工科數(shù)學(xué)分析 下冊 第2版 試題及答案 A

PAGE4(第頁，共6頁)PAGE學(xué)年第二學(xué)期《工科數(shù)學(xué)分析》（下）期末試題(A卷)座號______班級_____________學(xué)號_____________姓名_____________(試卷共6頁,十個大題，解答題必須有過程.試卷后面空白紙撕下做草稿紙.試卷不得拆散.)題號一二三四五六七八九十總分得分簽名得分得分一、填空題（每小題4分,共20分）求平行于軸，且過點(diǎn)和的平面方程是.2.函數(shù)在點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)為.3.交換二次積分的積分次序.4.已知是圓周（按逆時針方向繞行），計算.5.已知級數(shù)收斂（為非零常數(shù)）,則的取值范圍為.得分得分二、計算題（每小題5分，共20分）求曲線L：在點(diǎn)M（1，－1，2）處的切線方程與法平面方程.設(shè)其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求3.計算是錐面被平面和平面所截得的部分.4.設(shè)數(shù)量場計算得分得分三、(8分)設(shè)是上的單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，試證明：對任意，不等式都成立，其中得分得分四、(6分)設(shè)半球體密度為1，現(xiàn)在其底面接上一個同質(zhì)柱體試確定使整個物體的質(zhì)心恰好在半球的球心處.得分五、(8分)在經(jīng)過點(diǎn)的所有平面中求取一個平面，使這個平面在第一卦限內(nèi)與三個坐標(biāo)平面所圍成的四面體體積最小.得分得分得分六、(8分)設(shè)函數(shù)在平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).已知曲線積分與路徑無關(guān)，且對任意的恒有，（1）求函數(shù)（2）求的原函數(shù).得分七、(8分)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).得分得分得分八、(8分)將展開為的冪級數(shù)，并求的值.得分得分九、(8分)計算曲面積分其中為上半球面夾于與之間部分，其法線向內(nèi).得分得分十、（6分）已知函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明級數(shù)絕對收斂.學(xué)年第二學(xué)期《工科數(shù)學(xué)分析》（下）期末試題(A卷)座號______班級_____________學(xué)號_____________姓名_____________(試卷共6頁,十個大題，解答題必須有過程.試卷后面空白紙撕下做草稿紙.試卷不得拆散.)題號一二三四五六七八九十總分得分簽名得分得分一、填空題（每小題4分,共20分）1.曲面在點(diǎn)處的切平面方程為.2.函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)為.3.交換積分次序：.4.設(shè)為圓周則曲線積分.5.知級數(shù)絕對收斂,則的取值范圍為.得分得分二、計算題（每小題5分，共20分）1.在直線上求與平面距離為2的點(diǎn).2.設(shè)其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求3.計算是平面在第一卦限中的部分.4.設(shè)計算得分得分三、(8分)設(shè)連續(xù)可微函數(shù)由方程(其中有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù))唯一確定,為正向單位圓周.試求得分得分四、(6分)由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體其密度求該旋轉(zhuǎn)體對軸的轉(zhuǎn)動慣量.得分五、(8分)已知函數(shù)曲線求在曲線上的最大方向?qū)?shù).得分得分得分六、(8分)設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，是一個待定常數(shù).已知曲線積分與路徑無關(guān)，且對任意的，求的表達(dá)式和的值，并求的原函數(shù).得分七、(8分)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).得分得分得分八、(8分)將函數(shù)展開成余弦級數(shù),并求級數(shù)的和.得分得分九、(8分)計算曲面積分其中為上半球面的上側(cè).得分得分十、（6分）設(shè)是在內(nèi)的可微函數(shù)，且其中任取實數(shù)定義證明：絕對收斂.第二學(xué)期《工科數(shù)學(xué)分析》（下）期末試題(A卷)標(biāo)準(zhǔn)答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（每小題4分,共20分）1.2.3.4.5.二、計算題（每小題5分，共20分）1.解:設(shè)所求點(diǎn)為于是點(diǎn)到平面的距離為:………..(3分)解得故所求點(diǎn)為………..(5分)2.解：………..(2分)………..(5分)3.解:平面方程變形為在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域…………….(3分)…………….(5分)4.解：…………..(3分)…………..(5分)三、解:…………..(2分)由得故…………..(6分)所以…………..(8分)四、解:區(qū)域為：…………..(2分)…………..(4分)…………..(6分)五、解:因為沿著梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模.故模為此題目轉(zhuǎn)化為對函數(shù)在約束條件下的最大值.即為條件極值問題.…………..(2分)為了計算簡單，可以轉(zhuǎn)化為對在約束條件下的最大值.構(gòu)造函數(shù)：,得到…………..(6分)所以最大值為…………..(8分)六、法1：記由題意，有；…………..(2分)解得：(1)…………..(3分)，與(1)式比較得：…………..(5分)此時…………..(8分)（注：還可用曲線積分法和不定積分法求原函數(shù)。）法2：，得，（其余可同上）七、解：收斂域為………..(2分)設(shè)………..(4分)………..(7分)所以………..(8分)八、解:………..(2分) 故的余弦級數(shù)為………..(6分)令有于是………..(8分)九、解:添加輔助面取下側(cè)，為與所圍成的空間區(qū)域.…………..(2分)…………..(4分)（利用高斯公式）…………..(6分)…………..(8分)十、解:因(介于與之間)