高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 33(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題(33)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共13小題，共65.()分)

1.在三棱錐P-4BC中，點(diǎn)尸在平面A8C的垂足為△ABC的內(nèi)心，三棱錐P-4BC的高為2g，且

AB=6,AC=8,BC=10,設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為O,直線P。與平面A8C交于

點(diǎn)<2-則.=()

A.-B.2C.3D.4

4

2.如圖，將邊長為2的正方形ABC。沿PD,PC翻折至4B兩點(diǎn)重合，其中P是AB中點(diǎn),在折成的三

棱錐力⑻-PDC中，點(diǎn)。在平面尸CC內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且直線AQ與棱”所成角為60°,則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)

3.如圖，在一個(gè)底面邊長為2,側(cè)棱長為質(zhì)的正四棱錐P-4BC0中，大球。1內(nèi)切于該四棱錐,

小球。2與大球。］及四棱錐的四個(gè)側(cè)面相切，則小球Q的體積為()

4.在三棱錐P-4BC中，平面PAB1.平面ABC，2MBe是邊長為6的等邊三角形，/P4B是以A8

為斜邊的等腰直角三角形，則該三棱錐外接球的表面積為()

A.64TTB.487rC.367rD.277r

5.在三棱錐P—/BC中，平面PAB1平面ABC,△ABC是邊長為6的等邊三角形，ZiPAB是以A8

為斜邊的等腰直角三角形，則該三棱錐外接球的表面積為（）.

A.647rB.487rC.367rD.27n

三棱錐尸一/BC中，AB1BC,AP4c為等邊三角形,二面角P—/C—5的余弦值為—，G，

6.

3

當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為8〃.則三棱錐體積的最大值為（）

A.1B.2C.-D.-

-23

7.在空間，到一圓周上各點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是（）

A.一個(gè)點(diǎn)B.一條直線C.一個(gè)平面D.一個(gè)球面

8.已知正三棱錐P-ABC中，AB=1,PA=2,則該三棱錐外接球的表面積是（）

A487r「127r

A-7TR四

11c?—D.-

9.在棱長為2的正方體4BCC-4/iCiDi中，點(diǎn)”是對(duì)角線AC】上

的點(diǎn)（點(diǎn)M與A、q不重合），設(shè)的面積為S,則S的取

值范圍（）

A.［券,2遮）

B.苦,2例

C.苦,2次）

D.磬,2何

10.已知邊長為2遍的菱形力BCD中，NA=60。,現(xiàn)沿對(duì)角線8。折起,使得二面角力-BD-C為120。,

此時(shí)點(diǎn)A,B,C,。在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）

A.20兀B.247rC.28兀D.327r

11.如圖，在棱長為2的正方體4BCD中，尸為BC的中點(diǎn)，E

為正方形a4遇8的中心，動(dòng)點(diǎn)P在線段E尸上，則（PC】+PCJ2的最

小值為

A.14+6V5

B.12+4V7

C.17

D.24

12.在正三棱柱中，AB=AAr=1,D,E,F,G分別為AC,4G，AA^CG的中

點(diǎn)，P是線段QF上的一點(diǎn).有下列三個(gè)結(jié)論：

①BP〃平面/EG；②BP10G;③三棱錐P-BiEG的體積是定值.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

A.①②B.①③C.②③D.①②③

13.如圖平面多邊形中，四邊形A8C。是邊長為近的正方形，外側(cè)4個(gè)三角形均為正三角形.若沿正

方形的4條邊將三角形折起，使頂點(diǎn)Si，Sz，S3，S4重合為S點(diǎn)，得到四棱錐S-4BC。，則此四棱

錐的外接球的表面積為

A.71B.27rC.37rD.47r

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

14.已知正方體ABCD—4B1GD1的棱長為魚，若平面a〃44「且經(jīng)過該正方體內(nèi)切球的球心，則

平面a截該正方體所得的截面在內(nèi)切球以外的部分的面積可能為（）

A.V3-7B.逋-巴C.V6-^D.3&T

22222

三、填空題（本大題共12小題，共60.0分）

15.已知三棱錐D-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，△ABC和ADBC所在平面互相垂直，AC=

丹AB=3,BC=CD=BD=2代,則球。的體積為?

16.已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB=*，BC=V7.AC=2,則此三棱錐外

接球的表面積為.

17.（1）若命題“Vxe[0,2],/一x+1Wa”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是,

⑵已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(%)滿足f(—x)+/(x)=0,且當(dāng)％<0時(shí),f(x)=—e-2、若f(Q)=4,

則Q=.

(3)已知a>l,b>0,且a+b=2,則史必二+絲匕的最小值為_______.

a-1b

(4)在三棱錐P-4BC中，PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形，PA與底面ABC所成

角的余弦值為漁，則三棱錐P-48c的外接球的球心到底面ABC的距離為.

3

18.正四面體的內(nèi)切球與外接球的體積之比

19.(1)已知函數(shù)/(x)={log2x,x>0

4-2~x,x<0

⑵已知F1，尸2分別為橢圓C:^+?=1的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)A是橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0),

若AM為4居4尸2的角平分線，則1461=.

(3)如圖(1),在等腰直角回4BC中，斜邊AB=4,。為AB的中點(diǎn)，將回ACD沿CQ折疊得到如

圖(2)所示的三棱錐C-4'8。，若三棱錐C-的外接球的半徑為花，則"I'DB

(4)設(shè)定義在。上的函數(shù)y=/I(X)在點(diǎn)P(x(),/i(xo))處的切線方程為，：y=9(x)，當(dāng)xH與時(shí)，若

幽*>0在。內(nèi)恒成立，則稱P點(diǎn)為函數(shù)y=八(為的"類對(duì)稱中心點(diǎn)”，則函數(shù)八萬)=三+

X-XQ2e,

Inx的“類對(duì)稱中心點(diǎn)”的坐標(biāo)是

20.在三棱錐ABCD中，4ABe=ZABD=60°,BC=BD=2vLCD=4,AB=壺.則三棱錐4-

BCD的外接球的表面積為

21.用扇形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒(假設(shè)扇形半徑可變化)，已知扇形面積為定值S,要使卷成的圓錐筒

體積最大，則該扇形的半徑R為.

22.用半徑為2c/w的半圓形紙片卷成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的高為<

23.如圖，正方體4BCD-A/iGDi的棱長為小線段&D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=￡a，以下

結(jié)論正確的有（）

團(tuán)4c1BE

團(tuán)點(diǎn)A到4BEF的距離為定值

回三棱錐A-BEF的體積是正方體ABCD-48修1。1體積的2

團(tuán)異面直線4E,B尸所成的角為定值

24.如圖為中國傳統(tǒng)智力玩具魯班鎖，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的禪卯結(jié)

構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即樟卯結(jié)構(gòu)）嚙合，外觀看是

嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，六根完全相同

的正四棱柱分成三組，經(jīng)90。梯卯起來.現(xiàn)有一魯班鎖的正四校柱的底

面正方形邊長為1,欲將其放入球形容器內(nèi)（容器壁的厚度忽略不計(jì)）,

若球形容器表面積的最小值為30兀，則正四棱柱的高為

25.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個(gè)面都

為直角三角形的三棱錐稱之為鱉腌，PA，底面4BC,PA=AB=L4C=&,三棱錐P-ABC的

四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為.

26.在棱長為1的正方體4BCD-4/GD1中，點(diǎn)尸是正方體棱上的一點(diǎn)，若滿足|PB|+|PDil=nt

的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)大于6,則m的取值范圍是.

四、多空題（本大題共1小題，共4.0分）

27.已知正三棱錐P-4BC,點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為舊的球面上，若PA,PB,PC兩兩垂直，則點(diǎn)尸到

平面ABC的距離為球心到截面ABC的距離為_（2）_.

五、解答題（本大題共3小題，共36.0分）

28.如圖，正方體ABCD-AiBiGDi是一個(gè)棱長為2的空心蔬菜大棚，由8個(gè)鋼結(jié)構(gòu)（地面沒有）組合

搭建而成的，四個(gè)側(cè)面及頂上均被可采光的薄膜覆蓋.已知E為柱44］上一點(diǎn)（不在點(diǎn)A,公處），

EA=t.菜農(nóng)需要在地面正方形ABC。內(nèi)畫出一條曲線/將菜地分隔為兩個(gè)不同的區(qū)域來種植不

同品種的蔬菜以加強(qiáng)管理，現(xiàn)已知點(diǎn)P為地面正方形ABC。內(nèi)的曲線/上任意一點(diǎn)，設(shè)a,￡分

別為在P點(diǎn)觀測E和5的仰角.

4

E

A

（1）若a=0,請(qǐng)說明曲線/是何種曲線，為什么？

（2）若E為柱A4的中點(diǎn)，且a<0時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)尸所在區(qū)域的面積.

29.己知圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，軸截面的面積等于392,母線與軸的夾角

為45。，求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長和底面半徑.

30.如圖，在四棱柱ABCD—ABiGDi中，AB//CD,ABX1BC,RAA1=AB.

(1)求證：48〃平面。1。。的；

(2)求證：ABi，平面

【答案與解析】

1.答案：。

解析:

本題主要考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，空間中的距離關(guān)系，屬于較難題.

根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，先求三角形內(nèi)心D的坐標(biāo)，再求外接球的球心。坐標(biāo)，進(jìn)而可求券.

解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，4c邊為x軸，A8邊為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

可得4(0,0,0),S(0,6,0),C(8,0,0),

①求△4BC的內(nèi)心：

因?yàn)椤髁C的內(nèi)心在直角角平分線上，即在直線y=x上，

故設(shè)△4BC的內(nèi)心D(a,a,0),

又因?yàn)?。到AB的距離等于。到BC的距離，

根據(jù)題目條件，易得直線BCy=-|x+6,

|--a+6|

所以a=解得a=2或a=6(舍去)，

所以。(2,2,0),則P(2,2,2A/5).

②求。點(diǎn)坐標(biāo)：

因?yàn)辄c(diǎn)。到A、B、C的距離相等，易得點(diǎn)。在8c中點(diǎn)的垂線上，

所以可設(shè)。(4,3,m),又OA=OP,

所以。爐=OP2,根據(jù)坐標(biāo)可得：42+32+m2=(4-2)2+(3-2)2+(m-

解得巾=一第，所以。,3,-等）.

③求導(dǎo)因?yàn)镻、0、。三點(diǎn)在一條直線上，

所以長度的比值可轉(zhuǎn)化為z坐標(biāo)差值的比值，

所以空一旦應(yīng)一場受1一4

所以O(shè)Q-|Z°-ZQ|-司一生

故選。.

2.答案：D

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查拋物線的定義，依題意，得。到點(diǎn)P的距離等于。到線OC

的距離，得Q點(diǎn)的軌跡為拋物線，即可求得結(jié)果.

解：依題意，取。C中點(diǎn)M,則P4J.4M,PM1DC,且4P=1,PM=2,

所以N4PM=60°,又AQ與棱AP所成角為60。，

所以2MPQ為正三角形，

PQ=1,所以QM=1,

即Q到點(diǎn)P的距離等于Q到線DC的距離，

所以Q點(diǎn)的軌跡為拋物線，

故選。.

3.答案：D

解析：

本題考查球的體積公式，考查兩圓相切性質(zhì)，正四棱錐性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較難題.

設(shè)O為正方形ABCD的中心，AB的中點(diǎn)為M,連接PM,OM,PO,則OM=1,PM=y/PA2-AM2=

二7=3,PO=V9^1=2V2,分別可求得大球?yàn)榕c小球。2半徑分別為它和立，進(jìn)而可得小球

24

的體積.

解：設(shè)。為正方形A8CZ）的中心，的中點(diǎn)為M,連接PM,OM,PO,則OM=1,

在截面PMO中，設(shè)N為球名與平面PAB的切點(diǎn),

則N在上，且OiNIPM,設(shè)球01的半徑為R,則O]N=R,

因?yàn)閟in4MP。=普=；,所以詈=§貝UP0i=3R,

PO=P01+。。1=4R=2V2,所以R=當(dāng)，

設(shè)球。1與球。2相切與點(diǎn)Q,則PQ=PO-2R=2R,設(shè)球0?的半徑為r,

同理可得PQ=4r,所以r=9=?,

故小球。2的體積V=[兀73=^|兀，

故選O.

4.答案：B

解析：

本題考查了三棱錐的體積及外接球表面積的求法，屬于中檔題.

由三棱錐的特征確定外接球球心的位置，求出外接球半徑，從而可以得到該三棱錐外接球的表面積.

解：如圖所示:

取AB的中點(diǎn)F,連接尸F(xiàn),則PF14B,

因?yàn)槠矫鍼4B1平面ABC,平面PABn平面4BC=

所以PFL平面ABC,又4P4B是AB以為斜邊的等腰直角三角形，所以PF=3,

所以%-ABC=|x3x|x6x6xy=9V3.

在等邊三角形ABC中，設(shè)其重心為。，連接OA,OB,OC,OP,OF,則尸，O,C三點(diǎn)共線

由48=6,得4。=B。=C。=|。尸=26，因?yàn)镻F_L平面ABC,

所以PF1OF,

OP=y/OF2+PF2=2V3.

則。為三棱錐P-ABC的外接球球心，

外接球半徑R=0C=2>/3.

所以該三棱錐外接球的表面積為垢x—-WTT.

故選反

5.答案：B

解析：

本題考查面面垂直的性質(zhì)及球的表面積的求解，屬于中檔題.

由己知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，確定球心的位置，得出半徑，然后利用公式求解即可.

解：如圖，

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為0,半徑為R,AABC的外心為F,

在等邊三角形ABC中，取AB中點(diǎn)E,連接CE,由題意知，CELAB,

由48=AC=BC=6,可得CE=3B，EF=V3，AF=BF=3,

???△PAB是直角三角形，.?.點(diǎn)E是其外心，

又CE1AB,平面PZ81平面ABC,

^PAB=AB,CEu平面ABC,

所以CE，平面PAB,

???三棱錐P-ABC的球心O在直線CE上，

又由04=0B=0C,易知。與尸重合，

所以外接球半徑衣=。4=凡4=心+（野J=2V3

.?.該三棱錐外接球的表面積為47rx（273）2=487r.

故選B.

6.答案：D

解析：

本題考查三棱錐體積最值的求法與三棱錐外接球的表面枳的求法，涉及二面角的運(yùn)用，基本不等式

的應(yīng)用，以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較難題.

由已知作出圖象，找出二面角P—AC—B的平面角，設(shè)出AB,BC,4c的長，即可求出三棱錐P-ABC

的高，然后利用基本不等式即可確定三棱錐體積的最大值（用含有AC長度的字母表示），再設(shè)出球心

O,由球的表面積求得半徑，根據(jù)球的幾何性質(zhì)，利用球心距，半徑，底面半徑之間的關(guān)系求得AC

的長度，則三棱錐體積的最大值可求.

解:如圖所示,

過點(diǎn)尸作PE1面ABC,垂足為E,過點(diǎn)E作EOJ.4C交AC于點(diǎn)。，連接PD,

則"DE為二面角P-AC-8的平面角的補(bǔ)角，即有cosNPDE=—,

3

易知AC1面POE,則AC1PD,而△PAC為等邊三角形，

???。為AC中點(diǎn)，

設(shè)4B=a,BC=b,AC=Va2+b2=c>

則PE=PDsinZ.PDE=—xcx—=-.

232

故三棱錐P—ABC的體積為：V=-x-abx-=—abc<—cxa+b=—,

3221212224

當(dāng)且僅當(dāng)Q=b=立c時(shí)，體積最大，此時(shí)5、。、￡共線.

2

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的球心為。，半徑為上

2

由已知，4nR=8TT,得R=

過點(diǎn)。作。FJ.PE于凡則四邊形ODEb為矩形，

則on=EF=J2_(|)2,ED=OF=PDcos乙PDE=務(wù)x曰=jc,PE=］，

在RtAPFO中，(V2)2=(yc)2+(|-j2-(f)2)2,解得c=2.

二三棱錐P-ABC的體積的最大值為：-=-=i.

24243

故選D

7.答案：B

解析：解析：

本題考查圓錐的幾何特征及學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

解：因?yàn)閳A錐軸線上的所有點(diǎn)到底面圓周上的各點(diǎn)距離都相等,

所以在空間，到一圓周上各點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是一條直線.

故選B.

8.答案：A

解析：

本題考查正三棱錐的幾何性質(zhì)和球的表面積公式，關(guān)鍵是確定球心的位置，計(jì)算出求半徑可得結(jié)果.

解：在正三棱錐P-ABC中，取8c的中點(diǎn)。，連接A。，PD,三角形A8C的中心為0「連P。I，

根據(jù)正三棱錐的幾何性質(zhì)可知，球心。在POi上，且。1到A,B,C三點(diǎn)的距離相等；

設(shè)。0i=x,求半徑為R,由題意AO】=|x1xsin6（T=圣又P4=2,

所以在班協(xié)抻，有POL卜一（穿=詈R2=（等一。2=/+（獷，

解得x=言〃號(hào)，

所以5球=47rxu=u?

故選4

9.答案：A

解析：

本題考查了空間直線與直線，平面與平面的位置關(guān)系，主要考查空間想象能力與計(jì)算能力.屬于難

題.

連接4名交占0于點(diǎn)。，過。作。M14G，證明OM為異面直線&D與4cl的公垂線，計(jì)算此時(shí)4aDM

的面積，然后計(jì)算M位于G處時(shí)，△&OM的面積即可.

解：連接交于點(diǎn)O,過0作。M1AG，

在正方體ABCD-4避1的。1中，A2D1平面4BGD1，OMu平面力BGD「

???ADt1OM,

???。”為異面直線公。與4cl的公垂線，

根據(jù)△AC［。］,則若■=黑，

即0M=處皿=竿=蟲.

4cl2V33

所以A/llDM的面積的最小值為Smin=9X與、2舊=當(dāng)，

當(dāng)M位于G處時(shí)，△&DM的面積為f.（2a2=2后

故S的取值范圍呼,2場.

故選A.

10.答案:c

解析：

本題考查四面體的外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出四面體的外接球的半徑是關(guān)

鍵.正確作出圖形，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，即可求出四面體的外接

球的表面積.

解：如圖分別取8。、AC的中點(diǎn)M、N,連接

則容易算得A"CM=3,MN*,MD=ACN=j

由圖形的對(duì)稱性可知球心必在MN的延長線上，

設(shè)球心為。，半徑為R,HN=x,

22

R=x+—1

則由題設(shè)可得,3%，解得刀=之

R2=(|+乃2+32

則/?2=工+4=7,所以球面面積S=4兀爐=28兀.

44

故選c.

11.答案：B

解析：

本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間的距離，是中檔題.

通過化曲為直，把平面GFE繞EF旋轉(zhuǎn)直到與平面重合，使得點(diǎn)名與Q位于EF的兩側(cè)，再求

最值問題即可得解.

如圖(1)，

Dx

c,

圖⑵

連接。亞,EQ,DrF,C/,A.E,EB,

把平面C】FE繞E尸旋轉(zhuǎn)直到與平面/重合，如圖(2),使得點(diǎn)劣與G位于EF的兩側(cè).

在正方體力BCD-&B1C1D1中，因?yàn)椤鱀/iE為直角三角形且&D1=2,&E=方，故=述.

同理EF=M，D1F=3,CtE=在,CrF=V5.

222

故DrE+EF=DrF,故4。透F為直角三角形且4。F尸=90°.

又PDi+PG的最小值就是圖(2)中4G的長，

在圖(2)中，由余弦定理可得coszlFECi=4\=與故sin/FEG="，

2V3Xv633

所以COSND1EG=cos(T+4FEG)=

。1仃=6+6+2xV6xV6Xy=12+4夕，

所以(PDi+PC】)2的最小值為12+4位.

故選8.

12.答案：D

解析：

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力與思維能力，是中檔

題.

由題意畫出圖形，證明平面BDF〃平面/EG判斷①;證明DG1平面8。尸判斷②；由DF〃平面&EG,

得P到平面/EG的距離為定值，可得三棱錐P-BiEG的體積是定值判斷③.

解：如圖，

對(duì)于①，在正三棱柱4BC-&B1C1中，

?：D,E,F,G分別為AC,4G，CC1的中點(diǎn)，

EG//DF,BD〃B、E,EGn&E=E,DFCBD=D,

由面面平行的推論可得平面BDF〃平面&EG,

由BPu平面BCF,得BP〃平面B】EG,故①正確；

對(duì)于②，???正三棱柱ABC-&81G，.,.平面ACCMi_L平面ABC,C平面48c=AC,BDc

平面ABC,BD±AC,BD_L平面ACG2,

vDGu平面ACGAi，得BD1DG,又四邊形ACGA1是正方形，[DG1DF,DFC\BD=D,BD,DFu

平面BDF,得DG_L平面BDF,

vBPc5]2?BDF,則。G_LBP,故②正確；

對(duì)于③，由平面BDF〃平面JEG,得DF〃平面/EG,P到平面B[EG的距離為定值，而三角形與EG

面積為定值，可得三棱錐P-&EG的體積是定值，故③正確.

??.所有正確結(jié)論的編號(hào)是①②③.

故選。.

13.答案：D

解析：

本題主要考查簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）及其結(jié)構(gòu)特征，球的表面積和體積，屬于中檔題.

連接AC,BD,設(shè)ACnBD=H,連接SH,由題意可得SH_L平面4BCD設(shè)。為四棱錐S-ABCD的

外接球的球心，則。在S4上，連接。C,設(shè)此四棱錐的外接球的半徑為R,貝|OS=OC=R,由正

方形ABCQ的邊長為魚，得CH=1,SC=42,SH=1,求出半徑R,即可求出外接球的表面積.

解：連接AC,BD,設(shè)4CCB0=H,連接SH,

根據(jù)題意可得SH1平面ABCD

設(shè)。為四棱錐S—4BCC的外接球的球心，

則。在S"上，

連接0C,設(shè)此四棱錐的外接球的半徑為R,

則OS=0C=R,如圖所示：

因?yàn)檎叫蜛BC。的邊長為魚，所以CH=1,SC=V2,SH=1,

所以“，。重合，即四棱錐的外接球的半徑為R=l,

所以四棱錐的外接球的表面積為S=4兀/?2=47r.

故選。.

14.答案：BC

解析:

本題考查平面截正方體、截球所得截面的面積的求法，考查空間中線面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

分析截面的特點(diǎn)，得出截面面積的范圍，然后減去球的大圓的面積求解即可，屬于中檔題.

解：設(shè)該正方體內(nèi)切球的球心為0,

由已知過。作直線EF〃44「則過E尸的平面a（與平面441GC不重合）符合題意，

由正方體的性質(zhì)知a截該正方體所得的截面為矩形，高為遮，

a與上底面的交線所得線段的長度1e[夜,2]，

所以平面a截該正方體所得的截面面積*G[2,272].

又正方體的內(nèi)球的半徑為立，

2

所以球的大圓的面積為S2=7TX（容）=三,

所以面a截該正方體所得的截面在內(nèi)切球以外的部分的面積s=S|_$2€[2-看26-弓],

因?yàn)槊?，遍e[2,2V2].

所以BC符合題意.

故選BC.

15.答案：等

解析：

本題考查三棱錐的外接球體積，考查空間構(gòu)造能力及計(jì)算能力，屬于中檔題.

證明AC_L48,可得△ABC的外接圓的半徑為舊，利用△ABC和△DBC所在平面相互垂直，球心在

△DBC中BC邊的高上，設(shè)球心到平面ABC的距離為從則層+3=/?2,求出球的半徑，即可求出

球。的體積.

解：???AB=3,AC=y[3,BC=2\[3,

AB2+AC2=BC2,???ACLAB,

ABC的外接圓的半徑為百，

1?,△48。和4DBC所在平面相互垂直，

球心在△0BC中8c邊的高上，

設(shè)球心到平面ABC的距離為h,球0的半徑為R,

則h2+3=R2=（苧X2遮一八）2,

?■?/i=1,R=2,

?,?球0體積為g-7T-23=子.

故答案為等.

16.答案：8兀

解析:

本題主要考查了三棱錐的外接球的表面積的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力和推理能力，屬于中檔題.

以PA,PB,PC為棱構(gòu)造一個(gè)長方體，這個(gè)長方體的外接球就是三棱錐PABC的外接球，由此能

求出三棱錐的外接球的表面積.

解：如圖，PA,PB,尸C兩兩垂直，設(shè)PC-八，

PA=y/AC2-PC2=v4-/t2，

???PA2+PB2=AB2,

/.4-h2+7-/i2=5,解得九=我，

三棱錐P-ABC,PA,PB,尸C兩兩垂直，且PAl，PB2，PC'=4，

.?.以PA,PB,PC為棱構(gòu)造一個(gè)長方體，

則這個(gè)長方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，

???由題意可知，這個(gè)長方體的中心是三棱錐的外接球的球心，

三棱錐的外接球的半徑為R=四手=V2,

所以外接球的表面積為S=4nR2=4兀x(V2)2=87r.

故答案為87r.

17.答案：(1)[3,+8)；

(2)Zn2；

(3)14；

(4)7

解析：

(1)本題主要考查了命題真假的判定與運(yùn)用，涉及不等式恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)命題"Vxe[0,2],x2-x+iwa”的否定是假命題，得到命題“vxe[0,2],/一支+1wa”為

真命題，然后求出產(chǎn)-％+1在[0,2]上的最大值即可求解.

解：「命題FG[0,2],x2一x+14a”的否定是假命題，

；?命題"VxG[0,2],x2-%+1Wa”為真命題，

(%2-X+l)max4a在[0,2]上恒成立,

設(shè)g(x)=/一%+1=(x—J+[,xG[0,2],

由二次函數(shù)性質(zhì)可得g(x)max=9(2)=22—2+1=3,

???a2gMmax=3,

故答案為[3,+8).

(2)本題主要考查了函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，函數(shù)中的參數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)滿足/(-x)+f(x)=o,得到/Q)為R上的奇函數(shù)，根據(jù)當(dāng)久<0時(shí)，

f(x)=-e~2x<0,由/(a)=4可得a>0,進(jìn)而根據(jù)/(-a)=-e2a=-4,即可得到a的取值.

解：由題意，根據(jù)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足/(—%)+/(乃=0,即/(—%)=-/(%),

???/(X)為R上的奇函數(shù)，

???x<。時(shí)，f[x}=—e~2x<0,

由f(a)=4可得a>0,即—a<0,

/(—a)=-e2a=-4,

解得a：ln2,

故答案為ln2.

(3)本題主要考查了基本不等式的運(yùn)用，運(yùn)用基本不等式求最值，屬于中檔題.

根據(jù)a+b=2,得到a-1+b=1,再根據(jù)貯±刈+4=處以2史3±1+%+：=(a-i)+^+

a-1ba-1ba-1

b+：+4=10+3+用，然后結(jié)合基本不等式即可求解.

b1-bb

解：由題意，根據(jù)a+b=2,得到a—1+b=1,

(a—l)2+4(tz-1)+14

-------------;-----------Fb+丁

/、14

=(a-1)H------+6+￡+4

a—1b

a—1+b4(a—1+/?)

=(a-1)H-----------Fb+

=(i+3+*9,

va—1=1—b>0,

b4(a-1)

(a-1)H------+b+

當(dāng)且僅當(dāng)上=用，即b=5時(shí)取等號(hào)成立，

1-bb3

故吐心+胃的最小值為14

a-1b

故答案為14.

(4)本題給出三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，在已知一條側(cè)棱與底面所成角的情況下求外接球的半徑,

著重考查了直線與平面所成角的定義、球內(nèi)接多面體的結(jié)構(gòu)特征等知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題.

過點(diǎn)P作PH1平面ABC于“，可得NP4H是直線PA與底面ABC所成的角，得C0SNP4H在，求出P4=

3

PB=PC=2,將三棱錐擴(kuò)充為正方體，其外接球?yàn)槿忮F外接球，正方體的對(duì)角線長為遙，可得

三棱錐外接球的半徑，然后結(jié)合勾股定理求解即可.

解：過點(diǎn)尸作PH1平面ABC于，，

p

__________B

是PA在平面ABC內(nèi)的射影，

NP4H是直線PA與底面ABC所成的角，得C0SNP4”=—，

3

???△ABC是邊長為2等邊三角形，

AH=-x2x—=—,

323

???Rt△P4H中，AH=PACOS/-PAH,

,AH3^

?''-"NPA"我7-，

V

PA=PB=PC=V2.

PA2+PB2=AB2,即乙4PB=90°,

：.AP1BP,

同理可得CPIBP,CP1AP,

PA,PB,PC兩兩互相垂直，

將三棱錐擴(kuò)充為正方體，其外接球?yàn)槿忮F外接球，

易知正方體的對(duì)角線長為J3X（匈2=返，

???三棱錐外接球的半徑R=再，

2

???球心O到平面ABC的距離OH=VOA2—AH2=J囹—（甯?=善

故答案為漁.

6

18.答案:1：27

解析:

本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)切球與外接球的關(guān)系，找出兩個(gè)球的球心重合，半徑的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計(jì)算能力.

畫出圖形，確定兩個(gè)球的關(guān)系，通過正四面體的體積，求出兩個(gè)球的半徑的比值，即可求棱長為a

的正四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比.

解：設(shè)正四面體為PABC,兩球球心重合，設(shè)為0.

設(shè)P0的延長線與底面ABC的交點(diǎn)為。，則為正四面體PA2C的高，

PD1底面ABC,且PO=R,OD=r,。。=正四面體PA8C內(nèi)切球的

高.

設(shè)正四面體PA8C底面面積為S.

將球心。與四面體的4個(gè)頂點(diǎn)PABC全部連接，

可以得到4個(gè)全等的正三棱錐，球心為頂點(diǎn)，以正四面體面為底面.

每個(gè)正三棱錐體積匕=，S-r而正四面體PABC體積匕=『S-（R+r）

根據(jù)前面的分析，4,匕=匕,

所以，4---S-r=--S-（/?+r）,

所以，R=3r,

所以棱長為。的正四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為1：27.

故答案為1：27.

19.答案：（1）-4；

⑶多

(4)(e,|).

解析：

（1）本題主要考查了分段函數(shù)求值問題，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求出/&）值，再求fQ）即可求解.

解：???函數(shù)/")={%2煞>:

(4-2X,x<0

??■/(J)==一3,

???/(/([))=汽-3)=4-2?3)=-4,

故答案為-4.

(2)本題主要考查了橢圓性質(zhì)及其運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

由題意可知，，A在y軸左側(cè)，根據(jù)正弦定理可得需=黯=3,根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知：|力0|+

\AF2\=2a=10,即可求得MF2I的值.

解：由題意可知：a=5,b=3,c=4,/.F^AM=￡.MAF2,

???Fi(—4,0),F2(4,0),

設(shè)A在)，軸左側(cè)，

1網(wǎng)IFM

.?.在△力中由正弦定理得，①

sinZAA/FisuiZ.FiAAf

倜1局川|

在小AF2M中由正弦定理得MEdI

siuZAA/6siu(7r—Z.4A/F1)siuN6AA/

1.47^RM

,②

ZAMFisinZFi'A/

由“I+\AF2\=2a=10,

結(jié)合圖形可知當(dāng)A在y軸右側(cè)時(shí)不符合題意，

故答案為|.

(3)本題主要考查了多面體的結(jié)構(gòu)特征，球的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

根據(jù)題意，先找到球心的位置，再根據(jù)球的半徑是近，以及已有的邊的長度和角度關(guān)系，分析即可

解決.

解：由題意，球是三棱錐C-4BD的外接球，所以球心。到各頂點(diǎn)的距離相等，

如圖:

c

根據(jù)題意，CD_L平面4BD,

取C。的中點(diǎn)E,48的中點(diǎn)G,連接CG,DG,

因?yàn)锳D=BD,CD，平面4BD,

所以4和B關(guān)于平面C￡>G對(duì)稱，在平面COG內(nèi)，作線段C。的垂直平分線，

則球心。在線段CQ的垂直平分線上，

設(shè)為圖中的。點(diǎn)位置，過O作直線CO的平行線，交平面ABD于點(diǎn)F,

則OFJ_平面ABD,且OF=CE=1,

因?yàn)?F在平面ABD內(nèi)，所以0FL4F,即三角形AOF為直角三角形，且斜邊04=R=后，

A'F='JR2—OF2=A/5—1=2，

所以，BF=2,

所以四邊形A'DBF為菱形，

又知0D=R,三角形ODE為直角三角形，

0E=y/R2-DE2=V5^I=2.

三角形為等邊三角形，

^A'DF=

3

故乙4，DB=y,

故答案為空.

(4)本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，新定義概念的理解及運(yùn)用，

屬于較難題.

由求導(dǎo)公式求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和條件求出切線方程，再求出y=g(x),設(shè)

F(x)=/(x)-5(x),求出導(dǎo)數(shù)化簡后利用分類討論和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷出F(x)的單調(diào)

性和最值，從而可判斷出但^義的符號(hào)，再由“類對(duì)稱中心點(diǎn)”的定義確定“類對(duì)稱中心點(diǎn)”的

X-XQ

坐標(biāo).

解：由題意得，((%)=2十二

eLx

9

〃珀=1+h"o(N>°)，

易知函數(shù)y=/(x)的定義域。=(0,+8),

T2TI

所以函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)P(&,f(&))處的切線方程/方程為：y—(瀉+In%)=(T+-)(工-人),

2e￡ez%

則9(上)-(]+7—x0)+(7^2+1”』)，

、X2

設(shè)尸⑺=〃工)一g")=丁+h"

一"消+7")(工一如)+(￡+hur())]?

則/(%。)=°，

所以FG)=r%)—“(%)=1++.)

X—x11

=--0----1-------

2

exx0

=黃*_沏)+竄=(一孫)6.),

當(dāng)0<x0<e時(shí),尸'(%)<0,則尸(%)在(&,￡-)上單調(diào)遞減,

XO

???xG(%0，幺)時(shí),尸(%)<F(%o)=0,

此時(shí)/⑶-或?yàn)?lt;o,

X-X0

當(dāng)％o>e時(shí)，尸'(%)<0,F(%)在(幺,工。)上遞單調(diào)減;

xo

x￡(9，Xo)時(shí)，F(xiàn)(x)>F(x0)=o,此時(shí)”:野)<0,

???y=F(x)在(0,e)U(e,+8)上不存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，

若x0=e,=0,

則F(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，當(dāng)x>打時(shí)，F(xiàn)(x)>F(x0)=0,

當(dāng)口<%()時(shí),F(x)<F(x0)=0,

故f(：)-：(X)>0,即此時(shí)點(diǎn)p是y=f(x)的，，類對(duì)稱中心點(diǎn)”，

X-XQ

綜上可得，y=F(x)存在“類對(duì)稱中心點(diǎn)”，e是一個(gè)“類對(duì)稱中心點(diǎn)”的橫坐標(biāo),

e23

又/(e)=*+h此'=g，

所以函數(shù)的“類對(duì)稱中心點(diǎn)”的坐標(biāo)是(e,|),

故答案為?|).

20.答案：207r

解析：

本題主要考三棱錐外接球的表面積的求法，解題的關(guān)鍵主要是確定球心的位置，計(jì)算球的半徑，屬

于中檔題.

先結(jié)合余弦定理求出A。，AC,結(jié)合已知及勾股定理可判斷出ABAD,ABAC為直角三角形，從而確

定球心位置，然后結(jié)合外接球的性質(zhì)可求半徑，進(jìn)而可求.

解：由條件得

AD=y/BA2+BD2-2BA-DD-cosZABD=/(遇尸+(2i/2)2—2xgx2^2-?)?60°=\/6

AC=y/BA2+BC2-2BA-BC-co?ZABC=一2x0xZv^cos眇=瓜

所以4c2+AB2=BC2,AD2+AB2=BD2,故^BAD,△BAC為直角三角形，即48LAD,AB1AC,

ACHAD=A,AC,力Du平面ACT),

所以481平面4C￡),

由對(duì)稱性可得三棱錐4-BCD的外接球的球心在過△ACD的外心E且與平面ACD垂直的垂線上，設(shè)

為點(diǎn)。，則0E=；AB.

D

AC2+AD2-CD2(v/6)2+(v/6)2

因?yàn)?1AD=

2AC-AD

所以sinZCAD=\/l—cos2ZCAD={I_=~~~,

…1CD143V2

故4ACD外接圓的半徑r=AE=--—EXB=2X^=—

3

22222

則外接球的半徑辟=OA=OE+AE=6AB/+AE=(y)+(憐2=5.

故外接球的表面積為.HR，ITTx520TT.

故答案為：207r.

21.答案：V3-日

解析：

本題考查圓錐與扇形展開圖的關(guān)系，體積的計(jì)算和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立起體積的函數(shù)模

型，理解函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系是解本題的重點(diǎn)，屬于中檔題.

圓錐的底面半徑為「，高為h,體積為匕求出r2+/=R2,R=n表示出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)

nr

求出函數(shù)的最大值，得到結(jié)果.

解：由題意知，圓錐母線長為R,設(shè)圓錐底面的半徑為r,高為/?,

則八+h2=R2,且工,2nr-R=SR=―,

2nrf

圓錐筒的體積U=等=?R2_T2=9J($2_r2=扣s2r2一兀2r6,

令N=te(°,；)，u(t)=S2r2—7T2r6=S2t—TT2t3,

令a'(t)=S2—3n2t2=0,得t=高€(0,；),

當(dāng)0<t<卷時(shí)，M(t)>0,當(dāng)看<t<制，M?<0,

所以當(dāng)且僅當(dāng)t=亳，即八=島時(shí)，a(t)取得最大值，

即這個(gè)圓錐筒的體積最大，此時(shí)扇形的半徑/?=￡=也?良

nrY7T