高中數(shù)學教學與測試-第12章（1-5）

高中數(shù)學教學與測試

總復習

教師用書

目錄

第1章集合與常用邏輯用語

1集合的概念及運算

本課導航

了解集合的含義，理解元素與集合的關系，能夠用符號語言刻畫集合，能求兩個集合

的并集與交集；理解補集的含義，能求給定子集的補集；能使用Venn圖表達集合的基本關

系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.

1.集合與元素.

(1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號“G”或表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、Venn圖.特殊數(shù)集N,N*,Q,Z,R,C等.

2.集合間的基本關系.

(1)子集：集合A的任意一個元素都是集合B的元素(若xeA,則xwB),則稱集

合A是集合B的子集，記為4=8或8=A).

(2)集合相等：集合A,B中的元要相同或集合A,B互為子集，則稱集合A與集合

B相等，記為A=B.

3.集合的基本運算.

(1)交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，即AnB={x|xeA且

x&B}.

(2)并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，即AU8={x|xeA或

xGB}.

(3)補集：設AgU,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，即

q,A={x|xeU且XeA}.

課前熱身

1給.出下列結(jié)論，其中正確的是()

A.任何一個集合都至少有兩個子集B.{yly=Y}={(x,y)|y=/}

C.若{6,1}={0,1},則x=l或1D.若==則Aq(MAN)

【答案】D

【解析】空集的子集只有它本身，故A錯誤；選項B中集合{y|y=x2}表示數(shù)集，而

集合{(x,y)ly=x2}表示點集，它們不相等；選項C中由集合的互異性知XH1；選項D中

由Pn"=PnN=A,所以A=A=N,所以A1(MnN),D正確.故選D.

2.(2020?全國III卷)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x\3<x<15},則AflN中元素的

個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】由題意，AnN={5,7,ll},故中元素的個數(shù)為3,故選B.

3.(多選)已知集合4={幻/-2彳=0},則有()

A.0cAB.—2GAC.{0,2}=AD.A^{x\x<4}

【答案】ACD

【解析】易知A={0,2},A,C,D均正確.故選ACD.

4.設全集為R,集合A={x|0<x<2},B={x\x>2],則An(03)=.

【答案】{x|0<x<l}

【解析】因為5={x|xNl},所以"8={劉元<1},因為A={x|0<xv2},所以

={x|（）<x<1}.

課堂示例

例1已知集合4={刈“<4，5={X|X2-3X+2<0},若求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】集合3={x|x2_3x+2<0}={x[l<x<2},由408=3可得BqA,作出數(shù)軸

如圖，可知aN2.

【情景與層級】本題為情景為課程教學情景，層級為基礎性.=[

【題眼與方法】本題的題眼為通過集合間的關系轉(zhuǎn)化為不等式之間「?”

的關系，從而利用數(shù)軸來刻畫相互之間的大小關系.

【能力與素養(yǎng)】本題考查的學科素養(yǎng)為邏輯推理與數(shù)學運算，等價轉(zhuǎn)化能力和運算求

解能力在問題解決的過程得到了充分體現(xiàn).

變式1本例中，若集合A={x|x>a},其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】因為A={x|x>a},3={x[l<x<2},由結(jié)合數(shù)軸觀察（如圖），可得a<l.

變式2已知集合4=3》2-3%<0},8={0川，且ACB有4個子集，-----——

求實數(shù)a的取值范圍.on—x

【解析】因為ACS有4個子集，所以4nB中有2個不同的元素，所以aeA,所以

a2-3a<0,解得0<a<3.又a",所以實數(shù)a的取值范圍是（0,1）U（1,3）.

說明：本題中學生容易忽略檢驗集合的互異性而導致錯誤.

例2（2020?全國III卷）已知集合A={（x,y）|x,yeN*,yNx},8={（x,y）|x+y=8},則

AA6中元素的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.6

【解析】由題意，AAB中的元素滿足且尤,yeN",由x+y=822x,得XW4,

x+y=8,

所以滿足x+y=8的有（1,7）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,故4口3中元素的個數(shù)為4.故選C.

【情景與層級】本題情景為課程學習情景與探索創(chuàng)新情景，其考查層級為基礎性、綜合性.

【題眼與方法】本題的題眼為理解集合A,B中元素的含義，通過整數(shù)的性質(zhì)控制變

量的范圍是解決問題的關鍵.

【能力與素養(yǎng)】本題考查的學科素養(yǎng)為邏輯推理與數(shù)學運算，而邏輯思維是解決本題

的關鍵能力.

變式1（2018?新課標H卷）已知集合4={0,田|/+}；243,xeZ,yeZ）,則A中元素的

個數(shù)為（）

A.9B.8C.5D.4

【解析】因為f+y?<3,所以》2<3,又xeZ,所以x=-l,0,1.當x=-l時，y=一1,

0,1.當元=0時，y=-l,0,1；當x=l時，y--\,0,1.所以共有9個元素，選A.

變式2（2017?新課標HI卷）已知集合4={（乂y）]》2+卜2=1},B={（x,y）|y=x},則AC|8

中元素的個數(shù)為（）

A.3B.2C.lD.0

【解析】由題意可得圓Y+y2=i與直線相交于兩點（1,1）,（一1,-1）,則

中有兩個元素，故選B.

新題在線

（2021?八省聯(lián)考卷）已知M,N均為R的子集，且則（）

A.0B.MC.ND.R

【答案】B

2

【解析】因為所以據(jù)此可得MU(\N)=M.故選B.

課堂反饋

1.已知集合A={0,l,2},則集合5={x-y|xeA,y"}中元素的個數(shù)是()

A.lB.3C.5D.9

【答案】C

【解析】當40,產(chǎn)0,1,2,x—)=0,—L—2；當％=1,產(chǎn)0,1,2,x—y=l,0,—1；

當x=2,y=0,1,2,x—y=2,1,0.所以B中的元素為一2,—1,0,1,2共5個，故選C.

2.已知集合A={(x,y)\x,y為實數(shù)，且x?+y?=1},A={(x,y)\x,y為實數(shù)，且x+y=l,

則ACS中元素的個數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】由<"+)'消去),得——A—0,解得x=0或x=\,這時y=l或)=0,即4nB

x+y=l

={(0,1).(1,0)},有2個元素，故選C.

3.(多選)已知集合M={l,2,3,4},N={尤eN*|x242光},則下列結(jié)論成立的是()

A.NB.MUN=MC.MCN=ND.Mp|N={2}

【答案】ABC

【解析】由N={xGN*|x2w2x}={l,2},所以A,B,C正確，D錯誤.故選ABC.

4.設全集為R,集合A={x[0<x<2},B={x|x<l},則AUB,

AfMM.

【答案】{x\x<2},{x|l<x<2}.

【解析】因為8={x|x41},所以為B=={x|無>1},因為A={x[0<x<2},所以

AUB={x|x<2},AO={x[l<x<2}.

練習鞏固

1.已知集合聞={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=〃nN,則P的子集共有()

A.2個B.4個C.6個D.8個

【答案】B

【解析】因為P=MDN={1,3},所以P的子集共有22=4,故選B.

2.已知集合相={xeR|(x-l)2<4},A^={-1,0,1,2,31)則Mp|N=()

A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-l,0,2,3}D.{0,1,2,3)

【答案】A

【解析】因為M=(—所以MDN={0,l,2},故選A.

3.若集合4={》€(wěn)1<|依2+以+1=0}中只有一個元素，則a=()

A.4B.2C.OD.0或4

【答案】A

【解析】當a=0,1=0,不合題意，當&H0時，A=0,則a=4故選A.

4.已知M,N為集合/的非空真子集，且M,N不相等，若NnOM=0，則MUN=()

A.MB.NC.ID.0

【答案】A

【解析】根據(jù)題意可知，N是M的真子集，所以=".

5.(多選)已知集合4={尤|/一2%>0},3=印82<5},則下列結(jié)論正確的是()

A.Afl3H0B.AU3=RC.B^AD.A^B

【答案】AB

3

【解析】A=(-OO,0)U(2,4W),8=(—番,石)，所以AD3H0,AU3=R,故選AB.

6.(多選)已知集合4={1,3,而},3={1,帆)，AUB=A,則根的值可以是()

A.OB.lC.3D.3

【答案】AD

【解析】由4={1,3,而},5={l,m),A\JB=A,故8=A,所以加=3或加=而，即

〃?=3或〃2=0或〃?=1,其中m=1不符合題意，所以加=0或加=3,故選AD.

7.設集合4={0,—4},B={x\x2+2(a+l)x+a2-i=Q,xeR}.若BqA,則實數(shù)a的取

值范圍是.

【答案】(--1]LJ{1}

【解析】因為A={0,—4},所以BqA,分以下三種情況：①當5=4時，B={0,T},

由此知0和一4是方程/+2(。+1口+/_1=()的兩個根，由根與系數(shù)的關系，得

A=4(a+l)2-4(a2-l)>0,

<一23+1)=-4,解得。=1；②當且BwA時，8={0}或8={T},并且△=

/一1=0,

4(a+l)2-4(/_1)=0,解得。=一1,此時8={0}滿足題意；③當8=0時，

△=4(a+l)2-4(.2一1)<0,解得a<—1.綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是(-oo,-l]U{l}.

8.已知集合A={x€N|f-2x-340},8={1,3},定義集合4,8之間的運算“*"：A*B=

=+%2,%1&A,X2e5},則A*B=.

【答案】{123,4,5,6}

【解析】由析一2x-320,得(x+l)(x-3)40,得。={0,1,2,3}.因為4*8={?彳=%|+彳2,

所以4*3中的元素有:0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去)，

2+3=5,3+1=4(舍去)，3+3=6,所以5*B={1,2,345,6}.

9.已知集合A={x|%2一4》一1240},￡?={x|x2-4X-/M2+4<0},m>0.

(1)求集合A,B；

(2)若求實數(shù)胴的取值范圍.

【答案】(1)A={x|-24x<6},B={x\2—m<x<2+m}；(2)[4,+oo).

【解析】(1)由》2-4工一12<0,得-24x?6,故集合4={劃一2^^46},由/一4%-機2+

4=0,得X]=2+加，々=2-，〃.當/%>0時，2-m<2+m,由x?+44O得2-〃？

2+m,故集合5={x|2-〃zWx42+m}.

2-m<2+m,

(2)因為A=所以<2-加4-2,解得力“，所以實數(shù)機的取值范圍為[4,+8).

2+m>6,

10.已知全集。=R,集合A={x|x?-4x<0},B={x\m<x<3m-2}.

(1)當加=2時，求g(AAB)；

(2)如果AU8=A,求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)Q/AnB)={x|x<2或x24}；(2)(-oo,2).

【解析】(1)A={x|()<x<4},m=2時,B={x12<x<4},所以An8={x|2<x<4},

且。=R,所以=(Af!5)={x|x<2或xN4).

(2)因為4U8=A,所以8=①3=0時，m>3m-2,解得m<1；②B=0時，

4

tn>1,

<m>l,解得1<僧<2,綜上，實數(shù)〃2的取值范圍為(-oo,2).

3m-2<4,

思考運用

11.已知集合A={(x,y)|x2+y2<\XyeZ},B={(x,y)||x|<2,|y|<2,x,yeZ),定義集

合A十8={(X[+工2，必+%)1(%，%)e4(工2，32)€團，則A十3中元素的個數(shù)為()

A.77B.49C.45D.30

【答案】C

【解析】因為集合4={(工,丁)|%2+/2eZ),所以集合A中

有9個元素(即9個點)，即圖中圓中的整點，集合B={(x,y)||x|V2,

拉區(qū)2,x,yeZ}中有25個元素(即25個點)，即圖中正方形ABC。中

的整點，集合Ae>B={(X]+x2,yt+y2)|(x,,eA,(x2,y2)eB}的元素

可看作正方形。中的整點(除去四個頂點)，即7x7-4=45個.

12.(多選)已知集合A={xeZ|/+3%-10<0},5={x|x2+2ax+a2-4=0}AQfi

中恰有2個元素，則實數(shù)。的值可以為()

A.2B.lC.-lD.-2

【答案】AB

【解析】集合A={xeZ|f+3x-10<0}=(xeZ|-5Vx<2}={-4,-3,-2,-1,0,1},

8={%|/+2℃+/-4=0},當a=2時，此時丁+4》=0,解得x=0或九=一4,此時4。8={0,

—4},A正確；當”=1時，此時/+2%一3=0,解得x=-3或41,此時-3,1},B

正確；當。=一1時，此時》2+2犬-3=(),解得戶3或％=—1,此時={-1},C不正確；

當a=-2時，此時％2_4%=0,解得40或x=4,此時4口8={0},D不正確，故選AB.

13.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為％的所有整數(shù)組成一個“類”，記為因，即因={5〃+周

〃eZ},^=0,1,2,3,4,貝U2021e；”整數(shù)a,屬于同一''類"的充要條件是.

【答案】[1],a-he[0]

【解析】由2021=2020+1=404x5+141]；若整數(shù)a,b屬于同一類，不妨設氏6C網(wǎng)=

{5〃+A:|〃eZ},則a=5"+A,b=5m+k,〃，〃？為a—b=5(n—zn)+0e[01)也成

立

14.在①2GM,,②函數(shù)y=0—l的圖象經(jīng)過點P(2,-口，③a<0,

x\4/

2/一5》-3=0這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中并解答.

問題：已知集合”={》€(wěn)?4|》<3+20},N={x|l<2x+1<6},且________，求Mp|N.

【答案】MAN={1,2}

【解析】選擇①，因為2eM,3eM,所以2K3+2a<3.又xwN,所以M={0,l,2}.因為

N={x|l<2x+1<6}=(無0<x<g),所以"nN={l,2}.選擇②，將的坐標代入

y=J,解得a—3，故知={》@1^|彳<2}={0,1,2},因為"={%|1<28+1<6}=[*0<%<[

X

所以MnN={l,2}.選擇③，2a2-5a-3=(2a+l)(a-3)=0,解得a=-g或a=3(舍去)，故

M={xeN|x<2}={0,1,2},因為N={x|1<2x+l<6}=(x0<x<g),所以MflNRlZ}.

5

15.設數(shù)集A由實數(shù)構(gòu)成，且滿足：若xeA(xwl且xrO),則一一eA.

(1)若2wA,試證明A中還有另外兩個元素；

(2)若A中元素個數(shù)不超過8個，所有元素的和為將，且A中有一個元素的平方等

3

于所有元素的積，求集合A

【答案】(1)A中還有另外兩個兀素—1,—；(2)A=,2,-1,--,3,-1.

2〔223j

【解析】證明：(1)因為數(shù)集A由實數(shù)構(gòu)成，且滿足：若且XHO),則一!一wA.

1-x

2eA,所以」一=—leA,—―=-eA,—1=2eA,所以A中還有另外兩個元素一1,

1-21-(-1)2.12

1-----

2

(2)A中元素個數(shù)不超過8個，所有元素的和為與，且A中有一個元素的平方等于所有

元素的積，所有元素積為1,因為xwA,-eA,—eA,所以(2曰=l=x=L,

i—xxyx/2

.,.1.,1m—\141

fc/Tr以--F2-1+AW4-----1-----=--1TI=-----,3,

21-mm32

拓展探究

(2018?北京卷)設”為正整數(shù)，集合4={0|&=(22…乙)，tke{0,l},仁1,2,…,〃}對

于集合A中的任意元素a=(4々…x“)和"=(X，%…>“)，記=+乂一

I%一/I)+(9+必一I%一%I)+…+(%+y〃-I%+%I)1.

(1)當〃=3時，若a=(1,1,0),B=(61，1)，求“(a,a)和“(a,夕)的值.

(2)當〃=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素外從當a,4相同時，

M(a,Q是奇數(shù)；當如夕不同時，M(a,Q是偶數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最大值.

【答案】(1)M(a,a)=2,M(a,4)=1；(2)4個.

【解析】(1)因為a=(1,1,0),歸(0,1,1),所以M(a,a,)=-[(1+1-|1-1|)+(1+1

2

-|l-l|)+(0+0-|0-0|)]=2,M(a,Q=^-[(l+0-|l-0|)+(l+l-|l-l|)+(0+l-|0-l|)]=l.

(2)設a=a，/—,%)GB,則Af(a,a)=玉+々+W+Z屈題意知xl,x2,xi,x4e{0,l},

且M(a,a)為奇數(shù)，所以王,々,七,與中1的個數(shù)為1或3.所以BU{(1,0,0,0),(0,

1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),

(1,1,1,0)}.將上述集合中的元素分成如下四組：(1,0,0,0),(1,1,1,0)；(0,

1,0,0),(1,1,0,1)；(0,0,1,0),(1,0,1,1)；(0,0,0,1),(0,1,1,1).

經(jīng)驗證，對于每組中兩個元素a,[i,均有M(a,Q=1.所以每組中的兩個元素不可能同

時是集合B的元素.所以集合3中元素的個數(shù)不超過4.又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,

0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}滿足條件，所以集合8中元素個數(shù)的最大值為4.

2充要條件與詞量

本課導航

理解必要條件、充分條件、充要條件的意義，理解性質(zhì)定理與三種條件的關系；理解

6

全稱量詞與存在量詞的意義，能正確寫出全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.

1.命題.

用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫作命題，其中判斷為真的語句

叫作真命題，判斷為假的語句叫作假命題.

2.充分條件、必要條件與充要條件的概念.

（1）若pnq,則?是<7的充分條件，g是2的必要條件；

（2）若poq,則P是q的充分條件.

3.全稱量詞與存在量詞.

（1）全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”等在邏輯中通常叫作全稱量詞，用符號

“V”表示.含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題.

（2）存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫作存在量詞，用

符號“三”表示.含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題.

（3）含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

課前熱身

1.給出下列結(jié)論，其中正確的是（）

A."f+2x_3<0”是命題B.當,是P的必要條件時，夕是,的充分條件

C.命題“5>2”是假命題D.“長方形的對角線相等”是存在量詞命題

【答案】B

【解析】“/+2工一3<0”不能判斷真假，不是命題，故A錯誤；選項B中q是P的

必要條件，所以“。必夕是,的充分條件，故B正確；選項C,命題“5>2”是真命題；

選項D是全稱量詞命題.故選B.

2.（202。天津卷）設。61{,則“4>1”是“片>4，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】解二次不等式可得。>1或。<0,據(jù)此可知。>1是的充分不必要

條件，故選A.

3.（多選）下列命題是真命題的有（）

A.VXGR,XJ-1>0B.VxeN*,（x-l）2>0

C.3x0eR,lgx0<1D.3x0eR,tanx0=2

【答案】ACD

【解析】當Al時，*-1）2=0,故B為假命題，其余都是真命題，故選ACD.

4.（2017?北京卷）能夠說明“設a,b,c是任意實數(shù).若a>b>c,則a+』<c"是假命

題的一組整數(shù)。，4c的值依次為.

【答案】一2,-4,-5（答案不唯一）

【解析】a>b>c,取a=—2,/?=-4,c=-5,則a+Z?=-6<c.

課堂示例

例1已知P={x|x?-8x-2040},非空集合S={x\\-m<x<\+m].若xe尸是xeS的

必要條件，求實數(shù)機的取值范圍.

【解析】由—20<0,W-2<x<10,所以P={x|-2<x<10}.因為xeP是xwS

的必要條件，則S=P所以『一‘〃"一2'解得加W3.又因為S為非空集合，所得1-〃?41+加，

1+m<10,

解得相上0,m的取值范圍是[0,3].

【情景與層級】本題情景為課程教學情景，層級為基礎性.

7

【題眼與方法】本題的題眼為通過命題的關系轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關系，從而利用

不等式來求解參數(shù)范圍.

【能力與素養(yǎng)】本題考查的學科素養(yǎng)為邏輯推理與數(shù)學運算，等價轉(zhuǎn)化能力和運算求

解能力在問題解決的過程得到了充分體現(xiàn).

變式1本例條件不變，問是否存在實數(shù)〃?，使xeP是xeS的充要條件?并說明理由.

【解析】由例題知「^刈-24x410}.若無cP是xcS的充要條件，則。=5,所以

1-^0

'此方程組無解.所以，這樣加不存在.

l+m=10,

變式2本例條件改為“若xeP是xeS的充分不必要條件”，求實數(shù)〃?的取值范圍.

【解析】由例題知r={村-2Wx<10}.因為xeP是xeS的充分不必要條件，所以集合

P是集合S的真子集，所以‘或:'所以根29.又因為S為非空集合，所

[1+機>10[l+m>10,

以1-加41+〃7,解得加20.綜上，實數(shù)機的取值范圍是[9,+8).

例2若f(x)=x2-2x,g(x)-ax+2(a>0),V%e[-l,2],Bxe[-l,2],使g(xj=f(x),

求實數(shù)。的/'(x),求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】由于函數(shù)g(x)在定義域[一1,2]內(nèi)是任意取值的，且必存在xg-1,2],使

得g(%)=/(x)，因此問題等價于函數(shù)g(x)的值域是函數(shù)/(x)值域的子集.因為函數(shù)f(x)=

爐-2彳=0-1)2-1的值域是[-1,3],又?！?,所以函數(shù)g(無)的值域是[2-a,2+2a],則

2—ci2—1,即嗎.故a的取值范圍是層

2+2。<3,

【情景與層級】本題情景為課程學習情景與探索創(chuàng)新情景，其考查層級為基礎性、綜合性.

【題眼與方法】本題的題眼為理解量詞的含義，等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)來解決問題.

【能力與素養(yǎng)】本題考查的學科素養(yǎng)為邏輯推理與數(shù)學運算，而邏輯思維是解決本題

的關鍵能力.

變式1本例中，若將“g(X)=/(x)”改為“g(%)N/(x)”，其他條件不變，求實數(shù)a的

取值范圍.

【解析】由于函數(shù)g(x)在定義域[-1⑵內(nèi)是任意取值的，且必存在xe[-1,2],使得

ga)N/(x),因此問題等價于函數(shù)g(x)的最小值大于等于函數(shù)/(x)的最小值.因為函數(shù)

/(X)=/一2X=(x-l)2一1的最小值是—1,又。>0,所以函數(shù)g(x)的最小值是2—a,則

又2-。2-1,即aK3.故a的取值范圍是(0,3].

變式2若/(》)=/一2%,g(x)=ax+2,問是否存在實數(shù)。，使得對Vxe[-1,2],都有

g(x)>/(x)?

【解析】由題意可得不等式以+2之/一2%在》封一1,2]上恒成立，gpx2-(2+a)x-2<Q

在xe[-1,2]上恒成立，設〃(x)=r一(2+a)x-2,函數(shù)h(光)的圖像表示開口向上的拋物

Q+1<0,

線，所以<解得a=-l,所以這樣的a存在.

—2a—240,

新題在線

(2021?八省聯(lián)考卷)關于x的方程Y+奴+8=0,有下列四個命題：①是該方程

的根；②A3是該方程的根；③該方程的兩根之和為2；④該方程的兩根異號.如果只有一

個假命題，則該命題是()

A.①B.②C.③D.④

【答案】A

8

【解析】若①是假命題，則②?④是真命題，則關于光的方程V+以+8=()的一根為3,

由于兩根之和為2,則該方程的另一根為-1,兩根異號，合乎題意；若②是假命題，則①③④

是真命題，x=l是方程/+6+匕=0的一根，由于兩根之和為2,則另一根也為1,兩根同號，

不合乎題意；若③是假命題，則①②④是真命題，則關于x的方程V+辦+/,=()的兩根為1

和3,兩根同號,不合乎題意;若④是假命題,則①②③是真命題,則關于x的方程/+5+方=0

的兩根為1和3,兩根之和為4,不合乎題意.綜上所述，①為假命題.故選A.

課堂反饋

1.命題“Vxe[0,+oo),x3+xZ0”的否定是()

A.Vxe[0,+oo),x3+x<0B.VxG(-OO,0),X3+x>0

C.3x0G[0,+=o),+x0<0D.3x0e[0,+oo),XQ+x0>0

【答案】C

【解析】把量詞“V”改為“m”，把結(jié)論否定，故選C

2.(2020浙江卷)已知空間中不過同一點的三條直線機，〃，I,則"/w,〃，/在同一平

面”是“相，〃，/兩兩相交”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由條件可知當機，n,/在同一平面時，則三條直線不一定兩兩相交，有可能

兩條直線平行或三條直線平行；反過來，當空間中不過同一點的三條直線加，n,/兩兩相

交時，三個不同的交點確定一個平面，則〃z,n,I在同一平面.所以am,n,I”在同一平

面是um,n,/兩兩相交”的必要不充分條件，故選B.

3.(多選)下面有4個命題，其中是真命題的是()

A.集合N中最小的數(shù)是1

B.若一a￡N,則aeN

C.若“GN*,beN*,貝Ua+b的最小值為2

D./+1=2%的解集為{1}

【答案】CD

【解析】A為假命題，集合N中最小的數(shù)是0；B為假命題，如不滿足；C為真

命題，a=b=\,a+0=2最??；D為真命題，所給方程有重根1.

4.(2020?上海卷)命題p：若存在aeR且aHO,對任意的aeR,均有/(x+a)</(x)+

/(?)恒成立.已知命題4：f(x)單調(diào)遞減，且/(x)>0恒成立；命題私：/(%)單調(diào)遞增，存

在/<0使得/(%)=0廁命題％是命題p的條件，命題%是命題P的條件.

(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

【答案】充分不必要；充分不必要.

【解析】0：當。>0,/(?)>0,因為函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，所以f(x+a)<f(x)<“X)

+/(a),即/(x+a)</(x)+/(a),所以存在。>0,當滿足命題小時，命題〃成立，所以命

題名是命題〃的充分條件，反之取/(x)=e*,a=~l,命題〃成立，但命題名不成立；%：當

a=Xo<O時，/(a)=0,因為函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，所以〃x+a)=f(x)</(x)+/(a),即

f(x+a)<f(x)+存在a<0,當滿足命題%時，命題p成立，所以命題外是命題p的充

分條件，反之取/(x)=e“，x=-1,命題p成立，但命題名不成立.

練習鞏固

1.命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()

9

A.任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B.任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

C.存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D.存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

【答案】B

【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定，需先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論，

故該命題的否定為“任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”，故選B.

2.下列命題是假命題的是（）

A.eR,log2x=0B.BxcR,cosx=1

C.VxeR,x2>0D.VXGR,2'>0

【答案】C

【解析】因為log21=0，cosO=l,所以選項A,B均為真命題，。2=（）,選項C為假

命題，2*>0,選項D為真命題，故選C.

3.（2018?上海卷）已矢口awR,貝獷a>1"是“'<1”的（）

a

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【解析】由a>l可得成立；當工<1,即_1一1=匕￡<0,解得。<0或。>1,推

aaaa

不出a〉l一定成立.所以“a>l”是“工<1”的充分非必要條件.故選A.

a

4.（2019?全國H卷）設a,6為兩個平面，則二〃/?的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與月平行

C.a,月平行于同一條直線D.a,力垂直于同一平面

【答案】B

【解析】對于A,a內(nèi)有無數(shù)條直線與月平行，則a與尸相交或a〃力，排除；對于B,

a內(nèi)有兩條相交直線與月平行，則?！??；對于C,a,力平行于同一條直線，則a與尸相

交或a〃力，排除；對于D,a,￡垂直于同一平面，則a與4相交或?！Γ懦?故選

B.

5.（多選）下列結(jié)論正確的有（）

A.若a>0>0,則a/〉。,？

B.命題“Vx>0,2'2/"的否定是，，玉>o,2x>x2"

C.“三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是6的倍數(shù)”是存在性命題

D.是“的必要不充分條件

22

【答案】BD

【解析】對于A：若a>力>0,當c=0時，則a。?=be?,故A錯誤;對于B：命題“Vx>0,

的否定是''士>0,2,2/”，故選B正確；對于C：“三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是6

的倍數(shù)”是任意性命題，故選C錯誤；對于D：由于整理得-L<x-L<,，

故0<x<l時，所以當0<x<l,x<l成立，當％<1時，0<無<1成立，故‘％<1”是“x--<1”

22

的必要不充分條件，故D正確.故選BD.

6.（多選）使不等式1+，>0成立的一個充分不必要條件是)

X

10

A.x>2B.x>0C.工〈-1或x>lD.-l<x<0

【答案】AC

1y_1-1

【解析】不等式l+2>0,即土上>0,所以x(x+l)>()解得龍〉0或％<-1.使不等式

XX

1+，〉0成立的一個充分不必要條件是X〉2及％<-1,或x>1.故選AC.

x

7.若“Vxw0,—,tanx<mv是真命題，則實數(shù)機的最小值為_______.

_4_

【答案】1

【解析】“Vxe0,—,”是真命題，則m2tan匹=1,于是實數(shù)機的最小值為

_4」4

1.

8.(2018?北京卷)能說明“若/(x)>/(0)對任意的xe(0,2］都成立，則/(x)在［0,2］

上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是.

【答案】/(x)-sinx(不答案不唯一)

【解析】這是一道開放性試題，答案不唯一，只要滿足/(x)>/(0)對任意的XG(0,2］都

成立，且函數(shù)/(x)在［0,2］上不是增函數(shù)即可，如/(x)=sinx,答案不唯一.

9.已知集合A=*；<2"8>,B={x\x-C={x||%-w|<2}.

(1)若"2=2,求集合AflB.

(2)在8,。兩個集合中任選一個，補充在下面的問題中，并解答：

條件p：xeA,條件q：xe,求使得p是q的必要充分條件的機的取值范

圍.

【答案】(案ADB={x|l<x<3)；(2)選B,則陽的取值范圍為［-1,2］；選C,則機

的取值范圍為［0,1］.

【解析】(1)由已知，將m=2代入x2-2mx+病一1<o,可得.-4x+3<0,解得1<x<3,

即3={刈1<%<3}.又4=［《；<2'48］=>4={刈2-2<2”《23}=>4={幻—2<%43},所以

AnB={x［l<x<3}=(l,3).

(2)若選8：由f_2/nx+m2—1<0，得［x-(nt-l)］［x—(m+l)］vO，所以用一1vxvm+l,

所以3={x|m-lvxvm+l}.由p是q的必要非充分條件，得集合B是A的真子集，所以

W7—1>—2

；+］13'解得一1<"2<2.故機的取值范圍為［―1,2］.若選C：由|x—m|v2,得m—2<%<

m+2,所以C={x|m-2<x〈機+2}.由p是q的必要非充分條件，得集合C是集合A的真子

m—1>—2

集，所以一’解得0K機<1.故機的取值范圍為［0,1］.

［m+\<3,

10.設命題p：實數(shù)x滿足V一4奴+3/<0,命題q：實數(shù)x滿足|x-3|<l.

(1)若。=1，若p，(7同為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；

(2)若。>0且q是p的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

*4-

【答案】(1)(2,3)；(2)1,2.

【解析】(1)若a=l,命題p：實數(shù)x滿足V一4X+3<0,解得1<X<3,命題q：實數(shù)x滿

11

足|x-3|<1,解得2<%<4,若p,(7同為真命題，則2<x<3,所以實數(shù)x取值范圍為(2,3).

(2)命題p：實數(shù)x滿足d一4利+3a2<0,化為(x-a)(x-3a)vO,因為。>0,所以

a<x<3a,若。>0且q是〃的充分不必要條件,則(2,4)呈(a,3a),故解《"一’得

3a>4,3

(等號不同時取得)，故。的取值范圍是1,2.

思考運用

11.下列命題是真命題的是()

Av2

A.3x0eR,e°<0B.VxeR,2>x

C.a+b=O的充要條件是3=TD.a>\,〃>1是必>1的充分條件

b

【答案】D

【解析】因為VxeRe>0,故排除A；取x=2,則22=22,故排除&。+。=0,。=匕=0,

則不能推出@=-1,故排除C.故選D.

b

12.(多選)下列命題正確的是()

A.〉0,InxH---<2

Inx

B.命題'Fxw(0,+oo),In尤=x-l"的否定是"Vxe(0,+oo),InxHx-l”

C.設x,yeR,則“x22且yi2”是“V+y24”的必要不充分條件

D.設a/eR,則“"0”是“正?！钡谋匾怀浞謼l件

【答案】ABD

【解析】當]=工>0時，ln<0,lnx+—!—<0,故A正確；根據(jù)存在量詞命題的否定

2