2024年江蘇省無錫市中考真題試題（含解析）

2024年江蘇省無錫市中考試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的．）1.4的倒數(shù)是（）A. B. C.2 D.2.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是（）A.x≠3 B.x＞3 C.x＜3 D.3.分式方程的解是（）A. B. C. D.4.一組數(shù)據(jù)：31，32，35，37，35，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.34，34 B.35，35 C.34，35 D.35，345.下列圖形是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.平行四邊形 D.正五邊形6.已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.7.《九章算術(shù)》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經(jīng)過多少天相遇？設經(jīng)過天相遇，則下列方程正確的是（）A. B. C. D.8.如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．當落在上時，的度數(shù)為（）A. B. C. D.9.如圖，在菱形中，，是中點，則的值為（）A. B. C. D.10.已知是的函數(shù)，若存在實數(shù)，當時，的取值范圍是．我們將稱為這個函數(shù)的“級關聯(lián)范圍”．例如：函數(shù)，存在，，當時，，即，所以是函數(shù)的“2級關聯(lián)范圍”．下列結(jié)論：①是函數(shù)的“1級關聯(lián)范圍”；②不是函數(shù)的“2級關聯(lián)范圍”；③函數(shù)總存在“3級關聯(lián)范圍”；④函數(shù)不存在“4級關聯(lián)范圍”．其中正確的為（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）11.分解因式：x2－9＝______．12.在科技創(chuàng)新的強力驅(qū)動下，中國高鐵事業(yè)飛速發(fā)展，高鐵技術(shù)已經(jīng)領跑世界．截至2023年底，我國高鐵營業(yè)里程達到．數(shù)據(jù)45000用科學記數(shù)法表示為______．13.正十二邊形的內(nèi)角和等于______度．14.命題“若，則”______命題．（填“真”或“假”）15.某個函數(shù)的圖象關于原點對稱，且當時，隨的增大而增大．請寫出一個符合上述條件的函數(shù)表達式：______．16.在中，，，，分別是的中點，則的周長為______．17.在探究“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時，小明先將直角邊長為5個單位長度的等腰直角三角板擺放在平面直角坐標系中，使其兩條直角邊分別落在軸負半軸、軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，小明發(fā)現(xiàn)兩點恰好都落在函數(shù)的圖象上，則的值為______．18.如圖，在中，，，直線，是上的動點（端點除外），射線交于點．在射線上取一點，使得，作，交射線于點．設，．當時，______；在點運動的過程中，關于的函數(shù)表達式為______．三、解答題（本大題共10小題，共96分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等．）19.計算：（1）；（2）．20.（1）解方程：；（2）解不等式組：21.如圖，在矩形中，是的中點，連接．求證：（1）；（2）．22.一只不透明的袋子中裝有1個白球、1個紅球和1個綠球，這些球除顏色外都相同．（1）將球攪勻，從中任意摸出1個球，摸到白球的概率是______；（2）將球攪勻，從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．求2次摸到的球顏色不同的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）23.“五谷者，萬民之命，國之重寶．”夯實糧食安全根基，需要強化農(nóng)業(yè)科技支撐．農(nóng)業(yè)科研人員小李在試驗田里種植了新品種大麥，為考察麥穗長度的分布情況，開展了一次調(diào)查研究．【確定調(diào)查方式】（1）小李計劃從試驗田里抽取100個麥穗，將抽取的這100個麥穗的長度作為樣本，下面的抽樣調(diào)查方式合理的是______；（只填序號）①抽取長勢最好的100個麥穗的長度作為樣本②抽取長勢最差的100個麥穗的長度作為樣本③隨機抽取100個麥穗的長度作為樣本【整理分析數(shù)據(jù)】（2）小李采用合理的調(diào)查方式獲得該試驗田100個麥穗的長度（精確到0.1cm），并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下：試驗田100個麥穗長度頻率分布表長度頻率0.040.450300.09合計1根據(jù)以上圖表信息，解答下列問題：①頻率分布表中的______；②請把頻數(shù)分布直方圖補充完整；（畫圖后請標注相應數(shù)據(jù)）【作出合理估計】（3）請你估計長度不小于的麥穗在該試驗田里所占比例為多少．24.如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：作的角平分線，在角平分線上確定點，使得；（不寫作法，保留痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，，則的長是多少？（請直接寫出的值）25.某校積極開展勞動教育，兩次購買兩種型號的勞動用品，購買記錄如下表：A型勞動用品（件）B型勞動用品（件）合計金額（元）第一次20251150第二次1020800（1）求兩種型號勞動用品的單價；（2）若該校計劃再次購買兩種型號的勞動用品共40件，其中A型勞動用品購買數(shù)量不少于10件且不多于25件．該校購買這40件勞動用品至少需要多少元？（備注：A，B兩種型號勞動用品的單價保持不變）26.如圖，是的直徑，內(nèi)接于，，的延長線相交于點，且．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．27.【操作觀察】如圖，在四邊形紙片中，，，，，．折疊四邊形紙片，使得點的對應點始終落在上，點的對應點為，折痕與分別交于點．解決問題】（1）當點與點重合時，求的長；（2）設直線與直線相交于點，當時，求的長．28.已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點和點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若點，都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較和的大小，并說明理由；（3）點在直線上，點在該二次函數(shù)圖象上．問：在軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．2024年江蘇省無錫市中考試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的．）1.4的倒數(shù)是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】本題主要了考查倒數(shù)的意義，根據(jù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)求解即可．【詳解】解：4的倒數(shù)是，故選：A．2.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是（）A.x≠3 B.x＞3 C.x＜3 D.【答案】D【解析】【分析】利用二次根式有意義的條件求解即可.【詳解】根據(jù)二次根式有意義的條件，得：，解得，，故選：D【點睛】本題考查了求自變量的取值范圍，掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵.3.分式方程的解是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解分式方程，先去分母，將分式方程化為整式方程，再進行計算，最后驗根即可．【詳解】解：，，，檢驗，當時，，∴是原分式方程的解，故選：A．4.一組數(shù)據(jù)：31，32，35，37，35，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.34，34 B.35，35 C.34，35 D.35，34【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了平均數(shù)與中位數(shù)的定義，根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：，這組數(shù)據(jù)從小大到大排序為：31，32，35，35，37，∵一共有5個數(shù)據(jù)，∴中位數(shù)為第3位數(shù)，即35，故選：C．5.下列圖形是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.平行四邊形 D.正五邊形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義依次進行判斷即可得．【詳解】解：A、等邊三角形，不是中心對稱圖形，選項說法錯誤，不符合題意；B、直角三角形，不是中心對稱圖形，選項說法錯誤，不符合題意；C、平行四邊形，是中心對稱圖形，選項說法正確，符合題意；D、正五邊形，不是中心對稱圖形，選項說法錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了中心對稱圖形，解題的關鍵是掌握中心對稱圖形的定義．6.已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積展開圖公式，解題的關鍵是掌握圓錐的側(cè)面積的計算公式：圓錐的側(cè)面積底面半徑母線長．【詳解】解：，故選：B．7.《九章算術(shù)》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經(jīng)過多少天相遇？設經(jīng)過天相遇，則下列方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，根據(jù)題意可得野鴨的速度為，大雁的速度為，設經(jīng)過天相遇，則相遇時野鴨的路程+大雁的路程=總路程，據(jù)此即可列出方程．【詳解】解：設經(jīng)過天相遇，可列方程為：，故選：A．8.如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．當落在上時，的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理可得出，最后根據(jù)角的和差關系即可得出答案．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，∵，∴，∴，∴，故選：B．9.如圖，在菱形中，，是的中點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．延長，過點E作延長線的垂線，垂足為點H，設，易得，則，進而得出，再得出，最后根據(jù)，即可解答．【詳解】解：延長，過點E作延長線的垂線，垂足為點H，∵四邊形是菱形，∴，，∴，設，∵是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．10.已知是的函數(shù)，若存在實數(shù)，當時，的取值范圍是．我們將稱為這個函數(shù)的“級關聯(lián)范圍”．例如：函數(shù)，存在，，當時，，即，所以是函數(shù)的“2級關聯(lián)范圍”．下列結(jié)論：①是函數(shù)的“1級關聯(lián)范圍”；②不是函數(shù)的“2級關聯(lián)范圍”；③函數(shù)總存在“3級關聯(lián)范圍”；④函數(shù)不存在“4級關聯(lián)范圍”．其中正確的為（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】A【解析】【分析】本題考查了新定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)．推出在時，，即，即可判斷①；推出在時，，即，即可判斷②；③設當，則，當函數(shù)存在“3級關聯(lián)范圍”時，整理得，即可判斷③；設，則，當函數(shù)存在“4級關聯(lián)范圍”時，，求出m和n的值，即可判斷④．【詳解】解：①當時，，當時，，∵，∴y隨x的增大而減小，∴在時，，即，∴是函數(shù)的“1級關聯(lián)范圍”；故①正確，符合題意；②當時，，當時，，∵對稱軸為y軸，，∴當時，y隨x的增大而增大，∴在時，，即，∴是函數(shù)的“2級關聯(lián)范圍”，故②不正確，不符合題意；③∵，∴該反比例函數(shù)圖象位于第一象限，且在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。O當，則，當函數(shù)存在“3級關聯(lián)范圍”時，整理得：，∵，，∴總存在，∴函數(shù)總存在“3級關聯(lián)范圍”；故③正確，符合題意；④函數(shù)的對稱軸為，∵，∴當時，y隨x的增大而增大，設，則，當函數(shù)存在“4級關聯(lián)范圍”時，，解得：，∴是函數(shù)的“4級關聯(lián)范圍”，∴函數(shù)存在“4級關聯(lián)范圍”，故④不正確，不符合題意；綜上：正確的有①③，故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）11.分解因式：x2－9＝______．【答案】(x＋3)(x－3)【解析】【詳解】解：x2-9=（x+3）（x-3），故答案：（x+3）（x-3）.12.在科技創(chuàng)新的強力驅(qū)動下，中國高鐵事業(yè)飛速發(fā)展，高鐵技術(shù)已經(jīng)領跑世界．截至2023年底，我國高鐵營業(yè)里程達到．數(shù)據(jù)45000用科學記數(shù)法表示為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，解題的關鍵是掌握用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)的方法：將原數(shù)化為的形式，其中，n為整數(shù)，n的值等于把原數(shù)變?yōu)閍時小數(shù)點移動的位數(shù)．【詳解】解：數(shù)據(jù)45000用科學記數(shù)法表示，故答案為：．13.正十二邊形的內(nèi)角和等于______度．【答案】##1800度【解析】【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟悉相關性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式進行計算即可．【詳解】解：，∴正十二邊形的內(nèi)角和等于．故答案為：．14.命題“若，則”是______命題．（填“真”或“假”）【答案】假【解析】【分析】本題主要考查了真假命題的判斷以及不等式的性質(zhì)，根據(jù)，可得出，進而可判斷出若，則是假命題．【詳解】解：∵∴，∴若，則是假命題，故答案為：假．15.某個函數(shù)的圖象關于原點對稱，且當時，隨的增大而增大．請寫出一個符合上述條件的函數(shù)表達式：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件解題即可．【詳解】解：根據(jù)題意有：，故答案為：（答案不唯一）16.在中，，，，分別是的中點，則的周長為______．【答案】9【解析】【分析】本題考查了三角形的中位線定理，解題的關鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．根據(jù)三角形的中位線定理得出，即可解答．【詳解】解：∵，，，分別是的中點，∴，∴的周長，故答案為：9．17.在探究“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時，小明先將直角邊長為5個單位長度的等腰直角三角板擺放在平面直角坐標系中，使其兩條直角邊分別落在軸負半軸、軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，小明發(fā)現(xiàn)兩點恰好都落在函數(shù)的圖象上，則的值為______．【答案】2或3【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)，平移，解一元二次方程．先得出點A和點B的坐標，再得出平移后點A和點B對應點的坐標，根據(jù)平移后兩點恰好都落在函數(shù)的圖象上，列出方程求解即可．【詳解】解：∵，∴，設平移后點A、B的對應點分別為，∴，∵兩點恰好都落在函數(shù)的圖象上，∴把代入得：，解得：或．故答案為：2或3．18.如圖，在中，，，直線，是上的動點（端點除外），射線交于點．在射線上取一點，使得，作，交射線于點．設，．當時，______；在點運動的過程中，關于的函數(shù)表達式為______．【答案】①.2②.【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例．易得，則，得出，代入數(shù)據(jù)即可求出；根據(jù)，得出，設，則，通過證明，得出，則，進而得出，結(jié)合，可得，代入各個數(shù)據(jù)，即可得出關于的函數(shù)表達式．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，即，∵，∴；∵，∴，即，整理得：，設，∵，∴，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，∵，∴，即，整理得：，故答案為：2，．三、解答題（本大題共10小題，共96分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等．）19.計算：（1）；（2）．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，整式的混合運算，熟練掌握相關運算順序和運算法則是解題的關鍵．（1）先將絕對值，算術(shù)平方根，負整數(shù)冪化簡，再進行計算即可；（2）先根據(jù)去括號法則和完全平方公式將括號展開，再合并同類項即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．20.（1）解方程：；（2）解不等式組：【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，解一元一次不等式組．（1）先移項，再用直接開平方法即可求解；（2）先分別求解兩個不等式，再根據(jù)口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”即可寫出不等式組的解集．【詳解】（1）解：，，或，解得：．（2）解：，由①可得：，由②可得：，∴原不等式組的解集為．21.如圖，在矩形中，是的中點，連接．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，再根據(jù)中點的定義得出，即可根據(jù)求證；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊對等角即可求證．【小問1詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，∵是的中點，∴，在和中，，∴小問2詳解】證明：∵，∴，∴．22.一只不透明的袋子中裝有1個白球、1個紅球和1個綠球，這些球除顏色外都相同．（1）將球攪勻，從中任意摸出1個球，摸到白球的概率是______；（2）將球攪勻，從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．求2次摸到的球顏色不同的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）直接利用概率公式，即可解答；（2）根據(jù)題意列出表格，數(shù)出所有的情況數(shù)和符合條件的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式，即可解答．【小問1詳解】解：∵袋子中一共有3個球，其中只有一個白球，∴摸到白球的概率，故答案為：；【小問2詳解】解：根據(jù)題意列出表格如下：

白紅綠白（白，白）（白，紅）（白，綠）紅（紅，白）（紅，紅）（紅，綠）綠（綠，白）（綠，紅）（綠，綠）由表可知，一共有9種等可能的情況，2次摸到的球顏色不同的情況有6種，∴2次摸到的球顏色不同的概率．23.“五谷者，萬民之命，國之重寶．”夯實糧食安全根基，需要強化農(nóng)業(yè)科技支撐．農(nóng)業(yè)科研人員小李在試驗田里種植了新品種大麥，為考察麥穗長度的分布情況，開展了一次調(diào)查研究．【確定調(diào)查方式】（1）小李計劃從試驗田里抽取100個麥穗，將抽取的這100個麥穗的長度作為樣本，下面的抽樣調(diào)查方式合理的是______；（只填序號）①抽取長勢最好的100個麥穗的長度作為樣本②抽取長勢最差的100個麥穗的長度作為樣本③隨機抽取100個麥穗的長度作為樣本【整理分析數(shù)據(jù)】（2）小李采用合理的調(diào)查方式獲得該試驗田100個麥穗的長度（精確到0.1cm），并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下：試驗田100個麥穗長度頻率分布表長度頻率0.040.450.300.09合計1根據(jù)以上圖表信息，解答下列問題：①頻率分布表中的______；②請把頻數(shù)分布直方圖補充完整；（畫圖后請標注相應數(shù)據(jù)）【作出合理估計】（3）請你估計長度不小于的麥穗在該試驗田里所占比例為多少．【答案】（1）③（2）①0.12，頻數(shù)分布直方圖見詳解（3）【解析】【分析】本題主要考查了抽樣調(diào)查的合理性，補全頻數(shù)分布直方圖的相關知識，掌握抽樣調(diào)查以及讀懂頻數(shù)分布直方圖是解題的關鍵．（1）根據(jù)抽樣調(diào)查的特點回答即可．（2）①用1減去其他頻率即可求出m的值．②先求出麥穗長度頻率分布在之間的頻數(shù)，然后即可補全頻數(shù)分布直方圖（3）把長度不小于的麥穗的頻率相加即可求解．【詳解】解：（1）∵抽樣調(diào)查方式樣本的選取需要的是廣泛性和可靠性，∴抽樣調(diào)查方式合理的是隨機抽取100個麥穗的長度作為樣本，故答案為：③（2）①頻率分布表中的，故答案為：0.12，②麥穗長度頻率分布在之間的頻數(shù)有：，頻數(shù)分布直方圖補全如下：（3），故長度不小于的麥穗在該試驗田里所占比例為．24.如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：作的角平分線，在角平分線上確定點，使得；（不寫作法，保留痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，，則的長是多少？（請直接寫出的值）【答案】（1）見詳解（2）【解析】【分析】（1）作的角平分線和線段的垂直平分線相交于點D，即為所求．（2）過點D作交與點E，過點D作交與點F，先利用角平分線的性質(zhì)定理證明四邊形為正方形，設，則，，以為等量關系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出．【小問1詳解】解：如下圖：即為所求．【小問2詳解】過點D作交與點E，過點D作交與點F，則，又∵∴四邊形為矩形，∵是的平分線，∴，∴四邊形為正方形，∴，設，∴，，在中，，在中，，∵∴∴解得：，∴．【點睛】本題主要考查了作角平分線以及垂直平分線，角平分線的性質(zhì)定理，正方形的判定以及勾股定理的應用，作出圖形以及輔助線是解題的關鍵．25.某校積極開展勞動教育，兩次購買兩種型號的勞動用品，購買記錄如下表：A型勞動用品（件）B型勞動用品（件）合計金額（元）第一次20251150第二次1020800（1）求兩種型號勞動用品的單價；（2）若該校計劃再次購買兩種型號的勞動用品共40件，其中A型勞動用品購買數(shù)量不少于10件且不多于25件．該校購買這40件勞動用品至少需要多少元？（備注：A，B兩種型號勞動用品的單價保持不變）【答案】（1）A種型號勞動用品單價20元，B種型號勞動用品單價為30元（2）該校購買這40件勞動用品至少需要1100元【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應用，不等式的實際應用，一次函數(shù)的實際應用．（1）設A種型號勞動用品單價為x元，B種型號勞動用品單價為y元，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，列出方程組求解即可；（2）設夠買A種型號勞動用品a件，則夠買B種型號勞動用品件，根據(jù)題意得出，設購買這40件勞動用品需要W元，列出W關于a的表達式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．【小問1詳解】解：設A種型號勞動用品單價為x元，B種型號勞動用品單價為y元，，解得：，答：A種型號勞動用品單價為20元，B種型號勞動用品單價為30元．【小問2詳解】解：設夠買A種型號勞動用品a件，則夠買B種型號勞動用品件，根據(jù)題意可得：，設購買這40件勞動用品需要W元，，∵，∴W隨a的增大而減小，∴當時，W取最大值，，∴該校購買這40件勞動用品至少需要1100元．26.如圖，是的直徑，內(nèi)接于，，的延長線相交于點，且．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見詳解（2）【解析】【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對等角等知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關鍵．（1）由等弧所對的圓周角相等可得出，再由等邊對等角得出，等量代換可得出，又，即可得出．（2）連接，由直徑所對的圓周角等于得出，設，即，由相似三角形的性質(zhì)可得出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出，即可得出的值，進一步即可得出答案．【小問1詳解】證明：∵∴，∵，∴，∴，又∵∴，【小問2詳解】連接，如下圖：∵為直徑，∴，設，∴，由（1）知：∴，∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴，即，解得：27.【操作觀察】如圖，在四邊形紙片中，，，，，．折疊四邊形紙片，使得點的對應點始終落在上，點的對應點為，折痕與分別交于點．【解決問題】（1）當點與點重合時，求的長；（2）設直線與直線相交于點，當時，求的長．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，正切的相關應用，結(jié)合題意畫出圖形是解題的關鍵．（1）過點C作，則，，再求出，根據(jù)勾股定理求出，當點與點A重合時，由折疊的性質(zhì)可得出垂直平分，N與D重合，則有，設，則，再利用勾股定理即可得出．（2）分兩種情況，當點F在上時和當點F在的延長線上時，設，，則，利用三個角的正切值相等表示出個線段的長度，最后利用線段的和差關系求解即可．【小問1詳解】解：如圖1，過點C作，則，