中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)名校模擬題重要考點(diǎn)分類匯專題05作圖題加補(bǔ)全證明過程(原卷版+解析)

二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】2022-2023年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類匯編專題05——作圖題加補(bǔ)全證明過程（重慶專用）1．（2023春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線BD，AE⊥BC交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)G．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)C作AD的垂線，交AD于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)H；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖形中，求證：BG=DH．（請補(bǔ)全下面的證明過程）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC∴∠ADB=______①______∵CF⊥AD∴∠AFC=90°∵AE⊥BC∴∠AEC=90°∵_(dá)_____②______∴∠GAD=∠AEC=90°，∠HCB=∠AFC=90°．即______③______∴△BCH≌△DAG∴______④______∴BH?GH=DG?GH∴BG=DH．2．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？奸_學(xué)考試）四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)O作AC的垂線，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)在（1）問所作的圖形中，連接AF，CE，求證：四邊形AFCE為菱形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形∴______①______，OA=OC，OB=OD∴∠ADO=∠CBO在△DEO和△BFO中∠ADO=∠CBO∴△DEO≌△BFO∴______③______∵OA=OC∴四邊形AFCE為平行四邊形∵_(dá)_____④______∴平行四邊形AFCE為菱形3．（2023春·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD于E．(1)尺規(guī)作圖：在邊BC上截取BG=AD，過點(diǎn)G作對角線BD的垂線，交BD于點(diǎn)F．（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)連接DG，證明△AEB≌△GFD．請將下面證明過程補(bǔ)充完整．證明：∵AD∥BC，①∴四邊形ABGD是平行四邊形∴AB∥GD，②∴③∵AE⊥BD，GF⊥BD∴∠AEB=∠GFD=90°在△ABE和△GDF中④∴△AEB≌△GFD4．（2023春·重慶九龍坡·九年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知四邊形ABCD為菱形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，射線CP∥(1)尺規(guī)作圖：以BC為一邊，在菱形ABCD外部作∠CBE=∠ACB，射線BE交射線CP于點(diǎn)E，連接OE．（只保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）；(2)求證：BC=OE．（請補(bǔ)全下面的證明過程）證明：∵∠CBE=∠ACB，∴①，又∵CP∥DB∴四邊形BECO為②，又∵四邊形ABCD為菱形，∴③，∴∠BOC=90°∴④，∴BC=OE5．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCF中，AF∥BC，連接AC，BF，且(1)用直尺和圓規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)A作∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，交BF于點(diǎn)E；（保留作圖痕跡，不寫作法和結(jié)論）(2)在（1）所作圖形中，若AE=DE，求證：四邊形ADCF為矩形．（補(bǔ)全證明過程）證明：∵①，∴∠AFB=∠CBF，在△AEF和△DEB中，∠AFB=∠CBF∴△AEF≌△DEB∴②，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴③，且AD⊥BC∴AF=BD=CD，∠ADC=90°，又∵AF∴④．∵∠ADC=90°，∴平行四邊形ADCF為矩形．6．（2023秋·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，連接對角線BD，AE平分∠BAD分別交BC、BD于點(diǎn)E、F．(1)尺規(guī)作圖：作∠BCD的角平分線，交AD于點(diǎn)H，交BD的于點(diǎn)G．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）問的條件下，求證：BF=DG．證明：四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，①∴∠ABD=∠CDB，∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，∴②，∠DCH=1∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴③∴∠BAE=∠DCH，在△ABF和△CDG中，∠ABD=∠CDB④∴△ABF≌∴BF=DG7．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谀┤鐖D．四邊形ABCD是平行四邊形．(1)尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作出∠ADC的角平分線DE，交BC于點(diǎn)E；在線段AD上截取DF=DC，連接EF；(2)在（1）所作圖中，請證明四邊形CDFE是菱形．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴______，∴∠ADE=∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE∴∠DEC=______∴DC=______，∵DC=DF，∴CE=DF，而CE∥∴四邊形CDFE為______∵DC=DF，∴四邊形CDFE為菱形．8．（2023秋·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中校考期末）如圖．四邊形ABCD是平行四邊形．(1)尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作出∠ADC的角平分線DE，交BC于點(diǎn)E；在線段AD上截取DF=DC，連接EF；(2)在（1）所作圖中，請證明四邊形CDFE是菱形．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴____________，∴∠ADE=∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE∴∠DEC=______∴DC=______，∵DC=DF，∴CE=DF，而CE∥FD，∴四邊形CDFE為菱形．9．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，射線BM∥AC(1)在原圖上用尺規(guī)完成以下基本作圖：在射線BM上截取線段BD，使BD=AC，連接CD；作∠BAC的平分線交CD于點(diǎn)E.（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)小明在（1）所作的圖形中，連接BE后發(fā)現(xiàn)∠BEA=90°，并給出了以下證明，請你將他的證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠BAC=60°，AB=2AC∵_(dá)_____①∴∠BAE=∠CAE=∵BM∥AC，BD=AC∴四邊形ABDC是平行四邊形∴AB=CD，∠BDC=∠BAC=60°，______②∴∠AEC=∠BAE=30°∴CE=AC=∴DE=CE=BD又∵_(dá)_____③∴△BDE為等邊三角形∴______④∴∠BEA=180°?∠AEC?∠BED=90°10．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB>AD，點(diǎn)M在DC上，連接AM，AM=AB．(1)過點(diǎn)B作BN⊥AM，垂足為N（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法和結(jié)論，保留作圖痕跡）；(2)根據(jù)（1）中作圖，求證MN=MC．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB∥CD∵BN⊥AM∴∠ANB=①∴∠ADC=∠ANB∵AB∴∠NAB=∠AMD在△BNA與△ADM中∠NAB=∠AMD∠ANB=∠ADM∴△BNA≌②∴AN=DM∵AB=AM，AB=CD∴AM=CD∴AM?AN=③-④∴MN=MC11．（2022秋·重慶·九年級重慶一中校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，連接CE．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在矩形內(nèi)部作∠FAB=∠DCE交BC于點(diǎn)F（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）．(2)在（1）所作的圖形中，求證：四邊形AFCE是平行四邊形（請補(bǔ)全下面的證明過程，除題目給的字母外，不添加其它字母或者符號）．（2）證明：∵四邊形ABCD為矩形∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠D=①∵∠BAF=∠ECD∴△ABF≌②∴AF=CE，BF=DE∴BC?③=AD?DE即CF=④又∵AF=CE∴四邊形AFCE是平行四邊形．12．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在對角線BD上，連接AE．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BCF，使∠BCF=∠DAE，CF與對角線BD交于點(diǎn)F，連接AF，CE．（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)根據(jù)（1）中作圖，求證：四邊形AECF為平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AD∥BC，___________①∴___________②___________在△AED與△CFB中

∵∠DAE=∠BCFAD=BC∴△AED≌∴AE=CF，___________③___________∴180°?∠AED=180°?∠CFB

即∠AEF=∠CFE

∴___________④___________∴四邊形AECF為平行四邊形13．（2022·重慶·重慶八中校考模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，BA⊥AD，點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)，連接BE．(1)在線段BC上求作一點(diǎn)F，使得∠FDC＝∠ABE（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖中，證明：四邊形BFDE為平行四邊形的結(jié)論．解：（2）證明：在平行四邊形ABCD中，∵BA⊥AD∴∴四邊形ABCD是矩形∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC在△ABE和△CDF{∴△ABE≌△CDF（ASA）∴，BE＝DF．∴AD﹣AE＝CB﹣CF∴∴四邊形BFDE為平行四邊形（兩邊分別相等的四邊形為平行四邊形）14．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，連接AC,BD交于點(diǎn)O，∠ADO的平分線DE交AC于點(diǎn)E．(1)尺規(guī)作圖：作∠CBD的角平分線交AC于點(diǎn)F，連接BE,DF；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)求證：四邊形BEDF是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是矩形∴BO=DO，AD∴∵DE平分∠ADO，BF平分∠CBO∴∠EDO=∴∵在△EDO和△FBO中∠EDO=∠FBODO=BO∴∴又∵BO=DO∴四邊形BEDF是平行四邊形15．（2022秋·重慶·九年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，連接AD．(1)尺規(guī)作圖：在BC下方作射線BF，使得∠CBF=∠C，且射線BF交AD的延長線于點(diǎn)E（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖中，連接CE，若CE=AC，求證：四邊形ABEC是菱形．（請補(bǔ)全下面的證明過程）證明：∵點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，∴DC=DB，在△ADC和△EDB中，∠ACD=∠EBDDC=DB∴△ADC≌______ASA∴AC=______，∵∠CBF=∠ACB，∴AC∥∴四邊形ABEC是平行四邊形．又∵_(dá)_____，∴平行四邊形ABEC是菱形．16．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中AD＞AB．(1)尺規(guī)作圖：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分線交BC于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作圖形中，連接BE，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．（請補(bǔ)全下面的證明過程，不寫證明理由）．證明：∵DF平分∠ADC，∴∵在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，∴∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即又∵∴四邊形BEDF是平行四邊形．17．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交對角線BD于點(diǎn)E．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BCD的平分線，交對角線BD于點(diǎn)F；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖形中，求證：BE=DF．（請補(bǔ)全下面的證明過程，除題目給的字母外，不添加其它字母或者符號）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，①__________，∴∠ABE=∠CDF∵AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB∴∠BAE=12∠BAD，②∵四邊形ABCD是平行四邊形∴③_______________∴∠BAE=∠DCF在△ABE與△CDF中∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（ASA）∴BE=DF18．（2022春·重慶沙坪壩·九年級重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖，在直線CB下方作∠CBE=∠ADC，E為BE與CA延長線的交點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，取BE中點(diǎn)F，連接AF，若BC=BE，求證：四邊形ADBF是菱形．證明：∵∠CBE=∠ADC∴AD∥∴∵D為BC邊上的中點(diǎn)∴A為CE邊上的中點(diǎn)∴AD為△BCE的中位線∴AD=__________∵F為BE中點(diǎn)∴BF=∴BF=AD∴四邊形ADBF為__________又∵D為BC邊上的中點(diǎn)∴BD=∵_(dá)___________________∴BF=BD∴四邊形ADBF是菱形．19．（2023秋·重慶大渡口·九年級重慶市第九十五初級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC=2AB．(1)尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)E；作線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G；連接BG，CG（不寫做法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，證明：AB⊥BG．證明：∵GF垂直平分線段AC，AC=2AB∴∠AFG=90°，①∵AD平分∠BAC，∴②，∵在Rt△ABG和Rt△AFG中AB=AF∴△ABG≌∴④，∴AB⊥BG．20．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？奸_學(xué)考試）如圖，線段AD是△ABC的角平分線．(1)尺規(guī)作圖：作線段AD的垂直平分線分別交AB,AD,AC于點(diǎn)E，O，F(xiàn)；（保留痕跡，不寫作法）(2)在（1）所作的圖中，連接DE,DF，求證：四邊形AEDF是菱形．（請補(bǔ)全下面的證明過程）證明：∵EF是線段AD的垂直平分線，∴AE=①______，AF=②_______，∵AD⊥EF，∴∠AOE=∠AOF=90°，∵線段AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=③________，∵∠AEF=90°?∠BAD,∠AFE=90°?∠CAD，∴④______=∠AFE，∴AE=⑤______，∴AE=AF=DF=DE，∴四邊形AEDF是菱形．二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】2022-2023年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類匯編專題05——作圖題加補(bǔ)全證明過程（重慶專用）1．（2023春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線BD，AE⊥BC交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)G．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)C作AD的垂線，交AD于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)H；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖形中，求證：BG=DH．（請補(bǔ)全下面的證明過程）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC∴∠ADB=______①______∵CF⊥AD∴∠AFC=90°∵AE⊥BC∴∠AEC=90°∵_(dá)_____②______∴∠GAD=∠AEC=90°，∠HCB=∠AFC=90°．即______③______∴△BCH≌△DAG∴______④______∴BH?GH=DG?GH∴BG=DH．【答案】(1)見解析；(2)①∠CBD；②AD∥BC；③∠GAD【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC，由CF⊥AD，AE⊥BC及AD∥【詳解】（1）解：如圖，CF即為所求；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC∴∠ADB∵CF∴∠∵AE∴∠∵AD∥∴∠GAD=∠AEC即∠GAD∴△∴BH=∴BH∴BG=故答案為：①∠CBD；②AD∥BC；③∠GAD【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——尺規(guī)作圖（作垂線）：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)．2．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考開學(xué)考試）四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)O作AC的垂線，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)在（1）問所作的圖形中，連接AF，CE，求證：四邊形AFCE為菱形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形∴______①______，OA=OC，OB=OD∴∠ADO=∠CBO在△DEO和△BFO中∠ADO=∠CBO∴△DEO≌△BFO∴______③______∵OA=OC∴四邊形AFCE為平行四邊形∵_(dá)_____④______∴平行四邊形AFCE為菱形【答案】(1)見解析；(2)AD∥BC，∠DOE=∠BOF【分析】（1）分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，連接MO，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則直線（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△DEO≌△BFOASA，可得OE=OF【詳解】（1）解：如圖，直線EF即為所求．（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，OA=∴∠ADO在△DEO和△∠ADO∴△DEO∴OE=∵OA=∴四邊形AFCE為平行四邊形，∵EF⊥∴平行四邊形AFCE為菱形，故答案為：AD∥BC，∠DOE=∠BOF【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作線段垂直平分線、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識，熟練掌握5種基本作圖的步驟是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD于E．(1)尺規(guī)作圖：在邊BC上截取BG=AD，過點(diǎn)G作對角線BD的垂線，交BD于點(diǎn)F．（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)連接DG，證明△AEB≌△GFD．請將下面證明過程補(bǔ)充完整．證明：∵AD∥BC，①∴四邊形ABGD是平行四邊形∴AB∥GD，②∴③∵AE⊥BD，GF⊥BD∴∠AEB=∠GFD=90°在△ABE和△GDF中④∴△AEB≌△GFD【答案】(1)見解析；(2)BG=AD，AB=GD，【分析】（1）先在邊BC上截取BG=AD，利用基本作圖作GF⊥BD得到GF，然后連接GF即可；（2）根據(jù)已知條件依次寫出相應(yīng)的解答過程即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）證明：∵AD∥BC，∴四邊形ABGD是平行四邊形∴AB∥GD∴∠∵AE⊥BD∴∠在△ABE和△∠∴△AEB故答案為：BG=AD，AB=GD，【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)．4．（2023春·重慶九龍坡·九年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知四邊形ABCD為菱形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，射線CP∥(1)尺規(guī)作圖：以BC為一邊，在菱形ABCD外部作∠CBE=∠ACB，射線BE交射線CP于點(diǎn)E，連接OE．（只保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）；(2)求證：BC=OE．（請補(bǔ)全下面的證明過程）證明：∵∠CBE=∠ACB，∴①，又∵CP∥DB∴四邊形BECO為②，又∵四邊形ABCD為菱形，∴③，∴∠BOC=90°∴④，∴BC=OE【答案】(1)見解析(2)①OC∥BE；②平行四邊形；③AC⊥BD；【分析】（1）按照作與已知角相等的角的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）先證明OC∥BE，進(jìn)而證明四邊形BECO為平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠BOC=90°即可證明四邊形BECO是矩形，進(jìn)而證明BC=OE．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：∵∠CBE∴OC∥又∵CP∥DB∴四邊形BECO為平行四邊形，又∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥∴∠∴四邊形BECO是矩形，∴BC=故答案為：①OC∥BE；②平行四邊形；③AC⊥BD；【點(diǎn)睛】本題主要考查了作與已知角相等的角的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCF中，AF∥BC，連接AC，BF，且(1)用直尺和圓規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)A作∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，交BF于點(diǎn)E；（保留作圖痕跡，不寫作法和結(jié)論）(2)在（1）所作圖形中，若AE=DE，求證：四邊形ADCF為矩形．（補(bǔ)全證明過程）證明：∵①，∴∠AFB=∠CBF，在△AEF和△DEB中，∠AFB=∠CBF∴△AEF≌△DEB∴②，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴③，且AD⊥BC∴AF=BD=CD，∠ADC=90°，又∵AF∴④．∵∠ADC=90°，∴平行四邊形ADCF為矩形．【答案】(1)見解析(2)AF∥BC；BD=AF；【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法作出∠BAC的角平分線即可；（2）根據(jù)“AAS”證明△AEF≌△DEB得BD=AF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD【詳解】（1）如圖，AD即為所作，（2）證明：∵AF∥BC∴∠AFB在△AEF和△∠∴△∴BD=AF∵AB=AC，AD平分∴BD=CD∴AF=BD=又∵AF∴四邊形ADCF為平行四邊形．∵∠ADC∴平行四邊形ADCF為矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖，平行四邊形的判定以及矩形的判定，熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023秋·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，連接對角線BD，AE平分∠BAD分別交BC、BD于點(diǎn)E、F．(1)尺規(guī)作圖：作∠BCD的角平分線，交AD于點(diǎn)H，交BD的于點(diǎn)G．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）問的條件下，求證：BF=DG．證明：四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，①∴∠ABD=∠CDB，∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，∴②，∠DCH=1∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴③∴∠BAE=∠DCH，在△ABF和△CDG中，∠ABD=∠CDB④∴△ABF≌∴BF=DG【答案】(1)作圖見詳解(2)AB∥CD，∠BAF=【分析】（1）以點(diǎn)C為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交BC，DC于點(diǎn)M，N，連接MN，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于12MN為半徑畫弧，交于點(diǎn)P，連接CP，交AD于點(diǎn)H，交BD的于點(diǎn)（2）平行四邊形ABCD中，可知AB=CD，AB∥CD，AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，【詳解】（1）解：如圖所示，∴CH為∠BCD（2）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∴∠ABD∵AE平分∠BAD，CH平分∠∴∠BAF=1∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠BAD∴∠BAE在△ABF和△CDG△∠ABD∴△ABF∴BF=故答案為：①AB∥CD；②∠BAF=12∠【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作角平分線，三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握角平分線的畫法，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考期末）如圖．四邊形ABCD是平行四邊形．(1)尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作出∠ADC的角平分線DE，交BC于點(diǎn)E；在線段AD上截取DF=DC，連接EF；(2)在（1）所作圖中，請證明四邊形CDFE是菱形．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴______，∴∠ADE=∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE∴∠DEC=______∴DC=______，∵DC=DF，∴CE=DF，而CE∥∴四邊形CDFE為______∵DC=DF，∴四邊形CDFE為菱形．【答案】(1)作圖見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖——作一個(gè)角的平分線的步驟進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定依次推理即可．【詳解】（1）（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥∴∠ADE∵DE平分∠ADC∴∠ADE∴∠DEC∴DC=∵DC=∴CE=而CE∥∴四邊形CDFE為平行四邊形，∵DC=∴四邊形CDFE為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作一個(gè)角的平分線、菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是牢記作圖步驟與相關(guān)判定定理與性質(zhì)．8．（2023秋·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D．四邊形ABCD是平行四邊形．(1)尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作出∠ADC的角平分線DE，交BC于點(diǎn)E；在線段AD上截取DF=DC，連接EF；(2)在（1）所作圖中，請證明四邊形CDFE是菱形．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴____________，∴∠ADE=∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE∴∠DEC=______∴DC=______，∵DC=DF，∴CE=DF，而CE∥FD，∴四邊形CDFE為菱形．【答案】(1)圖見解析(2)AD∥BC，∠【分析】（1）根據(jù)要求作圖即可；（2）利用平行四邊形的對邊平行，以及角平分線得到△CDE是等腰三角形，進(jìn)而得到DC=CE，再根據(jù)DC=DF，得到CE=DF，再根據(jù)CE∥FD，即可得到四邊形CDFE為菱形．【詳解】（1）解：如圖所示，DE，EF即為所求；以D為圓心，任意長為半徑，畫弧，交AD,DC于點(diǎn)M,N，分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接點(diǎn)D與交點(diǎn)的射線，交BC于點(diǎn)E，（2）證明∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥∴∠ADE∵DE平分∠ADC∴∠∴∠∴DC=∵DC=∴CE=而CE∥∴四邊形CDFE為菱形．故答案為：AD∥BC，∠CDE【點(diǎn)睛】本題考查角平分作圖，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定．熟練掌握平行四邊形中有角平分線，等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，射線BM∥AC(1)在原圖上用尺規(guī)完成以下基本作圖：在射線BM上截取線段BD，使BD=AC，連接CD；作∠BAC的平分線交CD于點(diǎn)E.（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)小明在（1）所作的圖形中，連接BE后發(fā)現(xiàn)∠BEA=90°，并給出了以下證明，請你將他的證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠BAC=60°，AB=2AC∵_(dá)_____①∴∠BAE=∠CAE=∵BM∥AC，BD=AC∴四邊形ABDC是平行四邊形∴AB=CD，∠BDC=∠BAC=60°，______②∴∠AEC=∠BAE=30°∴CE=AC=∴DE=CE=BD又∵_(dá)_____③∴△BDE為等邊三角形∴______④∴∠BEA=180°?∠AEC?∠BED=90°【答案】(1)圖見詳解(2)AE平分∠BAC，AB∥CD，【分析】（1）以點(diǎn)B為圓心，AC長為半徑在射線BM上畫弧，交于點(diǎn)D，則有BD=AC，連接CD，然后以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AB、AC于點(diǎn)F、N，則以點(diǎn)F、N為圓心，大于12FN長為半徑畫弧，交于一點(diǎn)，進(jìn)而連接點(diǎn)A和這個(gè)點(diǎn)，交CD于點(diǎn)（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與判定、含30度直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解問題．【詳解】（1）解：所作圖形如下所示：（2）證明：∵在Rt△ABC中，∠ACB∴∠BAC=60°，∵AE平分∠BAC∴∠BAE∵BM∥AC，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴AB=CD，∠BDC∴∠AEC∴CE=∴DE=又∵∠BDC∴△BDE為等邊三角形，∴∠BED∴∠BEA故答案為AE平分∠BAC，AB∥CD，∠【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作圖、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB>AD，點(diǎn)M在DC上，連接AM，AM=AB．(1)過點(diǎn)B作BN⊥AM，垂足為N（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法和結(jié)論，保留作圖痕跡）；(2)根據(jù)（1）中作圖，求證MN=MC．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB∥CD∵BN⊥AM∴∠ANB=①∴∠ADC=∠ANB∵AB∴∠NAB=∠AMD在△BNA與△ADM中∠NAB=∠AMD∠ANB=∠ADM∴△BNA≌②∴AN=DM∵AB=AM，AB=CD∴AM=CD∴AM?AN=③-④∴MN=MC【答案】(1)作圖見解析(2)90°,△【分析】（1）先以B為圓心，大于B到AM的距離為半徑畫弧，交AM于兩點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)之間的距離為半徑畫弧，得兩弧的一個(gè)交點(diǎn)，過這個(gè)交點(diǎn)與B作直線，交AM于N，從而可得答案；（2）利用矩形的性質(zhì)證明△BNA≌△ADM可得【詳解】（1）解：如圖，線段BN即為所求作的線段，（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB∵BN⊥∴∠∴∠∵AB∴∠在△BNA與△∠NAB∴△∴AN∵AB=AM∴AM∴AM∴MN【點(diǎn)睛】本題考查的是過已知點(diǎn)作直線的垂線，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BNA≌11．（2022秋·重慶·九年級重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，連接CE．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在矩形內(nèi)部作∠FAB=∠DCE交BC于點(diǎn)F（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）．(2)在（1）所作的圖形中，求證：四邊形AFCE是平行四邊形（請補(bǔ)全下面的證明過程，除題目給的字母外，不添加其它字母或者符號）．（2）證明：∵四邊形ABCD為矩形∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠D=①∵∠BAF=∠ECD∴△ABF≌②∴AF=CE，BF=DE∴BC?③=AD?DE即CF=④又∵AF=CE∴四邊形AFCE是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)90°，△CDE，BF，【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的作法完成即可；（2）理解證明思路，讀懂每步推理，即可完成．【詳解】（1）解：作圖如下：（2）證明：∵四邊形ABCD為矩形∴AB=CD，BC=∵∠BAF∴△ABF∴AF=CE，∴BC即CF又∵AF∴四邊形AFCE是平行四邊形．故答案為：90°，△CDE，BF，【點(diǎn)睛】本題考查了作圖：作一個(gè)角等于已知角，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定等知識，作角等于已知角，讀懂每步推理是完成本題的關(guān)鍵．12．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在對角線BD上，連接AE．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BCF，使∠BCF=∠DAE，CF與對角線BD交于點(diǎn)F，連接AF，CE．（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)根據(jù)（1）中作圖，求證：四邊形AECF為平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AD∥BC，___________①∴___________②___________在△AED與△CFB中

∵∠DAE=∠BCFAD=BC∴△AED≌∴AE=CF，___________③___________∴180°?∠AED=180°?∠CFB

即∠AEF=∠CFE

∴___________④___________∴四邊形AECF為平行四邊形【答案】(1)見詳解(2)AD=BC，∠ADE=∠【分析】（1）以B點(diǎn)為圓心DE長為半徑畫弧，交BD于點(diǎn)F，連接CF，則∠BCF即為所求；（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法：一組對邊平行且相等即可證明．【詳解】（1）如圖：以B點(diǎn)為圓心DE長為半徑畫弧，交BD于點(diǎn)F，連接CF，則∠BCF即為所求（2）如圖：連接CE，AF∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AD∥BC，∴∠在△AED與△CFB∵∠DAE∴△AED≌△∴AE=∴180°?∠AED即∠AEF∴AE∴四邊形AECF為平行四邊形故答案為：AD=BC，∠ADE=∠【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖—復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是解題關(guān)鍵．13．（2022·重慶·重慶八中校考模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，BA⊥AD，點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)，連接BE．(1)在線段BC上求作一點(diǎn)F，使得∠FDC＝∠ABE（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖中，證明：四邊形BFDE為平行四邊形的結(jié)論．解：（2）證明：在平行四邊形ABCD中，∵BA⊥AD∴∴四邊形ABCD是矩形∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC在△ABE和△CDF{∴△ABE≌△CDF（ASA）∴，BE＝DF．∴AD﹣AE＝CB﹣CF∴∴四邊形BFDE為平行四邊形（兩邊分別相等的四邊形為平行四邊形）【答案】(1)見解析(2)∠A＝90°；AB＝CD；AE＝CF；ED=BF；【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的要求和作一個(gè)角等于已知角的步驟即可得出；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=CF，再根據(jù)等量代換得到DE=BF，才可結(jié)合ED//FB利用“一組對邊平行且相等”判定平行四邊形．【詳解】（1）解：如圖，（2）證明：在平行四邊形ABCD中，∵BA⊥AD，∴∠A＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，在△ABE和△CDF{∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，BE＝DF，∴AD﹣AE＝CB﹣CF∴ED=BF，∴四邊形BFDE為平行四邊形（兩邊分別相等的四邊形為平行四邊形）．故答案是：∠A＝90°；AB＝CD；AE＝CF；ED=BF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖－作一個(gè)角等于已知角、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定定理以及矩形的判定定理和性質(zhì)定理．熟記相關(guān)性質(zhì)和判定定理是解題關(guān)鍵．14．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，連接AC,BD交于點(diǎn)O，∠ADO的平分線DE交AC于點(diǎn)E．(1)尺規(guī)作圖：作∠CBD的角平分線交AC于點(diǎn)F，連接BE,DF；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)求證：四邊形BEDF是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是矩形∴BO=DO，AD∴∵DE平分∠ADO，BF平分∠CBO∴∠EDO=∴∵在△EDO和△FBO中∠EDO=∠FBODO=BO∴∴又∵BO=DO∴四邊形BEDF是平行四邊形【答案】(1)見解析(2)∠ADO=∠CBO；∠EDO【分析】（1）利用尺規(guī)作出圖形即可；（2）證明△EDO≌△FBO【詳解】（1）解∶如圖，BF即為所求；（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴BO=DO，∴∠ADO∵DE平分∠ADO，BF平分∠∴∠EDO∴∠EDO∵在△EDO和△∠EDO∴△EDO∴OE=又∵BO=∴四邊形BEDF是平行四邊形．故答案為：∠ADO=∠CBO；∠EDO【點(diǎn)睛】本題考查作圖——基本作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．15．（2022秋·重慶·九年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，連接AD．(1)尺規(guī)作圖：在BC下方作射線BF，使得∠CBF=∠C，且射線BF交AD的延長線于點(diǎn)E（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖中，連接CE，若CE=AC，求證：四邊形ABEC是菱形．（請補(bǔ)全下面的證明過程）證明：∵點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，∴DC=DB，在△ADC和△EDB中，∠ACD=∠EBDDC=DB∴△ADC≌______ASA∴AC=______，∵∠CBF=∠ACB，∴AC∥∴四邊形ABEC是平行四邊形．又∵_(dá)_____，∴平行四邊形ABEC是菱形．【答案】(1)見解析；(2)△EDB，BE，BE，CE【分析】（1）根據(jù)題意即可完成作圖；（2）結(jié)合（1）根據(jù)菱形的判定即可完成證明．【詳解】（1）解：如圖，射線BF即為所求；（2）證明：∵點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，∴DC=DB，在△ADC∠ACD∴△ADC∴AC∵∠CBF∴AC∥∴四邊形ABEC是平行四邊形．又∵CE=∴平行四邊形ABEC是菱形．故答案為：△EDB，BE，BE，CE【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖．全等三角形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定與性質(zhì)．菱形的判定．解題關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．16．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中AD＞AB．(1)尺規(guī)作圖：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分線交BC于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作圖形中，連接BE，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．（請補(bǔ)全下面的證明過程，不寫證明理由）．證明：∵DF平分∠ADC，∴∵在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，∴∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即又∵∴四邊形BEDF是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用基本作圖畫出對應(yīng)的幾何圖形；（2）由角平分線的性質(zhì)得到∠ADF=∠CDF，由平行線的性質(zhì)得到∠ADF=∠CFD，最后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答．【詳解】（1）解：如圖就是所求作的圖形；（2）證明：∵DF平分∠ADC，∴∠∵在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，∴∠∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE=BF又∵DE∴四邊形BEDF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)等知識，在重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．17．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交對角線BD于點(diǎn)E．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BCD的平分線，交對角線BD于點(diǎn)F；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖形中，求證：BE=DF．（請補(bǔ)全下面的證明過程，除題目給的字母外，不添加其它字母或者符號）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，①__________，∴∠ABE=∠CDF∵AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB∴∠BAE=12∠BAD，②∵四邊形ABCD是平行四邊形∴③_______________∴∠BAE=∠DCF在△ABE與△CDF中∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（ASA）∴BE=DF【答案】(1)見解析(2)AB//CD，∠DCF=【分析】（1）在CB，CD上，分別截取CM，CN，使CM=CN，分別以點(diǎn)M，點(diǎn)N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，在∠BCD內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P，作射線CP交BD于點(diǎn)F，（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB//CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABE=∠CDF，根據(jù)角平分線得∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得∠BAD=∠BCD，即【詳解】（1）解：如圖，在CB，CD上，分別截取CM，CN，使CM=CN，分別以點(diǎn)M，點(diǎn)N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，在∠BCD內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P，作射線CP交BD于點(diǎn)F，（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB//∴∠ABE=∠CDF，∵AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=1∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠