湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第3章3-2-1第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性課件

第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1函數(shù)的單調(diào)性與最值學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，能運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷(或證明)一些函數(shù)的單調(diào)性．(難點(diǎn))3．會(huì)求一些具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(重點(diǎn))1．借助單調(diào)性的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2．利用求單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用單調(diào)性解題，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯曾經(jīng)對(duì)記憶保持量進(jìn)行了系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究，并給出了類似下圖所示的記憶規(guī)律．必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知如果我們以x表示時(shí)間間隔(單位：h)，y表示記憶保持量，則不難看出，圖中y是x的函數(shù)，記這個(gè)函數(shù)為y＝f(x)．這個(gè)函數(shù)反映出記憶具有什么規(guī)律？我們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何描述該規(guī)律？知識(shí)點(diǎn)1增函數(shù)與減函數(shù)的定義函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)圖示

條件設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D：如果對(duì)于I上任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有___________都有______________f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)結(jié)論f(x)是區(qū)間I上的增函數(shù)，也稱f(x)在區(qū)間I上單調(diào)____f(x)是區(qū)間I上的減函數(shù)，也稱f(x)在區(qū)間I上單調(diào)____遞增遞減思考在增函數(shù)和減函數(shù)定義中，能否把“任意x1，x2∈I”改為“存在x1，x2∈I”？舉例說(shuō)明．

提醒增、減函數(shù)定義中x1，x2的三個(gè)特征(1)任意性，即“任意兩個(gè)值x1，x2”中“任意”二字絕不能去掉，證明時(shí)不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常規(guī)定x1<x2；(3)屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間．體驗(yàn)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)所有的函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性． (

)(2)若函數(shù)y＝f(x)在定義域上有f(1)<f(2)，則該函數(shù)是增函數(shù)． (

)(3)若f(x)為R上的減函數(shù)，則f(0)>f(1)． (

)××√知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫作y＝f(x)的________．單調(diào)區(qū)間提醒對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問(wèn)題，所以單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域，則該點(diǎn)處區(qū)間可開(kāi)可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開(kāi)．(2)單調(diào)區(qū)間I?定義域D．(3)遵循最優(yōu)原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大．體驗(yàn)2．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，其單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A．[－4，4]B．[－4，－3]∪[1，4]C．[－3，1]D．[－3，4]C

[由圖可知，函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－3，1]，選C．]√

(－∞，0)和(0，＋∞)

關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難

反思領(lǐng)悟

利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1<x2．(2)作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并通過(guò)因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子．(3)定號(hào)：確定f(x1)－f(x2)的符號(hào)．(4)結(jié)論：根據(jù)f(x1)－f(x2)的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性．提醒：作差變形是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，且變形的結(jié)果是幾個(gè)因式乘積的形式．

(2)當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)是減函數(shù)，所以f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．

反思領(lǐng)悟

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，如本例(1)和(2)，其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解．(2)利用函數(shù)的圖象，如本例(3)．提醒：若所求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間要用“，”隔開(kāi)，如本例(1)和(3)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)如圖所示，寫出在每一單調(diào)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性；(2)寫出y＝|x2－2x－3|的單調(diào)區(qū)間．

類型3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例3】

(1)若函數(shù)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在區(qū)間(－∞，3]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________________．(2)已知函數(shù)y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)___________．(－∞，－4](－∞，1)(1)決定二次函數(shù)單調(diào)性的因素有哪些？由此思考該因素與區(qū)間(－∞，3]存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)若f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，且f(a)>f(b)，由此我們能得出變量a，b的大小關(guān)系嗎，同樣思考如何得出該例(2)中變量2x－3與5x－6的大小關(guān)系？(1)(－∞，－4]

(2)(－∞，1)

[(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的開(kāi)口向下，要使f(x)在區(qū)間(－∞，3]上單調(diào)遞增，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－4]．(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1．∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，1)．][母題探究]若本例(2)的函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求x的取值范圍．

反思領(lǐng)悟

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，反過(guò)來(lái)，若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍．(2)若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意非空子集上也是單調(diào)的．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)若f(x)在R上是減函數(shù)，則f(－1)與f(a2＋1)之間有(

)A．f(－1)≥f(a2＋1)

B．f(－1)>f(a2＋1)C．f(－1)≤f(a2＋1) D．f(－1)<f(a2＋1)(2)若f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是________．√

1．(多選題)如圖是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說(shuō)法正確的是(

)A．函數(shù)在區(qū)間[－5，－3]上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增C．函數(shù)在區(qū)間[－3，1]∪[4，5]上單調(diào)遞減D．函數(shù)在區(qū)間[－5，5]上沒(méi)有單調(diào)性學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)√23題號(hào)415ABD

[由題圖可知，f(x)在區(qū)間[－3，1]，[4，5]上單調(diào)遞減，單調(diào)區(qū)間不可以用“∪”連接，故C錯(cuò)誤，其余選項(xiàng)均正確．]√√

23題號(hào)415√D

[函數(shù)y＝1－x在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，其余函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故選D．]3．如果函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋2在區(qū)間[3，＋∞)上單調(diào)遞增，則b的取值范圍為(

)A．b＝3 B．b≥3C．b≤3 D．b≠323題號(hào)45√1C

[函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋2的圖象是開(kāi)口向上，且以直線x＝b為對(duì)稱軸的拋物線，若函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋2在區(qū)間[3，＋∞)上單調(diào)遞增，則b≤3，故選C．]4．若y＝(2k－1)x＋b是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)___________．23題號(hào)451

5．已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x2－2)<f(－x)，則x的取值范圍是__________．23題號(hào)451(－2，1)

[∵f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x2－2)<f(－x)，∴x2－2<－x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1．∴x的取值范圍是(－2，1)．](－2，1)回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題：1．若x1，x2是區(qū)間I上的任意實(shí)數(shù)，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，能否判定f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性？[提示]

能，增函數(shù)．[提示]

定義法、圖象法和基本初等函數(shù)法．