八年級數(shù)學(xué)反比例函數(shù)及動點問題專項練習(xí)

八年級數(shù)學(xué)反比例函數(shù)及動點問題專項練習(xí)

考點一、反比例函數(shù)的圖像

(K>0)(K<0)

(K>0)

考點二、反比例函數(shù)的性質(zhì)

1.

一般地，如果兩個變量之間的關(guān)系可以表示成

y=勺伍為常數(shù),k豐0的形式那么稱y是X的反比例函數(shù).

X

2.形狀反比例函數(shù)的圖象是由兩支雙曲線組成的.因此稱反比例函數(shù)的圖象為雙曲線；

3.位置當(dāng)k>0時，兩支雙曲線分別位于第一，三象限內(nèi);當(dāng)k<0時，兩支雙曲線分別位于第二，四象

限內(nèi)；

4.增減性反比例函數(shù)的圖象，當(dāng)k>0時，在每一象限內(nèi),y隨X的增大而減小;

當(dāng)k<0時，在每一象限內(nèi),y隨x的增大而增大.

5.圖象的發(fā)展趨勢反比例函數(shù)的圖象無限接近于x,y軸,但永遠達不到x,y軸，畫圖象時,要體現(xiàn)

出這個特點.

6.對稱性反比例函數(shù)的圖象是關(guān)于原點成中心對稱的圖形.

7.任意一組變量的乘積是一個定值，即xy=k.

溫馨提示：反比例函數(shù)的涉及內(nèi)容

1.i當(dāng)路程s一定時，時間t與速度v的函數(shù)關(guān)系

t=s/v

2.過當(dāng)矩形面積S一定時，長a與寬b的函數(shù)關(guān)系

a=s/b

3.iii當(dāng)三角形面積S一定時，三角形的底邊y與高x

的函數(shù)關(guān)系

y=2s/x

動點問題(重點)

所謂“動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類

開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜，靈活運用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題。

“動點型問題”題型繁多、題意創(chuàng)新，考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀

念、應(yīng)用意識、推理能力等，是近幾年中考題的熱點和難點。

解決動點問題的關(guān)鍵是“動中求靜

從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”

等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。

在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，做好計算推理的過程。在

變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點”探究題的基本思路，這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)

學(xué)本質(zhì)。

考點一：建立動點問題的函數(shù)解析式(或函數(shù)圖像)

函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。動點問題反映的是

一種函數(shù)思想，由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化，引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)

系，這種變化關(guān)系就是動點問題中的函數(shù)關(guān)系。

考點二：動態(tài)幾何型題目

點動、線動、形動構(gòu)成的問題稱之為動態(tài)幾何問題.它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主

線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考

查學(xué)生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力。

動態(tài)幾何特點一一問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的

關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。)動點

問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、

平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。

考點三：雙動點問題

動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點題型.這類試題信息量大，其中以靈活多變而著稱的雙動點

問題更成為中考試題的熱點中的熱點，雙動點問題對同學(xué)們獲取信息和處理信息的能力要求更高高;

解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，并特別關(guān)注運動與變化

中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系，動中取靜，靜中求動.

自主測試

1.已知正比例函數(shù)y=h3用)與反比例函數(shù)y=4&和)的圖象有一個交點的坐標為G2,-1),則它的

X

另一個交點的坐標是()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

2.在1/p面直角坐標系叨亨數(shù))=去+左，>o)的圖像大致是［V

卡十方T)

4

3已知點A(-2,yi)、B(-1,yz)、C(3,y)都在反比例函數(shù)y=—的圖象上，則

3x

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3()

4.若點(3,4)是反比例函數(shù)y=......-圖象上一點，則此函數(shù)圖象必須經(jīng)過點().A(2,6)B

x

(2,-6)C(4,-3)D.(3,-4)

5.反比例函數(shù)y=二的圖象位于()

X

A、第一、二象限B、第一、三象限C、第二、三象限D(zhuǎn)、第二、四象限

6.已知力F所作的功是15焦，則力F與物體在力的方向通過的距離S之間關(guān)系的圖象大致是()

k

7.反比例函數(shù)y=-(k>0)在第一象限內(nèi)的圖象如圖，

x

點M是圖象上一點，MP垂直x軸于點P,如果AMOP的面積為1,

那么k的值是()

(A)1(B)2(C)4(D)V2

8.若雙曲線y=經(jīng)過點A(m,-2m),則m的值為()

X

A.也B.3C.±V3D.±3

9.在電壓一定的情況下，電流I(A)與電阻R(Q)之間滿足如圖所示的反比例函數(shù)關(guān)系，則I關(guān)于

R的函數(shù)表達式為o

10.如果反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,-2),那么這個反比例函數(shù)的解析式為。

11.兩個反比例函數(shù))，=3,9在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P,P1,尸3,…，P2OO5在反比例

XX

函數(shù)y=9圖象上，它們的橫坐標分別是汨，X2,X3,....X2005,縱坐標分別是1,3,5,共2005

X

3

個連續(xù)奇數(shù)，過點P,Pl,P3,…，P2005分別作y軸的平行線，與丫=士的圖象交點依次是Q3,

X

yi),Qi(及，”)，。3(X3,yi),,Qioo5(X2005,”005),貝yi005=.

12.如圖，△POASP2A|A2,AP3A2A3,……QPnAiAn都是等腰直角三角形,點P1,P2,P3,……,Pn在函數(shù)

4

y=—(X>0)的圖象上，斜邊OA1,A1A2,A2A3,……,An_lAn都在X軸上，則點A)的坐標是

X

,點A2的坐標是,點A2006的坐標是.

歸類精析

［歸類示例一］反比例函數(shù)圖像的確定

【例1】

解析：A、?.?由反比例函數(shù)的圖象在一、三象限可知，k>0,V0,.?.一次函數(shù)y=kx-k的

圖象經(jīng)過一、三、四象限，故本選項錯誤；

B、???由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知，k<0,A-k>0,.?.一次函數(shù)y=kx-k的圖象經(jīng)過

一、二、四象限，故本選項正確；

C、：由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知，k<0,.?.*>(),.?.一次函數(shù)y=kx-k的圖象經(jīng)

過一、二、四象限，故本選項錯誤；

D、I?由反比例函數(shù)的圖象在一、三象限可知，k>0,.?.*<(),.?.一次函數(shù)y=kx-k的圖象經(jīng)

過一、二、四象限，故本選項錯誤.

方法歸納掌握反比例函數(shù)的圖像是解題的關(guān)鍵

［歸類示例二］反比例函數(shù)在實際生活中的反應(yīng)

【例21已知甲，乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地.如果汽車每小時耗油量為aL,那么從

甲地到乙地的總耗油量y(L)與汽車的行駛速度v(km/h)的函數(shù)圖象大致是().

解析：根據(jù)題意有y=as/vy、v之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)且y、v>0

方法歸納根據(jù)實際問題，寫出函數(shù)關(guān)系式

［歸類示例三］三角函數(shù)在等式中的運用

【例3】3、如圖所示，正比例函數(shù)y=k1x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點，其

中點A的坐標為(白，2也)。

(1)分別寫出這兩個函數(shù)的表達式。

(2)你能求出點B的坐標嗎？你是怎樣求的？

(3)若點C坐標是(Y,0).請求ABOC的面積。

(4)試著在坐標軸上找點D,使AAODg△BOC。

解析：結(jié)合兩個函數(shù)解析式

【例4】

已知如圖：點(1,3)在函數(shù)y*(工>0)的圖象上，矩形ABC耶邊

冷軸上，廢對角線助的*一亭中點，函數(shù)!/哼(工

O\BGcX

>0)的圖象又經(jīng)過人E兩點，點砸橫坐標為m,解答下列問題：

(1)求碓J值；

(2)求點維橫坐標；(用m表示)

(3)當(dāng)/48。=45。時，求m的值.

解析:

(1)由函數(shù)廠區(qū)圖象過點(1,3)則可把點(1,3)坐標代入產(chǎn)區(qū)中，得h3;

xx

(2)連接4c,貝(］力彼E,過崛EG_LB微BC辛慈

??忘喉儂仔m,丑曲線弓上，

.?.而儂^/=3,

m

???E為BD中點，

.,.由平行四邊形性質(zhì)得出E為力舛點，

；.BG=GC='BC,

￡?

：.AB=2EG=^~,

m

即A點的縱坐標是6,

m

代入雙曲的=&得：A的橫坐標是1n,

X2l

,0B=*m,

即8G=GC=m-與m=/m,

?,?點C(1m,0).

(3)當(dāng)NABD=45。時，AB=AD,則有,即而=6,

m

解之m產(chǎn)后,m2=-j6(舍去)，

【例】如圖，在反比例函數(shù)

5y=(X>0)的圖象上，有點Pl,P2,P3,P4)

它們的橫坐標依次為1,2,3,4.分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面

積從左到右依次為Si,S2)S3,求:(1)si的值;(2)s6的值;(3)sl+s2+s3+...+sn的值.(用含n

的代數(shù)式來表示)

解析:

(1)由題可得Pi(l,2)?2(2,1)

所以Si=lx(2-1)=1;

(2)由題知Ps(5,|)?6(6申,P7(7f|)

1?1

S6=(6-5)x(U；

3721

(3)由題意可以得出Sn=(n-n+1)x22)=2-?-2^

nn+1nn+1

械Si+S2+S3+...+Sn=2(i」+L-L+…+L_2_)=_2n_.

223nn+1n+1

方法歸納：依次求點、依次找出規(guī)律

【例6】為了預(yù)防“非典”，某學(xué)校對教室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空

氣中的含藥量y(mg)與時間x(min)成正比例.藥物燃燒后,y與x成反比例(如圖所示)，現(xiàn)測得藥物8min

燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6mg,請根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題：

(1)藥物燃燒時,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：,自變量x的取值范圍是:藥物燃燒

后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為.

(2)研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于L6mg時學(xué)生方可進教室，那么從消毒開始,至少需

要經(jīng)過多少分鐘后，

學(xué)生才能回到教室；

（3）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低

于3mg且持續(xù)時間不低于lOmin時，才能有效殺

滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效?為什么?

解析：

3

必=正

（1）藥物燃燒時，y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式為4；藥物燃燒后，y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式為：

48

乃=一

x;

48

⑵依題意L6...x<1.6xN30

因此至少需要經(jīng)過30min后，學(xué)生才能回到教室；

、2—x>3

⑶當(dāng)》二$時4x之4

竺23

當(dāng)為之3時...xx<164<x<16

VI6-4-12>10.?.此次消毒有效。

【例7】（2016蘇州）18.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B的坐標分別（&°）、（02兩，

C是AB的中點，過C作,軸的垂線垂足為D.動點P從點D出發(fā)，沿DC向C勻速運動，過點P

做“軸的垂線，垂足為E,連接BP、EC.當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時，點P的坐

標為.

解：???點A、B的坐標分別為(8,0)，(0,243)

.■?BO=2A[3>AO=8

由CD_LBO,C是AB的中點，可得BD=DO=gBO=3=PE，

CD=-AO=4

2

設(shè)DP=a，貝”CP=4-a

當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時，設(shè)BP與CE交于點F，則NFCP=NDBP

又「EP-LCP，PD1BD

???ZEPC=ZPDB=90°

AEPC1^APDB

即

PEPC34-a

解得ai=l，a2=3(舍去)

???DP=1

又???PE=B

???p(1，3

故答案為：(1.J3)

方法歸納：運用直線間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵

練習(xí)題

Q

1、如圖，反比例函數(shù)y=-2與一次函數(shù)y=-x+2的圖象交于A、B兩點.

x

(1)求4、B兩點的坐標;

(2)求AAOB的面積.

攵/\

2、如圖所示，點A、B在反比例函數(shù)y=—的圖象上，且點A、B的橫坐標分別為a,2a(。＞0)。

x

軸，垂足為C,且A40C的面積為2。

⑴求該反比例函數(shù)的解析式。

⑵若點（一。,%）、（-2”,為）在該反比例函數(shù)的圖象上，試比較必與力的大小。

⑶求A4O8的面積。

3.某單位為響應(yīng)政府發(fā)出的全民健身的號召，打算在長和寬分別為20米和11米的矩形大廳內(nèi)

修建?個60平方米的矩形健身房A8CD該健身房的四面墻壁中有兩側(cè)沿用大廳的舊墻壁（如圖為

平面示意圖），已知裝修舊墻壁的費用為20元/平方米，新建（含裝修）墻壁的費用為80元/平方米.

設(shè)健身房的高為3米，一面舊墻壁AB的長為x米，修建健身房的總投入為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為了合理利用大廳，要求自變量x必須滿足8人12.當(dāng)投入資金為4800元時，問利用舊

墻壁的總長度為多少米？

AB

-M-

----------C

11米

±__________________________

V-------20米-----------?

4.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，P為BC邊上的任意一點(點P與B