《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)　全稱量詞與存在量詞

第一章

第3節(jié)全稱量詞與存在量詞知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎(chǔ)回扣知識1知識梳理///////1.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”、“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“

”表示.(2)存在量詞：短語“存在一個”、“至少有一個”等在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“

”表示.??2.全稱命題和特稱命題名稱全稱命題特稱命題結(jié)構(gòu)對M中的任意一個x，有p(x)成立存在M中的一個x0，使p(x0)成立簡記?x0∈M，p(x0)否定?x0∈M，綈p(x0)?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)1.含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.2.對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其否定.3.命題p和綈p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可判斷此命題的否定的真假.1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)至少有一個三角形的內(nèi)角和為π是全稱命題. (

) (2)“全等三角形的面積相等”是特稱命題. (

) (3)寫特稱命題的否定時，存在量詞變?yōu)槿Q量詞. (

) (4)“長方形的對角線相等”是特稱命題. (

)×××√2.命題：“?x0∈R，x－ax0＋1<0”的否定為

.

解析

當(dāng)a＝0時，f(x)＝x2(x≠0)為偶函數(shù).?x∈R，x2－ax＋1≥0

真AC解析

由條件可知：原命題應(yīng)為特稱命題且為假命題，所以排除BD；所以AC均為特稱命題且為假命題，故選AC.∴x的取值為負數(shù)即可，例如x＝－1.－1(任意負數(shù))∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1].(－∞，－1]考點分層突破題型剖析考點聚焦21.已知命題p：“?x0∈R，ex0－x0－1≤0”，則綈p為 (

) A.?x0∈R，ex0－x0－1≥0 B.?x0∈R，ex0－x0－1＞0 C.?x∈R，ex－x－1＞0 D.?x∈R，ex－x－1≥0

解析

根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，可得綈p為“?x∈R，ex－x－1＞0”，故選C.考點一含有一個量詞的命題的否定///////自主演練C2.(2021·青島模擬)設(shè)命題p：所有正方形都是平行四邊形，則綈p為 (

) A.所有正方形都不是平行四邊形

B.有的平行四邊形不是正方形

C.有的正方形不是平行四邊形

D.不是正方形的四邊形不是平行四邊形 解析

“所有”改為“存在”(或“有的”)，“都是”改為“不都是”(或“不是”)，即綈p為有的正方形不是平行四邊形.C3.(2021·山東重點高中聯(lián)考)已知集合A是奇函數(shù)集，B是偶函數(shù)集.若命題p：?f(x)∈A，|f(x)|∈B，則綈p為 (

) A.?f(x)∈A，|f(x)|?B

B.?f(x)?A，|f(x)|?B C.?f(x)∈A，|f(x)|?B

D.?f(x)?A，|f(x)|?B

解析

全稱命題的否定為特稱命題：改寫量詞，否定結(jié)論. ∴綈p：?f(x)∈A，|f(x)|?B.C否定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論.感悟升華考點二全稱命題、特稱命題的真假判斷///////師生共研B.?x0∈(0，1)，log

x0＞log

x0BD故B是真命題；故C是假命題；故D是真命題.【例1】(2)以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是 (

) A.銳角三角形有一個內(nèi)角是鈍角

B.至少有一個實數(shù)x，使x2≤0 C.兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)

D.存在一個負數(shù)x，使＞2

解析A中銳角三角形的內(nèi)角都是銳角， 所以A是假命題；

B中當(dāng)x＝0時，x2＝0，滿足x2≤0， 所以B既是特稱命題又是真命題；B所以D是假命題.所以C是假命題；判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可.感悟升華【訓(xùn)練1】(1)(多選題)下列命題中是真命題的有 (

) A.?x∈R，2x－1＞0 B.?x∈N*，(x－1)2＞0 C.?x0∈R，lgx0＜1 D.?x0∈R，tanx0＝2

解析

當(dāng)x＝1時，(x－1)2＝0，故B為假命題，其余都是真命題，故選ACD.ACD【訓(xùn)練1】(2)已知定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是(

) A.?x∈R，f(－x)≠f(x) B.?x∈R，f(－x)≠－f(x) C.?x0∈R，f(－x0)≠f(x0) D.?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)

解析

∵定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，

∴?x∈R，f(－x)＝f(x)為假命題，

∴?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)為真命題.C【例2】(1)已知命題p：?x∈R，x2－a≥0；命題q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命題p，q都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為

.

解析

由命題p為真，得a≤0， 由命題q為真， 得Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 即a≤－2或a≥1， 所以a≤－2.考點三由命題的真假求參數(shù)的取值范圍///////師生共研(－∞，－2]解析

當(dāng)x∈[0，3]時，f(x)min＝f(0)＝0，由f(x)min≥g(x)min，(1)已知命題的真假，可根據(jù)每個命題的真假利用集合的運算求解參數(shù)的取值范圍.(2)對于含量詞的命題中求參數(shù)的取值范圍的問題，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)值域(或最值)解決.感悟升華1∴實數(shù)m的最大值為1.【訓(xùn)練2】(2)(2020·濰坊調(diào)研)若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，?x1∈[－1，2]，?x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)，則實數(shù)a的取值范圍是________.

解析

由于函數(shù)g(x)在定義域[－1，2]內(nèi)是任意取值的， 且必存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)， 因此問題等價于函數(shù)g(x)的值域是函數(shù)f(x)值域的子集.

函數(shù)f(x)的值域是[－1，3]， 因為a＞0， 所以函數(shù)g(x)的值域是[2－a，2＋2a]， 則有2－a≥－1且2＋2a≤3，課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3一、選擇題C2.(多選題)(2020·重慶質(zhì)檢)下列命題中是真命題的有 (

) A.?x0∈R，log2x0＝0 B.?x0∈R，cosx0＝1 C.?x∈R，x2＞0 D.?x∈R，2x＞0

解析因為log21＝0，cos0＝1， 所以選項A，B均為真命題；

02＝0，選項C為假命題；

2x＞0，選項D為真命題.ABD3.下列命題是真命題的為 (

) A.所有的素數(shù)都是奇數(shù)

B.?x∈R，x2＋1≥0 C.對于每一個無理數(shù)x，x2是有理數(shù)

D.?x∈Z，?ZB4.已知命題p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，則綈p是 (

) A.?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 B.?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 C.?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0 D.?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0

解析

已知全稱命題p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0， 則綈p：?x1，

x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0， 故選C.

C5.(多選題)(2021·煙臺調(diào)研)下列四個命題中是真命題的有 (

) A.任意x∈R，3x>0 B.存在x∈R，x2＋x＋1≤0 C.任意x∈R，sinx<2x D.存在x∈R，cosx>x2＋x＋1

解析

?x∈R，3x>0恒成立，A是真命題. ∴B是假命題.ADD7.已知函數(shù)f(x)＝x，則 (

) A.?x0∈R，f(x0)＜0 B.?x∈(0，＋∞)，f(x)≥0 D.?x1∈[0，＋∞)，?x2∈[0，＋∞)，f(x1)＞f(x2)

解析

冪函數(shù)f(x)＝x

的值域為[0，＋∞)， 且在定義域上單調(diào)遞增， 故A錯誤，B正確，C錯誤；D選項中當(dāng)x1＝0，結(jié)論不成立.BC此時sinx－tanx<0，故命題p為真命題.由于命題p為特稱命題，所以命題p的否定為全稱命題，二、填空題9.命題“?x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是

.10.下列命題中的假命題是________(填序號). ①?x0∈R，lgx0＝1；②?x0∈R，sinx0＝0；③?x∈R，x3＞0； ④?x1＞x2，2x1＞2x2.

解析

當(dāng)x＝10時，lg10＝1，則①為真命題； 當(dāng)x＝0時，sin0＝0，則②為真命題； 當(dāng)x＜0時，x3＜0，則③為假命題； 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，?x1＞x2，2x1＞2x2，則④為真命題.③1∴m的最小值為1.12.能說明“若f(x)>f(0)對任意的x∈(0，2]都成立，則f(x)在[0，2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是

.

解析根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的概念，只要找到一個定義域為[0，2]的不單調(diào)函數(shù)，滿足在定義