自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

關(guān)于自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

建立合理的數(shù)學(xué)模型（簡(jiǎn)稱：建模），對(duì)于系統(tǒng)的學(xué)習(xí)是至關(guān)重要的。系統(tǒng)建模一般采用解析法或?qū)嶒?yàn)法。

第2頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月2.1系統(tǒng)微分方程模型建立微分方程式的方法有兩種：一種是解析法，即根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律（如力學(xué)﹑電磁學(xué)﹑運(yùn)動(dòng)學(xué)﹑熱學(xué)等）來(lái)編寫(xiě)。本節(jié)重點(diǎn)討論這種方法。另一種方法是實(shí)驗(yàn)辨識(shí)法，即根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理編寫(xiě)。我們通過(guò)簡(jiǎn)單例子介紹解析法。第3頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月[例1]列寫(xiě)圖2.1所示RLC網(wǎng)絡(luò)的微分方程。圖2.1RLC網(wǎng)絡(luò)在做此題之前，先復(fù)習(xí)一下關(guān)于電感與電容的知識(shí)。第4頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月復(fù)習(xí)：電感與電容的知識(shí)uLi(t)請(qǐng)作為公式記下來(lái)！！第5頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月(2.1)(2.2)解：圖2.1RLC網(wǎng)絡(luò)第6頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月(2.3)(2.4)第7頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月【例2-2】建立如圖2-2所示濾波電路以U1為輸入量、U2為輸出量的微分方程。其中i1,i2為中間變量。圖2-2濾波電路第8頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月圖2-2濾波電路解：（1）該系統(tǒng)為電學(xué)系統(tǒng)，遵循電學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)規(guī)律。（2）由電工學(xué)知識(shí)中基爾霍夫定律，列寫(xiě)各環(huán)節(jié)或元件的方程為

（2-7）

（2-8）

（2-9）第9頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（4）由式（2-7）～式（2-9）消去中間變量可得

（2-10）請(qǐng)大家動(dòng)動(dòng)手計(jì)算一下！第10頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（4）由式（2-7）～式（2-9）消去中間變量可得

（5）標(biāo)準(zhǔn)化。將與系統(tǒng)輸出量有關(guān)的各項(xiàng)寫(xiě)在方程的左端，與系統(tǒng)輸入量有關(guān)的各項(xiàng)寫(xiě)在方程的右端，并把有關(guān)參數(shù)用具有一定物理意義的量來(lái)表示，可得

式中，T1=R1C1R2C2，T2=R1C1+R2C2+R1C2為時(shí)間常數(shù)。（2-10）（2-11）請(qǐng)大家動(dòng)動(dòng)手計(jì)算一下！上面（2-11）微分方程為二階微分方程。第11頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月建立微分方程的步驟(1)（1）根據(jù)系統(tǒng)的工作原理，分析系統(tǒng)由哪些部分組成以及各部分如何聯(lián)系在一起組成閉環(huán)系統(tǒng)的。（2）確定組成該系統(tǒng)的輸入量、輸出量及使用的中間變量。（3）從系統(tǒng)的輸入端開(kāi)始，根據(jù)各元件或環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律，依次列寫(xiě)各元件或環(huán)節(jié)的微分方程。第12頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月建立微分方程的步驟(2)（4）將各元件或環(huán)節(jié)的微分方程聯(lián)立起來(lái)消去中間變量，得到一個(gè)僅含有系統(tǒng)輸入量與輸出量的微分方程，即為整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。（5）標(biāo)準(zhǔn)化。將與系統(tǒng)輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)右側(cè)，與輸出變量有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)左側(cè)，并按降冪排列，最后將系統(tǒng)有關(guān)參數(shù)規(guī)劃為具有一定物理意義的形式。第13頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月注意我們要求熟練掌握涉及RLC電路的微分方程的建模，對(duì)于機(jī)電系統(tǒng)以及機(jī)械系統(tǒng)建立微分方程不作要求，僅供大家參考。第14頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)為y=f（x），如圖2.5所示。圖2.5小偏差線性化示意圖第15頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月取某平衡狀態(tài)A為工作點(diǎn),對(duì)應(yīng)有。當(dāng)時(shí)，有。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)可微，則將它在該點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為：第16頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月當(dāng)增量很小時(shí)，略去其高次冪項(xiàng)，則有:令，則線性化方程可簡(jiǎn)記為:略去增量符號(hào)，便得到函數(shù)在工作點(diǎn)附近的線性化方程為y=Kx。第17頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月[例5]

鐵心線圈電路如圖2.6（a）所示，其磁通Φ與線圈中電流i之間關(guān)系如圖2.6（b）所示。試列寫(xiě)以u(píng)r為輸入量，i為輸出量的電路微分方程。圖2.6鐵心線圈電路及其特性第18頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（2.20）第19頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（2.21）（2.22）式（2.22）便是鐵心線圈電路在平衡點(diǎn)的增量線性化方程。第20頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月補(bǔ)充：Laplace變換基礎(chǔ)拉氏變換的概念

若將實(shí)變量t的函數(shù)f(t)乘以指數(shù)函數(shù)e?st（其中s=

+j

，是一個(gè)復(fù)變數(shù)），再在0到∞之間對(duì)t進(jìn)行積分，就得到一個(gè)新的函數(shù)F(s)。F(s)稱為f(t)的拉氏變換，可用符號(hào)L[f(t)]表示。上式稱為拉氏變換的定義式。為了保證式中等號(hào)右邊的積分存在，f(t)應(yīng)滿足下列條件：（1）若t＜0，則f(t)=0。（2）若t＞0，則f(t)為分段連續(xù)。（3）若t→∞，則e?st較f(t)衰減得更快。由于是一個(gè)定積分，t將在新函數(shù)中消失。因此，F(xiàn)(s)只取決于s，它是復(fù)變數(shù)s的函數(shù)。拉氏變換將原來(lái)的實(shí)變量函數(shù)f(t)轉(zhuǎn)化為復(fù)變量函數(shù)F(s)。拉氏變換是一種單值變換，f(t)和F(s)之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，通常稱f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)。第21頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月常用函數(shù)的拉氏變換

實(shí)用中，常把原函數(shù)與象函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列成對(duì)照表的形式。通過(guò)查表就能夠知道原函數(shù)的象函數(shù)或象函數(shù)的原函數(shù)。常用函數(shù)的拉氏變換對(duì)照表如表2-1所示。表2-1常用函數(shù)拉氏變換表第22頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月拉氏變換的基本定理（1）線性定理。1.兩個(gè)函數(shù)和的拉氏變換等于兩個(gè)函數(shù)拉氏變換的和，即

L[f1(t)+f2(t)]=L[f1(t)]+L[f2(t)]=F1(s)+F2(s) 2.函數(shù)放大K倍的拉氏變換等于函數(shù)拉氏變換的K倍，即

L[Kf(t)]=KF(s) （2）微分定理。函數(shù)求導(dǎo)的拉氏變換等于函數(shù)拉氏變換乘以s的求導(dǎo)次冪（初始條件需為零），即當(dāng)初始條件f(0)=0時(shí)，L[f'(t)]=sF(s)。同理，若初始條件為f(0)=f‘(0)=…=f(n?1)

（0）=0則 L[f(n)(t)]=snF(s) （3）積分定理。函數(shù)積分的拉氏變換等于函數(shù)拉氏變換除以s的積分次冪（初始條件需為零），即當(dāng)初始條件時(shí)，。同理，當(dāng)初始條件為零時(shí)，則有第23頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月拉氏變換的基本定理（4）初值定理。函數(shù)初始值（t→0的數(shù)值），等于函數(shù)拉氏變換乘以s后的s→∞的極限值，即（5）終值定理。函數(shù)的穩(wěn)態(tài)值（t→∞的數(shù)值）等于函數(shù)拉氏變換乘以s后的s→0的極限值，即

拉氏變換理論在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)各個(gè)領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。在古典控制理論中，拉氏變換法可將實(shí)數(shù)域中的微分、積分運(yùn)算變換為復(fù)數(shù)域內(nèi)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算。而且在變換過(guò)程中，還可以將初始條件的影響很容易地考慮進(jìn)去。同時(shí)，拉氏變換、反變換的運(yùn)算可以查拉氏變換表，如表2-1所示，這將大大減少工作量。

復(fù)習(xí)完拉氏變換相關(guān)內(nèi)容，我們開(kāi)始學(xué)習(xí)傳遞函數(shù)的內(nèi)容。第24頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月2.3傳遞函數(shù)2.3.1傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)（1）定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。第25頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：設(shè)y(t)和u(t)及各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值均為零，即零初始條件，則對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令可得s的代數(shù)方程為:第26頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月于是，即得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為上式G(S)。接上頁(yè)：第27頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（2）傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)1）傳遞函數(shù)是復(fù)變量S的有理真分式函數(shù)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。m≤n且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。2）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)或元件數(shù)學(xué)模型的另一種形式，是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式。3）傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。4）傳遞函數(shù)G(S)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t),g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖δ(t)輸入時(shí)的輸出響應(yīng)。第28頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月[例6]

已知某RLC網(wǎng)絡(luò)的微分方程為解：當(dāng)初始條件為零時(shí)，拉氏變換為則傳遞函數(shù)為第29頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月2.3.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)比例-微分環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)這些典型環(huán)節(jié)是：

一個(gè)物理系統(tǒng)是由許多元件組合而成的。雖然各種元件的具體結(jié)構(gòu)和作用原理是多種多樣的，但若拋開(kāi)具體結(jié)構(gòu)和物理特點(diǎn)，從傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來(lái)看，可以劃分成幾種典型環(huán)節(jié)：第30頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月

典型環(huán)節(jié)是按照數(shù)學(xué)模型的共性劃分的，它和具體元件不一定是一一對(duì)應(yīng)的。

典型環(huán)節(jié)只代表一種特定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，不一定是一種具體的元件。第31頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（1）比例環(huán)節(jié)

定義：比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關(guān)系為一種固定的比例關(guān)系。比例環(huán)節(jié)的表達(dá)式為：比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：式中K為常數(shù)，稱為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。實(shí)例：比例放大器，齒輪，電阻（電位器)等。第32頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（2）微分環(huán)節(jié)1）理想微分環(huán)節(jié)定義：在暫態(tài)過(guò)程中，輸出量為輸入量的微分，即：

特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。第33頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月圖2.7(C)微分環(huán)節(jié)舉例：測(cè)速發(fā)電機(jī)當(dāng)其輸入量為轉(zhuǎn)角，輸出量為電樞電壓uc時(shí)，具有微分環(huán)節(jié)作用。當(dāng)測(cè)速發(fā)電機(jī)的角速度為ω，則而測(cè)速發(fā)電機(jī)的輸出電壓uc與其角速度成正比，由此傳遞函數(shù)為第34頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月2）實(shí)際微分環(huán)節(jié)圖2.7（a）uc如圖2.7（a）所示的RC串聯(lián)電路是實(shí)際中常用的微分環(huán)節(jié)的例子。圖2.7（a）所示的電路的微分方程為相應(yīng)的傳遞函數(shù)為當(dāng)RC≤1時(shí)第35頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月3）比例微分環(huán)節(jié)圖2.7（b）所示的RC電路也是微分環(huán)節(jié)。圖2.7（b）該電路的傳遞函數(shù)為:T=RC---微分時(shí)間常數(shù)第36頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（3）積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例積分環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程為：或?qū)?yīng)的傳遞函數(shù)為：實(shí)例：積分放大器第37頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月舉例：運(yùn)算放大器構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)，輸入ur(t)，輸出uc(t)，其傳遞函數(shù)為ur(t)uc(t)大家想想怎么來(lái)求傳遞函數(shù)?。?！第38頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月由運(yùn)算放大器組成的積分器，其輸入電壓u

r（t）和輸出電壓uc（t）之間的關(guān)系為:對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，可以求出傳遞函數(shù)為解：第39頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（4）一階慣性環(huán)節(jié)假設(shè)一階慣性環(huán)節(jié)的微分方程為：其傳遞函數(shù)可以寫(xiě)成如下表達(dá)式：（2.34）（2.35）第40頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月圖2.9RC電路舉例：一階慣性環(huán)節(jié)ur(t)uc(t)第41頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月其輸入電壓ur（t）和輸出電壓uc（t）之間的關(guān)系為：對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，可以求出傳遞函數(shù)為:解：第42頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（5）二階振蕩環(huán)節(jié)(二階慣性環(huán)節(jié))假設(shè)二階振蕩環(huán)節(jié)的微分方程為：其傳遞函數(shù)為:（2.36）（2.37）式中ωn

為無(wú)阻尼自然振蕩角頻率，δ為阻尼比，在后面時(shí)域分析(第3章)中將詳細(xì)討論。第43頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（6）延遲環(huán)節(jié)(時(shí)滯環(huán)節(jié))其數(shù)學(xué)表達(dá)式為輸出量在零初始條件下的拉氏變換為所以，延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為特點(diǎn)：輸入信號(hào)加入后，輸出信號(hào)要延遲一段時(shí)間τ后才重現(xiàn)輸入信號(hào)。式中τ稱延遲時(shí)間第44頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月

需要指出，在實(shí)際生產(chǎn)中，有很多場(chǎng)合是存在遲延的，比如皮帶或管道輸送過(guò)程、管道反應(yīng)和管道混合過(guò)程，多個(gè)設(shè)備串聯(lián)以及測(cè)量裝置系統(tǒng)等。遲延過(guò)大往往會(huì)使控制效果惡化，甚至使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。補(bǔ)充：第45頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月2.4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

在控制工程中，為了便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，常將各元件在系統(tǒng)中的功能及各部分之間的聯(lián)系用圖形來(lái)表示，即結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖。結(jié)構(gòu)圖信號(hào)流圖本節(jié)內(nèi)容2.5節(jié)內(nèi)容第46頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月2.4.1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

結(jié)構(gòu)圖是由許多對(duì)信號(hào)進(jìn)行單向運(yùn)算的方框和一些信號(hào)流向線組成；構(gòu)成方框圖的基本符號(hào)有四種，即信號(hào)線、比較點(diǎn)、傳遞環(huán)節(jié)的方框和引出點(diǎn)。

結(jié)構(gòu)圖：具有形象和直觀的特點(diǎn)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖是系統(tǒng)中各元件功能和信號(hào)流向的圖解，它清楚地表明了系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)間的相互關(guān)系。1.由圖2.10，我們來(lái)學(xué)習(xí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的4種基本符號(hào)。第47頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月圖2.10結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元信號(hào)線引出點(diǎn)（或測(cè)量點(diǎn)）比較點(diǎn)（或綜合點(diǎn)）方框（或環(huán)節(jié)）（1）信號(hào)線：是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，傳遞線上標(biāo)明被傳遞的信號(hào)，如圖2.10（a）所示。（2）引出點(diǎn)：從同一信號(hào)處引出的各信號(hào)，在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同，引出點(diǎn)可以表示信號(hào)引出或被測(cè)量的位置，如圖2.10（b）所示。（3）比較點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。箭頭上的加號(hào)或減號(hào)表示信號(hào)是相加還是相減。如圖2.10（c）所示。

（4）方框：表示對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算。方框中寫(xiě)入元件的傳遞函故，可作為單向運(yùn)算的算子。這時(shí)，方框的輸出量與輸入量具有確定的因果關(guān)系，即Y(s)=G(s)U(s)。圖2.10（d）所示為一個(gè)方框單元。第48頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月2.結(jié)構(gòu)圖的作用（1）簡(jiǎn)單明了地表達(dá)了系統(tǒng)的組成和相互聯(lián)系，可以方便地評(píng)價(jià)每一個(gè)元件對(duì)系統(tǒng)性能的影響。信號(hào)的傳遞嚴(yán)格按照單向性原則，對(duì)于輸出對(duì)輸入的反作用，通過(guò)反饋支路來(lái)單獨(dú)表示。（2）對(duì)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行一定的代數(shù)運(yùn)算和等效變換，可方便地求得整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。3.建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的基本步驟：（1）列寫(xiě)每個(gè)元件的原始方程（可以保留所有變量，這樣在結(jié)構(gòu)圖中可以明顯地看出各元件的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和變量，便于分析作用原理），要考慮相互間的負(fù)載效應(yīng)。（2）設(shè)置初始條件為零，對(duì)這些方程進(jìn)行拉氏變換，并將每個(gè)變換后的方程分別以下一個(gè)方程的形式將因果關(guān)系表示出來(lái)，而且這些方框中的傳遞函數(shù)都應(yīng)具有典型環(huán)節(jié)的形式。（3）將這些方框單元按信號(hào)流向連接起來(lái)，就組成了完整的結(jié)構(gòu)圖。下面舉例說(shuō)明系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立！第49頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月例1：圖中為一無(wú)源RC網(wǎng)絡(luò)。選取變量如圖所示，根據(jù)電路定律，（1）寫(xiě)出其微分方程組（2）畫(huà)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。第50頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月解：零初始條件下，對(duì)等式兩邊取拉氏變換，得

第51頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月RC網(wǎng)絡(luò)方框圖

各環(huán)節(jié)方框圖

第52頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月例2：書(shū)中的例子：

將上面各環(huán)節(jié)的方框圖按照信號(hào)的傳遞方向用信號(hào)線依次連接起來(lái)，就得到速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。如圖2.11所示。第53頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月圖2.11速度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖注意：書(shū)中的錯(cuò)誤在哪？？？K3第54頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月2.4.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡(jiǎn)化

有了系統(tǒng)的方框圖以后，為了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步的分析學(xué)習(xí)，需要對(duì)方框圖作一定的變換和簡(jiǎn)化，以便求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。方框圖的變換和簡(jiǎn)化應(yīng)按等效原則進(jìn)行。所謂等效，即對(duì)方框圖的任一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前、后輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系式應(yīng)保持不變?？紤]到方框間的連接有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式。因此，結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化的一般方法是移動(dòng)引出點(diǎn)或比較點(diǎn)，將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。在簡(jiǎn)化過(guò)程中遵循“等效原則”。第55頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（1）環(huán)節(jié)的串聯(lián)在單向的信號(hào)傳遞中，若前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出就是后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入，并依次串接如圖2.12(a)所示，這種聯(lián)接方式稱為串聯(lián)。

圖2.12(a)結(jié)構(gòu)圖串聯(lián)連接由圖2.12（a）有于是得：第56頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月接上：

其中，G(s)=G1(s)G2(s)，是串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)，可用圖2.12(b)來(lái)表示。圖2.12結(jié)構(gòu)圖串聯(lián)連接及其簡(jiǎn)化同樣，此結(jié)論可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。U(s)Y(s)G(s)第57頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（2）環(huán)節(jié)的并聯(lián)若各個(gè)環(huán)節(jié)接受同一輸入信號(hào)而輸出信號(hào)又匯合在一點(diǎn)時(shí)，稱為并聯(lián)。圖2.14(a)結(jié)構(gòu)圖并聯(lián)連接由圖2.14（a）有則有第58頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月接上：

其中，G(s)=G1(s)±G2(s)，是并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)，可用圖2.12(b)來(lái)表示。圖2.14結(jié)構(gòu)圖并聯(lián)連接及簡(jiǎn)化同樣，此結(jié)論可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)的情況。第59頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（3）環(huán)節(jié)的反饋連接

若傳遞函數(shù)分別為G（s）和H（s）的兩個(gè)環(huán)節(jié)如圖2.15（a）形式連接，則稱為反饋連接?！?”號(hào)為正反饋，表示輸入信號(hào)與反饋信號(hào)相加，“-”號(hào)則表示相減，為負(fù)反饋。圖2.15結(jié)構(gòu)圖反饋連接由圖2.15（a）得于是有第60頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月圖2.15結(jié)構(gòu)圖反饋連接及其簡(jiǎn)化接上頁(yè)：第61頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（4）引出點(diǎn)的移動(dòng)引出點(diǎn)的移動(dòng)（A）引出點(diǎn)前移。引出點(diǎn)前移的等效變換法則是：乘以引出點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的傳遞函數(shù)，如圖2-26所示。圖：引出點(diǎn)前移UUYYYY第62頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（4）引出點(diǎn)的移動(dòng)（續(xù)）圖：分支點(diǎn)后移引出點(diǎn)的移動(dòng)（B）引出點(diǎn)后移。引出點(diǎn)后移的等效變換法則是：除以引出點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的傳遞函數(shù)。YYUUUU第63頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（*5）比較點(diǎn)的移動(dòng)比較點(diǎn)移動(dòng)的具體法則如下。（A）比較點(diǎn)前移。比較點(diǎn)前移的等效變換法則是：除以比較點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的傳遞函數(shù)，如圖2-28所示。圖：比較點(diǎn)前移UYQYQU第64頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（5*）比較點(diǎn)的移動(dòng)(續(xù))比較點(diǎn)移動(dòng)的具體法則如下。（B）比較點(diǎn)后移。比較點(diǎn)后移的等效變換法則是：乘以比較點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的傳遞函數(shù)，如圖2-29所示。圖：比較點(diǎn)后移UUYYQQ第65頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月第66頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月U第67頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月第68頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月[例7]試求圖2.16所示多回路系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。圖2.16第69頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月圖2.17第70頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月可以求得第71頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月圖2.18[例8]設(shè)多環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2.18所示，試對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。B思路：引出點(diǎn)前移注意：此系統(tǒng)中存在2個(gè)相互交錯(cuò)的局部反饋，化簡(jiǎn)時(shí)考慮將引出點(diǎn)或比較點(diǎn)移到適當(dāng)?shù)奈恢?，將結(jié)構(gòu)圖變換為無(wú)交錯(cuò)的局部反饋的圖形。第72頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月圖2.19解：步驟1：步驟2：思路：引出點(diǎn)前移第73頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月圖2.19步驟3：第74頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月【補(bǔ)充1】系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求傳遞函數(shù)。思路：引出點(diǎn)后移注意：此系統(tǒng)中存在2個(gè)相互交錯(cuò)的局部反饋，化簡(jiǎn)時(shí)考慮將引出點(diǎn)或比較點(diǎn)移到適當(dāng)?shù)奈恢?，將結(jié)構(gòu)圖變換為無(wú)交錯(cuò)的局部反饋的圖形。第75頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月解：思路：引出點(diǎn)后移第76頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，得到傳遞函數(shù)為：第77頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（*2）試化簡(jiǎn)如下圖所示系統(tǒng)的方框圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。

思路：是一個(gè)交錯(cuò)反饋多路系統(tǒng)，采用引出點(diǎn)后移或前移，比較點(diǎn)前移等，逐步變換簡(jiǎn)化，可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

需要多次移動(dòng)引出點(diǎn)或比較點(diǎn)才可化簡(jiǎn)!第78頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月圖：方框圖的變換與簡(jiǎn)化

第1次：引出點(diǎn)后移第2次：比較點(diǎn)前移第1次：引出點(diǎn)后移結(jié)果第79頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月第2次：比較點(diǎn)前移結(jié)果第80頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（*3）化簡(jiǎn)圖(a)所示系統(tǒng)方框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)：需要多次移動(dòng)引出點(diǎn)或比較點(diǎn)才可化簡(jiǎn)!第81頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，得到傳遞函數(shù)為：第82頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月

由上面的例子可以總結(jié)出簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖的具體步驟如下。（1）確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。如果系統(tǒng)有多個(gè)輸入量，每次只保留一個(gè)輸入量，令其他輸入量為零，分別對(duì)每個(gè)輸入量進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化，求得有關(guān)的傳遞函數(shù)。對(duì)于有多個(gè)輸出量的系統(tǒng)，也應(yīng)該按類似的方法分別處理。（2）如果結(jié)構(gòu)圖中有交叉連接，應(yīng)移動(dòng)某些引出點(diǎn)或相加點(diǎn)，將交叉點(diǎn)連接消除。（3）對(duì)于多回路無(wú)交叉連接的結(jié)構(gòu)圖，應(yīng)從內(nèi)回路開(kāi)始，由里向外進(jìn)行變換，直至將結(jié)構(gòu)圖變?yōu)橐粋€(gè)等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。第83頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月2.4.3系統(tǒng)傳遞函數(shù)

自動(dòng)控制系統(tǒng)經(jīng)常會(huì)受到兩類輸入信號(hào)的作用，一類是給定的有用輸入信號(hào)u(t)，另一類則是阻礙系統(tǒng)進(jìn)行正常工作的擾動(dòng)信號(hào)n(t)。給定信號(hào)u(t)通常加在控制裝置的輸入端；干擾信號(hào)n(t)一般作用在被控對(duì)象上，也可能出現(xiàn)在其他元部件上，甚至可能混雜在輸入信號(hào)中。一個(gè)系統(tǒng)往往有多個(gè)擾動(dòng)信號(hào)，但是一般只考慮其中最主要的。第84頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月圖2.20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖

在該結(jié)構(gòu)圖中，從輸入信號(hào)到輸出信號(hào)之間的通道，稱為前向通道；從輸出信號(hào)到反饋信號(hào)之間的通道，稱為反饋通道。第85頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（1）系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1（s）G2（s）H（s）稱為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。第86頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（2）u（t）作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)圖2.21u（t）作用下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖2.20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖令n（t）=0，圖2.20簡(jiǎn)化為圖2.21第87頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月接上頁(yè)：輸出y（t）對(duì)輸入u（t）的傳遞函數(shù)為（2.43）第88頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（3）n（t）作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)圖2.20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖令u（t）=0，圖2.20轉(zhuǎn)化為圖2.22，由圖可得圖2.22n（t）作用下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第89頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月接上頁(yè)：輸出y（t）對(duì)輸入n（t）的傳遞函數(shù)為（2.44）第90頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（4）系統(tǒng)的總輸出當(dāng)給定輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，根據(jù)線性疊加原理，線性系統(tǒng)的總輸出應(yīng)為各輸入信號(hào)引起的輸出之總和。第91頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（5）閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)誤差為給定信號(hào)與反饋信號(hào)之差，即圖2.20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖第92頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月1）u（t）作用下閉環(huán)系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)Φe（s）圖2.23(a)u（t）作用下誤差輸出的結(jié)構(gòu)圖圖2.20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖令n（t）=0，則可由圖2.20轉(zhuǎn)化得到的圖2.23（a）第93頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（2.45）即得，u（t）作用下閉環(huán)系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)：2）n（t）作用下閉環(huán)系統(tǒng)的擾動(dòng)誤差傳遞函數(shù)Φen（s）

令u（t）=0，則可由圖2.20轉(zhuǎn)化得到的圖2.23（b）圖2.20閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖第94頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（2.46）即得，n（t）作用下閉環(huán)系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)：3）系統(tǒng)的總誤差根據(jù)疊加原理，系統(tǒng)的總誤差為：第95頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月2.5信號(hào)流圖與梅遜公式

信號(hào)流圖是表示線性方程組變量間關(guān)系的一種圖示方法，將信號(hào)流圖用于控制理論中，可不必求解方程就得到各變量之間的關(guān)系，既直觀又形象。當(dāng)系統(tǒng)方框圖比較復(fù)雜時(shí)，可以將它轉(zhuǎn)化為信號(hào)流圖，并可據(jù)此采用梅遜(Mason)公式求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第96頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（補(bǔ)充）信號(hào)流圖的性質(zhì)

（1）信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)；（2）信號(hào)流圖所依據(jù)的方程式，一定為因果函數(shù)形式的代數(shù)方程；（3）信號(hào)只能按箭頭表示的方向沿支路傳遞；（4）節(jié)點(diǎn)上可把所有輸入支路的信號(hào)疊加，并把總和信號(hào)傳送到所有輸出支路；（5）對(duì)于給定的系統(tǒng)，其信號(hào)流圖不是唯一的。2.5.1信號(hào)流圖它是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。第97頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月例1一簡(jiǎn)單系統(tǒng)的描述方程為：該方程式的信號(hào)流圖如圖2.24（a）所示。圖2.24(a)系統(tǒng)信號(hào)流圖

注意：變量x1和x2用節(jié)點(diǎn)“○”來(lái)表示，傳輸函數(shù)用一有向有權(quán)的線段(稱為支路)來(lái)表示，支路上箭頭表示信號(hào)的流向，信號(hào)只能單方向流動(dòng)。第98頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月例2一復(fù)雜描述系統(tǒng)的方程組為：方程組的信號(hào)流圖如圖2.24（b）所示。圖2.24（b）第99頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（補(bǔ)充）系統(tǒng)的信號(hào)流圖繪制

在線性系統(tǒng)信號(hào)流圖的繪制中應(yīng)包括以下步驟：（1）將描述系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)換為以s為變量的代數(shù)方程。

（2）按因果關(guān)系將代數(shù)方程寫(xiě)成如下形式：（3）用節(jié)點(diǎn)“○”表示n個(gè)變量或信號(hào)，用支路表示變量與變量之間的關(guān)系。通常把輸入變量放在圖形左端，輸出變量放在圖形右端。第100頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月（補(bǔ)充）如下圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，v1為輸入、v3為輸出。選5個(gè)變量v1、i1、v2、i2、v3，由電壓、電流定律可寫(xiě)出四個(gè)獨(dú)立方程

第101頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月

將變量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作節(jié)點(diǎn)表示，由因果關(guān)系用支路把節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)聯(lián)接，得信號(hào)流圖。

第102頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月在信號(hào)流圖中，常使用以下名詞術(shù)語(yǔ)：(1)節(jié)點(diǎn)：表示變量或信號(hào)的點(diǎn)，用“○”表示。(2)支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的有向有權(quán)線段，方向用箭頭表示，權(quán)值用傳輸函數(shù)表示。(3)輸入支路：指向節(jié)點(diǎn)的支路。(4)輸出支路：離開(kāi)節(jié)點(diǎn)的支路。（1）第103頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月在信號(hào)流圖中，常使用以下名詞術(shù)語(yǔ)：（2）(5)源點(diǎn)（輸入節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。(6)匯點(diǎn)（輸出節(jié)點(diǎn)）：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。(7)混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路、又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。第104頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月在信號(hào)流圖中，常使用以下名詞術(shù)語(yǔ)：（3）(8)前向通道：從輸入節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))到匯點(diǎn)的通道，并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅通過(guò)一次。(9)前向通道增益(pk)：第105頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月在信號(hào)流圖中，常使用以下名詞術(shù)語(yǔ)：（4）(10)回路：通道的起點(diǎn)就是通道的終點(diǎn)，并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅通過(guò)一次。(13)自回路：?jiǎn)我恢返拈]通道。(12)不接觸回路：如果一些回路沒(méi)有任何公共的節(jié)點(diǎn)，稱它們?yōu)椴唤佑|回路。(11)回路增益(La)：第106頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月2.5.2梅遜公式

當(dāng)系統(tǒng)信號(hào)流圖已知時(shí)，可以用公式直接求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這個(gè)公式就是梅遜公式。

梅遜(Mason)公式可以對(duì)復(fù)雜的信號(hào)流圖直接求出系統(tǒng)輸出與輸入之間的總增益，或傳遞函數(shù)，使用起來(lái)更為方便。其公式為第107頁(yè),共122頁(yè)，星期六，2024年，5月式中，

P—輸出和輸入之間的增益或傳遞函數(shù)；

Pk

—第k條前向通道的增益或傳輸函數(shù)；

Δ—信號(hào)流圖的特征值，

Δ=1-∑La+∑LbLc-