2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.1-直線(xiàn)的方程【課件】

第八章平面解析幾何第1節(jié)直線(xiàn)的方程ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1(1)定義：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線(xiàn)l______的方向之間所成的角α叫做直線(xiàn)l的傾斜角；(2)規(guī)定：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為_(kāi)_____；(3)范圍：直線(xiàn)的傾斜角α的取值范圍是______________________.1.直線(xiàn)的傾斜角向上0°{α|0°≤α<180°}(1)定義：我們把一條直線(xiàn)的傾斜角α的________叫做這條直線(xiàn)的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝______________.(2)計(jì)算公式2.直線(xiàn)的斜率正切值tanα3.直線(xiàn)方程的五種形式名稱(chēng)幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率______________與x軸不垂直的直線(xiàn)點(diǎn)斜式過(guò)一點(diǎn)、斜率_______________兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)————————與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線(xiàn)截距式縱、橫截距————————不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線(xiàn)一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線(xiàn)y＝kx＋by－y0＝k(x－x0)1.直線(xiàn)的傾斜角α和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：2.截距和距離的不同之處“截距”是直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).×解析(1)當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角α1＝135°，α2＝45°時(shí)，α1＞α2，但其對(duì)應(yīng)斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)當(dāng)直線(xiàn)斜率為tan(－45°)時(shí)，其傾斜角為135°.(3)兩直線(xiàn)的斜率相等，則其傾斜角一定相等.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)直線(xiàn)的傾斜角越大，其斜率就越大.(

) (2)直線(xiàn)的斜率為tanα，則其傾斜角為α.(

) (3)斜率相等的兩直線(xiàn)的傾斜角不一定相等.(

) (4)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線(xiàn)都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(

)××√C解析設(shè)直線(xiàn)傾斜角為α，∵y＝－xtan60°＋2，2.(易錯(cuò)題)直線(xiàn)xtan60°＋y－2＝0的傾斜角為(

) A.30°

B.60° C.120° D.150°∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.ABD3.(多選)下列說(shuō)法正確的是(

)解析由于直線(xiàn)ax＋by＋c＝0同時(shí)要經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，故斜率小于0，在y軸上的截距大于0，4.直線(xiàn)ax＋by＋c＝0同時(shí)要經(jīng)過(guò)第一、第二、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿(mǎn)足(

) A.ab＞0，bc＜0

B.ab＞0，bc＞0 C.ab＜0，bc＞0

D.ab＜0，bc＜0A即x－4y＝0.當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，5.(易錯(cuò)題)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，1)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_____________________________.x－4y＝0或x＋y－5＝0故直線(xiàn)方程是x＋y－5＝0.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2當(dāng)直線(xiàn)l由PA變化到與y軸平行的位置PC時(shí)，它的傾斜角由α增至90°，斜率的取值范圍為[1，＋∞).解析因?yàn)橹本€(xiàn)l2，l3的傾斜角為銳角，且直線(xiàn)l2的傾斜角大于直線(xiàn)l3的傾斜角，所以0＜k3＜k2.直線(xiàn)l1的傾斜角為鈍角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.(2)若圖中直線(xiàn)l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(

)A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2D解析直線(xiàn)l：y＝k(x－2)＋1經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(2，1)，訓(xùn)練1(1)已知點(diǎn)A(1，3)，B(－2，－1).若直線(xiàn)l：y＝k(x－2)＋1與線(xiàn)段AB相交，則k的取值范圍是(

)D又直線(xiàn)l：y＝k(x－2)＋1與線(xiàn)段AB相交，D則其傾斜角為30°，(2)過(guò)點(diǎn)(2，1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線(xiàn)方程為_(kāi)____________________________.故所求直線(xiàn)方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0(3)經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點(diǎn)，且直線(xiàn)的一個(gè)方向向量v＝(－3，2)的直線(xiàn)方程為_(kāi)_______________.∴直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1，1).∵直線(xiàn)的方向向量v＝(－3，2)，2x＋3y－5＝0即2x＋3y－5＝0.解析設(shè)C(x0，y0)，訓(xùn)練2(1)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中點(diǎn)M在y軸上，BC的中點(diǎn)N在x軸上，則直線(xiàn)MN的方程為_(kāi)_______________.5x－2y－5＝0解得x0＝－5.解得y0＝－3.即5x－2y－5＝0.此時(shí)直線(xiàn)的方程為x－y－1＝0.綜上可得，所求直線(xiàn)的方程為3x－2y＝0或x－y－1＝0.(2)過(guò)點(diǎn)(－2，－3)，且在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)的直線(xiàn)方程是______________________________.3x－2y＝0或x－y－1＝0∵與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，(3)若一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2，2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則此直線(xiàn)的方程為_(kāi)______________________________.x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0①k＞0時(shí)，(2k＋2)2＝2k，2k2＋3k＋2＝0，無(wú)解.②k＜0時(shí)，(2k＋2)2＝－2k，則所求直線(xiàn)為2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.證明

直線(xiàn)l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，例3

已知直線(xiàn)l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)證明：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)；∴無(wú)論k取何值，直線(xiàn)l總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(－2，1).在y軸上的截距為1＋2k，要使直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限，(2)若直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；當(dāng)k＝0時(shí)，直線(xiàn)為y＝1，符合題意，故k的取值范圍是[0，＋∞).∴Smin＝4，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為x－2y＋4＝0.(3)若直線(xiàn)l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線(xiàn)l的方程.解

由題意可知k≠0，再由l的方程，

∵l與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，訓(xùn)練3

已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M(2，1)，且分別與x軸的正半軸，y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線(xiàn)l的方程.

解

法一設(shè)直線(xiàn)l的方程為y－1＝k(x－2)，即x＋2y－4＝0.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3利用斜截式直接寫(xiě)出方程，1.傾斜角為120°且在y軸上的截距為－2的直線(xiàn)方程為(

)B2.若過(guò)點(diǎn)P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直線(xiàn)的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

) A.(－2，1) B.(－1，2) C.(－∞，0) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)A解析∵直線(xiàn)y＝ax＋c經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，∴直線(xiàn)的斜率a＞0，在y軸上的截距c＞0.3.若直線(xiàn)y＝ax＋c經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則有(

) A.a＞0，c＞0 B.a＞0，c＜0 C.a＜0，c＞0 D.a＜0，c＜0A解析直線(xiàn)2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，B由所求直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0，1)，5.過(guò)點(diǎn)(0，1)且與直線(xiàn)2x－y＋1＝0垂直的直線(xiàn)方程是(

) A.x＋2y－1＝0

B.x＋2y－2＝0 C.2x－y－1＝0

D.2x－y－2＝0B解析∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴斜率k＝tanα≥－1，BA所求直線(xiàn)為y＝2x，即2x－y＝0.當(dāng)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)方程為x±y＝k，把點(diǎn)A(1，2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的直線(xiàn)方程為x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.8.(多選)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(1，2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，則直線(xiàn)l的方程為(

) A.x－y＋1＝0

B.x＋y－3＝0 C.2x－y＝0

D.x－y－1＝0ABC解析已知直線(xiàn)的斜率為1，則其傾斜角為45°，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后，得到的直線(xiàn)l的傾斜角α＝45°＋15°＝60°，即x＋13y＋5＝0.10.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，則BC邊上中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____________.x＋13y＋5＝0解析因?yàn)橹本€(xiàn)l的斜率存在，11.設(shè)直線(xiàn)l的方程為2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直線(xiàn)l的斜率為－1，則k＝________；若直線(xiàn)l在x軸、y軸上的截距之和等于0，則k＝________.51由題意得k－3＋2＝0，解得k＝1.解析依題意，設(shè)點(diǎn)P(a，1)，Q(7，b)，12.若直線(xiàn)l與直線(xiàn)y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線(xiàn)l的斜率為_(kāi)_______.解析由題意知，y′＝2x＋2，設(shè)P(x0，y0)，則在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜