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文檔簡介

給定一個常數(shù)列其中第

n項稱為級數(shù)的一般項或通項.定義

稱為常數(shù)項無窮級數(shù),簡稱級數(shù).8.1

常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)第八章無窮級數(shù)8.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念定義8.1級數(shù)的前n項和稱為該級數(shù)的部分和.記為如果則稱級數(shù)收斂,則稱

s為級數(shù)的和,則稱級數(shù)發(fā)散.如果部分和數(shù)列的極限不存在,稱為級數(shù)的余項.顯然有當(dāng)n充分大時,當(dāng)級數(shù)收斂時,其部分和是級數(shù)和s的近似值.級數(shù)和與部分和之差

解例1討論等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))的收斂性,其中q叫做級數(shù)的公比.發(fā)散;

發(fā)散.級數(shù)變?yōu)槭諗?

發(fā)散;

綜上所述重要結(jié)論:例公比為q的幾何級數(shù)的和解因例2判定級數(shù)的斂散性.所以,該級數(shù)收斂,且其和為1.則1.線性性質(zhì)k為任意常數(shù),(1)如果

8.1.2收斂級數(shù)的基本性質(zhì)(2)如果

則2.余和定律

任意給定正整數(shù)N,證設(shè)級數(shù)的部分和為的部分和為注意到

余和定律得證.

級數(shù)與級數(shù)的斂散性相同.

由余和定律,去掉、增加或改變一個級數(shù)的有限項不會改變這個級數(shù)的斂散性(但是“級數(shù)的和”一般會改變).例3討論無窮級數(shù)的斂散性.解該級數(shù)是在收斂的幾何級數(shù)前面添加了101項.由余和定律,它也是收斂的.

如果級數(shù)收斂,則對該級數(shù)任意加括號后所形成的新級數(shù)仍收斂,且其和不變.證

設(shè)有收斂的級數(shù)

則3.加括號原則

任意加括號后所成的級數(shù)為

收斂發(fā)散推論

如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)也發(fā)散.例如,注意:加括號后收斂的級數(shù),原來的級數(shù)不一定收斂.例4證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.證對調(diào)和級數(shù)按如下方式加括號令只要證明發(fā)散即可說明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.有故級數(shù)發(fā)

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