2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第三章 第六節(jié)　函數(shù)的圖象含答案

9版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第三章第六節(jié)函數(shù)的圖象第六節(jié)函數(shù)的圖象【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì),解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解集的問題.【考情分析】考點(diǎn)考法:高考命題考查函數(shù)圖象的識(shí)別、函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì),已知函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象是高考熱點(diǎn),常以選擇題形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的方法步驟(1)確定函數(shù)的定義域.(2)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式.(3)討論函數(shù)的性質(zhì),即奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值(甚至變化趨勢(shì)).(4)描點(diǎn)連線,畫出函數(shù)的圖象.2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)伸縮變換(3)對(duì)稱變換(4)翻折變換【微點(diǎn)撥】函數(shù)圖象的左右變換都針對(duì)自變量“x”而言,如從f(-2x)的圖象到f(-2x+1)的圖象是向右平移12個(gè)單位長(zhǎng)度,其中是把x變成x-12【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12431.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象相同B.函數(shù)y=af(x)與y=f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同C.函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)y=lgx的圖象關(guān)于x=3對(duì)稱的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y=lg(6-x)【解析】選ABC.A令f(x)=-x,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,兩者圖象不同.×B當(dāng)a≠1時(shí),y=af(x)與y=f(ax)是由y=f(x)分別進(jìn)行縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)伸縮變換得到,兩圖象不同.×Cy=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.×2.(必修第一冊(cè)P85練習(xí)T1變條件、變?cè)O(shè)問)已知圖①中的圖象是函數(shù)y=f(x)的圖象,則圖②中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是()A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|)【解析】選C.因?yàn)轭}圖②中的圖象是在題圖①的基礎(chǔ)上,去掉函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸右側(cè)的部分,然后將y軸左側(cè)圖象翻折到y(tǒng)軸右側(cè)得到的,所以題圖②中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是y=f(-|x|).3.(2022·全國(guó)乙卷)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-3,3]的大致圖象,則該函數(shù)是()A.y=-x3+3xx2+1C.y=2xcosxx2+1 【解析】選A.設(shè)f(x)=x3-x設(shè)h(x)=2xcosxx2+1,當(dāng)x所以h(x)=2xcosx設(shè)g(x)=2sinxx2+1,則4.(看不懂圖象導(dǎo)致錯(cuò)誤)若關(guān)于x的方程|x|=a-x只有一個(gè)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+∞).

【解析】由題意a=|x|+x,令y=|x|+x=2x,x>0,0,x≤0,圖象如圖所示,故要使a【巧記結(jié)論·速算】1.函數(shù)圖象自身的軸對(duì)稱(1)f(-x)=f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;(2)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(-x)=f(2a+x);(3)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且有f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a+b2.函數(shù)圖象自身的中心對(duì)稱(1)f(-x)=-f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;(2)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱?f(a+x)=-f(a-x)?f(x)=-f(2a-x)?f(-x)=-f(2a+x);(3)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱?f(a+x)=2b-f(a-x)?f(x)=2b-f(2a-x).3.兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系(1)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線x=b-a2對(duì)稱(由a+x=b(2)函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱;(3)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,b)對(duì)稱;(4)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.【即時(shí)練】1.下列說法正確的是()A.若函數(shù)y=f(x)滿足f(1+x)=f(1-x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱B.若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=f(x-1),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱C.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)y=f(|x|)的圖象與y=|f(x)|的圖象相同D.函數(shù)y=f(1-x)的圖象可由y=f(-x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到【解析】選A.由函數(shù)的性質(zhì)知A正確,B錯(cuò)誤;令f(x)=-x,則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(|x|)=f(x)=-x,|f(x)|=x,f(|x|)≠|(zhì)f(x)|,故C錯(cuò)誤;y=f(-x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=f(-x-1)的圖象,故D錯(cuò)誤.2.函數(shù)y=f(-2-x)與y=f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱.

【解析】由-2-x=x+2,得x=-2,所以函數(shù)y=f(-2-x)與y=f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱.【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象[例1]作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=(12)|x|(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=x2-2|x|-1.【解析】(1)先作出y=(12)x的圖象,保留y=(12)x圖象中x≥0的部分,再作出y=(12)x的圖象中x即得y=(12)|x|的圖象,如圖①實(shí)線部分(2)將函數(shù)y=log2x的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度,再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去,即可得到函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象,如圖②.(3)因?yàn)閥=x2再根據(jù)對(duì)稱性作出(-∞,0)上的圖象,得圖象如圖③.【解題技法】函數(shù)圖象的常見畫法(1)直接法:當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本初等函數(shù)時(shí),可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn),進(jìn)而直接作出函數(shù)圖象.(2)圖象變換法:若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對(duì)稱得到,則可利用圖象變換作圖.提醒:①畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域;②利用圖象變換法時(shí)要注意變換順序.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】作出下列各函數(shù)的圖象:(1)y=x-|x-1|;(2)y=|x2-4x+3|;(3)y=(12)|x+2|(4)y=sin|x|.【解析】(1)根據(jù)絕對(duì)值的意義,可將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)y=1,x≥1,(2)函數(shù)解析式可化為y=x2-4x(3)作出y=(12)x的圖象,保留y=(12)x的圖象中x≥0的部分,加上y=(12)x的圖象中x>0的部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分,即得y=(12)|x|的圖象,再向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,即得y=(12)|x(4)當(dāng)x≥0時(shí),y=sin|x|與y=sinx的圖象完全相同,又y=sin|x|為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故圖象如圖④所示.考點(diǎn)二函數(shù)圖象的識(shí)別[例2](1)(2022·全國(guó)甲卷)函數(shù)y=3x-3-xcosx【解析】選A.令fx=3x-3-xcosx,x∈-π2,-(3x-3-x)cosx=-f(x),所以fx為奇函數(shù),排除B,D;又當(dāng)x∈0,π2時(shí),3x-3-x所以fx>0,排除C.(2)(2023·天津高考)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為()A.5(ex-e-C.5(ex+e-【解析】選D.由題干中函數(shù)圖象可知,f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,其為偶函數(shù),且f(-2)=f(2)<0,由5sin(-x)(-x)2+1=-5sinxx2+1(3)函數(shù)f(x)=xlnx的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(1-x)的大致圖象為()【解析】選D.方法一:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),由1-x>0得x<1,即函數(shù)y=f(1-x)的定義域?yàn)?-∞,1),排除A,C.f(1-x)=(1-x)ln(1-x),設(shè)g(x)=f(1-x)=(1-x)ln(1-x),則g(-1)=2ln2>0,排除B.方法二:將函數(shù)f(x)的圖象進(jìn)行以y軸為對(duì)稱軸的翻折變換,得到函數(shù)y=f(-x)的圖象,再將圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度,即可得到函數(shù)y=f(-(x-1))=f(1-x)的圖象.【解題技法】函數(shù)圖象的識(shí)別可從以下幾個(gè)方面入手(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì).(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性.(4)從函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).(5)從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求的圖象.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)=x(ex-e-x【解析】選D.函數(shù)f(x)=x(ex-e-x)|x|-1的定義域?yàn)閧x|x≠±1},f(-x)=當(dāng)0<x<1時(shí),|x|-1<0,ex-e-x>0,則f(x)<0,可排除B,C.2.如圖可能是下列哪個(gè)函數(shù)的圖象()A.y=2x-x2-1 B.y=2C.y=(x2-2x)ex D.y=x【解析】選C.函數(shù)的定義域?yàn)镽,排除D;當(dāng)x<0時(shí),y>0,A中,x=-1時(shí),y=2-1-1-1=-32<0,排除A;B中,當(dāng)sinx=0時(shí),y=0,所以y=2x3.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖1,則圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)有可能是()A.y=xf(x) B.y=f(x2)C.y=x2f(x) D.y=xf(x2)【解析】選A.對(duì)于B,y=f(x2)為偶函數(shù),與圖象不符,故排除B;對(duì)于C,當(dāng)x<0時(shí),x2>0,f(x)<0,所以x2f(x)<0,與圖象不符,故排除C;對(duì)于D,當(dāng)x<0時(shí),x2>0,f(x2)>0,所以xf(x2)<0,與圖象不符,故排除D.考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用【考情提示】高考對(duì)函數(shù)圖象的考查比較靈活,涉及知識(shí)點(diǎn)較多,且每年均有創(chuàng)新,試題考查角度有兩個(gè)方面,一是函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系;二是利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)、方程及不等式的解等,綜合性較強(qiáng).角度1研究函數(shù)的性質(zhì)[例3](多選題)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對(duì)任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=(12)1-x,則下列結(jié)論正確的是(A.2是函數(shù)f(x)的周期B.函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,3)上單調(diào)遞增C.函數(shù)f(x)的最大值是1,最小值是0D.當(dāng)x∈(3,4)時(shí),f(x)=(12)x【解析】選ABD.由已知條件得f(x+2)=f(x),則y=f(x)是以2為周期的周期函數(shù),A正確;當(dāng)-1≤x≤0時(shí),0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=(12)1+x,畫出函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖所示.由圖象知B正確,C不正確;當(dāng)3<x<4時(shí),-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)=(12)x-3【解題技法】利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于已知解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù),其性質(zhì)常借助圖象研究:(1)從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn),分析函數(shù)的最值、極值;(2)從圖象的對(duì)稱性,分析函數(shù)的奇偶性;(3)從圖象的走向趨勢(shì),分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性.角度2利用函數(shù)圖象解決不等式問題[例4](2023·商丘模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的圖象如圖所示,則不等式x2f(x)>2f(x)的解集為()A.(-2,0)∪(2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(-2,0)∪(2,2)D.(-2,-2)∪(0,2)∪(2,+∞)【解析】選C.根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征,作出f(x)在(-∞,0)上的圖象,如圖所示,由x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,則x2-解得x<-2或2<x<2或-2<x<0,故不等式的解集為(-∞,-2)∪(-2,0)∪(2,2).角度3利用圖象求參數(shù)的取值范圍[例5](2023·洛陽聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|,x<2,3x-A.(1,3) B.(0,3)C.(0,2) D.(0,1)【解析】選D.畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,方程f(x)-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a有三個(gè)不同的交點(diǎn),由圖可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1).【解題技法】1.函數(shù)性質(zhì):一般根據(jù)圖象觀察函數(shù)性質(zhì)有以下幾方面:(1)觀察函數(shù)圖象是否連續(xù)以及最高點(diǎn)和最低點(diǎn),確定定義域、值域;(2)觀察函數(shù)圖象是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱,確定函數(shù)是否具有奇偶性;(3)觀察圖象上升或下降的情況,確定單調(diào)性.2.求解不等式:若采用代數(shù)法求解比較困難,但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí),常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題,從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解.3.求參數(shù):當(dāng)參數(shù)的不等關(guān)系不易找出時(shí),可將函數(shù)(或方程)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方便作圖的兩個(gè)函數(shù),再根據(jù)題設(shè)條件和圖象的變化,利用數(shù)形結(jié)合思想確定參數(shù)的取值范圍.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.設(shè)定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(1)=0,則不等式f(x)-A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)【解析】選D.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以不等式f(x)-f(-x)x<0可化為f(所以原不等式的解集為(-1,0)∪(0,1).2.已知函數(shù)f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(12,1)【解析】先作出函數(shù)f(x)=|x-2|+1的圖象,如圖所示,當(dāng)直線g(x)=kx與直線AB平行時(shí)斜率為1,當(dāng)直線g(x)=kx過點(diǎn)A時(shí),斜率為12故f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí),實(shí)數(shù)k的取值范圍為(12,1)第七節(jié)函數(shù)的應(yīng)用第1課時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解、二分法【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù),了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象,能夠借助計(jì)算工具利用二分法求相應(yīng)方程的近似解.【考情分析】考點(diǎn)考法:高考命題常以基本初等函數(shù)及其圖象為載體,考查函數(shù)零點(diǎn)是否存在、存在的區(qū)間及個(gè)數(shù),利用零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)是高考熱點(diǎn),常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于一般函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.【微點(diǎn)撥】函數(shù)零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn),而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn),而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.2.二分法對(duì)于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12431.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)f(x)=2x的零點(diǎn)為0B.函數(shù)f(x)的零點(diǎn),即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)C.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時(shí)沒有零點(diǎn)D.圖象連續(xù)的函數(shù)y=f(x)(x∈D)在區(qū)間(a,b)?D內(nèi)有零點(diǎn),則f(a)·f(b)<0【解析】選BD.B函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),即函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).×Df(a)·f(b)<0是連續(xù)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件.×2.(必修一P144T2·變形式)函數(shù)f(x)=log2x+x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)【解析】選B.函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)=0在(0,+∞)上只有一個(gè)根,且f(1)=-1,f(2)=1,則f(1)f(2)<0,故f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2).3.(2022·北京高考)函數(shù)f(x)=x2+xA.3 B.2 C.7 D.0【解析】選B.由x≤0,解得x=-2或x=e,故f(x)有2個(gè)零點(diǎn).4.(忽視區(qū)間端點(diǎn)值)函數(shù)f(x)=kx+1在[1,2]上有零點(diǎn),則k的取值范圍是[-1,-12]【解析】依題意函數(shù)f(x)=kx+1在[1,2]上有零點(diǎn),所以k≠0,函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),所以f(1)·f(2)≤0,即(k+1)(2k+1)≤0,解得-1≤k≤-12【巧記結(jié)論·速算】1.由函數(shù)y=f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a,b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0,如圖所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.2.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).【即時(shí)練】1.已知函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,且有如下的對(duì)應(yīng)值表:x123456y124.433-7424.5-36.7-123.6則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【解析】選B.依題意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知,f(x)在區(qū)間(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一個(gè)零點(diǎn),故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有3個(gè).2.函數(shù)f(x)=ex+3x的零點(diǎn)有1個(gè).

【解析】f(x)在R上單調(diào)遞增,又f(-1)=1e-3<0,f(0)=1>0,因此函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定[例1](1)(2023·唐山模擬)函數(shù)f(x)=1-xlog2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.(14,12)B.(12,1)C.(1,2)【解析】選C.因?yàn)閥=1x與y=log2x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)閒(1)=1,f(2)=-1,f(1)·f(2)<0,所以函數(shù)f(x)=1-xlog2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2)(2)(一題多法)設(shè)函數(shù)f(x)=13x-lnx,則函數(shù)y=f(x)(A.在區(qū)間(1eB.在區(qū)間(1eC.在區(qū)間(1eD.在區(qū)間(1e【解析】選D.方法一(圖象法):令f(x)=0,得13x=lnx.作出函數(shù)y=13x和y=ln顯然y=f(x)在(1e,1)內(nèi)無零點(diǎn),在(1,e)內(nèi)有零點(diǎn)方法二(函數(shù)零點(diǎn)存在定理法):當(dāng)x∈(1e,e)時(shí),函數(shù)圖象是連續(xù)的,且f'(x)=13-1x=x-33x<0,所以函數(shù)f(x)在(1e,e)上單調(diào)遞減.又f(1e)=13e+1>0,f【解題技法】確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·荊州模擬)若x0是方程(12)x=x13的根,則x0A.(23,1) B.(12,C.(13,12) D.(0,【解析】選C.構(gòu)造函數(shù)f(x)=(12)x-x易知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,且函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,易知f(0)=(12)0-0=1>0,f(13)=(12)

13-(13)

13>0,f(12f(1)=12-1=-1結(jié)合選項(xiàng),因?yàn)閒(13)·f(1故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(13,1即方程(12)x=x13的根x0屬于區(qū)間(132.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以判定方程lnx-x+2=0的一個(gè)根所在的區(qū)間為()x12345lnx00.6931.0991.3861.609x-2-10123A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)【解析】選C.設(shè)f(x)=lnx-x+2=lnx-(x-2),易知函數(shù)f(x)在(1,+∞)上的圖象連續(xù),由題中表格數(shù)據(jù)得f(1)>0,f(2)>0,f(3)=ln3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)=ln4-2=1.386-2<0,f(5)<0,則f(3)·f(4)<0,即在區(qū)間(3,4)上,函數(shù)f(x)存在一個(gè)零點(diǎn),即方程lnx-x+2=0的一個(gè)根所在的區(qū)間為(3,4).3.[x]表示不超過x的最大整數(shù),例如[3.5]=3,[-0.5]=-1.已知x0是方程lnx+3x-15=0的根,則[x0]=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選C.設(shè)f(x)=lnx+3x-15,顯然f(x)在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)=0只有一個(gè)根,又f(4)=ln4-3=2ln2-3<2(ln2-1)<0,f(5)=ln5>0,所以x0∈(4,5),故[x0]=4.考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定[例2](1)(一題多法)函數(shù)f(x)=2x+x3-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.方法一:因?yàn)閒(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增且連續(xù),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).方法二:設(shè)y1=2x,y2=2-x3,在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象如圖所示,在區(qū)間(0,1)內(nèi),兩圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).(2)(2023·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-2x,x≤0,1+1xA.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.令f(x)+3x=0,則x≤0,解得x=0或x=-1,所以函數(shù)y=f(x)+3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.(3)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=2024x+log2024x,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.作出函數(shù)y=2024x和y=-log2024x的圖象如圖所示,可知函數(shù)f(x)=2024x+log2024x在x∈(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn),又f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)在x∈(-∞,0)上只有一個(gè)零點(diǎn),又f(0)=0,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3.【解題技法】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法(1)直接求零點(diǎn):令f(x)=0,有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理:首先確定函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)f(b)<0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).(3)利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù):作出兩函數(shù)圖象,觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.由2x|log0.5x|-1=0得|log0.5x|=(12)x,作出y=|log0.5x|和y=(12)x的圖象,如圖所示,則兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)f(x)=2x|log0.5x2.(一題多法)(2023·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)=|lnx|,x>0,-2xA.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.方法一(直接法):由y=f(x)-3=0得f(x)=3.當(dāng)x>0時(shí),得lnx=3或lnx=-3,解得x=e3或x=e-3;當(dāng)x≤0時(shí),得-2x(x+2)=3,無解.所以函數(shù)y=f(x)-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.方法二(圖象法):作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,函數(shù)y=f(x)-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即y=f(x)的圖象與直線y=3的交點(diǎn)個(gè)數(shù),作出直線y=3,由圖知y=f(x)的圖象與直線y=3有2個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)y=f(x)-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.3.函數(shù)f(x)=36-x2·cosx【解析】令36-x2≥0,解得-6≤x≤6,所以f(x)的定義域?yàn)閇-6,6].令f(x)=0,得36-x2=0或cosx=0,由36-x2=0得x=±6,由cosx=0得x=π2+kπ,k∈Z又x∈[-6,6],所以x為-3π2,-π2,π2故f(x)共有6個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用【考情提示】函數(shù)的零點(diǎn)問題充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的聯(lián)系,蘊(yùn)含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想,因此函數(shù)的零點(diǎn)問題成為了近年來高考新的生長(zhǎng)點(diǎn)和熱點(diǎn),且形式逐漸多樣化,各種題型均可考查,屬于中檔題.角度1根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)[例3](1)(多選題)(2023·廊坊模擬)已知函數(shù)f(x)=|x2+3x+1|-a|x|,則下列結(jié)論正確的是()A.若f(x)沒有零點(diǎn),則a∈(-∞,0)B.若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則a∈(1,5)C.若f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn),則a=1或a=5D.若f(x)恰有4個(gè)零點(diǎn),則a∈(5,+∞)【解析】選AC.當(dāng)x=0時(shí),f(0)=1≠0,所以x=0不是f(x)的零點(diǎn);當(dāng)x≠0時(shí),由f(x)=0,整理得a=|x+1x令g(x)=|x+1x則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)g(x)=|x+1x+3|的圖象與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù),作出函數(shù)g(x)=|x+1x由圖可知,若f(x)沒有零點(diǎn),則a∈(-∞,0),故A正確;若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則a∈{0}∪(1,5),故B不正確;若f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn),則a=1或a=5,故C正確;若f(x)恰有4個(gè)零點(diǎn),則a∈(0,1)∪(5,+∞),故D不正確.(2)已知函數(shù)f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+xA.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)【解析】選C.函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn),即關(guān)于x的方程f(x)=-x-a有2個(gè)不同的實(shí)根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-x-a有2個(gè)交點(diǎn),作出函數(shù)f(x)的圖象,并平移直線y=-x,如圖所示,由圖可知,當(dāng)且僅當(dāng)-a≤1,即a≥-1時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-x-a有2個(gè)交點(diǎn).角度2根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)[例4](1)若函數(shù)f(x)=2x-2x-a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A.(1,3) B.(1,2)C.(0,3) D.(0,2)【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x-2x-a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,且函數(shù)f(x)=2x-2x-a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a(2)(2023·北京模擬)已知函數(shù)f(x)=3x-1+axx.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A.(-∞,43) B.(0,4C.(-∞,0) D.(43【解析】選B.由f(x)=3x-1+axx=0,可得a=3x-1x,令g(x)=3x-1x由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍即為函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上的值域.由于函數(shù)y=3x,y=-1x在區(qū)間(-∞,-1)上均單調(diào)遞增,所以函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),g(x)=3x-1x<g(-1)=3-1+1=4又g(x)=3x-1x所以函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上的值域?yàn)?0,43)因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,43)【解題技法】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍常用的方法和思路(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍.(2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求已知函數(shù)零點(diǎn)情況的問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)-1x+m在區(qū)間(1,3]上有零點(diǎn),則m的取值范圍為(A.(-53B.(-∞,-53)∪C.(-∞,-53]∪D.[-53【解析】選D.因?yàn)楹瘮?shù)y=log2(x+1),y=m-1x所以函數(shù)f(x)在(1,3]上單調(diào)遞增,由于函數(shù)f(x)=log2(x+1)-1x+m則f(1)<0,f(3因此,實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-53,0)2.已知關(guān)于x的方程ax+6=2x在區(qū)間(1,2)內(nèi)有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-4,-1) B.[-4,-1]C.(-2,-12) D.[-2,-1【解析】選A.根據(jù)題意可得ax=2x-6,故轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ax和y=2x-6的圖象的交點(diǎn).易知y=2x-6的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)為(1,-4)和(2,-2),如圖所示,當(dāng)直線y=ax過(1,-4)時(shí),a=-4,當(dāng)直線y=ax過(2,-2)時(shí),a=-1.所以a的取值范圍是(-4,-1).3.(2023·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)=x,x≤0,|2x-3|,x>0,g(x)=f(x)-12【解析】函數(shù)g(x)=f(x)-12x+a存在3個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)f(x)的圖象與y=12x-a畫出函數(shù)f(x)和y=12x-a的圖象,如圖所示根據(jù)圖象易知,要使函數(shù)f(x)和y=12x-a的圖象有3個(gè)交點(diǎn),則-34<-a≤0,即0≤a<【重難突破】復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的綜合【本質(zhì)】復(fù)合函數(shù)涉及內(nèi)外兩層函數(shù),問題的解決往往涵蓋函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論和化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題具有關(guān)系復(fù)雜、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn).【常見方法】先將復(fù)合函數(shù)的解析式寫出,再根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象,根據(jù)函數(shù)的圖象研究零點(diǎn)問題.類型一判斷復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)[例1]已知函數(shù)f(x)=lnx-1x,x>0,x2+2A.2 B.3 C.4 D.5