

＝

OA

＝2，

CM

＝

OB

＝1.所以

OM

＝3.所以點

C

的坐標為（3，1）.設直線

AC

的函數(shù)表達式為

y

＝

kx

＋

b

（

k

≠0）.

因為∠

ABO

＋∠

OAB

＝90°，

（2）點

Q

的坐標為（3，－1），（4，－1）或（4，1）.【解析】如圖2，以點

B

，

D

，

Q

為頂點的三角形與△

BCD

全等時，點

Q

有三種情形.由圖形的全等，知點

Q1與點

C

關于

x

軸對稱.故點

Q1（3，－1）；由直線

AC

，知

D

（60），點

C

與點

Q3關于

BD

的中垂線對稱，故點

Q3（4，1）；點

Q2和點

Q3關于

x

軸對稱，故點

Q2（4，－1）.故點

Q

的坐標為（3，－1），（4，－1）或（4，1）.圖2【點撥】在解答一次函數(shù)與三角形的綜合性問題時，常會用到

三角形全等中的常見模型，例如本題中用到的“三垂直”模

型，也常常會利用軸對稱的知識去解題.

如圖，在平面直角坐標系中，已知直線

y

＝

kx

＋

b

與

x

軸交于點

A

，與

y

軸交于點

B

（0，6），與直線

y

＝2

x

交于點

C

（

a

，

4）.（1）求點

C

的坐標及直線

AB

的函數(shù)表達式.（2）若點

E

的坐標是（4，0），過點

E

作直線

l

⊥

x

軸，交直線

y

＝2

x

于點

F

，交直線

y

＝

kx

＋

b

于點

G

.

①求△

CGF

的面積.②直線

l

上是否存在點

P

，使

OP

＋

BP

的值最??？若存在，直接

寫出點

P

的坐標；若不存在，說明理由.（3）若點

E

是

x

軸上的一個動點，點

E

的橫坐標為

m

（

m

＞

0），當點

E

在

x

軸上運動時，當

m

取何值時，直線

l

上存在點

Q

，使得以點

A

，

C

，

Q

為頂點的三角形與△

AOC

全等？請直

接寫出相應的

m

的值.

備用圖解：（1）將點

C

（

a

，4）代入

y

＝2

x

，可得

a

＝2，所以點

C

的坐標為（2，4）.將點

B

（0，6），點

C

（2，4）代入

y

＝

kx

＋

b

，可得

b

＝6，2

k

＋

b

＝4，所以

k

＝－1.所以直線

AB

的函數(shù)表達式為

y

＝－

x

＋6.（2）①因為直線

l

⊥

x

軸，點

E

，

F

，

G

都在直線

l

上，且點

E

的

坐標為（4，0），所以點

F

，

G

的橫坐標均為4.設點

F

（4，

y1），

G

（4，

y2），分別代入

y

＝2

x

和

y

＝－

x

＋

6，可得

y1＝8，

y2＝2，所以

F

（4，8），

G

（4，2）.所以

FE

＝8，

GE

＝2.所以

FG

＝6.圖1如圖1，過點

C

作

CH

⊥

FG

于點

H

.

因為

C

（2，4），

E

（4，0），所以

CH

＝4－2＝2.

圖1②存在點

P

（4，3），使得

BP

＋

OP

的值最小.理由如下：如圖2，設點

O

關于直線

l

的對稱點為

D

（8，0），連接

BD

.

設直線

BD

的函數(shù)表達式為

y

＝

mx

＋

n

（

m

≠0）.圖2圖2將點

B

（0，6），

D

（8，0）代入

y

＝

mx

＋

n

，可得

n

＝6，8

m

＋

n

＝0.

因為點

P

在直線

l

：

x

＝4上，令

x

＝4，則

y

＝3，所以點

P

的坐標為（4，3）.（3）

m

的值為2，6或8.理由如下：因為直線

AB

的函數(shù)表達式為

y

＝－

x

＋6，所以

A

（6，0）.分三種情況討論：①如圖3，當△

OAC

≌△

QCA

，點

Q

在第四象限時，則∠

ECA

＝∠

EAC

.

所以

AE

＝

CE

＝4，

OE

＝6－4＝2.所以

m

＝2；圖3②如圖4，當△

ACO

≌△

ACQ

，點

Q

在第一象限時，因為

A

（6，0），

B

（0，6），所以

OA

＝

OB

.

所以∠

OAC

＝∠

OBC

＝45°.圖4因為△

ACO

≌△

ACQ

，所以∠

OAC

＝∠

QAC

＝45°.所以∠

OAQ

＝90°.所以點

E

與點

A

重合.所以

OE

＝

AO

＝6.所以

m

＝6；③如圖5，當△

ACO

≌△

CAQ

，點

Q

在第一象限時，圖5∠

ACO

＝∠

CAQ

，∠

CAO

＝∠

ACQ

.

所以

CQ

＝

AO

＝6.易得

AE

＝2，所以

OE

＝8.圖5所以

m

＝8.綜上所述，

m

的值為2或6或8.類型二

一次函數(shù)與三角形的存在性問題

如圖，已知四邊形

ABCO

是長方形，

O

為坐標原點，點

B

的

坐標為（8，6），點

A

，

C

都在坐標軸上，

P

是線段

BC

上的一

動點，

PC

＝

m

.直線

y

＝2

x

＋6向右平移6個單位長度后，在該

直線上是否存在點

G

，使△

APG

是等腰直角三角形？若存在，

請求出點

G

的坐標；若不存在，請說明理由.解：存在點

G

，使△

APG

是等腰直角三角形.理由如下：直線

y

＝2

x

＋6向右平移6個單位長度后的函數(shù)表達式為

y

＝2（

x

－6）＋6＝2

x

－6.如圖1，當∠

AGP

（

B

）＝90°，

AG

＝

PG

時，易得點

G

的坐標

為（4，2），且在直線

y

＝2

x

－6上；圖1【思路導航】利用平移的規(guī)律求出

y

＝2

x

＋6向右平移后的函數(shù)

表達式，再分三種情況討論，求出每種情況下點

G

的坐標即可.

圖2

圖3圖3【點撥】等腰直角三角形的存在性問題要抓住腰相等，然后構

造全等三角形解決問題.

解：（1）經(jīng)過.因為

y

＝

kx

＋2

k

，所以

y

＝

k

（

x

＋2）.所以當

x

＝－2時，

y

＝0.所以直線

l2經(jīng)過定點（－2，0）.（1）直線

l2是否經(jīng)過

x

軸上一定點？若經(jīng)過，求該定點的坐

標；若不經(jīng)過，請說明理由.（2）過點

M

（0，6）作平行于

x

軸的直線

l3，點

Q

為直線

l3上的一個動點，當△

QAB

是不以點

A

為頂角頂點的等腰三角形時，求點

Q

的坐標.

所以點

B

的坐標為（0，3），點

A

的坐標為（6，0）.如圖，設點

Q

的坐標為（

n

，6）.

類型三

相交型圖象信息問題

甲、乙兩個工程隊同時挖掘兩段長度相等的隧道，甲、乙

兩隊挖掘隧道長度

y

（m）與挖掘時間

x

（天）之間關系的部分

圖象如圖所示.請解答下列問題：（1）在前2天的挖掘中，甲隊的挖掘速度為

m/天，乙隊

的挖掘速度為

m/天.（2）①當2＜

x

＜6時，求

y乙與

x

之間的函數(shù)表達式；②開挖幾天后，兩工程隊挖掘的隧道長度相差5

m？【思路導航】（1）利用“速度＝路程÷時間”分別列式計算即

可；（2）①利用待定系數(shù)法即可求得；②求出甲隊的函數(shù)表達

式，再根據(jù)

y甲－

y乙＝5或

y乙－

y甲＝5，列出方程求解即可.10

15

（1）【解析】甲隊挖掘速度：60÷6＝10（m/天），乙隊前2天

挖掘速度：30÷2＝15（m/天）.故答案為10，15.（2）解：①當2＜

x

＜6時，設

y乙＝

kx

＋

b

（

k

≠0）.根據(jù)圖象，得2

k

＋

b

＝30，6

k

＋

b

＝50，解得

k

＝5，

b

＝20.所以當2＜

x

＜6時，

y乙＝5

x

＋20.②由題可得，當0≤

x

≤2時，

y乙＝15

x

；當2＜

x

≤6時，

y乙＝5

x

＋20.當0≤

x

≤6時，

y甲＝10

x

.由10

x

＝5

x

＋20，解得

x

＝4.當0≤

x

≤2時，15

x

－10

x

＝5，解得

x

＝1；當2＜

x

≤4時，（5

x

＋20）－10

x

＝5，解得

x

＝3；當4＜

x

≤6時，10

x

－（5

x

＋20）＝5，解得

x

＝5.故挖掘1天或3天或5天后，兩工程隊挖掘的隧道長度相差5

m.【點撥】特別注意分段函數(shù)的圖象和自變量的取值范圍，不同

的取值范圍內(nèi)，對應不同的圖象.

1.

如圖，

l1表示某機床公司一天的銷售收入與銷售量的關

系，

l2表示該公司一天的銷售成本與銷售量的關系.有以下四

個結論：①

l1對應的函數(shù)表達式是

y

＝

x

；②

l2對應的函數(shù)表達式是

y

＝

x