人教版高中數(shù)學全冊教案-07-直線和圓的方程十

圓的一般方程

一、教學目標

（一）知識教學點

使學生掌握圓的一般方程的特點；能將圓的一般方程化為圓的標準方程從而求出圓心

的坐標和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導出圓的方程.

（二）能力訓練點

使學生掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導出圓的

方法，熟練地用待定系數(shù)法由己知條件導出圓的方程，培養(yǎng)學生用配方法和待定系數(shù)法解決

實際問題的能力.

（三）學科滲透點

通過對待定系數(shù)法的學習為進一步學習數(shù)學和其他相關學科的基礎知識和基本方法打

下牢固的基礎.

二、教材分析

1.重點：（1）能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標和半徑；（2）能用

待定系數(shù)法，由已知條件導出圓的方程.

（解決辦法：（1）要求學生不要死記配方結果，而要熟練掌握通過配方求圓心

和半徑的方法；（2）加強這方面題型訓練.）

2.難點：圓的一般方程的特點.

（解決辦法：引導學生分析得出圓的一般方程的特點，并加以記憶.）

3.疑點：圓的一般方程中要加限制條件D2+E2-4F>0.

（解決辦法：通過對方程配方分三種討論易得限制條件.）

三、活動設計

講授、提問、歸納、演板、小結、再講授、再演板.

四、教學過程

（一）復習引入新課

前面，我們已討論了圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2,現(xiàn)將展開可得

x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可見，任何一個圓的方程都可以寫成

x2+y2+Dx+Ey+F=0.請大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不

是圓？下面我們來深入研究這一方面的問題.復習引出課題為“圓的一般方程”.

(二)圓的一般方程的定義

1.分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的軌跡

將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：

(1)

(1)當D2+E2-4F>0時，方程(1)與標準方程比較，可以看出方程

P+尸+Dx+Ey+F=-心.；JT+E，-4F為

半徑的圓；

Q)當D'+ElF=08九方程—+D?+Ey+F=0只有第ft

帆=々，L號所以赫一個點用，號，

(3)當D2+E2-4FV0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有實數(shù)解，因而它不表示任

何圖形.

這時，教師引導學生小結方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的軌跡分別是圓、

點或無軌跡.特刖指出，在帆㈤I時，?心為-當，鉉為

pb-Ei4F,不要死記結果，城希通過配方求■心和鉉的方

法.

2.圓的一般方程的定義

當D2+E2-4F>0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程.

(三)圓的一般方程的特點

請同學們分析下列問題：

問題：比較二元二次方程的一般形式

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.

(2)

與圓的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0).

(3)

的系數(shù)可得出什么結論？啟發(fā)學生歸納結論.

當二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有條件：

(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于零,即A=CWO；

⑵沒有xy項，即B=0；

(3)D2+E2-4AF>0.

它才表示圓.條件⑶通過將方程同除以A或C配方不難得出.

教師還要強調指出：

⑴條件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圓的必要條件，但不是充分條件；

⑵條件(1)、(2)和(3)合起來是二元二次方程(2)表示圓的充要條件.

(四)應用與舉例

同圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2一樣，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三個系

數(shù)D、E、F,因此必具備三個獨立的條件，才能確定一個圓.下面看一看它們的

應用.

例1求下列圓的半徑和圓心坐標：

(l)x2+y2-8x+6y=0,

(2)x2+y2+2by=0.

此例由學生演板，教師糾錯，并給出正確答案：(1)圓心為(4,-3),半徑為5；

(2)圓心為(0,-b),半徑為|b|,注意半徑不為b.

同時強調：由圓的?般方程求圓心坐標和半徑，?般用配方法，這要熟練掌握.

例2求過三點0(0,0)、A(l,1)、B(4,2)的圓的方程.

解：設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由0、A、B在圓上，則有

F=O

<D+E+F4-2=0

L4D4-2E+F+20=0

解得:D=-8,E=6,F=0,

故所求圓的方程為x2+y2-8x+6=0.

例2小結：

1.用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：

⑴根據(jù)題意設所求圓的方程為標準式或一般式；

⑵根據(jù)條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程；

⑶解方程組，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所設方程，就得要求的方

程.

2.關于何時設圓的標準方程，何時設圓的--般方程：一般說來，如果由已

知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題，往往

設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關系，往往設圓的一

般方程.再看下例：

例3求圓心在直線7：x+y=0上，且過兩圓Cl：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：

x2+y2+2x+2y-8=0的交點的圓的方程.

*'帕濯蛆1;+加即文點為E嘰

卜

(0,2).

設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為兩點在所求圓上，且圓心在直線/

上所以得方程組為

+ba=J

=J

a+b=0

a=-3,b=3,r=VlO.

故所求圓的方程為：(x+3)2+(y-3)2=10.

這時，教師指出：

⑴由已知條件容易求圓心坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問

題，往往設圓的標準方程.

⑵此題也可以用圓系方程來解：

設所求圓的方程為：

x2+y2-2x+10y-24+X(x2+y2+2x+2y-8)=0(入WT)

整理并配方得：

1-X.5+X,24+8%1-X.5+X,

8坨+E=ITT-+W+W-

啦為妙,一命

由圓心在直線/上得人=-2.

將入=-2代入所假設的方程便可得所求圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=o.此法

到圓與圓的位置關系中再介紹，此處為學生留下懸念.

根K已知一曲線是與陲點0(0,Q)>A(3,Q)距惠的比為:的點

的軌跡，求這個曲線的方程，并畫出曲線.

此例請兩位學生演板，教師巡視，并提示學生：

⑴由于曲線表示的圖形未知，所以只能用軌跡法求曲線方程，設曲線上任一

點M(x,y),由求曲線方程的一般步驟可求得；

⑵應將圓的一一般方程配方成標準方程，進而得出圓心坐標、半徑，畫出圖形.

(五)小結

1.圓的一般方程的定義及特點；

2.用配方法求出圓的圓心坐標和半徑；

3.用待定系數(shù)法，導出圓的方程.

五、布置作業(yè)

1.求下列各圓的一般方程：

⑴過點A(5,1),圓心在點C(8,-3)；

⑵過三點A(T,5)、B(5,5)、C(6,-2).

2.求經過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點，并且圓心在直線

x-y-4=0上的圓的方程.

3.等腰三角形的頂點是A(4,2),底邊一個端點是B(3,5),求另一個端點

的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么.

4.A、B、C為已知直線上的三個定點，動點P不在此直線上，且使NAPB=

ZBPC,求動點P的軌跡.

作業(yè)答案：

1.(1)x2+y2-16x+6y+48=0

(2)x2+y2-4x-2y-20=0

2.x2+y2-x+7y-32=0

3.所求的軌跡方程為x2+y2-8x-4y+10=0(xW3,xW5),軌跡是以

心匐心.疝為半徑的國,但除去兩點.

4.以B為原點，直線ABC為x軸建立直角坐標系，令A(-a,0),C(c,0)(a

>0,c>0),P(x,y),可得方程為：

(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0.

當a=c時，則得x=0（yWO），即y軸去掉原點；當a#c時，則得（x-

言）即以雋.Q）力H心,國力半徑的回去掉它

與X軸的兩個交點.

六.板書設計

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