2022年河北雄安新區(qū)博奧高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)z=（a2—l）+（a—1".6火）為純虛數(shù)，則z=（）

A.iB.-2iC.2iD.-i

2.已知點A（2,0）、B（0,-2）.若點尸在函數(shù)y=?的圖象上，則使得△PA5的面積為2的點。的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知m,n為異面直線，m_L平面a,n_L平面p,直線I滿足I_Lm,1_Ln,/a,//?,則

（）

A.a〃0且/〃aB.a±pKZ±P

C.a與0相交，且交線垂直于/D.a與0相交，且交線平行于/

2

4.若復(fù)數(shù)z=—其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

A.z的虛部為-iB.C.z的共甄復(fù)數(shù)為一1一,D.z?為純虛數(shù)

5.已知函數(shù)/（x）=x+a2,g（x）=lnx-4a-2-Y,若存在實數(shù)比。，使/伉）-g（距）=5成立,則正數(shù)a的取值

范圍為（）

A.(0,1]B.(0,4]C.[1,+co)D.(0,ln2]

V224

6.已知雙曲線與v-訝=1的一條漸近線方程為則雙曲線的離心率為（）

22

7.已知雙曲線「：+一==1（。〉0,6〉0）的右焦點為歹，過原點的直線/與雙曲線「的左、右兩支分別交于A,3

兩點，延長5尸交右支于C點，若A廣，尸瓦|b|=3|EB|,則雙曲線「的離心率是（

D,巫

2

8.定義在［-2,2］上的函數(shù)/（x）與其導(dǎo)函數(shù)廣（力的圖象如圖所示，設(shè)。為坐標(biāo)原點，A、B、C、O四點的橫坐

標(biāo)依次為-工、1、則函數(shù)丁=/（。的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

263/

9.在邊長為2如的菱形ABC。中，440=60。，沿對角線3。折成二面角A-C為120。的四面體ABCD（如

圖），則此四面體的外接球表面積為（）

A.28?B.7兀

C.14〃D.2U

10.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑閟,，若出+。4=10，4%%=64,則()

n+1

A-Sn+I-Sn=2B.a“=2"C.S“=2〃—1D.5?=2"-'-1

11.若a=log23]=log47,c=0.74,則實數(shù)a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

12.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在(0,1)上是增函數(shù)的是().

A.f(x)=x]nxB./(x)=ex-e~x

C./(x)=sin2xD./(x)=x3-x

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如果函數(shù)/（力=（相—2卜2+2（〃—8b+1（根，”€尺且加之2,〃之0）在區(qū)間g,2上單調(diào)遞減，那么加的最

大值為.

14.如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{4},則60。=.

15.已知橢圓。：「+鼻=1（。>6>0）的左右焦點分別為耳、區(qū)，過心（LO）且斜率為1的直線交橢圓于AB,

ab

若三角形片A3的面積等于回2,則該橢圓的離心率為.

16.已知復(fù)數(shù)z=（l-。?（a+i）（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在孟德爾遺傳理論中，稱遺傳性狀依賴的特定攜帶者為遺傳因子，遺傳因子總是成對出現(xiàn)例如，豌豆攜

帶這樣一對遺傳因子：A使之開紅花，。使之開白花，兩個因子的相互組合可以構(gòu)成三種不同的遺傳性狀：A4為開

紅花，Aa和oA一樣不加區(qū)分為開粉色花，為開白色花.生物在繁衍后代的過程中，后代的每一對遺傳因子都包

含一個父系的遺傳因子和一個母系的遺傳因子，而因為生殖細(xì)胞是由分裂過程產(chǎn)生的，每一個上一代的遺傳因子以1

的概率傳給下一代，而且各代的遺傳過程都是相互獨立的.可以把第九代的遺傳設(shè)想為第〃次實驗的結(jié)果，每一次實

驗就如同拋一枚均勻的硬幣，比如對具有性狀的父系來說，如果拋出正面就選擇因子A,如果拋出反面就選擇因

子。，概率都是對母系也一樣.父系.母系各自隨機選擇得到的遺傳因子再配對形成子代的遺傳性狀.假設(shè)三種遺

傳性狀A(yù)4,Aa（或&4）,在父系和母系中以同樣的比例：〃"：w（"+v+w=l）出現(xiàn)，則在隨機雜交實驗中，遺

vv

傳因子A被選中的概率是口="+,,遺傳因子。被選中的概率是4=w+萬.稱p,q分別為父系和母系中遺傳因子

A和。的頻率，夕：4實際上是父系和母系中兩個遺傳因子的個數(shù)之比.基于以上常識回答以下問題：

（1）如果植物的上一代父系、母系的遺傳性狀都是Aa,后代遺傳性狀為A4,Aa（或aA）,的概率各是多少？

（2）對某一植物，經(jīng)過實驗觀察發(fā)現(xiàn)遺傳性狀具有重大缺陷，可人工剔除，從而使得父系和母系中僅有遺傳性狀

為A4和Aa（或M）的個體，在進(jìn)行第一代雜交實驗時，假設(shè)遺傳因子A被選中的概率為。，。被選中的概率為4,

p+q=l.求雜交所得子代的三種遺傳性狀A(yù)4,Aa（或《A）,所占的比例4,匕,嗎.

（3）繼續(xù)對（2）中的植物進(jìn)行雜交實驗，每次雜交前都需要剔除性狀為狽的個體假設(shè)得到的第九代總體中3種遺傳

性狀A(yù)4,Aa（或a4）,所占比例分別為%,匕,嗎+匕+嗎=1）.設(shè)第九代遺傳因子4和a的頻率分別為P.和

U+口工1

qn,已知有以下公式〃"2〃_2?.證明一是等差數(shù)列.

Pn--------An-：----，”-1,2,…q

1一%1一%I

（4）求％加〃，t的通項公式，如果這種剔除某種遺傳性狀的隨機雜交實驗長期進(jìn)行下去，會有什么現(xiàn)象發(fā)生？

18.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且滿足2S"=“-"2（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

2樂，5=2左—1)

（2）設(shè)a=（2（左eN*），數(shù)列｛〃｝的前幾項和北.若北〃=a［工］——L-+b對

(〃=2k)

、。―?！ǎ?一4+2）14J2n+2

“eN*恒成立，求實數(shù)。，b的值.

=l（a〉6〉0）的離心率為半，點（6,&）

19.（12分）橢圓E：為橢圓上的一點.

a2b2

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若斜率為左的直線/過點A（O,1）,且與橢圓E交于兩點，3為橢圓E的下頂點，求證：對于任意的實數(shù)3

直線BC,BD的斜率之積為定值.

20.（12分）已知三棱柱A3C—43iG中，AB=BB［=2,。是的中點，/用朋=60。，BXD±AB.

（1）求證：AB±AC；

（2）若側(cè)面ACC】A為正方形，求直線耳。與平面所成角的正弦值.

21.（12分）在AABC中，角A,瓦C的對邊分別為"c.已知c=40，sin-=^

25

(1)若a=l,求sinA；

（2）求AABC的面積S的最大值.

22.（10分）如圖（1）五邊形ABCDE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,

ZEDC=15O,將AEAD沿AD折到AR4D的位置，得到四棱錐尸—ABCD,如圖(2),點〃為線段PC的中點,

且?平面PCD.

(1)求證：平面B4D_L平面ABC。；

(2)若直線PCAB與所成角的正切值為工，求直線與平面PD3所成角的正弦值.

2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

復(fù)數(shù)z=(6—1)+(?！獮榧兲摂?shù)，則實部為0,虛部不為0,求出a,即得z.

【詳解】

*/z=(a2_])+(a_i)*aeR)為純虛數(shù)，

tz2—1=0

工〈，解得。=—1.

〃一1w0

/.z=—2i?

故選：B.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

設(shè)出點尸的坐標(biāo)，以A3為底結(jié)合△PA3的面積計算出點P到直線A3的距離，利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于

。的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.

【詳解】

設(shè)點P的坐標(biāo)為⑷，直線A3的方程為5―金=1，即x—y—2=0,

設(shè)點P到直線AB的距離為d,則久"8=3.|/=3義20xd=2,解得d=0,

\a-Ja—2?_

另一方面，由點到直線的距離公式得d=J_-___l=A/2>

V2

整理得a=0或a一—4=0，，/<7>0,解得。=0或。=1或a=

2

綜上，滿足條件的點P共有三個.

故選：C.

【點睛】

本題考查三角形面積的計算，涉及點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題.

3.D

【解析】

試題分析：由相，平面C,直線/滿足/，加，且/<za,所以///a,又“，平面￡,所以///。,由

直線加,77為異面直線，且加，平面外〃，平面￡,則a與夕相交，否則，若。//月則推出相〃心與以〃異面矛盾,

所以華，相交，且交線平行于/,故選D.

考點：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論.

4.D

【解析】

將復(fù)數(shù)z整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.

【詳解】

_2_2(1-0.

z==

T77(i+o(i-O

Z的虛部為—1,A錯誤；|Z|=V1T1=V2,3錯誤；z=l+z,C錯誤；

z2=(l-i)2=-2i,為純虛數(shù)，。正確

本題正確選項：D

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的模長、實部與虛部、共朝復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

根據(jù)實數(shù)X。滿足的等量關(guān)系，代入后將方程變形4a2%=1叫+5-%,構(gòu)造函數(shù)/z(x)=liu+5—x,并由

導(dǎo)函數(shù)求得可九)的最大值；由基本不等式可求得a.2%+4/2』的最小值，結(jié)合存在性問題的求法，即可求得正數(shù)。

的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)/(x)=x+a?2*,g(x)=hu-4a-2-*,

由題意得/(x0)-g(x0)=x0+?-2^一1叫+482-%=5,

即a?2%+4a?2』=liu0+5-x0,

令Zz(x)=lnx+5-

h'(x)=——1—-——,

XX

在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

???=M1)=4,而。.2%+4a.2飛22川2'42飛=4a，

當(dāng)且僅當(dāng)2%=4-2/，即當(dāng)天=1時，等號成立，

:.4a<4,

，0<Q<1.

故選：A.

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，由基本不等式求函數(shù)的最值，存在性成立問題的解法，屬于中檔題.

6.B

【解析】

由題意得出勺的值，進(jìn)而利用離心率公式e=Jl+-可求得該雙曲線的離心率.

?2\UJ

【詳解】

雙曲線￡-乂=1的漸近線方程為y=±?x,由題意可得與,

a2b2aa2{3J9

因此，該雙曲線的離心率為e=￡=J《±^=Jl+眩=?.

a\a2\a23

故選：B.

【點睛】

I(b\

本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式e=1+-計算較為方便，考查計算能力，屬于

V\aj

基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點為小，連接5尸，AF',CF,設(shè)5F=x，則CF=3x,BF'=2a+x,CF'=3x+2a,RtACBF'

和RtAFBF'中，利用勾股定理計算得到答案.

【詳解】

設(shè)雙曲線的左焦點為E',連接5F',AF',CF',

設(shè)=則CF=3x,BF,=2a+x,CF'=3x+2a,

AF±FB,根據(jù)對稱性知四邊形AEB尸為矩形，

RtACBF,中:CF'2=CB2+BF'2,即(3x+2a『=(4x『+(2a+x『，解得x=a；

RtAFBF'中:FF,2=BF2+BF,2>即(2c?="+。々?，故q=g,故《=羋.

故選：D.

【點睛】

本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.

8.B

【解析】

先辨別出圖象中實線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象，求出函數(shù)丫=且0的導(dǎo)數(shù)為

ex

y=m⑴,由y'<0,得出/'(x)</(x),只需在圖中找出滿足不等式r(x)</(x)對應(yīng)的X的取值范圍

ex

即可.

【詳解】

若虛線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，則該函數(shù)只有一個極值點，但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實線)與x軸有三個交點，不合乎

題意；

若實線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，則該函數(shù)有兩個極值點，則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與x軸恰好也只有兩個交點，

合乎題意.

對函數(shù)丫=/區(qū)求導(dǎo)得y=,一/,由v<o得ra)</(x),

exex

由圖象可知，滿足不等式/'(力</(力的X的取值范圍是，,

因此，函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間為

故選：B.

【點睛】

本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，考查推理能力，屬于中等

題.

9.A

【解析】

畫圖取6D的中點M,法一：四邊形0aMQ的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據(jù)

00[=也,即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出ACBD的外接圓直徑CE,求出AC和sin/AEC,即可

求半徑從而求外接球表面積；

【詳解】

如圖，取5。的中點M,ACBD和AABD的外接圓半徑為6=々=2,ACBD和AABD的外心。]，。2到弦的

距離（弦心距）為4=4=L

廠”“力

法一：四邊形OQMQ的外接圓直徑OM=2,R=幣,

S=28zr；

法二：00[=也,R=用,S=28〃；

法三：作出ACBZ）的外接圓直徑CE,則AM=CM=3,CE=4,ME=1，

AE=WAC=35SS/AEC=2中,4=-2幣'

3百2R=———=^^=2A/7廠

sinZAEC=—^,sinZAEC3G，R=@，S=28%.

2近2出

故選：A

【點睛】

此題考查三棱錐的外接球表面積，關(guān)鍵點是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑,方法較多，屬于較易題目.

10.C

【解析】

先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的的值，再根據(jù)?2，%的方程組可得。2，%的值，從而得到數(shù)列的公比，進(jìn)而得到數(shù)列的通

項和前〃項和，根據(jù)后兩個公式可得正確的選項.

【詳解】

因為｛4｝為等比數(shù)列，所以故d=64即%=4,

二

a^+aA=10]氏=2（a,=8,、fa,2

由'“可得'。或-C，因為｛q｝為遞增數(shù)列，故一=8符合?

a2a4=16[%=8[%=2

此時/=4,所以q=2或q=-2（舍，因為｛4｝為遞增數(shù)列）.

故a“=生產(chǎn)=4x2-3=2",s=.(I)=2"—1.

"1-2

故選C.

【點睛】

一般地，如果｛4｝為等比數(shù)列，s,為其前〃項和，則有性質(zhì)：

(1)若m,〃,p,qGN*,m+n=p+q,貝!J%“4=與外；

(2)公比4W1時，則有S“=A+8q",其中A,3為常數(shù)且A+6=0；

(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,：.為等比數(shù)列(S“w0)且公比為q".

11.A

【解析】

將。化成以4為底的對數(shù)，即可判斷。力的大小關(guān)系；由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷出仇c與1的大小關(guān)

系，從而可判斷三者的大小關(guān)系.

【詳解】

依題意，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得a=log23=log49>b=log47.

又因為c=0.74<0.7°=l=log44<log47=6,故a>6>c.

故選:A.

【點睛】

本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對數(shù)的運算性質(zhì).兩個對數(shù)型的數(shù)字比較大小時，底數(shù)相

同，則構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，結(jié)合對數(shù)的單調(diào)性可判斷大??；若真數(shù)相同，則結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大小;

若真數(shù)和底數(shù)都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.

12.B

【解析】

奇函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點對稱且/(x)+/(-%)=0,在(0,1)上/(力20即可.

【詳解】

A：因為/(x)=xlnx定義域為了>0,所以不可能時奇函數(shù)，錯誤；

B：/(x)=e一二定義域關(guān)于原點對稱，且/(x)+/(r)=，-ef+”“一產(chǎn)=0

滿足奇函數(shù)，又尸(龍)=《+07>0,所以在(0,1)上尸(x"0,正確;

C：/(X)=sin2x定義域關(guān)于原點對稱，M/(x)+/(-x)=sin2x+sin-2x=0

滿足奇函數(shù)，/(x)=2cos2x,在(0,1)上，因為尸(0)/''⑴=2x2cos2<0,所以在(0,1)上不是增函數(shù)，錯誤;

D：/(x)=x3—X定義域關(guān)于原點對稱，Mf(x)+f(-x)=x3-x+(-x3+x)=0,

滿足奇函數(shù)，/'(x)=3f—1在(0,1)上很明顯存在變號零點，所以在(0,1)上不是增函數(shù)，錯誤；

故選：B

【點睛】

此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，注意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點對稱，屬于簡單題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.18

【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式，利用基本不等式求解即可.

【詳解】

解:①當(dāng)機=2時，f(x)=2(n-8)x+l,

/(九)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，

則〃一8<0,即<8,

則

②當(dāng)加>2時，/(x)=(m-2)x2+2(n-8)x+l,

2(n-8)n-S

函數(shù)開口向上，對稱軸為x=―止=-----

—m—2

因為/(%)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，

rITl-8-

則------>2,

m—2

因為加>2,則一(九一8)>2(m-2),

整理得2加+〃<12,

又因為機>2,

則2"+刀>2yl21nli?所以—"—Nyjlmn

所以

當(dāng)且僅當(dāng)m=3,n=6時等號成立.

綜上所述,加，的最大值為18.

故答案為：18

【點睛】

本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定，二正，三相等”.

14.5252

【解析】

根據(jù)圖像歸納4=2+3+4+...+“+2,根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.

【詳解】

根據(jù)圖像：％=2+3,g=2+3+4,故a”=2+3+4+...+“+2,

.（2+102）x101

故［00=2+3+4+…+102=------------=5252?

故答案為：5252.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

15.73-1

【解析】

由題得直線A5的方程為》=了+1,代入橢圓方程得：（/+/）/+2匕、+/—4/=0,

設(shè)點A（石,％）,B（x2,y2）,則有為+%==^,=由

a+Pa+b

=1x|^^|x|yi-y2|=,且“2—62=1解出a,進(jìn)而求解出離心率?

【詳解】

22

由題知，直線的方程為》=丁+1,代入三+9=1消x得：

+b2>jy2+2b2y+b2-c^b2=0,

設(shè)點A（石,%），6（%，%），貝！I有H+

1—2人丫吩—a1白2ab^a2+Z?2-1

二|乂一%|=4%+%)2—4乂％=

V、片+方,a2+b2

a2+b2

而知耳工|義|必一%|=三二二回又儲一廿,

AB=3X|2*2仍,：+；?2,=1

解得：a=@±l,所以離心率e=7—=73-1

V3+1

2

2

故答案為：V3-1

【點睛】

本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積計算與離心率的求解，考查了學(xué)生的運算求解能力

16.-1

【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法求解2再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.

【詳解】

解：復(fù)數(shù)Z=(l-7)(a+z)=a+l+(l-a)z'為純虛數(shù),

a+1^0,1-Qw0,

解得a=-l.

故答案為：T.

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

111

17.（1）A4.Aa（或oA）,的概率分別是一，一，一.（2）%="9#==如9（3）答案見解析（4）答

424

案見解析

【解析】

（1）利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.

（2）利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.

(3)由(2)知M〃+1=P"2,v“+i=20%,叱+1=q“2,求出p“+]、qn+i,利用等差數(shù)列的定義即可證出.

(4)利用等差數(shù)列的通項公式可得一=一+5-1),從而可得外=T<,再由嗎+1=縱2=_J_,利用式子

Qn1i+7的U+q"

的特征可得叫越來越小，進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

(1)即Aa與Aa是父親和母親的性狀，每個因子被選擇的概率都是工，

2

故A4出現(xiàn)的概率是,義工，Aa或M出現(xiàn)的概率是工乂工+1><』=2,

2222224

aa出現(xiàn)的概率是一X—

22

所以：AAfAa(或。4),的概率分別是一，一，—

424

(2)%=pn,%=2pq,W]=q?

(3)由(2)知"〃+]=p/#“]=2p〃/,w〃+i=/2

IVn+1n212PMi

.2P"+工

于是P-1

l—%+i1-端i+q.

V

n+1

p“q“_PM,_q”

i-qj(1-%)(1+縱)i+%

...p-是等差數(shù)列，公差為i

〔q“J

(4)——=一+(〃T)

%(7i

打2pq

其中，=」_=」_=，_(由(2)的結(jié)論得)

1

l-w1I-/1+<7

11q

所以一=一+〃=%

%5\+nq

(、2

于是，叱,+i=qJq

J+q,”

/p+nq、2

p+nq2

Pn

^1+nqy

SRC”C.p萬(p+寸nq)

/、2

q

很明顯wn+1,〃越大，叫+1越小，所以這種實驗長期進(jìn)行下去,

必越來越小，而嗎是子代中狽所占的比例，也即性狀⑶會漸漸消失.

【點睛】

本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式、等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的通項公式，考查了學(xué)生的分析能力，屬

于中檔題,

411

18.(1)a,,=1-n(n>1)(2)a=一一，b=一

36

【解析】

(1)根據(jù)數(shù)列的通項4與前〃項和S”的關(guān)系式，即求解數(shù)列的通項公式;

2211

(2)由(1)可得T.77.\——(~,利用等比數(shù)列的前〃項和公式和裂項法，求得

(1—。〃)(1一凡+2)n(n+2)nn+2

n

e114f1」一，結(jié)合題意，即可求解.

凡丁3

42〃+2

【詳解】

(1)由題意，當(dāng)〃=1時，由2sl=1—解得q=o；

當(dāng)“22時，可得2q=2S“—2S"T=n-n2-[(n-l)-(n-l)2]=2-2H,

即=1-n,(n>2),

顯然當(dāng)〃=1時上式也適合，所以數(shù)列的通項公式為4=1-".

2211

(2)由(1)可得71---M-----\=(介=------yr,

(1-?！?(1一?！?2)n[n+2)nn+2

所以&=(々+4+…+處-1)+32+a+…+邑)

=（2。+2-2+...+22-2'）+

TJ11114pY1

_____￡__|__________=___________________

=1_J_22n+263（4）2n+2

~4

因為l-Z?對〃eN*恒成立,

2"UJ2〃+2

411

所以。,b=—.

36

【點睛】

本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解，等差數(shù)列的前"項和公式，以及裂項法求和的應(yīng)用，其中解答中熟記等差、

等比數(shù)列的通項公式和前"項和公式，以及合理利用“裂項法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于

中檔試題.

22

19.(1)—+^=1；(2)證明見解析

64

【解析】

(1)運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解得。，b,進(jìn)而得到橢圓方程；(2)設(shè)直線/:y=Ax+l,代入橢圓方程,

運用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，以及點在直線上滿足直線方程，化簡整理，即可得到定值.

【詳解】

11

(1)因為e="，所以°=立。，a=b+[—a\①

3313J

Qr\

又橢圓過點(Ji夜)，所以/+屏=1②

由①②,解得合=6,廿=4

22

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+匕=1.

64

(2)證明設(shè)直線/：y=kx+l,

(22

土+匕=]

聯(lián)立<64得(3左2+2)%2+6點—9=0,

y=kx+1

設(shè)。(石，％)，。(%2,%)，

e6k9

貝！Ix+x=---；——,xx,=-----——

12-3k2+223左2+2

易知磯0,-2)

2

,,_%+2y2+2_kxi+3kx2+3kxlx2+3k(xl+x2)+9

故化BC■^BD~—-----------------------

石X?玉%2X?

,23^(x+x)92k(、\

2+—=Z：92+3^.--(3^2+2=—2

XyX2XjX23''

所以對于任意的k，直線BC,BD的斜率之積為定值.

【點睛】

本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理

和直線的斜率公式，化簡整理，考查運算能力，屬于中檔題.

20.(1)證明見解析(2)正

5

【解析】

(1)取A5的中點。，連接8,OB{,證明A3,平面。。用得出ABLOD,再得出A3LAC；

(2)建立空間坐標(biāo)系，求出平面GAD的法向量為，計算cos＜力，麗〉即可得出答案.

【詳解】

(1)證明：取A8的中點。，連接8,OBy,

ZB.BA=60°,B]B=2,OB=-AB=1,

2

OB】=V4+l-2x2xlxCOS60°=A/3,

OB2+OB；=BB；,故AB_L06,

又OB1QB1D=B1,04,BQu平面。。耳，

AB_L平面。。用，

AB±OD,

-■O,。分別是A5,BC的中點，.?.OD//AC,

.-.AB±AC.

(2)解：?.?四邊形ACGA是正方形，?.?AC，A41,

又ACLAB,AB^\AAl=A,AB,A4,u平面45與4，

.?.47，平面45與4,

在平面內(nèi)作直線AB的垂線AE,以4為原點，以AB,AC,AE為所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系

A-xyz,

則A(0,0,0),0(1,1,0),q(-l,2,5,5)(1,0,百)，

???AD=(1,1,0),Aq=(-1,2,A/3),麗=(0,1,-我，

ri-AD=0x+y=0

設(shè)平面GAD的法向量為河=(X,y,z),貝叫

n-AC[=0

令x=l可得：為=(1,-1,73),

c…，即＞=上嗎一

I加|BQ|小5

直線BXD與平面QAD所成角的正弦值為Icos〈萬，麗＞|=半.

【點睛】

本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間向量與空間角的計算，屬于中檔題.

21.(1)sinA=—;(2)4

10

【解析】

(1)根據(jù)已知用二倍角余弦求出cosC,進(jìn)而求出sinC,利用正弦定理，即可求解；

(2)由c邊C角，利用余弦定理結(jié)合基本不等式，求出ab的最大值，即可求出結(jié)論.

【詳解】

C34

(1)VcosC=l-2sin2一=——,/.sinC=—,

255

由正弦定理‘一=」^得sinA=竺巴C=也.

sinAsinCc