2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第七章 第六節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用含答案

14版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第七章第六節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用第六節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題(規(guī)范答題)[例1](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>1,令bn=n2+nan,記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{b(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99-T99=99,求d.審題導(dǎo)思破題點(diǎn)·柳暗花明(1)思路:根據(jù)等差數(shù)列的定義,靈活運(yùn)用給定的條件,即可得到所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;同時(shí)幫助學(xué)生理解題設(shè)條件,以順利進(jìn)入第(2)問(wèn)的情境.(2)思路:所給題設(shè)條件“{bn}為等差數(shù)列”要求學(xué)生能夠靈活轉(zhuǎn)化為求解數(shù)列{an}中公差與首項(xiàng)的關(guān)系,可以采用通性通法來(lái)解答.規(guī)范答題微敲點(diǎn)·水到渠成【解析】(1)因?yàn)?a2=3a1+a3,所以3d=a1+2d,解得a1=d, [1分]關(guān)鍵點(diǎn)根據(jù)已知條件,列方程求出首項(xiàng)a1和公差d的關(guān)系.所以S3=3a2=3(a1+d)=6d,又T3=b1+b2+b3=2d+3d+4d所以S3+T3=6d+9d即2d2-7d+3=0,解得d=3或d=12(舍去), 所以an=a1+(n-1)d=3n,所以an的通項(xiàng)公式為an=3n. 閱卷現(xiàn)場(chǎng)(1)沒(méi)有過(guò)程,只有an=3n得1分;(2)結(jié)果正確時(shí)漏寫(xiě)a1=d不扣分;(3)d=12漏舍只得1分(2)因?yàn)閎n=n2+n所以2b2=b1+b3,即12a2=2a1+所以6a1+d-所以a12-3a1d+2d解得a1=d或a1=2d. [8分]傳技巧取bn的前3項(xiàng),利用等差中項(xiàng)2b2=b1+b3,得到首項(xiàng)a1和公差d之間的關(guān)系解法一:①當(dāng)a1=d時(shí),an=nd,所以bn=n2+nanS99=99a1+a99T99=99b1+b99因?yàn)镾99-T99=99,所以99×50d-99×51d關(guān)鍵點(diǎn)利用S99-T99=99,列出關(guān)于d的方程,結(jié)果注意d>1.即50d2-d-51=0,解得d=5150或d=-1(舍去). ②當(dāng)a1=2d時(shí),an=(n+1)d,所以bn=n2+nan避易錯(cuò)討論另一種情況,不可遺漏.S99=99a1+a99T99=99b1+b99因?yàn)镾99-T99=99,所以99×51d-99×50d即51d2-d-50=0,解得d=-5051(舍去)或d=1(舍去).綜上,d=5150. 解法二:因?yàn)镾99-T99=99,由等差數(shù)列的性質(zhì)知,且99a50-99b50=99,即a50-b50=1,傳技巧利用等差數(shù)列的性質(zhì),可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.列方程求出a50,注意由d>1可知an>0.所以a50-2550a50=1,即a502解得a50=51或a50=-50(舍去). [10分]①當(dāng)a1=d時(shí),a50=a1+49d=50d=51,解得d=5150②當(dāng)a1=2d時(shí),a50=a1+49d=51d=51,解得d=1,與d>1矛盾,應(yīng)舍去. [11分]綜上,d=5150. 解法三:因?yàn)閍n,banbn=n(n+1),所以可設(shè)an=1k敲黑板構(gòu)造新數(shù)列要考慮全面,少寫(xiě)一組不得分.(i)當(dāng)an=1k(n+1),bn=knS99-T99=1k(2+3+…+100)-k(1+2+…+99)=99,即50k2+k解得k=-5150或k=1,因?yàn)閐=k>1,所以均不合題意. (ii)當(dāng)an=kn,bn=1k(nS99-T99=k(1+2+…+99)-1k(2+3+…+100)=99,即50k2-k解得k=5150或k=-1因?yàn)閐=k>1,所以k=5150所以d=5150. 拓思維高考命題強(qiáng)調(diào)“多思考,少運(yùn)算”的理念,試題面向全體學(xué)生,為考生搭建展示數(shù)學(xué)能力的平臺(tái).本解法根據(jù)給出的條件,巧妙的構(gòu)造新的數(shù)列,突破常規(guī)解法,靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí),解題方法“高人一招”,解題速度“快人一步”.【解題技法】等差、等比數(shù)列綜合問(wèn)題的求解策略1.基本方法:求解等差、等比數(shù)列組成的綜合問(wèn)題,首先要根據(jù)數(shù)列的特征設(shè)出基本量,然后根據(jù)題目特征使用通項(xiàng)公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì)等建立方程(組),確定基本量;2.基本思路:注意按照順序使用基本公式、等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)以及證明數(shù)列為等差、等比數(shù)列的方法確定解題思路.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(2022·全國(guó)甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知2Snn+n=2a(1)證明:{an}是等差數(shù)列;(2)若a4,a7,a9成等比數(shù)列,求Sn的最小值.【解析】(1)由2Snn+n=2得2Sn+n2=2ann+n①,所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1)②,②-①,得2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1,化簡(jiǎn)得an+1-an=1,所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)知數(shù)列{an}的公差為1.由a4,a7,a9成等比數(shù)列,得a72=a4a即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12,所以Sn=-12n+n(n-1)2=n2-25n2所以,當(dāng)n=12或n=13時(shí),(Sn)min=-78.考點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、向量的綜合[例2](1)(2023·龍巖模擬)已知函數(shù)f(x)=13x3+4x,記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若f(a1+2)=100,f(a2022+2)=-100,則S2022等于(A.-4044 B.-2022C.2022 D.4044【解析】選A.因?yàn)閒(-x)=-13x3-4x=-f(x所以f(x)是奇函數(shù),因?yàn)閒(a1+2)=100,f(a2022+2)=-100,所以f(a1+2)=-f(a2022+2),所以a1+2+a2022+2=0,所以a1+a2022=-4,所以S2022=2022(2)數(shù)列an滿足a1=1,a2=5,若m=1,an+1+1,n=an+a【解析】由已知m·n=0,得1×an+a即an+2-則an+1-an是首項(xiàng)為a則an+1-an=a2-a1+于是an=an-an-1+an=2n+2n-1+=2n+n-1+…+2答案:an=n2+n-1【解題技法】數(shù)列與函數(shù)、向量的綜合問(wèn)題的求解策略(1)已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問(wèn)題,此類問(wèn)題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題;(2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問(wèn)題,解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形;(3)涉及數(shù)列與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題,常利用三角函數(shù)的周期性等特征,尋找規(guī)律后求解;(4)涉及數(shù)列與向量有關(guān)的綜合問(wèn)題,應(yīng)根據(jù)條件將向量式轉(zhuǎn)化為與數(shù)列有關(guān)的代數(shù)式求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知數(shù)列{an}滿足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=π2,若函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2x2,記yn=f(an),則數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為(A.0 B.-9 C.9 D.1【解析】選C.由題意知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.因?yàn)閍5=π2,所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=πf(x)=sin2x+2cos2x2,所以f(x)=sin2x+cosx所以f(a1)+f(a9)=sin2a1+cosa1+1+sin2a9+cosa9+1=2.同理f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2.因?yàn)閒(a5)=1,所以數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為9.2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實(shí)數(shù)λ的最大值為_(kāi)_______.

【解析】因?yàn)閍4+λa10+a16=15,所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,令λ=f(d)=151+9d-2,因?yàn)閐所以令t=1+9d,t∈[10,19],因此λ=f(t)=15t-2當(dāng)t∈[10,19]時(shí),函數(shù)λ=f(t)是減函數(shù),故當(dāng)t=10時(shí),實(shí)數(shù)λ有最大值,最大值為f(10)=-12答案:-1考點(diǎn)三數(shù)列與不等式的綜合【考情提示】數(shù)列不等式作為考查數(shù)列綜合知識(shí)的載體,因其全面考查數(shù)列的性質(zhì)、遞推公式、求和等知識(shí)而成為高考命題的熱點(diǎn),重點(diǎn)考查不等式的證明、參數(shù)范圍、最值等.角度1數(shù)列中的最值[例3]公比為2的等比數(shù)列{an}中存在兩項(xiàng)am,an滿足aman=16a12,則1m+4A.32 B.53 C.43 【解析】選A.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知am=a1×2m-1,an=a1×2n-1,由aman=16a1可得a12×2m+n-2=16a12故2m+n-2=16,解得m+n=6,則1m+4n=16(m+n)·(1m+4n)=16(1+4mn(當(dāng)且僅當(dāng)m=2,n=4時(shí)取等號(hào)).角度2數(shù)列中的不等式證明[例4](2023·寧德模擬)已知數(shù)列an,bn滿足bn=an+n2,a1+b1=3,a2+b2=8,且數(shù)列a(1)求數(shù)列bn(2)記數(shù)列1bn的前n項(xiàng)和為Sn,求證:12≤S【解析】(1)由bn=an+n2得b1=a1+1,b2=a2+4,代入a1+b1=3,a2+b2=8得2a1+1=3,2a2+4=8,解得a1=1,a2=2.又因?yàn)閿?shù)列an故公差為d=a2-a1=1,因此an=n,bn=n+n2.(2)由(1)可得bn=n+n2,所以1bn=1n+n所以Sn=1b1+1b2+1=(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1n+1所以0<1n+1≤12所以12≤1-1n+1<1,即12≤角度3數(shù)列中的不等式恒成立[例5]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=5-n,其前n項(xiàng)和為Sn,將數(shù)列{an}的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后,剩下三項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng),記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.若存在m∈N*,使對(duì)任意n∈N*,Sn≤Tm+λ恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()A.[2,+∞) B.(3,+∞)C.[3,+∞) D.(2,+∞)【解析】選D.依題意得Sn=(4+5-n)n2=n(9-n)2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)n=4,5時(shí),Sn取得最大值為10.另外,根據(jù)通項(xiàng)公式得數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為a1=4,a2=3,a3=2,a4=1,觀察易知抽掉第二項(xiàng)后,余下的三項(xiàng)可組成等比數(shù)列,所以數(shù)列{bn}中,b1=4,公比q=12,所以Tn=4(1-12n)1-12=8(1-12n),所以4≤Tn<8.【解題技法】數(shù)列與不等式交匯問(wèn)題的解題策略(1)判斷數(shù)列問(wèn)題的一些不等關(guān)系,可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(2)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問(wèn)題,此類問(wèn)題一般采用放縮法進(jìn)行證明,有時(shí)也可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.(3)數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問(wèn)題,常轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問(wèn)題;求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·重慶模擬)設(shè)a>0,b>0,若3是3a與9b的等比中項(xiàng),則1a+2b的最小值為(A.92 B.3 C.32+2 D【解析】選A.因?yàn)?是3a與9b的等比中項(xiàng),所以32=3a·9b=3a+2b,所以a+2b=2,所以1a+2b=12·(1a+2b)·(a+2b)=12(5+2ab+2ba)≥12·(5+22.數(shù)列{an}滿足a1=14,an+1=14-4an,若不等式a2a1+a3a2+…+A.74 B.34 C.78 【解析】選A.因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1=14,an+1=14-4an,所以反復(fù)代入計(jì)算可得a2=26,a3=38,a4=410,a5=512,…,由此可歸納出通項(xiàng)公式an=n2(n+1),經(jīng)驗(yàn)證,成立,所以an+1an=1+1n(n+2)=1+1212(1n+2+1n+3).因?yàn)橐骯2a1+a3a2+…3.(2023·南京模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*(1)求數(shù)列an(2)求證:1a12+1a22+【解析】(1)(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,則(n-2)Sn+1+2(Sn+1-Sn)=nSn,整理得到nSn+1=(n+2)Sn,故Sn+1(故Snn(n+1即Sn=n(n+1).當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2n,驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)滿足,故an=2n,n∈N*.(2)1an2=14n2<故1a12+1a22+…+1an2<14+12(13-15+15-17+…+12n考點(diǎn)四數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的綜合應(yīng)用[例6](1)(2022·新高考Ⅱ卷)圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),AA',BB',CC',DD'是桁,相鄰桁的水平距離稱為步,垂直距離稱為舉,圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖,其中DD1,CC1,BB1,AA1是舉,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9【解析】選D.設(shè)OD1=DC1=CB1=BA1=1,則CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3,依題意,有k3-0.2=k1,k3-0.1=k2,且DD1+所以0.5+3k3-0.34(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)測(cè)量,已知某養(yǎng)魚(yú)場(chǎng),第一年魚(yú)的質(zhì)量增長(zhǎng)率為200%,以后每年的增長(zhǎng)率為前一年的一半.若飼養(yǎng)5年后,魚(yú)的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來(lái)的t倍.下列選項(xiàng)中,與t值最接近的是()A.11 B.13 C.15 D.17【解析】選B.設(shè)魚(yú)原來(lái)的質(zhì)量為a,飼養(yǎng)n年后魚(yú)的質(zhì)量為an,q=200%=2,則a1=a(1+q),a2=a1(1+q2)=a(1+q)(1+q2),…,a5=a(1+2)×(1+1)×(1+12)×(1+1=40532a≈12.7a,即5年后,魚(yú)的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來(lái)的13倍【解題技法】數(shù)列在實(shí)際應(yīng)用中的常見(jiàn)模型等差模型如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù),則該模型是等差模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公差等比模型如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的非零常數(shù),則該模型是等比模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公比遞推數(shù)列模型如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定,隨項(xiàng)的變化而變化,則應(yīng)考慮考查的是第n項(xiàng)an與第(n+1)項(xiàng)an+1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前(n+1)項(xiàng)和Sn+1之間的遞推關(guān)系【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·武漢模擬)南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn),他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》,該著作中的“垛積術(shù)”問(wèn)題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例,其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開(kāi)始,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為2,3,6,11,則該數(shù)列的第15項(xiàng)為()A.196 B.197 C.198 D.199【解析】選C.設(shè)該數(shù)列為an,則a1=2,a2=3,a3=6,a4=11.由二階等差數(shù)列的定義可知,a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…所以數(shù)列an+1-an是以a2-a1=1為首項(xiàng),公差d=2的等差數(shù)列,即an+1-an=2n-1,所以a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,an+1-將所有上式累加可得an+1=a1+n2=n2+2,所以a15=142+2=198,即該數(shù)列的第15項(xiàng)為198.2.(2023·深圳模擬)將一個(gè)頂角為120°的等腰三角形(含邊界和內(nèi)部)的底邊三等分,挖去由兩個(gè)等分點(diǎn)和上頂點(diǎn)構(gòu)成的等邊三角形,得到與原三角形相似的兩個(gè)全等三角形,再對(duì)余下的所有三角形重復(fù)這一操作.如果這個(gè)操作過(guò)程無(wú)限繼續(xù)下去,最后挖剩下的就是一條“雪花”狀的Koch曲線,如圖所示.已知最初等腰三角形的面積為1,則經(jīng)過(guò)4次操作之后所得圖形的面積是()A.1681 B.2081 C.827 【解析】選A.根據(jù)題意可知,每次挖去的三角形面積是被挖三角形面積的13,所以每一次操作之后所得圖形的面積是上一次三角形面積的23,由此可得,第n次操作之后所得圖形的面積是1×1×234=第三節(jié)等比數(shù)列課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解等比數(shù)列的概念并掌握其通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.2.能在具體的問(wèn)題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問(wèn)題.3.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.考情分析考點(diǎn)考法:高考命題常以等比數(shù)列為載體,考查基本量的運(yùn)算、求和及性質(zhì)的應(yīng)用.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用是高考的熱點(diǎn),在各個(gè)題型中均有出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.等比數(shù)列的有關(guān)概念定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)(不為零),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列通項(xiàng)公式設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列,則通項(xiàng)公式an=a1qn-1.推廣:an=amqn-m(m,n等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí),G2=ab【微點(diǎn)撥】(1)等比數(shù)列中不含有0項(xiàng);(2)同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng),且等比中項(xiàng)有兩個(gè),它們互為相反數(shù).2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、末項(xiàng)與公比選用公式Sn=nSn=n【微點(diǎn)撥】在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),必須注意對(duì)q=1與q≠1分類討論,防止因忽略q=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.3.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可整理為an=a1q·qn,而y=a1q·qx(q≠1)是一個(gè)不為0的常數(shù)a1q與指數(shù)函數(shù)qx的乘積,從圖象上看,表示數(shù)列a1q·qn中的各項(xiàng)的點(diǎn)是函數(shù)4.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)對(duì)任意的正整數(shù)m,n,p,q,若m+n=p+q,則am·an=ap·aq.特別地,若m+n=2p,則am·an=ap(2)若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比數(shù)列(公比q≠-1).(3)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則數(shù)列{pan}(p≠0,p是常數(shù))也是等比數(shù)列.(4)在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列,公比為qk.(5)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性:當(dāng)q>1,a1>0或0<q<1,a1<0時(shí),數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;當(dāng)q>1,a1<0或0<q<1,a1>0時(shí),數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列{an}是常數(shù)列.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是()A.滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列B.三個(gè)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列的必要不充分條件是b2=acC.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=an,則其前n項(xiàng)和為Sn=aD.如果數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列,則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列【解析】選BD.A中q不能為0;B中當(dāng)a=b=c=0時(shí)滿足b2=ac,但不是等比數(shù)列;C中a=1時(shí)不成立;D中,an>0,設(shè)an=a1qn-1,則lnan=lna1+(n-1)lnq,{lnan}是等差數(shù)列.2.(選擇性必修第二冊(cè)P29例1·變形式)若{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1=1,a5=16,則a6-a5=()A.32 B.-48 C.16 D.-48或16【解析】選C.由題意,q>0,則q=2,所以a6-a5=a5(q-1)=16.3.(忽視前n項(xiàng)和的條件致誤)等比數(shù)列{an}中,a3=6,前三項(xiàng)和S3=18,則公比q的值為()A.1 B.-1C.1或-12 D.-1或-【解析】選C.因?yàn)镾3=18,a3=6,所以a1+a2=a3q2(1+q)=12,故2q2-q-1=0,解得q=1或q4.(2023·全國(guó)乙卷)已知{an}為等比數(shù)列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,則a7=________.

【解析】設(shè){an}的公比為q(q≠0),則a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,顯然an≠0,則a4=q2,即a1q3=q2,則a1q=1.因?yàn)閍9a10=-8,則a1q8·a1q9=-8,則q15=(q5)3=-8=(-2)3,則q5=-2,則a7=a1q·q5=答案:-2【巧記結(jié)論·速算】1.若{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}(λ≠0),{1an},{an2},{an·bn2.當(dāng){an}是等比數(shù)列且q≠1時(shí),Sn=a11-q-a11-q·qn【即時(shí)練】1.設(shè)n∈N*,則“數(shù)列{an}為等比數(shù)列”是“數(shù)列1an2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.充分性:若數(shù)列an為等比數(shù)列,公比為q,所以數(shù)列1an2為公比為1q2的等比數(shù)列,充分性成立;必要性:若數(shù)列1an2為等比數(shù)列,公比為2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=22n+1+a,若此數(shù)列為等比數(shù)列,則a=________.

【解析】因?yàn)閿?shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=22n+1+=2×4n+a,所以a=-2.答案:-2【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的計(jì)算[例1](1)(一題多法)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a5-a3=12,a6-a4=24,則SnanA.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1【解析】選B.方法一:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a解得a所以Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1,an所以Snan=2n方法二:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍6-a4a5-a3所以Snan=a1(1(2)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3a11=2a32,且S8+S24=mS16,則m= (A.-4 B.4 C.-83 D.【解析】選D.因?yàn)閍3a11=2a32,且a所以a11=2a3即a1q10=2a1q2,解得q8=2或q=0(舍去),因?yàn)镾8+S24=mS16,所以a1(1-q8)又因?yàn)閝8=2,a1≠0,所以-8=-3m,解得m=83【解題技法】等比數(shù)列基本量的計(jì)算(1)等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過(guò)列方程(組)求解;(2)注意觀察條件轉(zhuǎn)化式的特點(diǎn),盡量采用整體消元、代入的方法簡(jiǎn)化運(yùn)算,如兩式相除就是等比數(shù)列中常用的運(yùn)算技巧.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=()A.16 B.8 C.4 D.2【解析】選C.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q,則a1解得a1=1q=2,所以a3=a12.已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和,且9S3=S6,則數(shù)列1an的前5項(xiàng)和為(A.158或5 B.3116或5 C.3116 【解析】選C.若q=1,則由9S3=S6,得9×3a1=6a1,則a1=0,不滿足題意,故q≠1.由9S3=S6,得9×a1(1-q3故an=a1qn-1=2n-1,1an=(12)n-1.所以數(shù)列1an是以1為首項(xiàng),以12為公比的等比數(shù)列,所以數(shù)列1an【加練備選】設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,則q=()A.32 B.12 C.23 【解析】選A.因?yàn)樵诘缺葦?shù)列anS2=3a2+2,S4=3a4+2,所以S4-S2=a3+a4=3(a4-a2),所以a2(q+q2)=3a2(q2-1),又a2≠0,所以q+q2=3(q2-1),即2q2-q-3=0,又q>0,所以q=32考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明[例2]已知數(shù)列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*),(1)求證:數(shù)列an(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)因?yàn)?an+1=6an+2n-1(n∈N*),所以an+1=3an+n-12所以an+1=3an+32nan+n所以數(shù)列an+n2(2)由(1)得,an+n2=32×3n-1=12所以an=12×3n-n【解題技法】等比數(shù)列的判定方法定義法若an+1an=q(q為非零常數(shù),n∈N*)或anan-1=q(q為非零常數(shù)且n≥2,等比中項(xiàng)法若數(shù)列{an}中,an≠0且an+12=an·an+2(n∈N【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=n+12nan(n∈N證明數(shù)列{ann}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an【解析】由題設(shè)得an+1n+1=又a1所以數(shù)列{ann}是首項(xiàng)為2,公比為所以ann=2×(12)n-1=22-n,an=n·22-n【加練備選】成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3,b4,b5.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:數(shù)列{Sn+54}是等比數(shù)列【解析】(1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a-d,a,a+d,依題意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以數(shù)列bn中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+依題意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去),故數(shù)列bn的第3項(xiàng)為5,公比為2由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=54所以數(shù)列bn是以5其通項(xiàng)公式為bn=54·2n-1=5·2n-3(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn=54(1-2n)1-2=5·2n-2所以S1+54=52,Sn+1因此{(lán)Sn+54}是以52考點(diǎn)三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【考情提示】等比數(shù)列的性質(zhì)作為解決等比數(shù)列問(wèn)題的工具,因其考查數(shù)列知識(shí)較全面而成為高考命題的熱點(diǎn),重點(diǎn)解決基本量運(yùn)算、條件轉(zhuǎn)化等.角度1等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)[例3]已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a2a4=9,9S4=10S2,則a2+a4的值為(A.30 B.10 C.9 D.6【解析】選B.已知an為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,則an>0,可得a1>0,q因?yàn)閍32=a2a4=9,所以a又因?yàn)?S4=10S2,則9(a1+a2+a3+a4)=10(a1+a2),可得9(a3+a4)=a1+a2,所以a3+a4a1+a2=故a2+a4=a3q+a3q角度2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)[例4]已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S8-2S4=5,則a9+a10+a11+a12的最小值為()A.10 B.15 C.20 D.25【解析】選C.由題意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5,可得S8-S4=S4+