【高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)】函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

（河北承德第一中學(xué)數(shù)學(xué)組郝晶）

一、教學(xué)內(nèi)容分析：

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在掌握了函數(shù)的概念，函數(shù)的表示方法

等基礎(chǔ)知識(shí)后，學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，主要刻畫了函數(shù)在其

定義域內(nèi)某區(qū)間上圖像（上升或下降）的變化趨勢(shì)，為進(jìn)一步學(xué)

習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù),如在研究函數(shù)的值域、最大值、

最小值等性質(zhì)中有著重要應(yīng)用，而且在解決比較數(shù)的大小、解不

等式、證明不等式、數(shù)列的性質(zhì)等數(shù)學(xué)問題時(shí)也有重要的應(yīng)用。

同時(shí)它又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)性質(zhì)的基

礎(chǔ)。所以函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中具有核心知識(shí)地位和承上啟

下的重要作用。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：

（一）知識(shí)與技能：

1.用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言歸納、抽象概括增函數(shù)和減函數(shù)的定義，并

能正確理解單調(diào)性的定義；

2.利用圖像和定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，能正確書寫單調(diào)區(qū)間，并

能用單調(diào)性定義證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；

3.培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、類比化歸能力及數(shù)形結(jié)合思想方法的

運(yùn)用能力。

（二）過(guò)程與方法：

1.通過(guò)學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)問題創(chuàng)設(shè)情境，引出本節(jié)課題函數(shù)單調(diào)

性，同時(shí)借助多媒體的直觀演示，讓學(xué)生觀察圖像（上升？下

降？）變化趨勢(shì)，過(guò)渡到在區(qū)間上用自變量x和相應(yīng)函數(shù)f（x）

的變化進(jìn)行語(yǔ)言表述；

2.設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究、嘗試、歸納、總結(jié)，師生互相討

論交流，最終形成嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念；

3.形成概念后，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，通過(guò)生生互動(dòng)，師生互動(dòng)，

達(dá)到讓學(xué)生從多種形式認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)含義,從而加深學(xué)生對(duì)概

念的理解；鞏固練習(xí)問題（1）為了加深學(xué)生對(duì)單調(diào)性定義中自

變量取值“任意”性的理解，是一個(gè)很好的問題；問題（2）的

變式題體現(xiàn)了“逆向思維”，深化對(duì)定義的理解；問題（3）通過(guò)

教師的引導(dǎo),針對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的一部分學(xué)生,

對(duì)判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)纳钊牒屯卣?加深學(xué)生對(duì)單調(diào)性定義的更

深層次的理解，同時(shí)也為在高三階段利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性奠定了良好的知識(shí)基礎(chǔ)；

4.知識(shí)應(yīng)用部分,首先師生合作完成用單調(diào)性定義證明一個(gè)一次

函數(shù)單調(diào)性,讓學(xué)生初步體會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言刻畫單調(diào)性的代數(shù)描述

過(guò)程，然后由教師演示實(shí)驗(yàn)（教材中的例題2）讓學(xué)生直觀感知

壓強(qiáng)和體積的關(guān)系,培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想和在物理問題中應(yīng)

用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力,最后讓學(xué)生運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)

行單調(diào)性判定和證明,使學(xué)生能夠?qū)W以致用.

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：

創(chuàng)設(shè)情境引出課題,讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活,又能應(yīng)用

于生活,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)興趣；在探索

概念階段，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到

理性的認(rèn)知過(guò)程，完成對(duì)單調(diào)性定義的三次認(rèn)知的提升;在概念

應(yīng)用階段，通過(guò)對(duì)定義法證明單調(diào)性過(guò)程的具體分析，以及證明

過(guò)程的嚴(yán)格板書,幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和

步驟，培養(yǎng)學(xué)生清晰地思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理能力；最后先由學(xué)

生自己獨(dú)立完成再進(jìn)行小組合作交流,展示自己用單調(diào)性定義證

明函數(shù)單調(diào)性的全過(guò)程,培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題

的能力，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

三、學(xué)生學(xué)情分析：

本班學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力存在差異，學(xué)生在認(rèn)知過(guò)程中主

要存在兩個(gè)方面的困難：第一，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)

性的特征抽象出來(lái)，用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行描述，比如把定義域

內(nèi)某區(qū)間上“隨著x的增大，相應(yīng)的函數(shù)值/"）也隨著增大”（單

調(diào)遞增）這一特征用該區(qū)間上“任意的王＜/,都有/區(qū)）＜/氏）”

進(jìn)行刻畫，其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩個(gè)

大小不等的平%2；第二，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性過(guò)程中，

對(duì)學(xué)生在代數(shù)方面嚴(yán)格推理能力的要求較高,教師應(yīng)該給以適時(shí)

的點(diǎn)撥和糾正.

四、重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：1.函數(shù)單調(diào)性的概念；2.判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性.

難點(diǎn)：理解函數(shù)單調(diào)性的概念

五、教學(xué)策略分析：

1.多媒體演示創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生通過(guò)觀察氣溫變化曲線圖的變

化趨勢(shì)，完成對(duì)單調(diào)性直觀上的一種認(rèn)識(shí)，為概念的引入提供了

必要性,并讓學(xué)生帶著問題（什么是函數(shù)的單調(diào)性？）進(jìn)入新課;

2.問題串引導(dǎo)學(xué)生探究式學(xué)習(xí)法，小組合作和自主探究相結(jié)合,

問題作引導(dǎo)，引發(fā)積極思考；

3.實(shí)驗(yàn)器材的恰當(dāng)使用,提高了課堂的趣味性,豐富了學(xué)生的直

觀感受；

4.多媒體展示和學(xué)生板演相結(jié)合,提高課堂效率的同時(shí)兼顧解答

的規(guī)范性.

六、教學(xué)過(guò)程：

（一）創(chuàng)設(shè)情境,引入新知

第一,先觀察一個(gè)圖形（函數(shù)）

（通過(guò)多媒體給出承德今年8月8日氣溫變化曲線圖）

師：同學(xué)們和我一起來(lái)觀察承德今年8月8日的氣溫曲線圖，如

果用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)分析，設(shè)時(shí)間為t,溫度為T,這條曲線表達(dá)的是

關(guān)于這兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？

（學(xué)生回答，教師結(jié)合學(xué)生回答追問：如果設(shè)時(shí)間t為自變量，

能從圖中得出自變量的變化范圍嗎？師追問：這個(gè)函數(shù)的定義域

及它的對(duì)應(yīng)關(guān)系）

【設(shè)計(jì)意圖】回歸函數(shù)定義，教師總結(jié)：該曲線反映了氣溫T

隨時(shí)間t的變化規(guī)律，在區(qū)間［0,24］內(nèi)每給一個(gè)時(shí)間t的值，根

據(jù)圖象都有唯一確定的溫度T與之對(duì)應(yīng)，是一個(gè)函數(shù).

師：觀察圖象，結(jié)合已學(xué)過(guò)的函數(shù)觀點(diǎn)，你能說(shuō)出這一天的氣溫

變化規(guī)律嗎？

（學(xué)生獨(dú)立思考5秒后回答）

預(yù)案:⑴當(dāng)天的最高氣溫,最低氣溫及何時(shí)達(dá)到;⑵某些時(shí)段溫度

升高,某些時(shí)段溫度降低

（師追問：最高氣溫和最低氣溫是在什么范圍研究的？結(jié)合學(xué)生

回答給以及時(shí)評(píng)價(jià)；如果在定義域內(nèi)一部分一部分地研究，你又

會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？學(xué)生補(bǔ)充）

師：歸納關(guān)鍵點(diǎn)：研究函數(shù)性質(zhì)要在整個(gè)定義域內(nèi)研究；在定義

域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上，隨著時(shí)間t的增加，對(duì)應(yīng)溫度升高、降低的

變化規(guī)律就是函數(shù)的單調(diào)性一一引出課題，板書課題）

師：除了氣溫在某一范圍的變化規(guī)律，你還能舉出生活中具有單

調(diào)性質(zhì)的實(shí)例嗎？

預(yù)案：⑴承德橡膠壩水庫(kù)一年中水位隨時(shí)間的變化;⑵某段時(shí)間

學(xué)生身高的變化.

師歸納:拋開實(shí)際背景,從函數(shù)觀點(diǎn)看,它們都反映了在定義域內(nèi)

的某區(qū)間上，隨著自變量的變化，函數(shù)值變大或變小的規(guī)律（即

函數(shù)的單調(diào)性）；同學(xué)們?cè)诔踔芯鸵褜W(xué)會(huì)用文字來(lái)描述函數(shù)的單

調(diào)性,這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)一種更為方便的定義形式一一用符號(hào)

語(yǔ)言對(duì)單調(diào)性進(jìn)行代數(shù)刻畫.

【設(shè)計(jì)意圖】生活情境引入新課,可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)

生感悟數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決生活中的實(shí)際問

題，并向?qū)W生提出這節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo).

（二）探索歸納，建構(gòu)定義

第二,進(jìn)一步研究

觀察下列函數(shù)圖象，（師：根據(jù)我們剛剛對(duì)“函數(shù)單調(diào)性的初步

討論”）說(shuō)出函數(shù)的變化規(guī)律.

①/（X）=X②/（X）=-X+1③/（X）=/（圖象見課件）

(學(xué)生回答圖象變化趨勢(shì)并描述函數(shù)的變化規(guī)律，參照學(xué)案內(nèi)

容)

【設(shè)計(jì)意圖】

1.由圖象認(rèn)識(shí)增函數(shù)與減函數(shù)，直觀且易于學(xué)生接受;2.為單調(diào)

函數(shù)定義中關(guān)鍵詞“區(qū)間上”作鋪墊；3.讓學(xué)生初步體會(huì)數(shù)形結(jié)

合的思想.

探究一：

問題1：根據(jù)上面的描述，對(duì)比函數(shù)=x與/(x)=V在區(qū)間

(-8,+8)上的變化規(guī)律,說(shuō)出它們的不同點(diǎn)？(學(xué)生獨(dú)立思考5秒后

回答)

預(yù)案：函數(shù)/(x)=x在整個(gè)定義域上都是增函數(shù)，八幻=爐是在定

義域內(nèi)的區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)

師追問:如果要定義增函數(shù),應(yīng)該選擇在定義域上還是在定義域

內(nèi)的區(qū)間上呢？(學(xué)生答)

師歸納:單調(diào)性應(yīng)與定義域內(nèi)的區(qū)間相對(duì)應(yīng).

問題2：請(qǐng)歸納函數(shù)/(x)=x,/(x)=2x+l在其定義域上和函數(shù)

/(x)=v在區(qū)間(0,+8)上的共同特征,并試著用符號(hào)語(yǔ)言表述“函

數(shù)在定義域內(nèi)某區(qū)間D上是增函數(shù)”.(學(xué)生獨(dú)立思考5秒后

回答出共同特征后,進(jìn)入小組合作探究一一如何用符號(hào)語(yǔ)言表述

“函數(shù)/(X)在定義域內(nèi)某區(qū)間D上是增函數(shù)”)

預(yù)案:增函數(shù)的共同特征:在定義域內(nèi)某區(qū)間D上,函數(shù)值隨自變

量的增大而增大；(此處不同小組進(jìn)行符號(hào)表述，但學(xué)生描述可

能不準(zhǔn)確，如：在區(qū)間D上，取兩個(gè)自變量值為,々，當(dāng)司氣時(shí),

有人為)</氏)，則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).)

【設(shè)計(jì)意圖】由特殊到一般，歸納得到增函數(shù)定義.(此時(shí)定義還

需進(jìn)一步完善)

第三步:產(chǎn)生認(rèn)知沖突：

討論：”在函數(shù)/（x）=/的定義域（-8,+8）上，取兩個(gè)自變量值

QT，W=2,由玉＜々，計(jì)算得到相應(yīng)的函數(shù)值則稱

函數(shù)/（幻=尤2在（_8,+8）上是增函數(shù)”，這種說(shuō)法對(duì)嗎？為什

么？（學(xué)生獨(dú)立思考5秒后回答）

預(yù)案：⑴在定義域（-8,+8）上不是增函數(shù)（舉反例如玉=-3,

%=2）；⑵在（0,+oo）上和々取特殊值;⑶演,占取特殊值不具有代表

性，任意取,才能代表區(qū)間上的所有值.

師生合作:歸納得到增函數(shù)定義（此處增函數(shù)定義得到完善，師

完善板書）

【設(shè)計(jì)意圖】定義中和々取值的“任意性”是關(guān)鍵點(diǎn)，也是學(xué)生理

解的難點(diǎn)問題，為了幫助學(xué)生對(duì)4％2“任意性”的理解，教師應(yīng)

給以適時(shí)的點(diǎn)撥：區(qū)間上的值有無(wú)數(shù)多個(gè)，是取不完的，因此應(yīng)

該取任意值，不可由特殊值來(lái)代替.

（三）嚴(yán)格定義，理解概念

（多媒體給出定義）增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮

如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值和%,當(dāng)

玉時(shí)，都有了。）＜/（々），則稱函數(shù)/（幻在區(qū)間D上是增函數(shù)

（increasingfunction）.

師：有了增函數(shù)的定義，請(qǐng)你具體談?wù)勀銓?duì)“/（》）=，在區(qū)間（0,+8）上

是增函數(shù)”是怎樣理解的？（幻燈片給出該問題）

預(yù)案：對(duì)定義域：研究函數(shù)性質(zhì)，首先應(yīng)該在定義域內(nèi)研究；對(duì)區(qū)

間：針對(duì)（0,+8）這個(gè)區(qū)間，單調(diào)性與定義域內(nèi)區(qū)間相對(duì)應(yīng)，是局部概

念;兩個(gè)自變量的取值的任意性,代表了區(qū)間上所有值；自變量變化

與相應(yīng)函數(shù)值變化的一致性.

【設(shè)計(jì)意圖】深化對(duì)定義的理解.

師：有了對(duì)函數(shù)性質(zhì)的這些認(rèn)識(shí)，對(duì)比增函數(shù)的定義，你能給出減函

數(shù)的定義嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)類比，歸納概括出減函數(shù)定義.

（師:用多媒體給出減函數(shù)定義：一般地，設(shè)函數(shù)門處的定義域?yàn)镮

如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值和看,當(dāng)

王時(shí)，都有了區(qū)）＞/（/），則稱函數(shù)/'（X）在區(qū)間D上是減函數(shù)

（decreasingfunction））

（師用多媒體給出：如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，

那么就說(shuō)y=在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=/⑴

的單調(diào)區(qū)間.）

教師應(yīng)提出：函數(shù)/（x）=x在整個(gè)定義域內(nèi)都是單調(diào)的,而函數(shù)/（X）=/

在其定義域（-8,+00）內(nèi)不單調(diào)，只在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)。

問題3：回到前面引課時(shí)的氣溫曲線，說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指明

函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生正確表達(dá)單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單

調(diào)性.

（師：檢測(cè)學(xué)生對(duì)定義的理解情況.）

鞏固練習(xí)：判斷下列說(shuō)法是否正確，并結(jié)合定義說(shuō)明理由.

⑴定義域?yàn)閇0,+?＞）的函數(shù)/（X）,滿足了（“）＜.八〃+1）,“=0,1,2,3,…，則函數(shù)/（x）在

[0,+8）上是增函數(shù).（）

（2）對(duì)于定義域內(nèi)的區(qū)間D,若任意王當(dāng)王＞士時(shí)，都有/5）＞/（/）,則函

數(shù)/（X）在D上是增函數(shù).（）

變式：函數(shù)"X）在D上增函數(shù)，若任意X],%eD,/（%!）>/（%2）>則有玉/

（3）對(duì)于定義域內(nèi)的區(qū)間D,任意和馬GD,都有（F-馬）"區(qū)）-/（9）]>0,則函

數(shù)在D上是增函數(shù).（）

【設(shè)計(jì)意圖】深化學(xué)生對(duì)定義的理解，進(jìn)一步鞏固概念.

師總結(jié)一一有了定義，我們對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有了什么新的認(rèn)識(shí)：?jiǎn)握{(diào)

性反映了在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上隨自變量的變化，函數(shù)的變化規(guī)律；

描述法比較形象的反映了函數(shù)的這一特征，但不夠精確；單調(diào)性的定

義從代數(shù)形式進(jìn)行刻畫，更簡(jiǎn)練，更精確；

我們借助圖象可以直觀感知單調(diào)性,但無(wú)法操作，而且并不是所有函

數(shù)的圖象都很簡(jiǎn)單，如果我們目前畫不出圖象怎么辦（教師舉例

/（%）=，+%）而單調(diào)性的定義，則為我們用代數(shù)法嚴(yán)格證明單調(diào)性提

供了依據(jù).

（四）知識(shí)應(yīng)用

探究二：

例1:用定義證明：函數(shù)f（x）=2x+l在其定義域上是增函數(shù).

（師生合作完成如下步驟:⑴用區(qū)間表示定義域；⑵取值（突出“任意性”）

兩個(gè)不等的自變量值和%,（預(yù)案：以下有學(xué)生完成:不妨設(shè)王<々；將自變

量值。小代入到解析式得到相應(yīng)函數(shù)值/區(qū)），/（%）（師問：如何比較了（內(nèi)），

/區(qū)）的大小呢？）希望獲得了區(qū)），/⑷）的什么關(guān)系，結(jié)論是什么.）

（師：用多媒體展示完整的證明過(guò)程和證明步驟）

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何分析問題，并初步體會(huì)用定義法證明單調(diào)性

的過(guò)程中邏輯的嚴(yán)密性和言必有據(jù)；增強(qiáng)了學(xué)生運(yùn)用代數(shù)法描述單調(diào)性的

信心.

教師演示（小實(shí)驗(yàn)）：向上拉動(dòng)活塞，在實(shí)驗(yàn)儀器中用手指封住一定

量的氣體，記下此時(shí)儀器上的刻度，用力向下壓活塞并記下此時(shí)儀器

上顯示的刻度，結(jié)合手指的感覺，猜想壓強(qiáng)P隨體積V的變化規(guī)律.

（師:多媒體給出例題）

探究三：

例題2：物理學(xué)中的玻意耳定律p（v）=［（其中左＞0,且攵為常數(shù)），告訴

我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)P將增大.試用函

數(shù)的單調(diào)性證明之.（先由學(xué)生獨(dú)立5秒后,思考突破本題難點(diǎn)）

預(yù)案:⑴定義域⑵由題意,要證明P（V）在（0,+8）上是減函數(shù)⑶學(xué)生獨(dú)

立書寫證明過(guò)程⑷學(xué)生進(jìn)行組內(nèi)討論⑸最后展示本組結(jié)果:學(xué)生板演

后，其他小組糾錯(cuò)，講解自己的證明過(guò)程）

【設(shè)計(jì)意圖】不同小組展示，糾正用定義證明過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，

讓學(xué)生明確如何從條件和已知出發(fā)獲得想要的結(jié)論和用定義證明單

調(diào)性的步驟.

能力提升：“函數(shù)/（》）='在定義域（一8,0）50,+8）上是減函數(shù)”這個(gè)說(shuō)

X

法正確嗎？并說(shuō)明理由