高等數(shù)學教程　下冊　第4版 課件 7.6 常系數(shù)非齊次線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式為7.6常系數(shù)非齊次線性微分方程

7.6.1二階常系數(shù)非齊次線性微分方程其中

p,q為常數(shù),不恒為0是方程的非齊次項.1.非齊次項為多項式這類二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標準形式為

其中

是m次多項式.因多項式的導數(shù)仍是多項式,我們猜測這類方程

的特解也是多項式.例1求下列方程的一個特解:解(1)做兩次積分取積分常數(shù)為零,得特解為設代入方程整理得

比較系數(shù)得即

比較方程兩邊次數(shù),

應為2次多項式.則積分并取積分常數(shù)為零,得特解設,則代入方程得

整理得

比較系數(shù)得解得

特解為

應為2次多項式.總結(jié)上例的特解形式,我們得出:方程的特解形式為

其中為m次待定多項式,更一般地,我們有下面的結(jié)論:方程的特解形式為其中為m次待定多項式,導數(shù)的最低階數(shù).

k是方程中出現(xiàn)的y的導數(shù)的最低階數(shù).k是方程中出現(xiàn)的y的為此只需要做變量代換

其中z是未知函數(shù).

2.非齊次項為多項式與指數(shù)函數(shù)的乘積這類二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標準形式為其中是x的m次多項式,

是常數(shù).注意到只要能消去指數(shù)ex即可歸結(jié)為上一種情形.解令代入方程,整理得設則比較系數(shù),得例2求方程的一個特解.

則解得原方程的一個特解為解特征方程為則例3求方程的通解.

特征根為對應的齊次方程通解令則代入方程,整理得設該方程特解為解得原方程的一個特解為原方程通解為解令例4(二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式)

其中p,q,是常數(shù),是x的m次多項式.則代入方程,整理得消去得到注意到方程的特征多項式為

上式可簡記為

方程(7-13)即為非齊次項是多項式的類型

因此,方程的特解形如其中為m次待定多項式,k是方程(7-13)中出現(xiàn)的z的導數(shù)的最低階數(shù),

即解(一)求對應齊次微分方程通解特征方程為特征根為對應的齊次方程通解例5求方程的通解,并求滿足條件的特解.

(二)求非齊次微分方程通解特征多項式為

令原方程通解為因此,原方程的一個特解為得特解則原方程化為

其中即有解得所以,原方程滿足初始條件的特解為(三)確定非齊次微分方程滿足初始條件的特解求導得令則或3.非齊次項為多項式、指數(shù)函數(shù)與正弦或余弦函數(shù)的乘積基本形式為

其中是x的m次實系數(shù)多項式,

p,q,是實常數(shù).的解.的特解求法與前面的討論完全相同,和由線性微分方程解的結(jié)構理論

的解實部和虛部分別是方程方程只不過加入了復數(shù)的運算,其求導法則與實數(shù)相同.解特征多項式為

對應齊次方程通解特征方程特征根先解方程則方程化為

例6求方程的通解.令令其中解出一個特解即方程的一個特解為原方程通解為取其虛部,得原方程的一個特解

解令

則方程化為

例7

求方程的一個特解.令特征多項式為

先解方程其中即設特解

則方程的一個特解為比較系數(shù)得

其實部即為原方程的一個特解.

令和方程

是m次實系數(shù)待定多項式.由方程