第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，在

北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

第一課時不等關(guān)系與不等式

明學(xué)習(xí)目標(biāo)知結(jié)構(gòu)體系

課標(biāo)1.能用不等式（組）表示實際問題中的不等關(guān)系.

數(shù)

不—基本事實

量

要求2.會用作差法比較兩實數(shù)的大小.等

關(guān)

關(guān)

系比較大小的

系—

重點重點：用作差法比較兩實數(shù)的大小.方法：作差法

難點難點：作差法的應(yīng)用.

［四層］學(xué)習(xí)內(nèi)容1落實必備知識

1.關(guān)于實數(shù)“，?大小比較的基本事實

兩個實數(shù)a,b,其大小關(guān)系有三種可能，即a=b,a<b.

依據(jù)a>b^g-b>^；a=b0a—b=。；a<b㈡a-b<。

結(jié)論要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與（1的大小

2.重要不等式

V。，力WR,有“2+）2三2%當(dāng)且僅當(dāng)0時，等號成立.

微點注解、幫你學(xué)通/.

（1）不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系，可用“W”“2”“W”表示.而不等式則是表示兩

者不等關(guān)系的式子，如“a>b”“a《b”.

（2）利用不等式表示不等關(guān)系時，應(yīng)注意所比較的兩個（或幾個）量必須具有相同性質(zhì)，才

可以進(jìn)行比較，沒有可比性的兩個（或幾個）量之間不能用不等式表示.另外，在用不等式（組）

表示實際問題中的不等關(guān)系時，一定要注意單位的統(tǒng)一.

［即時小練］

1.若x<0,則x—2與2x-2的大小關(guān)系是

解析：因為工一2一(2工-2)=-x>0,

所以x-2>2x-2.

答案：x—2>2x~2

2.如圖，在日常生活中，我們經(jīng)?？吹较铝袠?biāo)志：

其含義分別為

①最低限速：限制行駛速度P不得低于50km/h；

②限制質(zhì)量：裝載總質(zhì)量m不得超過10t；

③限制高度：裝載高度h不得超過3.5m；

④限制寬度：裝載寬度a不得超過3m.

你能用數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？

解：①②，"W10;③入W3.5;④“W3.

［四層］學(xué)習(xí)內(nèi)容2強化關(guān)鍵能力

［題點一］

用不等式(組)表示不等關(guān)系

［典例］用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻贏在微“點”

石■用正等式表而不

長18m,要求菜園的面積不小于110m2,靠墻的一邊長為xm.試用不第無余暗宸猗利注

直能奉審判等令員

等式表示其中的不等關(guān)系.受曼心賣壞直義

［解］由于矩形菜園靠墻的一邊長為xm,而墻長為18m,所以

0<xW18,

這時菜園的另一條邊長為等N=(15-M)m.

因此菜園面積S=x(15—今.

依題意有S2U0,即K(15-§2110,

故該題中的不等關(guān)系可用不等式表示為

[0<xW18,

［方法技巧］

1.用不等式（組）表示不等關(guān)系的策略

用不等式（組）表示不等關(guān)系，首先應(yīng)依據(jù)題意分清表示不等關(guān)系的對象是常數(shù)、變量還

是函數(shù)，然后由題設(shè)條件將量與量用不等號連接即得不等式（組）.要注意的是不能遺漏實際

問題中的任何一個不等關(guān)系，特別是變量隱含的取值范圍.

2.常見的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換

文字大于，商小于，低大于等于，至小于等于，至

語言于，超過于，少于少，不低于多，不超過

符號

><

語言

［對點訓(xùn)練］

1.下列說法正確的是（）

A.某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”：儀臂丁點

B.小明的身高為x,小華的身高為y,則小明比小華矮表示為“x>y”〃旨"vb或

1黑中寄一個正：

C.某變量x至少是a可表示為”瓦就正好

D.某變量y不超過a可表示為

解析：選C對于A,x應(yīng)滿足xW2000,故A不正確；對于B,x,y應(yīng)滿足x<y,故

B不正確；C正確；對于D,y與a的關(guān)系式可表示為yWa,故D不正確.故選C.

2.某校在冬季長跑活動中，要給獲得一、二等獎的學(xué)生購買獎品，要求花J麻在微,,點

:―次個不:

費總額不得超過200元，已知一等獎和二等獎獎品的單價分別為20元、10元，：等夫禮華;

;用左等之，期

一等獎人數(shù)與二等獎人數(shù)的比值不得高于/且獲得一等獎的人數(shù)不能小于2.注速工_

設(shè)獲得一等獎的學(xué)生有x人，獲得二等獎的學(xué)生有y人,則x,j滿足的不等關(guān)系為.

120x+10yW200,

'2x+yW20,

涔，3x—yWO,

解析：由題意得4化簡得，

x22,xSN*,

x22,xWN*,

JGN*.

、y￡N*,

'2x+yW20,

3x—yWO,

答案：4

x22,xGN*>

lyGN*

［題點二］

作差法比較大小

［典例］(1)已知a,b均為正實數(shù).試?yán)米鞑罘ū容^大小：

①。3+萬3與025+而2；衛(wèi)生蛙:道二--------

\易如詆a=b俞勺情義

②〃5十65與涼爐十層)3

⑵根據(jù)⑴中比較大小的結(jié)果，你認(rèn)為有更一般的結(jié)論嗎？若有，請證明你的結(jié)論.

［解］⑴①〃一(層)+必2)

=(a3—a2b)+(b3—ab2)

=層僅一力)+"()一°)

=(a-b)(a2—b2)—(a-b)2(a+b).

當(dāng)a=b時，a—5=0,a3+b3=a2b+ab2;

23322

當(dāng)a^b時，(a—b)>0,a+b>09a+b>ab+ab.

綜上所述，a3+ft3a2b+ab1.

②(分+b5)—~(a3b2+a2b3)

=as—a3b2+薩一a2b3

=a3(a2—b2)+b\b2—a2)=(a2—Z>2)(a3—b3)

=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2).

22

Va>0,b>0,，(a—：)220,a+b>09a+ab+b>0.

:.a5+b5^a3b2+a2b3.

⑵一^般性結(jié)論為：若a>0,>>0,機>0,〃>0,

貝“am+n+b,n+n^a,nbn+a,lbni.

證明如下：

a,n+n+bm+n—amb"—a,lb,n=a,n(an-bn)+b,n(bH—a11)

n,,nnn

=(a-b)(a-b)9

Va>0,fe>0,//?>0,/z>0,

?"”一a"—b"20,

A(a,n—〃')3"—")20,

即a,n+n+b,n+n^an,bn+anb,n.

［方法技巧］

比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)大小的步驟

⑴作差：對要比較大小的兩個實數(shù)(或式子)作差；

⑵變形：對差進(jìn)行變形；

⑶判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；

⑷作出結(jié)論.

［提醒］上述步驟可概括為“三步一結(jié)論”，這里的“判斷符號”是目的，“變形”是關(guān)鍵.在

變形中，一般變得越徹底，越有利于下一步的判斷.其中變形的技巧較多，常見的有因式分

解法、配方法、有理化法等.

:贏在微“點”：注意分?跖子論目戈竹加用;

［對點訓(xùn)練］'.....7......................

已知xGR且xW-1,試比較不士與1-x的大小.

解：(1—x)=

1+x-1+x'

當(dāng)X=()時，1匕=1-X；

X21

當(dāng)l+x<0,即xv—1時，］+1<0,；?x;

當(dāng)l+x>0且xWO,即一l<x<0或x>0時，］+/0,

［題點三1

不等關(guān)系的實際應(yīng)用

［典例］為打造“書香校園”，某學(xué)校計劃用不超過1900本科技類書籍和1620本人

文類書籍，組建中、小型兩類圖書角共30個.已知組建一個中型圖書角需科技類書籍80本,

人文類書籍50本；組建一個小型圖書角需科技類書籍30本，人文類書籍60本.設(shè)組建中

型圖書角x個，用不等式組將題目中的不等關(guān)系表示出來，并求有哪些符合題意的組建方

案|展在微“點”：注意彳的誨國良案懷意義:

［解］因為組建中型圖書角x個，

所以組建小型圖書角為(30-x)個，

0<x<30,xGN*,

則，80x+30(30—x)<l900,

、50x+60(30-x)Wl620.

解得18Wx式20,xGN*.

由于x只能取正整數(shù)，

.?.X的取值是18,19,20.

當(dāng)x=18時，30-x=12;

當(dāng)x=19時，30-x=ll;

當(dāng)x=20時，30-x=10.

故有三種組建方案：方案一，組建中型圖書角18個，小型圖書角12個；

方案二，組建中型圖書角19個，小型圖書角11個；

方案三，組建中型圖書角20個，小型圖書角10個.

［方法技巧］

(1)根據(jù)實際問題列不等式(組)的關(guān)鍵是通過分析找出問題中的不等關(guān)系，并確定不等號,

然后寫出不等號兩邊的代數(shù)式.

(2)根據(jù)實際問題列出不等式(組)，應(yīng)從是否符合實際意義出發(fā)，而不能拘于某一種形式.

［對點訓(xùn)練］

有學(xué)生若干人，住若干間宿舍，如果每間住4人，那么還余19人；如果每間住6人,

那么只有一間不滿但不空，求宿舍間數(shù)和學(xué)生人數(shù).

解：設(shè)宿舍有x間，則學(xué)生有(4x+19)人，

4x+19<6x,1925

依題意，有,解得?

4x+19>6(x—1).

VxGN*,.\x=10,11或12.學(xué)生人數(shù)分別為59,63,67.

故宿舍間數(shù)和學(xué)生人數(shù)分別為1()間59人，11間63人或12間67人.

［四層］學(xué)習(xí)內(nèi)容3?4浸潤學(xué)科素養(yǎng)和核心價值

一、在典題訓(xùn)練中內(nèi)化學(xué)科素養(yǎng)

不等關(guān)系是不等式的基礎(chǔ)，具有十分重要的意義，高考對本節(jié)內(nèi)容的考查主要是不等關(guān)

系的實際應(yīng)用、建立不等關(guān)系解題，考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

i.有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各

不相同.已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x,y,z,且三種顏色涂料的粉

刷費用(單位：元/HP)分別為a,b,c,且“〈Me.在不同的方案中，最低的總費用(單位：元)

是()

A.ax^-by+czB.az+by+cx

C.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

解析：選B法一：Vx<y<z9且a<b<c9^.ax+by+cz~(az^-by+cx)=a(x—z)+c(z~

x)=(x-z)(a—c)>0,Aax+by+cZ>az+by+ex;同理，ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)

+c(x-z)=(z-x)(。-c)〈0,ay+bz^-cx<ay++cz;同理，az~^byi~cx-(ay+bz+cx)=

a(z-y)+5(y—z)=(z—y)(a—5)v0,az+by+cx<ay+fez+ex,，最低費用為(az+刀+cx)

元.故選B.

法二：特殊值法，取x=l,y=2,Z=3,a=l,b=2,c=3,則ax+勿+CZ=1X1+2X2

+3X3=14,az+勿+CX=1X3+2X2+3X1=10,aj+ftz+cx=lX2+2X3+3X1=11,

aj+ftx+cz=lX2+2X1+3X3=13,故選B.

2.(2019?北京高考)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京

白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明

對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客

網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的8()%.

①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的

最大值為.

解析：①顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，原價應(yīng)為60+80=140(元)，超過了120元

可以優(yōu)惠，所以當(dāng)x=10時，顧客需要支付140-10=130(元).

②由題意知，當(dāng)x確定后，顧客可以得到的優(yōu)惠金額是固定的，所以顧客支付的金額越

少，優(yōu)惠的比例越大.而顧客要想得到優(yōu)惠，最少要一次購買2盒草莓，此時顧客支付的金

額為(120—%)元，所以(120-x)X80%>120X0.7,解得xW15.即x的最大值為15.

答案：13015

內(nèi)化素養(yǎng)

數(shù)學(xué)作差之后的難點是對差式進(jìn)行恒等變形，一般是化為幾個因式積的形式，注

運算意依據(jù)題目條件，只有每一個因式的符號確定后，才能確定差式的符號

數(shù)學(xué)

通過建立不等關(guān)系解決實際問題，解題時注意參數(shù)的范圍

建模

二、在導(dǎo)向訓(xùn)練中品悟核心價值

發(fā)展理性思維

1.已知實數(shù)a,b,c滿足Z>+c=6—4a+3a2,c—Z>=4—4a+a2,則a,b,c的大小關(guān)

系是()

A.c》b>aB.a>c，b

C.c>b>aD.a>c>b

解析：選AVc—Z>=4—4a+a2=(2—a)2^0,:?c，b.

已知兩式作差得2〃=2+2層，即5=1+層，

?.T+a?—a=(a—

22

:.1+a>a9工)=1+a>a,

：.c及b>a.

2.比較下列各組中兩個代數(shù)式的大小，寫出比較過程.

⑴回+S與也+小；

(2)x2+5x+16與2工2—%—11.

解：(1)：(?+小/=14+2小§,

(V9+V5)2=14+2^45,

(14+2V33)-(14+2A/45)=2(A/33—745)<0,

二而+6)2<(班+讓)2.

又4五+也與羽+下均大于零，

；.瓜+導(dǎo)出+港.

(2)V(2x2-x-11)-(/+51+16)

=X2—6x—27=(x+3)(x—9),

:.當(dāng)xv—3或x>9時，(2x2-X—11)—(x2+5x+16)>0,貝”工2+5工+16<212—x—11；

當(dāng)一3vx<9時，(2x2—x—11)—(x2+5x+16)<0,則爐+5“+16>2爐一工一U；

當(dāng)x=-3或x=9時，(2x2-X—11)—(x2+5x+16)=0,則x2+5x+16=2x2-x_11.

注重實踐應(yīng)用

3.在開山工程爆破時，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒;厘米，人跑開的速度是每秒4米，

為了使點燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時跑到100米以外的安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x(厘米)應(yīng)該

滿足的不等式為()

A.4X2x^100B.4X2x^100

C.4X2x>100D.4X2x<100

解析：選C當(dāng)導(dǎo)火索的長度為x厘米時，燃燒的時間為2x秒，人跑開的距離為4X2x

米，為了保證安全，有4X2x>100.

4.有一批襯衣原價為每件80元，甲、乙兩商場均有銷售.現(xiàn)在每個商場都推出了促銷

政策：到甲商場買一件襯衣優(yōu)惠4元，買兩件每件優(yōu)惠8元，買三件每件優(yōu)惠12元，……

依此類推，直至減到半價為止；乙商場則一律按原價7折酬賓.某單位欲為每位員工購買一

件該襯衣，問：到哪個商場購買比較合算？

解：設(shè)該單位共需購買x件襯衣，在甲、乙兩商場購買分別需付款y元、z元.依題意，

有

(80-4x)x(l&W10,xSZ),

J-l40x(x>10,xGZ).

z=80X70%x=56x(x^l,xGZ).

①若iWxWlO,xGZ,則y—z=(80—4x)x—56x=4x(6—x).

當(dāng)l《xW5,xGZ時，6-x>0,.*.j-z>0,即y>z.

當(dāng)x=6時，j—z=O,即^=%.

當(dāng)7W*W10,xEZ時，6—x<0,.".j—z<0,即y<z.

②若x>10,xWZ,則y—z=40x—56x=-16x.

V—16x<0,

綜上，若單位人數(shù)不超過5人，到乙商場購買合算；若單位人數(shù)恰為6人，到甲、乙商

場購買一樣合算；若單位人數(shù)超過6人，到甲商場購買更合算.

[“四翼"檢測評價]

(一)基礎(chǔ)落實

1.某高速公路要求行駛車輛的速度0的最大值為120km/h,同一車道上的車間距d不

得小于10m,用不等式表示為()

A.。?1201401/11且</21001

B.。?1201<111/11或4/，1001

C.120km/h

D.心10m

解析：選A。的最大值為120km/h,即依120km/h,車間距d不得小于10m,即

m.二者需同時滿足.

2.完成一項裝修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有

工人工資預(yù)算20()()元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則請工人滿足的關(guān)系式是()

A.5x+4j<200B.5x+4y2200

C.5x+4j=200D.5x+4y/200

解析：選D依題意，得50x+40yW2000,即5x+4yW200.

3.(x—3產(chǎn)與(x—2)(x—4)的大小關(guān)系為()

A.無法比較大小

B.(x-3)2>(x-2)(x-4)

C.(x-3)2=(x-2)(x-4)

D.(x—3)2<(x—2)(x—4)

解析：選B(x—3)2—(x—2)(x—4)=x2—6x+9—^+6^—8=l>0,所以(x—3)2>(x—2)(x

—4),故選B.

4.設(shè)了=層一”，y=a-2,則x與y的大小關(guān)系為（）

A.x>yB.x=y

C.x<jD.與a有關(guān)

解析：選A因為x—>=（。2—a）一（“-2）=出—2a+2=（a—l）2+l>0,所以x>y,故選

A.

5.四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、

杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示.盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半.設(shè)剩余

酒的高度從左到右依次為出，h2,心，魚，則它們的大小關(guān)系正確的是（）

A./i2>/ii>/i4B.h\>hi>h3

C.hi>hi>h4D.It2>h4>hi

解析：選A根據(jù)四個杯的形狀分析易知心>必>自或比>心>自.

6.一個兩位數(shù)，個位數(shù)字為丫，十位數(shù)字為y,且這個兩位數(shù)大于70,用不等式表示為

解析：：該兩位數(shù)可表示為10y+x,A10j+x>70.

答案：10y+x>70

7.不等式“2+4、4a中，等號成立的條件為.

解析：令層+4=4°,則a?—4a+4=0,*.a=2.

答案：a—2

8.已知a,6GR,且abWO,則岫一<?填

解析：兩式作差得，ab—a2—b2=—（a—^2—^b2<0,所以a。-a2<b2.

答案：<

9.一個盒子中紅、白、黑三種球分別為x個、y個、z個，黑球個數(shù)至少是白球個數(shù)的

一半，至多是紅球個數(shù)的小白球與黑球的個數(shù)之和至少為55,試用不等式（組）將題中的不

等關(guān)系表示出來.

修金.

解：據(jù)題意可得，23a,y,zGN*）.

10.設(shè)X,J,z￡R,比較5x2+V+z2與2盯+4%+2z-2的大小.

解：9：5x2+y2+e-（2xy+4x+2z-2）

=4x2-4x+l+x2-2XJ+J2+Z2-2z+l

=(2x-l)2+(x-j)2+(z-l)2^0,

：.5x2+y2+z1^2xy+4x+2z-2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=；且z=l時取等號.

(二)綜合應(yīng)用

1.已知尸="2+26+3,Q=~b2+4a-2,則P,。的大小關(guān)系是()

A.P>QB.P<Q

C.P^QD.PWQ

解析：選C由題意可得：P—Q=a2+2b+3—(—b2+4a—2)=a2—4a+b2-]-2b+5=(a

-2)2+(b+l)2,因為3—2)220,(b+l)220,所以「一。20,即

2.足球賽期間，某球迷俱樂部一行56人從旅館乘出租車到球場為中國隊加油，現(xiàn)有A,

8兩個出租車隊，A隊比5隊少3輛車.若全部安排乘4隊的車，每輛車坐5人，車不夠，

每輛車坐6人，有的車未坐滿；若全部安排乘5隊的車，每輛車坐4人，車不夠，每輛車坐

5人，有的車未坐滿.則A隊有出租車()

A.11輛B.10輛

C.9輛D.8輛

解析：選B設(shè)A隊有出租車x輛，則8隊有出租車(x+3)輛，由題意，得

r5x<56,

6x>56,

<4(x+3)<56,二9鏟x<ll.而x為正整數(shù)，故x=10.

5(x+3)>56,

、xWN",

3.已知。=6+而，b=4,。=小+小，則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.b>c>a

解析：選D因為〃2=(g+加)2=8+21。。2=(小+下)2=8+2幣瓦所以

又c與a均大于零，所以c>a;因為52-°2=16—(8+2，1?=8—話>0,所以從〉/,又力

與c均大于零，所以。,c,所以方>c>a,故選D.

4.已知由￡(0,1),。2￡(0,1),記M=aia29N=ax+ai~l,則M與N的大小關(guān)系是()

A.M<NB.M>N

C.M=ND.M^N

解析：選B?2e(0,l),，用一%=〃]〃2-31+。2-1)=(。1-1)(。2-1)>0,:?M>N.

5.設(shè)。12地,42=1+]+“].

（1）證明：也介于“I與"2之間；

（2）判斷a”Z哪個更接近于加，并說明理由.

解：（1）證明：：（加一ai）（g-a2）

=（6一心-1一*）（1一啦）（也一0）2

1+。1

工也介于01,02之間.

|告》|=君詈＞1''⑶一—gI,'az更接近于g.

(2)V

第二課時等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

明學(xué)習(xí)目標(biāo)知結(jié)構(gòu)體系

1.了解等式的性質(zhì).

課標(biāo)

2.掌握不等式的基本性質(zhì)，并能運用這等式的性質(zhì)

要求

—推導(dǎo)

些性質(zhì)解決有關(guān)問題.不等式的性質(zhì)

重點重點：不等式的基本性質(zhì).應(yīng)用

難點難點：不等式基本性質(zhì)的應(yīng)用.

[四層]學(xué)習(xí)內(nèi)容1落實必備知識

1.等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

1如果a=b,那么b=a

2如果〃=乩b=c9那么a=c

3如果a=b9那么a±c=b±c

4如果a=b,那么ac=bc

如果〃=〃，cWO,那么?=!

5

2.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

1對稱性a>b^b<a臺

2傳遞性a>b,b>c=^a>c不可逆

3可加性a>b^a+c>b+c可逆

a>b9c>0=^ac>bc

4可乘性c的符號

a>b,c<0=^ac<bc

5同向可加性a>bfc>d=a+c>=+d同向

6同向同正可乘性a>b>Q,c>d>0=^ac>hd同向，同正

a>b>0=^an>bn

7可乘方性同正

(〃￡N,〃22)

微點注解、幫你學(xué)通/

對不等式性質(zhì)的理解

(1)性質(zhì)3說明不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得的不等式與原不等式同向.性質(zhì)3

是不等式移項法則的基礎(chǔ).不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊.

(2)性質(zhì)4證明過程中的關(guān)鍵步驟是根據(jù)“同號相乘得正，異號相乘得負(fù)”的法則來完成

的.一定要注意性質(zhì)4中c的符號，因為c的符號不同，結(jié)論恰好相反.性質(zhì)4中的a,b

可以是實數(shù)，也可以是式子.

(3)性質(zhì)5中，同向不等式可相加，但不能相減，即由a>6,c>d,可以得出a+c>b+d,

但不能得出a—c>h—d.

(4)性質(zhì)6是同向不等式相乘法則的依據(jù)，可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相

乘，即若。1>歷>0,。2>歷>0,,,,,斯>瓦>(),"GN*,則4102…詼>加岳…瓦>.

(5)不等式的性質(zhì)中，對表達(dá)不等式性質(zhì)的各不等式，要注意“箭頭”是單向的還是雙向

的，即符號“O”表示等價關(guān)系，可以互相推出，而符號“今”只能從左邊推右邊，該性質(zhì)

不具備可逆性，尤其在證明不等式時，要注意是否可逆.

［即時小練］

1.判斷正誤

⑴若表1,則〃>5.()

(2)a與b的差是非負(fù)實數(shù)，可表示為a—加>0.()

(3)Vx￡R,都有x2>x—1.()

(4)a,b,c為實數(shù)，在等式中，若a=b,則ac=5c；在不等式中，若a>b,則ac>Ac.()

(5)a,b,c為實數(shù)，若ac2>加2,則烈》.()

答案：⑴X(2)X(3)V(4)X(5)7

2.與。?等價的不等式是()

A.\a\>\b\B.a2>fe2

C.7b>1D.

解析：選D可利用賦值法.令a=l,b=~2,滿足a>5,但a2<b2,^=—^<1,

故A、B、C都不正確.

3.已知a<0幼，則下列不等式恒成立的是（）

A.a+h<QB.T<1

答案：B

［四層］學(xué)習(xí)內(nèi)容2強化關(guān)鍵能力

［題點一］

利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假

［典例（1）（多選）制4<0,則下面四個不等式成立的有（）

____________

：贏在微“點”：由

［可仔b<a〈O：

A.\a\>\b\B.a<b

C.a+b<abD.

⑵對于實數(shù)a,b,c,下列命題中的真命題是（）

A.若a>b則ac2>bc2

9贏在微“點”

；或用A中蝕1方0;

若a>b>0,貝?

B.j泡唳C中，用a<b,

:當(dāng)ab>0E于，孑7《

yp

C.若avb,cvO,則::當(dāng)ab<0,-^―<~7~

:ab

D.若a>b,%*,則a>0,b<0

［解析］（l）由5點?？傻胋<a<0,

從而|a|v|b|,A、B均不正確；

a+b<Ofab>0,貝Ia+bv?！烦闪?，C正確；

D正確.

（2）法一：Vc2^0,，c=0時，

22

有ac=bcf故A為假命題；

由a>b>Of

故B為假命題;

當(dāng)ab<0時，冠，故C為假命題.

a>b=^b-a<09

1111b-a,、^ab<0.

小丁丁聲°"力->°

'：a>b,.?.@>0且b<0,故D為真命題.

法二：特殊值排除法.

取C=0,則雙2=加2,故A錯；

取a=2,b=l,則;=3，1=1,

有另，故B錯；

取a=-2,b=~l,則f=2,

有故C錯.

［答案］(1)CD(2)D

［方法技巧］

利用不等式性質(zhì)判斷命題真假的注意點

(1)運用不等式的性質(zhì)判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑

想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).

(2)解有關(guān)不等式的選擇題時，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原

則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.

［對點訓(xùn)練］

1.若小>〃，下列不等式正確的是()贏在微“點”

覆葺萬百百

A.X-m>y-nB.xm>yn殊值港求解

C.nx>myD.m-y>n-x

解析：選D取zn=l,〃=—2,x=2,y=l,則有x一機vy一凡故A錯；取m=0,n

=-1,x=—1,y=-2,則有故B錯；取6=1,〃=—2,x=2,y=l,則有〃xv/ny,

故C錯；x>y,故一xv—y,故n—x<m—y9故D對.

2.已知。+)v0,且a>0,貝！J()

A.a2<-ab<b2B.b2<-ab<a2

C.a2<b2<—abD.—ab<b2<a2

2

解析：選A法一:令a=l,b=—2,則層=1,-ab=29b=49仄而dv—abvbz,

選A.

法二：由。+力vO,且〃>0可得力vO,且。<一反

22

因為a—(—ai)==o(a+ft)<0>所以0<a<—ab9

2

又0<a<—b9所以0<—ab<(—b),

所以力v>2,選A.

［題點二］

利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式

［典例］若a>b>09cvdvO,evO,

廠一［麻在微"點”］----------

；克/匕妝馬(b

求證：(a-c)2>(*-<02,:的大皿，再如為證明

［證明］Vc<J<0,c>—d>0.

又丁〃〉)〉。,，Q—c>》—d>0.

??(a—c)2>(b—d)2>0.

兩邊同乘以(a-c)；。一療，得日為

又e<0,'(a-cy%一斤?

［方法技巧］

利用不等式的性質(zhì)證明不等式的注意事項

(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)

上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.

(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條

件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.

［對點訓(xùn)練］

已知a>A>0,c<dvO,|》|>|c|,求證：

\惠在微“點”：泳推b，G的符令4

；但恒7Iclt的％對值方升：

⑴5+c>0；

—ba

(2)^ZZ7<KZZ?

證明：⑴\,網(wǎng)>|c|且歷>0,cvO,

:?b>—c,即b+c>0.

(2)Vc<d<Q,:.—c>—d>0,

又a>b>09/.?-c>6—J>0,

,°b-/a-

.b_b_a

'"a-c<b-d<b-d'

［題點三】

利用不等式的性質(zhì)求范圍

［典例］已知一1＜2。+》＜2,3＜。一八4,

「……［而在微"點'').................

：注意錨嵌解沌為：為求a,b：

；的詢困，再求5a+卜的邪值—!

：黑，的遼桂不靈籌咐更的，對:

I?,b的為京匹啜,當(dāng)3安化!

求5a+5的取值范圍.

［解］令5a+b=i(2a+b)+f/(a—b)=(2A+fj)a+U—fi)b.

'22+〃=5,

=1,

5a+》=2(2a+5)+(a—b).

V—1<2?+Z><2,—2<2(2a+/>)<4.

又3<a一方<4,：A<2(2a+b)+(a~b)<8.

故5a+)的取值范圍為l<5a+fe<8.

［方法技巧］

利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略

(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運

算，求得待求的范圍.

(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程

中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍.

［提醒］求解這種不等式問題要特別注意不能簡單地分別求出單個變量的范圍，再去求

其他不等式的范圍.

［對點訓(xùn)練］

1.已知一lWaW3,2WbW4,則2a—Z＞的取值范圍是()

贏在微"點”

;同何不等式用書可加性」

：不能相減，同何同正不等;

?式縣再可乘性，人袋加除：

A.—642a—bW4

B.0W2a-6W10

C.一4/2。一〃42

D.—5W2。一

解析：選A因為一l《aW3,2W〃W4,

可得一2<2aW6,—4W—2,

所以一2一4/2〃一X6—2,

即一6W2a—.故選A.

2.已知Ov〃+b<29—l<b—a<l,則2a—b的取值范圍是

..........................................................

樸J-a多件一個整體，利用其花用求解:

解析：因為0v〃+）v2,—l<—a+b<l9

13

且2a-〃=孑（〃+6）一不（一。+5），

結(jié)合不等式的性質(zhì)可得，一|<2°一辰|.

答案：一3聲2“一端5

1四層］學(xué)習(xí)內(nèi)容3?4浸潤學(xué)科素養(yǎng)和核心價值

一、在典題訓(xùn)練中內(nèi)化學(xué)科素養(yǎng)

不等式的性質(zhì)與應(yīng)用仍是今后高考考查的熱點，它主要用于比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大

小，以及證明一些不等式或與函數(shù)等知識綜合命題，主要考查數(shù)學(xué)運算及邏輯推理核心素養(yǎng).

1.若4>。>0,c?/<0,則一定有（）

解析：選B因為c<d<0,所以［<!<（），

所以一%一：>0,與”>b>0對應(yīng)相乘得一,一g>0,所以，盜.故選B.

2.（2018?北京高考）能說明“若a>b,貝4為假命題的一組a,b的值依次為

解析：只要保證a為正分為負(fù)即可滿足要求.

當(dāng)a>0>Z>時，^>0>p

答案：1,一1（答案不唯一）

內(nèi)化素養(yǎng)

數(shù)學(xué)博算運算時應(yīng)注意嚴(yán)格按照不等式的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行

邏輯推理應(yīng)用不等式性質(zhì)中的倒數(shù)法則應(yīng)注意各數(shù)的符號

二、在導(dǎo)向訓(xùn)練中品悟核心價值

發(fā)展理性思維

1.已知a,b,c滿足a>b>c,且ac>0,則下列選項中一定能成立的是()

A.ab>acB.c(b—d)>Q

C.ab(a-c)>()D.cb2>ca2

解析：選C取。=—1,b=—2,c=-3,

貝VQ力=2VQC=3,cb2=—12<ca2=