高中數學《正態(tài)分布》考點講解與訓練

《7.5正態(tài)分布》考點講解

【思維導圖】

隨機變量的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實

連續(xù)型隨機變量

\軸，但取一點的概率為0

對于任意的xiR,f(x)>0,它的圖像在x軸的上方，且

正態(tài)密

x軸和曲線之間的區(qū)域面積為1則f(x)為正態(tài)密度函

度函數

數，稱它的圖像為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線

①曲線位于x軸上方，與x軸不相交

’②曲線是單峰的，它關于直線萬=〃對稱

正

態(tài)③曲線在x=”處達到峰值一餐=

分

布特點廣④曲線與工軸之間的面積為1

I⑤當。一定時，曲線的位置由U確定，曲線隨著U的變化而沿X軸平

\移

⑥當

〃一定時，曲線的形狀由。確定，。越小，曲線越“瘦高”，

示

表

總體的分布越集中；。越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分

越

布

分

①尸3-。＜均＜+。戶0.6826

常用數據②取一2o＜X3*+2o戶0.9544

③叫，一3。＜*$?+30戶0.9974

【常見考點】

考點一正態(tài)分布的特征

【例1】(1)若隨機變量X~N(3,4),且尸(XN5)=0.2,則P0WXW5)等于

()

A.0.6B.().5C.0.4D.0.3

(2)設隨機變量J服從正態(tài)分布N(4,3),若5)=P(J>a+l),則實數。等

于()

A.7B.6C.5D.4

【一隅三反】

1.某校一次高三年級數學檢測，經抽樣分析，成績4占近似服從正態(tài)分布N(95,(J2),

且P(91<J?95)=0.25.若該校有700人參加此次檢測，估計該校此次檢測數學成績不

低于99分的人數為()

A.100B.125C.150I).175

2.某種芯片的良品率X服從正態(tài)分布N(0.95,0.0F),公司對科技改造團隊的獎勵方案

如下：若芯片的良品率不超過95%,不予獎勵；若芯片的良品率超過95%但不超過

96%,每張芯片獎勵100元；若芯片的良品率超過96%,每張芯片獎勵200元.則每張芯

片獲得獎勵的數學期望為()元附：隨機變量4服從正態(tài)分布N(〃,cr2),則

-cr<J<〃+cr)=0.6826,尸(〃-2cr<J<〃+2cr)=0.9544,

尸(〃一3cr<J<〃+3b)=0.9974.

A.52.28B.65.87C.50.13D.131.74

3.某市為弘揚我國優(yōu)秀的傳統文化，組織全市10萬中小學生參加網絡古詩詞知識答題比

賽，總分100分，經過分析比賽成績，發(fā)現成績X服從正態(tài)分布N(82,16),請估計比賽

成績不小于90分的學生人數約為()

K參考數據1：<X<//+cr)=0.683,P(//-2cr<X<//+2cr)=0.954,

尸("-3cr<XW4+3cr)=0.997

A.2300B.3170C.3415D.460

考點二正態(tài)分布的實際應用

【例2】根據國家質量監(jiān)督檢驗標準，過濾率是生產醫(yī)用口罩的重要參考標準，對于直徑

小于5微米的顆粒的過濾率必須大于90%.為了監(jiān)控某條醫(yī)用口罩生產線的生產過程，檢驗

員每天從該生產線上隨機抽取10個醫(yī)用口置，檢測其過濾率，依據長期生產經驗，可以認

為這條生產線正常狀態(tài)下生產的醫(yī)用口罩的過濾率Z服從正態(tài)分布.假設生產狀

態(tài)正常，生產出的每個口罩彼此獨立.記X表示一天內抽取10個口罩中過濾率小于或等于

〃-3o■的數量.

(1)求P(XNl)的概率；

(2)求X的數學期望E(X)；

(3)一天內抽檢的口罩中，如果出現了過濾率Z小于3b的口罩，就認為這條生產線

在這一天的生產過程中可能出現了異常情況，需要對當天的生產過程進行檢查維修，試問

這種監(jiān)控生產過程的方法合理嗎？

附：若隨機變量Z?,則尸(〃-b<Z<M+cr)=0.6826,

P(/z-2cr<Z<//+2cr)-0.9544,P(jj-3(y<Z<ju+3a)-0.9974,

O.998710?0.9871.

【一隅三反】

1.為了解一種植物的生長情況，抽取一批該植物樣本測量高度(單位：cm),其頻率分布

直方圖如圖所示.

(1)求該植物樣本高度的平均數亍和樣本方差/(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作

代表)；

(2)假設該植物的高度Z服從正態(tài)分布,其中〃近似為樣本平均數月厘近似

為樣本方差d，利用該正態(tài)分布求口64.5效上96).

附：＞/]73210.5.若2~"（〃,（72）,則

尸（〃一成必〃+b）丈68.3%,P（〃-2或必〃+2b）?95.4%.

2.某工廠生產某種零件，檢驗員每天從該零件的生產線上隨機抽取16個零件，并測量其

尺寸(單位：cm).根據長期生產經驗，可以認為這條生產線在正常狀態(tài)下生產的零件服從

正態(tài)分布N(u,o2).

(1)假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(口一3。，u+3

。)之外的零件數，求P(X21)及X的數學期望；

(2)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

10.129.9710.019.9510.029.989.2110.03

10.049.999.989.9710.019.9710.0310.11

]16n_ior;to

經計算得亍=77乏>產9.96,S=君2=①才一房/卜。？。，其中

10

<=1丫16,=1

X：為抽取的第i個零件的尺寸，i=1,2,…，16.用樣本平均數I作為口的估計值用樣

本標準差s作為。的估計值利用估計值判斷是否對當天的生產過程進行檢查？剔除

(口一3。，U+3。)之外的數據，用剩下的數據估計口和。(精確到0.01).

參考數據：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(u,。之)，則P(u—3o<xVu+3o)=0.997

4,0.997416^0.9592,70.0027?0.05.

3.現有甲、乙兩個規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場，均養(yǎng)有1萬頭豬.根據豬的體重，將其分為三

個成長階段，如下表：

階段幼年期成長期成年期

體重(kg)[2,18）[18,82）[82,98]

根據以往經驗，兩個養(yǎng)豬場內豬的體重X均近似服從正態(tài)分布N(50,162).由于我國有

關部門加強對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期的豬的監(jiān)控力度，高度重視其質量保證，

為了養(yǎng)出健康的成年期的豬，甲、乙兩個養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式.已知

43

甲，乙兩個養(yǎng)豬場內一頭成年期的豬能通過質檢合格的概率分別為一,一.

54

（1）試估算各養(yǎng)豬場三個階段的豬的數量；

（2）已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利400元，若為不合

格的豬，則虧損200元；乙養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利

500元，若為不合格的豬，則虧損100元記丫為甲，乙養(yǎng)豬場各出售一頭成年期的豬所得

的總利潤，求隨機變量丫的分布列，假設兩個養(yǎng)豬場均能把成年期的豬售完，求兩個養(yǎng)豬

場的總利潤的期望值.

（參考數據：若Z~N（〃,b2）,則

「（〃一超七"+b）aO.683,P（〃一2成必〃+2b）a0.954,P（4—3超/月+3b）20.997

）

考點三正態(tài)分布與其他知識的綜合運用

【例3】某校組織了健康防護的知識測試（百分制）活動，活動結束后隨機抽取了200名

學生的成績，并計算得知這20（）個學生的平均成績?yōu)?5,其中5個低分成績分別是30、

33、35、38、38；而產生的10個高分成績分別是9（）、91、91、92、92、93、

95、98、100、100.

（1）為了評估該校的防控是否有效，以樣本估計總體，將頻率視為概率，若該校學生的測

試得分近似滿足正態(tài)分布（〃和0?分別為樣本平均數和方差），則認為防控有

效，否則視為效果不佳.經過計算得知樣本方差為210,請判斷該校的疫情防控是否有

效，并說明理由.（參考數據：同Jxl4.5）規(guī)定：若

P（X/-2cr<X<〃+2b）>0.9544,P（〃-3bvX<〃+3cr）>0.9974,則稱變量X

“近似滿足正態(tài)分布N（〃,b2）的概率分布”.

（2）學校為了鼓勵學生對疫情防控的配合，決定對90分及以上的同學通過抽獎的方式進

行獎勵，得分低于94分的同學只有一次抽獎機會，不低于94分的同學有兩次抽獎機

31

會.每次抽獎獲得50元獎金的概率是一，獲得100元的概率是：.現在從這10個高分學

44

生中隨機選一名，記其獲獎金額為丫，求y的分布列和數學期望.

【一隅三反】

1.某學校工會積極組織學校教職工參與“日行萬步”健身活動，規(guī)定每日行走不足8千步

的人為“不健康生活方式者”，不少于14千步的人為“超健康生活方式者”，其他為“一般

健康生活方式者”.某日，學校工會隨機抽取了該校300名教職工的“日行萬步”健身活動

數據，統計出他們的日行步數（單位：千步，且均在［4,20］內），按步數分組，得到頻率分

布直方圖如圖所示.

（1）求被抽取的300名教職工日行步數的平均數（每組數據以區(qū)間的中點值為代表，結果

四舍五入保留整數）.

（2）由直方圖可以認為該校教職工的日行步數J服從正態(tài)分布N（〃,cr2）,其中，〃為

（1）中求得的平均數標準差。的近似值為2,求該校被抽取的300名教職工中日行步數

J6（14,18）的人數（結果四舍五入保留整數）.

（3）用樣本估計總體，將頻率視為概率.若工會從該校教職工中隨機抽取2人作為“日行

萬步”活動的慰問獎勵對象，規(guī)定：“不健康生活方式者”給予精神鼓勵，獎勵金額每人0

元；“一般健康生活方式者”獎勵金額每人100元；“超健康生活方式者”獎勵金額每人

200元，求工會慰問獎勵金額X的分布列和數學期望.

附：若隨機變量4服從正態(tài)分布N（〃,CT2）,則尸（〃一b<4，，4+b）a0.6827,

P（〃-2b<以〃+2a）?0.9545,0（〃一3b<〃+3a）?0.9973.

2.國家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設部于2017年聯合發(fā)布了《城市生活垃圾分類制度實施方

案》，規(guī)定某46個大中城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，并且垃圾回收、利用率要

達標.某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數量在兩萬人左右的A類社區(qū)（全市共

320個）中隨機抽取了50個進行調查，統計這50個社區(qū)某天產生的垃圾量（單位：噸），

得到如下頻數分布表，并將這一天垃圾數量超過28噸的社區(qū)定為“超標”社區(qū).

垃

圾[12.5,15.5[15.5,18.5[18.5,21.5[21.5,24.5[24.5,27.5[27.5,30.5[30.5,33.，

量

頻

56912864

數

（1）估計該市A類社區(qū)這一天垃圾量的平均值三；

（2）若該市A類社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布N（〃,27.04）,其中M近似為50

個樣本社區(qū)的平均值彳（精確到0/噸），估計該市A類社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數；

（3）根據原始樣本數據，在抽取的50個社區(qū)中，這一天共有8個“超標”社區(qū)，市政府

決定從這8個“超標”社區(qū)中任選5個跟蹤調查其垃圾來源.設這一天垃圾量不小于30.5

噸的社區(qū)個數為X,求X的分布列和數學期望.

附：若X服從正態(tài)分布則P（〃一b<XW〃+b）*（）.6826；

P（〃—2b<XW4+2o■卜0.9544；—3b<XW以+3o■卜0.9974.

答案解析

考點一正態(tài)分布的特征

【例1】（D若隨機變量X?且P（X25）=0.2,則P（1WXW5）等于

（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

（2）設隨機變量J服從正態(tài)分布N（4,3）,若。（。<“一5）=產仔>。+1）,則實數。等

于（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】⑴A（2）B

【解析】⑴由于隨機變量X~N（3,4），則P（X<1）=P（X>5）,

因此，P（1WXW5）=1-P（X<1）—P（X>5）=1—2P（X>5）=l-2x0.2=0.6.故

選：A.

（2）???隨機變量&服從正態(tài)分布N（4,3）,

VP（g<a-5）=P（C>a+l）,x=a-5與x=a+l關于x=4對稱,Aa-5+a+l=8,

.*.2a=12,a=6,故選：B.

【一隅三反】

1.某校一次高三年級數學檢測，經抽樣分析，成績4占近似服從正態(tài)分布N（95,CT2）,

且P（91<JW95）=0.25.若該校有700人參加此次檢測，估計該校此次檢測數學成績不

低于99分的人數為（）

A.100B.125C.150D.175

【答案】D

【解析】由題意，成績X近似服從正態(tài)分布N（95,b2）,

則正態(tài)分布曲線的對稱軸為X=95,

又由P（91<。495）=0.25,

根據正態(tài)分布曲線的對稱性，可得

P（X>99）=x[1-2xP（91<X<95）]=1（1-2x0.25）=0.25,

所以該市某校有700人中，估計該校數學成績不低于99分的人數為7（X）x025=175人，

故選:D.

2.某種芯片的良品率X服從正態(tài)分布N（0.95,0.OV）,公司對科技改造團隊的獎勵方案

如下：若芯片的良品率不超過95%,不予獎勵；若芯片的良品率超過95%但不超過

96%,每張芯片獎勵100元；若芯片的良品率超過96%,每張芯片獎勵200元.則每張芯

片獲得獎勵的數學期望為（）元附：隨機變量4服從正態(tài)分布N（〃,cr2）,則

尸(〃一bvjv〃+b)=0.6826,P(〃-2b<Jv〃+2cr)=0.9544,

P(〃一3cr<J<〃+3cr)=0.9974.

A.52.28B.65.87C.50.13D.131.74

【答案】B

【解析】因為X?N(0.95,0.0『)，得出〃=0.95,〃+b=0.96,

所以P(XW().95)=P(XW4)=().5,

P(0.95<X<0.96)=P(〃<XW4+b)

=g尸(〃-cr<X?〃+b)=gx0.6826=0.3413；

P(X>0.96)=g[l—P(〃—cr<X<//+(T)]=1x(1-0.6826)=0.1587,

所以E(X)=0+100x().3413+200x0.1587=65.87(元)

故選：B

3.某市為弘揚我國優(yōu)秀的傳統文化，組織全市10萬中小學生參加網絡古詩詞知識答題比

賽，總分100分，經過分析比賽成績，發(fā)現成績X服從正態(tài)分布N(82,16),請估計比賽

成績不小于90分的學生人數約為()

I1參考數據％P(4-cr<XW4+cr)=0.683,P(4-2cr<XW〃+2cr)=0.954,

P(〃-3b<X<〃+3cr)=0.997

A.2300B.3170C.3415D.460

【答案】A

【解析】依題意知，〃=82,6=4所以P(74<x<90)=0.954

則尸(x290)=(l-0.954)x；=0.023,所以比賽成績不小于90分的學生人數約為

l(XXXX)x0.023=23(X)故選：A

考點二正態(tài)分布的實際應用

【例2】根據國家質量監(jiān)督檢驗標準，過濾率是生產醫(yī)用口罩的重要參考標準，對于直徑

小于5微米的顆粒的過濾率必須大于90%.為了監(jiān)控某條醫(yī)用口罩生產線的生產過程，檢驗

員每天從該生產線上隨機抽取10個醫(yī)用口置，檢測其過濾率，依據長期生產經驗，可以認

為這條生產線正常狀態(tài)下生產的醫(yī)用口罩的過濾率Z服從正態(tài)分布N出吟.假設生產狀

態(tài)正常，生產出的每個口罩彼此獨立.記X表示一天內抽取10個口罩中過濾率小于或等于

〃一3b的數量.

(1)求P(XNl)的概率；

(2)求X的數學期望E(X)；

(3)一天內抽檢的口罩中，如果出現了過濾率Z小于〃-3b的口罩，就認為這條生產線

在這一天的生產過程中可能出現了異常情況，需要對當天的生產過程進行檢查維修，試問

這種監(jiān)控生產過程的方法合理嗎？

附：若隨機變量Z~N(〃,(y2),則P(〃一b<Z<"+b)=0.6826,

P(〃—2b<Z4M+2b)=0.9544,P(〃—3b<ZW〃+3b)=0.9974,

0.9987'°*0.9871.

【答案】(1)0.0129；(2)0.013；(3)這種監(jiān)控生產過程的方法合理.

【解析】(1)抽取口罩中過濾率在(M-3b,4+3b］內的概率

P(//-3cr<Z<//+3cr)=0.9974,

1-()9974

所以尸(Z?〃—3cr)=—；=0.0013,

所以P(Z>〃-3cr)=1—().()013=0.9987,

故P(X21)=1—P(X=())=1—().99871。=1-0.9871=0.0129

(2)由題意可知X~8(10,0.0013),所以E(X)=10x0.0013=0.013.

(3)如果按照正常狀態(tài)生產，由(1)中計算可知，一只口罩過濾率小于或等于3。的

1-09974

概率尸(Z〈M-3b)=--=0.0013,一天內抽取的10只口覃中，出現過濾率小

于或等于〃-3b的概率2(X21)=0.0129,發(fā)生的概率非常小，屬于小概率事件.所以

一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程中可能出現了異常情

況，需要對當天的生產過程進行檢查維修.可見這種監(jiān)控生產過程的方法合理.

【一隅三反】

1.為了解一種植物的生長情況，抽取一批該植物樣本測量高度(單位：cm),其頻率分布

直方圖如圖所示.

(1)求該植物樣本高度的平均數元和樣本方差52(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作

代表)；

(2)假設該植物的高度Z服從正態(tài)分布,其中〃近似為樣本平均數亂近似

為樣本方差52,利用該正態(tài)分布求產(64.5領296).

附：而6210.5.若2~"(〃,4)，則

產(〃一或七〃+0)標68.3%,尸(〃一2或必〃+2b)a95.4%.

【答案】(1)亍=75,$2=110；(2)81.85%.

【解析】(1)由題意可得平均數

x=55x0.1+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.05=75,

2222

s=(55-75)x0.1+(65-75yx0.2+(75_75)2X035+(85-75)x0.3+(95-75)x0.05=110

(2)由(1)知，Z~N(75,110),從而

P(64.5歿必75)='xP(75-10.5效275+10.5)?-x68.3%=34.15%

22

P(75領296)=-xP(75-2xl0.5^75+2x10.5)*-x95.4%=47.7%

22

所以P(64.5領296)=P(64.5轟必75)+P(75<Z?96)?34.15%+47.7%=81.85%.

2.某工廠生產某種零件，檢驗員每天從該零件的生產線上隨機抽取16個零件，并測量其

尺寸(單位：cm).根據長期生產經驗，可以認為這條生產線在正常狀態(tài)下生產的零件服從

正態(tài)分布N(u,。)

(1)假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(u—3。，u+3

。)之外的零件數，求P(X21)及X的數學期望；

(2)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

10.129.9710.019.9510.029.989.2110.03

10.049.999.989.9710.019.9710.0310.11

]16n_ion-

經計算得亍產9.96,S=bZa—稻2(工尤2一16元2)70.20,其中

16,=1Rl6Mw6M

X；為抽取的第i個零件的尺寸，i=l,2,…，16.用樣本平均數是作為口的估計值%,用樣

本標準差s作為。的估計值)，利用估計值判斷是否對當天的生產過程進行檢查？剔除

(口一3。，U+3。)之外的數據，用剩下的數據估計口和。(精確到0.01).

參考數據：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(u,。9,則P(u—3o<x<u+3o)=0.997

4,0.9974gp0.9592,70.0027?O.O5.

【答案】⑴0.0408；0.0416；(2)需要對當天的生產過程進行檢查；10.01：0.05.

【解析】(D；抽取的一個零件尺寸在(口一3。，口+3。)內的概率為0.9974,

二零件的尺寸在(口一3。，口+3。)之外的概率為0.0026,

故X?B(16,0.0026).

P(X21)=l-P(X=0)=1—0.9974%0.0408；

X的數學期望為E(X)=16X0.0026=0.0416.

(2)x?9.96-SQ0.20,得"小9.96,CT?0.20.

V樣本數據可以看到有一個零件的尺寸在(R-33,R+3同=(9.36,10.56)之外,

二需要對當天的生產過程進行檢查.

剔除(口一3。，u+3。)之外的數據9.21之后，

剩下數據的平均數右(16x9.96-9.21)=10.01,可得u的估計值為10.01.

16

Ex；=16x0.202+16x9.962=1587.8656,

/=|

剔除(9.36,10.56)之外的數據9.21之后,

剩下數據的方差為'（1587.8656-9.212-15x10.012b0.0027,

。的估計值為,0.0027x0.05.

3.現有甲、乙兩個規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場，均養(yǎng)有1萬頭豬.根據豬的體重，將其分為三

個成長階段，如下表：

階段幼年期成長期成年期

體重（kg）[2,18)[18,82)[82,98]

根據以往經驗，兩個養(yǎng)豬場內豬的體重X均近似服從正態(tài)分布N（50,162）.由于我國有

關部門加強對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期的豬的監(jiān)控力度，高度重視其質量保證，

為了養(yǎng)出健康的成年期的豬，甲、乙兩個養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式.已知

43

甲，乙兩個養(yǎng)豬場內一頭成年期的豬能通過質檢合格的概率分別為一，一.

54

（1）試估算各養(yǎng)豬場三個階段的豬的數量；

（2）已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利400元，若為不合

格的豬，則虧損200元；乙養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利

500元，若為不合格的豬，則虧損100元記丫為甲，乙養(yǎng)豬場各出售一頭成年期的豬所得

的總利潤，求隨機變量y的分布列，假設兩個養(yǎng)豬場均能把成年期的豬售完，求兩個養(yǎng)豬

場的總利潤的期望值.

（參考數據：若Z~N（〃,cr2）,則

—向必4+b）a0.683,—2向上〃+2cr）工0.954,—3超必〃+3<T）工0.997

）

【答案】（1）幼年期的豬215頭，成長期的豬9540頭，成年期的豬215頭；（2）135450

元.

【解析】（1）設各階段豬的數量分別為〃％，

?.?豬的體重X近似服從正態(tài)分布N（50,162）,

0.997-0.954

P(2領卜<18)=P(50—3xl6X<50-2x16)=0.0215,

2

n,=10000x0.0215=215（頭）；

P（18領k<82）=P（5（）-2x16X<5（）+2x16）。0.954

.-.n,=10000x0.954=9540（頭）；

0997-0954

P（82領k98）=P（50+2X16M50+3X16）?----------:—=0.0215,

2

=10000x0.0215=215（頭）

甲、乙兩個養(yǎng)豬場各有幼年期的豬215頭，成長期的豬9540頭，成年期的豬215頭.

（2）隨機變量丫的所有可能取值為900,300,-300.

43341137111

p（y=900）=-x-=-,p（y=300）=-x-+-x-=—,p（y=-300）=-x-=—,

5455454205420

.?.丫的分布列為

Y900300-300

371

P

52020

371

￡（r）=900x-+300x——300X—=630（元）,

52020

由于兩個養(yǎng)豬場均有215頭成年期的豬，且兩個養(yǎng)豬場各出售一頭成年期的豬所得的總利

潤的期望為630元，則總利潤的期望為630x215=135450（元）.

考點三正態(tài)分布與其他知識的綜合運用

【例3】某校組織了健康防護的知識測試（百分制）活動，活動結束后隨機抽取了200名

學生的成績，并計算得知這200個學生的平均成績?yōu)?5,其中5個低分成績分別是30、

33、35、38、38；而產生的10個高分成績分別是90、91、91、92、92、93、

95、98、100、100.

（1）為了評估該校的防控是否有效，以樣本估計總體，將頻率視為概率，若該校學生的測

試得分近似滿足正態(tài)分布N（〃Q2）（〃和〃分別為樣本平均數和方差），則認為防控有

效，否則視為效果不佳.經過計算得知樣本方差為210,請判斷該校的疫情防控是否有

效，并說明理由.（參考數據：V2io?14.5）規(guī)定：若

尸（〃一2b<Xv〃+2cr）>0.9544,P（//-3cr<X<//+3cr）>0.9974,則稱變量X

“近似滿足正態(tài)分布N（〃,b2）的概率分布”.

（2）學校為了鼓勵學生對疫情防控的配合，決定對90分及以上的同學通過抽獎的方式進

行獎勵，得分低于94分的同學只有一次抽獎機會，不低于94分的同學有兩次抽獎機

31

會.每次抽獎獲得50元獎金的概率是一，獲得100元的概率是丁.現在從這H）個高分學

生中隨機選一名，記其獲獎金額為y,求y的分布列和數學期望.

【答案】（1）該校的疫情防控是有效的，理由見解析；（2）分布列見解析，87.5.

【解析】（1）據該校的疫情防控是有效的，理由如下：

VV210?14.5>—2cr=65—2x14.5=36,〃+2b=65+2xl4.5=94，

〃—3cr=65-3x14.5=21.5,〃+3b=65+3x14.5=108.5,

得分小于36分的學生有3個，得分大于94分的有4個，

7

:.P(ti-2a<X<u+2(y}=l-----=0.965>0.9544

'7200

,/學生的得分都在［30,100］間，（〃-3cr<X<〃+3b）=1>0.9974.

???學生得分近似滿足正態(tài)分布N（65,210）的概率分布，因此該校的疫情防控是有效的;

（2）設這名同學獲得的獎金為y,則y的可能值為50、100、150、2（）o,

p（y=50）=-x-=—,p（y=ioo）=—xl+—xf->l=-,

10420v710410UJ8

p（y=i50）=—xC；x-xl=—,P（y=200）,x仕］」，

'71024420v>10UJ40

故y的分布列為：

Y50100150200

9331

p

2082040

9331

—+100x-+150x—+200x—=87.5.

2082040

【一隅三反】

1.某學校工會積極組織學校教職工參與“日行萬步”健身活動，規(guī)定每日行走不足8千步

的人為“不健康生活方式者”，不少于14千步的人為“超健康生活方式者”，其他為“一般

健康生活方式者”.某日，學校工會隨機抽取了該校300名教職工的“日行萬步”健身活動

數據，統計出他們的日行步數(單位：千步，且均在［4,20］內)，按步數分組，得到頻率分

布直方圖如圖所示.

頻率

(1)求被抽取的300名教職工日行步數的平均數(每組數據以區(qū)間的中點值為代表，結果

四舍五入保留整數).

(2)由直方圖可以認為該校教職工的日行步數J服從正態(tài)分布N(〃,b2),其中，〃為

(1)中求得的平均數標準差。的近似值為2,求該校被抽取的300名教職工中日行步數

46(14,18)的人數(結果四舍五入保留整數).

(3)用樣本估計總體，將頻率視為概率.若工會從該校教職工中隨機抽取2人作為“日行

萬步”活動的慰問獎勵對象，規(guī)定：“不健康生活方式者”給予精神鼓勵，獎勵金額每人0

元；“一般健康生活方式者”獎勵金額每人100元；“超健康生活方式者”獎勵金額每人

200元，求工會慰問獎勵金額X的分布列和數學期望.

附：若隨機變量g服從正態(tài)分布N(〃,cr2),則P(〃—b<A，〃+b)a0.6827,

尸(〃—2b<荔〃+2b)工0.9545,P(〃-3cr<4,,〃+3cr)*0.9973.

【答案】(1)12；(2)47；(3)分布列答案見解析，數學期望：216.

【解析】(1)依題意得

x=0.01x5+0.01x7+0.08x9+0.58x11

■+0.22xl3+0.06xl5+0.03xl7+0.01xl9=11.68?12.

(2)因為0~N(12,22),

所以P(14<J<18)=P(12+2<J<12+3x2),

=[P(6<<<18)-P(10<^<14)]?0.1573

所以走路步數4e(14,18)的總人數為300x0.1573747.

(3)由頻率分布直方圖知每人獲得獎勵為0元的概率為0.02,獎勵金額為100元的概率

為0.88,獎勵金額為200元的概率為0.1.

由題意知X的可能取值為0,100,200,300,400.

P(X=0)=O.O22=0.0004；P(X=100)=C；x0.02x().88=0.0352；

P(X=200)=C；x0.02x().l+O.882=0.7784；

P(X=300)=Cjx0.1x().88=().176：

P(X=400)=0.F=0.01.

所以X的分布列為

X0100200300400

P0.00040.03520.77840.1760.01

￡（X）=0x0.0004+100x0.0352+200x0.7784+300x0.176+400x0.01=216.

2.國家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設部于2017年聯合發(fā)布了《城市生活垃圾分類制度實施方

案》，規(guī)定某46個大中城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，并且垃圾回收、利用率要

達標.某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數量在兩萬人左右的4類社區(qū)（全市共

320個）中隨機抽取了50個進行調查，統計這50個社區(qū)某天產生的垃圾量（單位：噸），

得到如下頻數分布表，并將這一天垃圾數量超過28噸的社區(qū)定為“超標”社區(qū).

垃

圾[12.5,15.5[15.5,18.5[18.5,21.5[21.5,24.5[24.5,27.5[27.5,30.5[30.5,33.5

量

頻

56912864

數

（1）估計該市A類社區(qū)這一天垃圾量的平均值x；

（2）若該市A類社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布N（〃,27.04）,其中〃近似為50

個樣本社區(qū)的平均值元（精確到0.1噸），估計該市A類社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數；

（3）根據原始樣本數據，在抽取的50個社區(qū)中，這一天共有8個“超標”社區(qū)，市政府

決定從這8個“超標”社區(qū)中任選5個跟蹤調查其垃圾來源.設這一天垃圾量不小于30.5

噸的社區(qū)個數為X,求X的分布列和數學期望.

附：若X服從正態(tài)分布N（〃,cr2）,則尸（〃一b<XW〃+b）a0.6826；

P（〃-2b<XW4+2o■卜0.9544；尸（〃-3cr<XW〃+3o?卜0.9974.

【答案】（1）22.76噸；（2）51個；（3）分布列見解析，|.

2

【解析】

（1）樣本數據各組的中點值分別為14,17,20,23,26,29,32,則

_14x5+17x6+20x9+23x12+26x8+29x6+32x4?”

x-----------------------------------------------=22.76.

50

估計該市A類社區(qū)這一天垃圾量的平均值約為22.76噸.

（2）據題意，〃=22.8,〃=27.04，即<7=5.2,貝U

>28)=+==0.1587.

因為320x（）.1587=50.784之51,估計該市A類社區(qū)中“超標”社區(qū)約51個.

（3）由頻數分布表知，8個社區(qū)中這一天的垃圾量不小于30.5噸的“超標”社區(qū)有4

個，則垃圾量在［27.5,30.5）內的“超標”社區(qū)也有4個，則X的可能取值為1,2,3,

4.

1233323

P(X=1)="AJ,p(x=2)=上C學C=±,p(x=3)=ECC^J

'/或14'，亡7''Cl7

ooo

1

尸(X=4)=W^-

I714

則X的分布列為:

X1234

1331

Y

147714

I33I5

所以￡(X)=lx—+2x—+3x2+4x—=—.

\)1477142

《7.5正態(tài)分布》考點訓練

【題組一正態(tài)分布的特征】

1.設隨機變量4~N(M，1),函數〃x)=f+2xY沒有零點的概率是0.5,則

P(0<W)=()

附：若自?,則P(//-cr<XW〃+CT)80.6826,

P(〃-2cr<X</z+2cr)?0.9544.

A.0.1587B.0.1359C.0.2718D.0.3413

2.已知隨機變量&服從正態(tài)分布N(2,b2),P(J<4)=0.74,則尸(0<€<2)=()

A.0.26B.0.24C.0.48D.0.52

3.設X~N(I,1),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么從正方形ABCD中隨機取10000

個點，則取自陰影部分的點的個數的估計值是()

(注：若X?N(4，(T2),則P(〃—b<X+0.6827)

A.7539B.6038C.7028D.6587

4.設隨機變量X服從標準正態(tài)分布，已知P(XWL88)=0.97,則P(|X|W1.88)=()

A.0.94B.0.97C.0.06D.0.03

5.已知隨機變量X?N(2,b](b>0),若P(Xv4)=0.7,則。(0<X<2)=

()

A.0.2B.0.3C.0.5D.0.7

6.據統計，奉節(jié)臍橙的果實橫徑(單位：mm)服從正態(tài)分布N(80,52),則果實橫徑在

[75,90)的概率為()

附：若X~N(〃,cr2),則P(4-cr<X<M+CT)=0.6827；

P(〃-2cr<X<M+2tr)=0.9545.

A.0.6827B.0.8413C.0.8186D.0.9545

7.已知隨機變量X服從二項分布3(4,〃)，其期望E(X)=3,隨機變量Y服從正態(tài)分

布N(I,2),若p(y>())=〃，則p(o<y<2)=()

2311

A.-B.-C.—D.一

3442

8.趙先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行.趙先生從家到公交

站或地鐵站都要步行5分鐘.公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經常擁堵，所需時

間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(33,不)，下車后從公交站步行到單位要12分鐘；乘

坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(44,22),

下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘.給出下列說法：從統計的角度認為所有合理的說

法的序號是()

(1)若8:00出門，則乘坐公交上班不會遲到；

(2)若8:02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大；

(3)若8:()6出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大；

(4)若8:12出門.則乘坐地鐵上班幾乎不可能不遲到.

參考數據：Z~N(〃,CT2),則P(〃一b<Z”〃+b)^0.6827,

尸(〃一2<T<Z,,M+2a)b0.9545,尸(〃一3crvZ,,〃+3cr)?0.9973

A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(4)

C.(3)(4)D.(4)

9.(多選)4月23日為世界讀書日，已知某高校學生每周閱讀時間X服從正態(tài)分布

X~N(9,4),貝!!()

(附：X~N.d),X<4+cr)=0.683,

P(〃—2b<X<4+2b)=0.955,P(M-3CT<X<"+3b)=().997.)

A.該校學生每周平均閱讀時間為9小時；

B.該校學生每周閱讀時間的標準差為4；

C.該校學生每周閱讀時間不超過3小時的人數占0.3%；

D.若該校有10000名學生，則每周閱讀時間在3-5小時的人數約為210.

10.(多選)甲、乙兩類水果的質量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布N(u,,5；),N(口2,

因)，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是()

A.甲類水果的平均質量u1=0.4kg

B.甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右

C.甲類水果的平均質量比乙類水果的質量小

D.乙類水果的質量服從正態(tài)分布的參數62=1.99

11.(多選)“雜交水稻之父”袁隆平致力于雜交水稻技術的研究、應用與推廣，發(fā)明

“三系法”釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術體

系，為我國糧食安全、農業(yè)科學發(fā)展和世界糧食供給做出杰出貢獻.某水稻種植研究所調

查某地水稻的株高，得