高中數(shù)學(xué)三維設(shè)計浙江專版必修1講義1．1 集 合

第?部分把書讀厚

教材同步導(dǎo)學(xué)

基礎(chǔ)知識系統(tǒng)整合

重點難點釋疑解惑

方法技巧系統(tǒng)點撥

熱點命題權(quán)威解讀

知能訓(xùn)練跟蹤落實

講、練、評一體，學(xué)、思、用結(jié)合

夯實每一步，成績步步高

讓你在學(xué)通學(xué)精教材的同時

緊緊把握高考的脈動

I1集合

1.1.1集合的含義與表示

第一課時集合的含義

課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本P2?3,思考并完成以下問題

(1)集合和元素的含義是什么？它們各自用什么字母表示？

(2)元素和集合之間有哪兩種關(guān)系？常見的數(shù)集有哪些？分別用什么符號表示?

1.元素與集合的概念

(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素.元素常用小寫的拉丁字母。，6,c,…表示.

(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為基).集合通常用大寫的拉丁字母A,B,C,…表示.

⑶集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的.

(4)元素的特性：確定性、無序性、互異性.

［點睛］集合含義中的“研究對象”指的是集合的元素，研究集合問題的核心即研究集合中的元素，

因此在解決集合問題時，首先要明確集合中的元素是什么.集合中的元素可以是點，也可以是一些人或一

些物.

2.元素與集合的關(guān)系

關(guān)系語言描述記法讀法

屬于a是集合A中的元素a^Aa屬于集合A

不屬于。不是集合A中的元素??4a不屬于集合A

［點睛I對元素和集合之間關(guān)系的兩點說明

(1)符號“W”“？”刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系.對于一個元素a與一個集合4而言，只有ua

GA”與“a?A”這兩種結(jié)果.

（2）G和?具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如RGO是錯誤的.

3.常用的數(shù)集及其記法

常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

記法NN*或N+Z攵R

1.判斷（正確的打“J”，錯誤的打“X”）

（1）你班所有的姓氏能組成集合.（）

（2）新課標數(shù)學(xué)人教A版必修1課本上的所有難題.（）

（3）一個集合中可以找到兩個相同的元素.（）

答案：⑴J（2）X（3）X

2.下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是（）

A.OGNB.TTCQ

C.eqGQD.-1?Z

答案：A

3.已知集合A中含有3個元素一2,4,x2-x,且6GA,則x的值是（）

A.2B.-2

C.3D.3或一2

答案：D

4.方程x2-l=O與方程x+l=O所有解組成的集合中共有個元素.

答案：2

字課堂講練設(shè)計，舉一能通類題

FTqM集合的基本概

［例1］考察下列每組對象，能構(gòu)成一個集合的是（）

①某校高一年級成績優(yōu)秀的學(xué)生;

②直角坐標系中橫、縱坐標相等的點；

③不小于3的自然數(shù)；

?2016年第31屆奧運會金牌獲得者.

A.③④B.②③④

C.②③D.②④

［解析］①中“成績優(yōu)秀”沒有明確的標準，所以不能構(gòu)成一個集合；②③④中的對象都滿足確定性,

所以能構(gòu)成集合.

［答案］B

判斷一組對象能否組成集合的標準

判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組

02/37

成集合；否則，不能組成集合.同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.

［活學(xué)活用］

1.給出下列說法：

①中國的所有直轄市可以構(gòu)成一個集合；

②高一⑴班較胖的同學(xué)可以構(gòu)成一個集合；

③正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個集合；

④大于2011且小于2016的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合.

其中正確的有.，(填序號)

解析：②中由于“較胖”的標準不明確，不滿足集合元素的確定性，所以②錯誤；④中的所有整數(shù)能

構(gòu)成集合，所以④錯誤.

答案：①

題型二元素與集合的關(guān)系

［例2］⑴下列關(guān)系中，正確的有()

*GR；②啦?Q；(3)|-3|GN;④|一小|GQ.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

(2)集合A中的元素x滿足±GN,xGN,則集合A中的元素為.

［解析］(1)；是實數(shù)，也是無理數(shù)，|一3|=3是非負整數(shù)，|一小|=布是無理數(shù).因此，①②③正確,

④錯誤.

(2)由題意可得：3—x可以為1,2,3,6,且x為自然數(shù)，因此x的值為2,1,0.因此A中元素有2,1,0.

［答案］(1)C(2)0,1,2

判斷元素與集合關(guān)系的2種方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.

(2)推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，

此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征.

［活學(xué)活用I

2.已知集合A中有四個元素0,1,2,3,集合B中有三個元素0,1,2,且元素a^A,或B,則a的值為()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選DVaGA,a?5,...由元素與集合之間的關(guān)系知，a=3.

3.用適當?shù)姆柼羁眨?/p>

已知A={x\x=3k+2,ACZ},B={x\x=6m~l,mGZ},則有：174：-5A；

17B.

解析：令弘+2=17得，A=5￡Z.

所以17W4.

7

令弘+2=—5得，A=一§?Z.

所以一5?A.

令6,〃一1=17得，機=3WZ,

所以17GB.

答案：G?G

題型三

［例3］已知集合A含有兩個元素a和層,若1G4,則實數(shù)a的值為.

［解析I若1GA,則a=l或〃=1,即。=±1.

當a=l時，集合A有重復(fù)元素，不符合元素的互異性，

當。=一1時，集合A含有兩個元素1,-1,符合元素的互異性..?/=一1.

［答案］-1

［一題多變］

LI變條件I本例若將條件“1GA”改為“2GA”，其他條件不變，求實數(shù)a的值.

解：B）2GA,則a=2或序=2即°=2,或a=巾,或a=-g.

2.［變條件］本例若去掉條件“164”，其他條件不變，則實數(shù)a的取值范圍是什么？

解：因A中有兩個元素a和出，則由。中出解得

aWO且

3.［變條件］已知集合4含有兩個元素1和出，若“aGA”，求實數(shù)a的值.

解：由aGA可知，

當a=l時，此時“2=1,與集合元素的互異性矛盾，

所以aWL

當。=居時，a=0或1（舍去）.

綜上可知，a=0.

根據(jù)集合中元素的特性求解字母取值（范圍）的3個步驟

/求解7~母據(jù)集合中元素的確定性，解出字母的所有取值

/檢驗？據(jù)集合中元素的互異性，對解出的值進行槍驗

/作答，■「寫出所有符合題意的字母的取值

課后層級訓(xùn)練，步步提升能力

層級一學(xué)業(yè)水平達標

1.下列說法正確的是（）

A.某班中年齡較小的同學(xué)能夠形成一個集合

B.由1,2,3和y［9,1,W組成的集合不相等

04/37

C.不超過20的非負數(shù)組成一個集合

D.方程（x—l）（x+1戶=0的所有解構(gòu)成的集合中有3個元素

解析：選CA項中元素不確定.B項中兩個集合元素相同，因集合中的元素具有無序性，所以兩個

集合相等.D項中方程的解分別是X|=l,X2=X3=-1.由互異性知，構(gòu)成的集合含2個元素.

2.已知集合A由的數(shù)構(gòu)成，則有（）

A.3GAB.ISA

C.OGAD.~17A

解析：選C很明顯3,1不滿足不等式，而0,-1滿足不等式.

3.下面幾個命題中正確命題的個數(shù)是（）

①集合N”中最小的數(shù)是1；

②若一a?N*,則a￡N*；

③若aGN*,則a+分最小值是2；

@x2+4=4x的解集是{2,2}.

A.0B.1C.2D.3

解析：選CN*是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是1,故①正確；當a=0時，-a?N*,且a?N*,故②錯；

若“GN*,則a的最小值是1,又5GN*,b的最小值也是1,當a和b都取最小值時，a+萬取最小值2,

故③正確；由集合元素的互異性知④是錯誤的.故①③正確.

4.已知集合A含有三個元素2,4,6,且當“GA,有6—貝?。輆為（）

A.2B.2或4

C.4D.0

解析：選B若a=2W4,則6—a=4W4;或a=4GA,則6-a=2GA;若a=6G4,則6—a=O?A.

故選B.

5.由實數(shù)一。，a,M|,而所組成的集合最多含有的元素個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

解析：選B當〃=0時，這四個數(shù)都是0,所組成的集合只有一個元素0.當時，聲=|a|=

{a9〃>0,

?所以一定與〃或一Q中的一個一致.故組成的集合中有兩個元素，故選B.

1-a,a<0,

6.下列說法中：

①集合N與集合N+是同一個集合；

②集合N中的元素都是集合Z中的元素；

③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；

④集合Q中的元素都是集合R中的元素.

其中正確的有（填序號）.

解析：因為集合N+表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)

集，所以①③中的說法不正確，②④中的說法正確.

答案：??

7.已知集合A是由偶數(shù)組成的，集合B是由奇數(shù)組成的，若a￡A,b《B,則a+bA,

ab(填d或?).

解析：是偶數(shù)，b是奇數(shù)，

.?.a+6是奇數(shù)，必是偶數(shù)，

故a+b?A,ab&A.

答案：？G

8.已知集合尸中元素x滿足：xGN,且2<x<a,又集合尸中恰有三個元素，則整數(shù)。=.

解析：?.?xGN,2<x<a,且集合尸中恰有三個元素，

二結(jié)合數(shù)軸知a=6.

答案：6

9.設(shè)A是由滿足不等式x<6的自然數(shù)組成的集合，若“GA且求a的值.

解：VaSAJL3aSA,

〃v6,

解得a<2.又Q￡N,

3a<6,

/?a=0或1.

10.已知集合A中含有兩個元素x,山集合3中含有兩個元素0,x2,若4=3,求實數(shù)X,y的值.

解：因為集合A,B相等，則x=0或y=0.

(1)當x=0時，x2=0,則5={0,0},不滿足集合中元素的互異性，故舍去.

2

(2)當y=0時，x=xf解得x=0或x=l.由⑴知x=0應(yīng)舍去.

綜上知：x=l,y=0.

層級二應(yīng)試能力達標

1.下列各組中集合P與0,表示同一個集合的是()

A.尸是由元素1,5，7T構(gòu)成的集合，。是由元素It,1,|一方|構(gòu)成的集合

B.尸是由兀構(gòu)成的集合，。是由3.14159構(gòu)成的集合

C.尸是由2,3構(gòu)成的集合，。是由有序數(shù)對(2,3)構(gòu)成的集合

D.P是滿足不等式一IWXWI的自然數(shù)構(gòu)成的集合，。是方程*2=1的解集

解析：選A由于A中P,。元素完全相同，所以尸與。表示同一個集合，而B、C、D中元素不相

同，所以P與。不能表示同一個集合.故選A.

2.若以集合A的四個元素a,b,c,d為邊長構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形可能是()

A.梯形B.平行四邊形

C.菱形D.矩形

解析：選A由于a,b,c,d四個元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等.

3.若集合A中有三個元素1,a+b,a；集合3中有三個元素0,人若集合A與集合5相等，則b

—a=()

A.1B.-1

C.2D.-2

解析：選C由題意可知a+〃=0且a#0,：.a=-b,

06/37

A-=—l./.a=—1,b=l故萬一a=2?

a9

4.已知a,B是非零實數(shù)，代數(shù)式號+f+鬻的值組成的集合是M,則下列判斷正確的是()

A.()GMB.-1GA/

C.3?MD.1GM

解析：選B當a,Z)全為正數(shù)時，代數(shù)式的值是3;當“，〃全是負數(shù)時，代數(shù)式的值是一1;當a,

。是一正一負時，代數(shù)式的值是一1.綜上可知B正確.

5.不等式x-aeO的解集為4,若3?4,則實數(shù)a的取值范圍是.

解析：因為3?A,所以3是不等式x-a<0的解，所以3-a<0,解得a>3.

答案：a>3

6.若集合A中含有三個元素a—3,2a—1,a2-4,且一3GA,則實數(shù)。的值為.

解析：(1)若a—3=—3,則a=0,此時4={-3,—1,一4},滿足題意.

(2)若2a—1=—3,則a=—1,此時A={—4,—3,—3),不滿足元素的互異性.

(3)若砂一4=-3,則。=±1.當a=l時，A={-2,1,一3},滿足題意；當。=一1時，由(2)知不合題

意.

綜上可知：a=0或a=l.

答案：0或1

7.集合A中共有3個元素一4,2a-1,a2,集合B中也共有3個元素9,a—5,1—a,現(xiàn)知9CA且集

合8中再沒有其他元素屬于4能否根據(jù)上述條件求出實數(shù)a的值？若能，則求出a的值，若不能，則說

明理由.

解：V9eA,.?.2。-1=9或?qū)?9,

若2°—1=9,則a=5,此時A中的元素為-4,9,25;8中的元素為9,0,—4,顯然一4GA且一4G優(yōu)

與已知矛盾，故舍去.

若層=9,則。=±3,當a=3時，4中的元素為一4,5,9;8中的元素為9,-2,-2,B中有兩個一2,

與集合中元素的互異性矛盾，故舍去.

當”=—3時，4中的元素為一4,-7,9;8中的元素為9,一8,4,符合題意.

綜上所述，滿足條件的a存在，且a=-3.

事選做題

8.設(shè)A為實數(shù)集，且滿足條件：若aGA,則士GA(a#l).

求證：(1)若2GA,則A中必還有另外兩個元素；

(2)集合4不可能是單元素集.

證明：⑴若“CA,則［J.GA.

又???2￡4,AT—

L乙

v-ieA,

V7GA,.*.-^7=2GA.

1—

12

.?.a中必還有另外兩個元素，且為一1,\

(2)若A為單元素集，則a=］1

即層一。+1=0,方程無解.

.?.aW士，集合A不可能是單元素集.

第二課時集合的表示

1.列舉法

把集合的元素一一列舉出來,并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

［點睛I列舉法表示集合時的4個關(guān)注點

(1)元素與元素之間必須用“，"隔開.

(2)集合中的元素必須是明確的.

(3)集合中的元素不能重復(fù).

(4)集合中的元素可以是任何事物.

2.描述法

⑴定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,

在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

［點睛］描述法表示集合時的3個關(guān)注點

(1)寫清楚集合中元素的符號.如數(shù)或點等.

(2)說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等.

(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母.

1.判斷(正確的打“，錯誤的打"X”)

(1)由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為{1,1,2,3}.()

⑵集合{(1,2)}中的元素是1和2.()

08/37

(3)集合A={x|*—1=0}與集合5={1}表示同一個集合.()

答案：(1)X(2)X(3)J

2.方程組的解集是()

{x—y=-3

A.(-1,2)B.(1,-2)

C.{(-1,2)}D.{(1,-2))

答案：C

3.不等式工一3<2且xGN*的解集用列舉法可表示為()

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4)

C.{0,l,2,3,4,5}D.{1,23,4,5)

答案：B

4.不等式4x—5<7的解集為

答案：{x|4x—5<7}

字課堂講練設(shè)計，舉一能通類題

題型一用列舉法表示集合

［例1］用列舉法表示下列集合.

(1)不大于10的非負偶數(shù)組成的集合；

(2)方程V=x的所有實數(shù)解組成的集合；

(3)直線y=2x+i與j軸的交點所組成的集合.

［解］(1)因為不大于10是指小于或等于10,非負是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負偶數(shù)集

是{0,2,4,6,8,10}.

(2)方程x3=x的解是x=0或x=l或x=—1,所以方程的解組成的集合為{0,1,—1).

⑶將x=0代入y=2x+l,得y=l,即交點是(0,1),

故兩直線的交點組成的集合是{(0,1)}.

用列舉法表示集合的3個步驟

(1)求出集合的元素.

(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次.

(3)用花括號括起來.

［活學(xué)活用］

1.若集合4={(1,2),(3,4)},則集合A中元素的個數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B集合A={(1,2),(3,4)}中有兩個元素(1,2)和(3,4).

2.用列舉法表示下列給定的集合：

(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A.

(2)方程x2-9=0的實數(shù)根組成的集合B.

(3)一次函數(shù)y=x+3與j=-2x4-6的圖象的交點組成的集合D.

解：(1)因為大于1且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.

(2)方程*2-9=0的實數(shù)根為一3,3,所以3={-3,3}.

y=x+3,x=l,

⑶由,得

y=-2x+6尸4,

所以一次函數(shù)y=x+3與j=-2x+6的交點為(1,4),所以。={(1,4)}.

歸士擔(dān)用描述法表示集合

［例2］用描述法表示下列集合:

(1)被3除余1的正整數(shù)的集合；

(2)坐標平面內(nèi)第一象限的點的集合；

⑶大于4的所有偶數(shù).

［解］⑴根據(jù)被除數(shù)=商、除數(shù)+余數(shù)，可知此集合表示為{x|x=3"+l,〃GN}.

(2)第一象限內(nèi)的點的橫、縱坐標均大于零，故此集合可表示為{(x,j)|x>0,j>0}.

(3)偶數(shù)可表示為2n,nSZ,又因為大于4,故稔3,從而用描述法表示此集合為{x|x=2〃，"GZ且n>3}.

mm

描述法表示集合的2個步驟

代表元素I：他的元素：

B-------------

|明確元素I1需逐合而元翥正真看廟外兵一億有五螟

的特征；線的后面：

［活學(xué)活用］

3.用符號“G”或“？”填空：

(l)A={x|x2-x=0},貝!|1A,-1A；

(2)(1,2){(x,j)ly=x+l).

解析：⑴易知4={0,1},故1G4,-1?A;

(2)將x=l,y=2代入y=x+l,等式成立.

答案：⑴G?(2)€

4.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)已知集合P={x|x=2〃,0W"W2且"WN}；

⑵拋物線y=x2-2x與x軸的公共點的集合；

10/37

(3)直線j=x上去掉原點的點的集合.

解：(1)列舉法:P={0,2,4}.

(y=x2—2x

⑵描述法：5?x,y?'.

Ilv=o

或列舉法：{(0,0),(2,0)}.

(3)描述法：{(x,y)\y=x,x#0}.

題型三"

［例3］⑴若集合4={工611|"2+2丫+1=0,aGR}中只有一個元素，貝||a=()

A.1B.2

C.0D.0或1

(2)設(shè);c(xx2—ax—1=0),則集合{xx2—yx—a=0}中所有元素之積為

［解析I(1)當a=0時，原方程變?yōu)?x+l=0,

此時x=一符合題意；

當。制時，方程ax2+2x+l=0為一元二次方程，

/=4—4〃=0,即〃=1,原方程的解為x=—1,符合題意.

故當a=0或a=l時，原方程只有一個解，此時A中只有一個元素.

5

-

2

?X

L2

所

以r

z

解

得Q

:z=

當片號時，方程F—梟+9。的判別式/=(一莖>一4號=警。,

乙//X,1**yL

9

-

X+

所以集合X1922

［答案I(1)D(2)1

解答此類問題的策略

(1)若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵.

⑵若已知集合是用列舉法給出的，整體把握元素的共同特征是解題的關(guān)鍵.

［活學(xué)活用1

5.已知集合A={x|x2—取+方=0},若A={2,3},求a,〃的值.

2+3=%

解：由4={2,3}知，方程*2—仆+/>=0的兩根為2,3,由根與系數(shù)的關(guān)系得，因此a=5,

2X3=6,

b=6.

6.設(shè)集合3=xGN

試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系；

用列舉法表示集合B.

解：(1)當x=l時，2'=2GN.

當x=2時，Wq=1?N.所以163,2?民

ZIz/

(2)VTT-GN,XGN,；.2+x只能取2,3,6.

/IX

.?.X只能取0,1,4.二8={0,1,4}.

一題多變

題型四集合含義的再認識思維發(fā)微

［例4］用描述法表示拋物線y=/+l上的點構(gòu)成的集合.

［解］拋物線y=x2+l上的點構(gòu)成的集合可表示為：{(x,j)［y=x2+l).

［一題多變］

1.［變條件，變設(shè)問］本題中點的集合若改為“{My=x2+1}”，則集合中的元素是什么？

解：集合{1卜=/+1}的代表元素是X,且xGR,

所以{*如=*2+1}中的元素是全體實數(shù).

2.［變條件，變設(shè)問］本題中點的集合若改為“{Mx=x2+1}”，則集合中的元素是什么？

解：集合0^=/+1}的代表元素是y,滿足條件＞=*2+1的y的取值范圍是y'l,所以作b=/+1}

={My》i},所以集合中的元素是大于等于1的全體實數(shù).

識別集合含義的2個步驟

(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示數(shù)集，{(x,y)ly=p(x)}表示點集.

⑵二看條件：即看代表元素滿足什么條件(公共特性).

字課堂講練設(shè)計，舉一能通類題

層級一學(xué)業(yè)水平達標

1.已知M中有三個元素可以作為某一個三角形的邊長，則此三角形一定不是()

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

解析：選D集合M的三個元素是互不相同的，所以作為某一個三角形的邊長，三邊是互不相等的,

故選D.

2.下列集合中，不同于另外三個集合的是()

A.{x|x=l}B.{x|x2=l}

C.{1}D.{j|(y-l)2=0}

解析：選B{*g=1}={一1,1},另外三個集合都是{1},選B.

12/37

3.已知那么()

A.2GM,~2^MB.2GM,~2?M

C.2?M,~2?MD.2?M,~2^M

解析：選A若x=2,貝"x—1=1<啦，所以2GAf;若x=—2,則x—1=—3<g，所以一2GM.故

選A.

4.下列集合的表示方法正確的是()

A.第二、四象限內(nèi)的點集可表示為{(x,y)|x)WO,xGR,yGR}

B.不等式X一1<4的解集為{x<5}

C.{全體整數(shù)}

D.實數(shù)集可表示為R

解析：選D選項A中應(yīng)是孫<0;選項B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規(guī)范格式，

缺少了豎線和豎線前面的代表元素x;選項C的，}”與“全體”意思重復(fù).

5.方程組x：,：]的解集是(

x2~y2=9

A.(—5,4)B.(5,-4)

C.{(-5,4)}D.{(5,-4)}

fx+j=l,[x=5

解析：選D解方程組，，得?=14故解集為{(5,-4)},選D.

[x2—j2=9

6.設(shè)集合A={1,-2,a2~1},B={\,a2~3a,0},若4,8相等，則實數(shù)Q=.

a2-1=0,

解析：由集合相等的概念得，解得“=1.

a2—3a=-2,

答案：1

7.設(shè)一5G{丫舊一ax—5=0},則集合{x|x2+ax+3=0}=.

解析：由題意知，一5是方程x2—ar—5=0的一個根，

所以(一5/+5。-5=0,得”=一4,

則方程x2+ax+3=0,即x2-4x+3=0,

解得x=1或x=3,

所以{X|X2-4X+3=0}={1,3}.

答案：{1R}

8,若4={-2,2,3,4},B={x|x=F,tGA},用列舉法表示集合5為

解析：由題意可知集合3是由4中元素的平方構(gòu)成的，故8={4,9,16}.

答案：{4,9,16}

9.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

⑴一年中有31天的月份的全體；

⑵由直線y=-x+4上的橫坐標和縱坐標都是自然數(shù)的點組成的集合.

解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}.

(2)用描述法表示該集合為M={(x,y)ly=-x+4,xGN,yGN},或用列舉法表示該集合為{(0,4),(1,3),

(2,2),(3,1),(4,0)).

10.含有三個實數(shù)的集合4=卜，“},若0GA且1GA,求。2。16+左。16的值.

解：由0GA,“0不能做分母”可知aWO,故。2。0,所以$=0,即，=0.

又1￡A,可知層=1或〃=i.

當。=1時，得層=1,由集合元素的互異性，知。=1不合題意.

當〃=1時，得。=—1或〃=1(由集合元素的互異性，舍去).

故4=—1,6=0,所以層016+^2016的值為1.

層級二應(yīng)試能力達標

1.下列命題中正確的是()

A.集合{*g=1,xGR}中有兩個元素

B.集合{0}中沒有元素

C.eqG{x|x<2"\/3}

D.{1,2}與{2,1}是不同的集合

解析：選A{x|x2=l,XGR}={1,-1};集合{0}是單元素集，有一個元素，這個元素是()；{x]x<2小}

={x\x<\[12],回所以恒?{x|xv2小};根據(jù)集合中元素的無序性可知{1,2}與{2,1}是同一個集合.

2.已知集合A={x|x=2,〃-1,mGZ},B={x\x=2n,〃6Z},且網(wǎng)、X2^A,X3GB,則下列判斷不

正確的是()

A.xrxzGAB.X2-X3GB

C.xj+xz^BD.XI+M+XJGA

解析：選D集合A表示奇數(shù)集，8表示偶數(shù)集，

.?.Xi,X2是奇數(shù)，X3是偶數(shù)，

，X1+X2+X3應(yīng)為偶數(shù)，即D是錯誤的.

3.集合4={了卜=爐+1}，集合8={(x,j)ly=x2+l}(A,〃中xGR,jGR).選項中元素與集合的關(guān)

系都正確的是()

A.2GA,且2WB

B.(1,2)GA,且(12)G8

C.2GA,且(3,10)63

D.(3,10)GA,且2G3

解析：選C集合4中元素y是實數(shù)，不是點，故選項B,D不對.集合B的元素(x,y)是點而不是

實數(shù)，2CB不正確，所以A錯.

4.定義產(chǎn)。={而laGP,b^Q],若尸={0,1,2},。={1,2,3},則P*。中元素的個數(shù)是()

A.6個B.7個

14/37

C.8個D.9個

解析：選A若a=0,則裙=0;若。=1,則ab=l,2,3;若a=2,則。6=2,4,6.故尸*。={0,1,2,3,4,6},

共6個元素.

5.已知A={(x,J)|X+J=6,xGN,j€N},用列舉法表示A為.

解析：?.?x+y=6,xGN,yGN,

x=4,x—5x=6,

《9?

y=2,ly=l,Ly=0.

."={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)).

答案：{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}

6.已知集合4={(》，j)|y=2x+l},B={(x,y)|y=x+3},若(xo,yo)GA,(x(>,yo)^B,則(xo,yo)的

值為.

fj=2x+l,fxo=2,

解析：由題意知，（Xo,jo）SA,（Xo,yo）^B,所以（Xo,%）是方程組J的解，解得

□=x+3M=5.

答案：（2,5）

7.已知集合A={x|ax2—3x—4=0,xeR},若A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍.

解：當a=0時，A={—?；

當aWO時，關(guān)于x的方程ax2-3x-4=0應(yīng)有兩個相等的實數(shù)根或無實數(shù)根，

9

所以/=9+16aW0,即a這一行.

9

故所求的a的取值范圍是77或a=0.

lo

I］點迭版題

8.已知集合4={0+3,（a+l）2,a2+2a+2］,若1GA,求實數(shù)a的值.

解：①若a+3=l,則a=-2,

此時A={1,1,2},不符合集合中元素的互異性，舍去.

②若（a+l）2=l,則a=0或a=-2.

當a=0時，4={3,1,2）,滿足題意；

當。=一2時，由①知不符合條件，故舍去.

③若a2+2a+2=l,則a=-1,

此時4={2,0,1},滿足題意.

綜上所述，實數(shù)a的值為-1或0.

1.1.2集合間的基本關(guān)系

預(yù)習(xí)課

課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

本P6?7,

思考并完成以下問題

［預(yù)習(xí)導(dǎo)入］

⑴集合與集合之間有什么關(guān)系？怎樣表示集合間這些關(guān)系？

⑵集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符號表示？

⑶空集是什么樣的集合？空集和其他集合間具有什么關(guān)系？

1.子集的概念

一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意二仝元素都是集合3中的

定義

元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合3的子集

記法

記作出邊(或成A),讀作“A含于8”(2%“8包含A”)

與讀法

或繆

圖示

(1)任何一個集合是它本身的子集，即

結(jié)論

⑵對于集合A,B,C,若A?B,且3?C,貝!

［點睛］“A是5的子集”的含義是：集合4中的任何一個元素都是集合5的元素，即任意xGA都能

推出xEB.

2.集合相等的概念

如果集合A是集合3的壬集(A?5),且集合3是集合A的壬集(B?A),此時，集合4與集合5中的元

素是一樣的，因此，集合A與集合3相等，記作A=B.

［點睛］⑴若A?8,又8?A,則A=8;反之，如果A=8,則4?8,且8?A.

(2)若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關(guān).

3.真子集的概念

定義如果集合A?5,但存在元素0,且&,我們稱集合A是集合5的真子集

記法記作AB(或BA)

圖示

(1)43且5C,則A_C；

結(jié)論

(2)4?8且AW8,則

［點睛I在真子集的定義中，AB首先要滿足4?8,其次至少有一個但x?4.

4.空集的概念

定義我們把不含任何元素的集合,叫做空集

記法?

規(guī)定空集是任何集合的壬集，即??A

16/37

⑴空集只有一個子集，即它的本身，？??

特性

(2)4#?,貝!!?_A

1.判斷(正確的打“，錯誤的打“X”)

⑴空集中只有元素0,而無其余元素.()

(2)任何一個集合都有子集.()

⑶若A=B,則A?5.()

(4)空集是任何集合的真子集.()

答案：⑴X(2"(3)V(4)X

2.設(shè)集合M={1,2,3},N={1},則下列關(guān)系正確的是()

A.NGMB.N7M

C.N?MD.N?M

答案：D

3,下列四個集合中，是空集的為()

A.{0}B.{x|x>8,且x<5}

C.(XGN|X2-1=0}D.{X|X>4}

答案：B

4.設(shè)aCR,若集合{2,9}={1—0,9},則a=.

答案：一1

L工F-'in%?>1

字

集合