高中數(shù)學(xué)必背公式及常用結(jié)論

高中數(shù)學(xué)必背公式、常用結(jié)論

二次函數(shù)和一元二次方程、一元二次不等式

1.二次函數(shù),=0?+6龍+。的圖象的對(duì)稱軸方程是》=一2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是二”)

2。(2〃4aJ

2.實(shí)系數(shù)一元二次方程ox?+加;+。=0的解：

①若△=〃-4ac>0,則玉2=-Z?±-Z?2-4—；

f2a

b

②若△二-4〃c=0,則玉=%=；

③若△=〃—4acv(),它在實(shí)數(shù)集/?內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根；在復(fù)數(shù)集C內(nèi)有且僅有兩個(gè)共輒復(fù)數(shù)根

3.一元二次不等式ox?+8x+c>0(“>0)解的討論:

二次函數(shù)

(。>0)的圖象

一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根

R

二、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

1.運(yùn)算公式

?---?1

⑴分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：a"=Nd"；a"(以上a>0,m,〃eN*,且〃>1).

行

⑵.指數(shù)計(jì)算公式：a"'-a"=am+n；(a"')"=a""'；(a-h)m=a'n-b"'

⑶對(duì)數(shù)公式：①J=Nolog?N=b；②log“(MN)=log“M+log“N；

/V7n

③log”—=log“M-logflN；@logb"=—log”b.

Nm

⑷.對(duì)數(shù)的換底公式：log,,N=bg"'N對(duì)數(shù)恒等式:產(chǎn))=N.

log,”a

2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且。w1)的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

圖

象

性(1)定義域：R

質(zhì)(2)值域：(0,+8)

(3)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí),y=l

(4)x>0時(shí),y〉l;x<0時(shí)，0<y<l(4)x>(^j,0〈y<l;x<0

時(shí)，y>l.

(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)

3.對(duì)數(shù)函數(shù)y=log,,X,(a>o,aHl)的圖象和性質(zhì)

a>10<a<1

x=\

圖>\，=iog“x卜I

<*—1(。>1)1■\打。)

象八

(0<a<l)

(l)xe(O,+oo),yeR

(2)當(dāng)x=l時(shí)，y=0；

(3)當(dāng)x>l時(shí)，y>0,(3)當(dāng)x>l時(shí)，y<0,

0<x<l時(shí)，y<0；0vx<l時(shí)，y>0；

=.?長(zhǎng)用,漏新的簿蜀4H:)上是增函數(shù)(4)在(0,+)上是減函數(shù)

1.①C=0；②(x")=nx"~'；③(sinx)=cosx；④(cosx)=-sinx；

x

⑤(a、)=a'Ina；⑥(e*)=e；?(lognx)=―-—；⑧(Inx)=—

xlnax

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：（±y=u'±v'-,（uv）'=u'v+UV'-,（-）'=UV~UV;

MvVV

3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：X=y'u

四.三角函數(shù)相關(guān)的公式：

1.⑴角度制與弧度制的互化：乃弧度=180°,「=二弧度，1弧度=（吧）/57。18'

18071

⑵弧長(zhǎng)公式：l=8R；扇形面積公式：S=-IR^-OR2^

22

2.三角函數(shù)定義:角。終邊上任一點(diǎn)（非原點(diǎn)）P（x,y）,設(shè)|OP|=r則：sina=）,cosa=工tana=上

rrx

3.三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（簡(jiǎn)記為“全stc”）

4.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

5.⑴y=Asin3r+0）對(duì)稱軸：令（ox+（p=k兀十三,得X=…；對(duì)稱中心：（史？,0）（kwZ）;

2co

（2）y=ACOS@￥+0）對(duì)稱軸：令&￥+0=左"，得了=匕—;對(duì)稱中心：//+［一00）（/「uZ）

CD（o

21

⑶周期公式:①函數(shù)y=Asin(〃zx+0)及y=Acos(3x+e)的周期T0為常數(shù),

冏

且A#0).②函數(shù)y=4tan(〃+的周期T(A、3夕為常數(shù)，且AW0）.

H

6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin?x+cos?%=1；且史=tanx

cosx

7.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及對(duì)稱性：

TTJT

⑴y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2k兀一上,2k兀+二ZeZ,單調(diào)遞減區(qū)間為

_22_

2版?+,,2&萬(wàn)+萬(wàn)ksZ,對(duì)稱軸為x=（旌Z）,對(duì)稱中心為伏匹。）（ZEZ）.

⑵丁=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為［2%萬(wàn)一萬(wàn),2%句ZwZ,單調(diào)遞減區(qū)間為［2%辦2%?+句ZwZ,

對(duì)稱軸為x=2］（攵GZ）,對(duì)稱中心為［版?+］,（））（左￡Z）.

⑶y=tanx的單調(diào)遞增區(qū)間為［左乃一］次乃+Z￡Z,對(duì)稱中心為

8.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

①sin(a±J3)=sinacos(3±cosasin/?；cos(a±j3)=cosacos尸不sin2sin月；

,.八、tana±tanB

tan(?±J3)=---------------.

1不tanatan(3

②sin(a+0)sin(a-/?)=sin2a-sin2/?；cos(a+/?)cos(a-/?)=cos2a-sin2/?.

③asina+Acosa=+己sin(a+o)(其中，輔助角。所在象限由點(diǎn)(〃/)所在的象限

.b

決定，tan°=—、）.

a

9.二倍角公式：①sin2a=2sinacosa.（sina±cosa）2=l±2sinacosa=l±sin2a

②cos2tz=cos2a—sin2a=2cos2（z—1=1—2sin2a（升塞公式）.

21+cos2a.2l—cos2a/改官八十、

cosa--------,sina---------（降累公式）.

22

10.正、余弦定理：

nhC

⑴正弦定理：一9—=—^=」一二2H（2R是AABC外接圓直徑）

sinAsinBsinC

注：①a:）：c=sinA:sinB:sinC；②。=2RsinA,Z?=2Rsin民c=2/?sinC；③

a_b_c_Q+b+c

———o

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

⑵余弦定理：/=>2+02-2^^054等三個(gè)；cosA="+c—a等三個(gè)。

2bc

11.幾個(gè)公式:⑴三角形面積公式：@S=^aha=^bhh=1chc（ha,勾、也分別表示a、b、c邊上的

高）；@S=—a^sinC=—Z>csinA=—easin5.

222

五。立體幾何

1.表（側(cè)）面積與體積公式：

⑴柱體：①表面積：S=S向+2s底；②側(cè)面積：SM=2.7O~h；③體積：V=$底h

⑵錐體：①表面積：S=S"S底；②側(cè)面積：S他尸勿7；③體積：V=-Sh：

3ft

⑶臺(tái)體：①表面積：S=s?i+S上底+S下底;②側(cè)面積：S蚌乃（r+rj/;③體積：V=-（S+VsF+5）h；

、42

⑷球體：①表面積：S=4成-；②體積：V=-加?3.

3

2.空間中平行的判定與性質(zhì)：

1）、直線和平面平行：

⑴定義：若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則直線與平面平行。

⑵判定定理：若a（za,"ua且a〃/，則a//a：若a〃尸且aua,則有a〃/。

⑶性質(zhì)定理:a〃a.且au尸,aD￡=/則a〃/.

2）、平面與平面平行的判定與性質(zhì)：

⑴定義：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)則稱兩個(gè)平面平行。

⑵判定定理：若aua,bua且aIIf3,bll/3,則all。

⑶性質(zhì)定理：若a〃尸,acy=a,〃c7=》,則有

3.空間中垂直的判定與性質(zhì):

1）、直線與平面垂直：

⑴定義：設(shè)/為平面a內(nèi)的任意一條直線，all,則a_La。

⑵判定定理：若。<=&,。(=&,?？?。=尸，且/，。,/，。，則/-L。。

⑶性質(zhì)定理：若：_La,l2±a則/J/4.

2)、平面與平面垂直：

⑴定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為90°,則稱這兩個(gè)平面互相垂直。

⑵判定定理：若/<=/?,則有/?_La。

⑶性質(zhì)定理：若e6=/，。u。且4_L/,則/_1_￡。

若口，/,6_1_7，&口/?=/則/-1-7。

六.解析幾何：

1.斜率公式：左=上"，其中勺(占,必)、P,(x2,y2).

Z-玉

直線的方向向量；=(。*)，則直線的斜率為攵=2(aw0).

a

2.直線方程的五種形式：

(1)點(diǎn)斜式：y—y=Z(x-X1)(直線/過點(diǎn)《(%,%),且斜率為左).

(2)斜截式：丁=丘+6(匕為直線/在y軸上的截距).

⑶兩點(diǎn)式：——兌二x.(i(X],y)、R(x,,%)%產(chǎn)々，了尸為).

龍2一蒼

(4)截距式：±+2=1(其中。、。分別為直線在x軸、y軸上的截距，且聲0).

ab

(5)一般式：Ax+By+C=0(其中A、B不同時(shí)為0).

3.兩條直線的位置關(guān)系：

(1)若(：y=Kx+4，4：y=，則：

①/1〃(=匕=&，仇。?/,-L/2<=>k^k2=—1.

(2)若4：48+與,+。|=0,4：A2X+B2y+C2=0,則：

①=482-4月=。且為。2-AzG工。；②4Uo44+482=0.

4.求解線性規(guī)劃問題的步驟是：

(1)列約束條件；(2)作可行域，寫目標(biāo)函數(shù)；(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

5.兩個(gè)公式：

⑴點(diǎn)P(xo.yo)到直線Ax+By+C=O的距離：入麻。+外。+C|:

⑵兩條平行線Ax+By+Ci=O與Ax+By+C2=0的距離d=W-g|

JT+F

6.圓的方程：

⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：①(x—a)2+(y-?2=/；②/+,2=/。

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=O(￡>2+E2-4F>0)

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓OA=C￥0且B=0且D2+E2-4AF>0

Jx=rcos0

⑶參數(shù)方程：（y=rsin。

7.圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法；⑵幾何法。

8.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：（主要掌握幾何法）

⑴點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（△表示點(diǎn)到圓心的距離）

①d=Ro點(diǎn)在圓上；②d<Ro點(diǎn)在圓內(nèi)；③d>Ro點(diǎn)在圓外。

⑵直線與圓的位置關(guān)系：（d表示圓心到直線的距離）

①^二/?0相切；②d<Ro相交；③d>Ru>相離。

⑶圓與圓的位置關(guān)系：（4表示圓心距，R,/?表示兩圓半徑，且R>r）

①d>/?+ro相離；②d=R+r。外切；③H—r<d<R+ro相交;

④d=R-廠o內(nèi)切；⑤0cdeR-ro內(nèi)含。

9.直線與圓相交所得弦長(zhǎng)|AB|=2J產(chǎn)一標(biāo)

10.橢圓、雙曲線、拋物線

橢圓雙曲線拋物線

定義1.到兩定點(diǎn)B,F2的距離之1.到兩定點(diǎn)Fi,F2的距離之

和為定值2a（2a>|FiF2|）的點(diǎn)差的絕對(duì)值為定值

的軌跡2a（0<2a<|FF2|）的點(diǎn)的軌跡

2.與定點(diǎn)和直線的距離之2.與定點(diǎn)和直線的距離之與定點(diǎn)和直線的距離相等的

比為定值e的點(diǎn)的軌跡.比為定值e的點(diǎn)的軌跡.點(diǎn)的軌跡.

（0<e<l）（e>l）

圖形

方標(biāo)準(zhǔn)方2222

xy,xy1

程程靛+萬(wàn)=l(a>b>0)--jy=1(a>0,b>0)y2=2px

參數(shù)方

X=汨2為參數(shù)

程

[y=2pt

范圍—a?x?a,—b?y?b|x|?a,y?Rx?0

中心原點(diǎn)0(0,0)原點(diǎn)0(0,0)

頂點(diǎn)(a,0),(-a,0),(0,b),(a,0),(—a,0)(0,0)

(0,-b)

對(duì)稱軸x軸，y軸；x軸，y軸；X軸

長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2b實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b.

焦點(diǎn)

Fi(c,0),F2(-C,0)Fi(c,0),F2(-C,0)

焦距

2cCc=yla2—b2)2c(c=V^2+b2)

離心率e=l

準(zhǔn)線2

3

x=±—

C

漸近線,b

y=±—x

a

焦半徑

通徑2p

焦參數(shù)p

七.等差、等t匕數(shù)列：

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

通項(xiàng)公

%+(n-1)d=ak+(n-k)

式

d=成+〃1-d

求和公

式

中項(xiàng)公?a+b小匹門

A-2推廣：2a.-a._w+a“+,“G?=皿。推廣：=%,又。.

式

性1

質(zhì)若m+n=p+q則am+an=ap+aq若m+n=p+q,則aman=apaq。

2

若伙“｝成等差數(shù)列（其中匕,eN）則若伏“｝成等比數(shù)列（其中￡eN）,

｛ak｝也為等差數(shù)列。貝心4｝成等比數(shù)列。

3

?%，S2“-S“，S3"—$2"成等差數(shù)列。S"，S2.一$"，$3“一$2“成等比數(shù)列。

4

qe=%,qn-"'=^-

?i%,

(mwn)

2.看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：

①%-”“I=4（〃N2,4為常數(shù)）.@2a?=all+i+a?_]（?j>2）

@a?=kn+b（〃,％為常數(shù)）.

3.看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下2種方法：

aJ

①an=a?_,<7（廉22,g為常數(shù),且H0）.②=an+]（n>2,anan+\n-\*0）°

s—a(Y\—1)

4.數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)a”的關(guān)系：an-<_z

.3〃—3〃一]yrt—>乙)

5.常用公式：①1+2+3…+〃=正創(chuàng)；②『+22+32+…〃2=鮑心竺1)；

26

③尸+23+33…〃3=④_!_=1__L；⑤_!_=1(1——!_)

[_2」.n(n+1)nn+1n(n+2)2n〃+2

八。復(fù)數(shù)

1.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(1)(a+bi)+(c+di)=(tz+c)4-(Z?+d)i;(2)｛a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i;

(4)(a+bi)+(c+di)=----+-------t(c+dzw0).

c+7c+d

2.復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式：

22

d=\zx-z2\=7(^2-%,)+(y2-^)(Z|=X|+xi,z2=x2+y2i).

3.幾個(gè)重要的結(jié)論：

(1))21+Z|2=2(|z|22-z=|z|2=|z|2；⑶(l±i)2=；⑷魯=i；*=_j；

2+\zt-z^l+|Z2|);(2)Z±2i

I—I1+z

4n+,

⑸i性質(zhì)：T=4；產(chǎn)=l,z=i,產(chǎn)+2=-l,嚴(yán)+3=T；嚴(yán)+嚴(yán)M+嚴(yán)2+產(chǎn)+3=0.

7I7I

4,模的性質(zhì)：(l)|Z1z2Hz1||z2|;⑵|-H=E；⑶|z"|=|z|『

Z

z2I2I

九。向量

運(yùn)算

幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)

類型

加1.平行四邊形法則

法2.三角形法則

減

三角形法則

法AB=-BA,OB-OA^AB

1.4。是一個(gè)向量，滿

數(shù)

足：|。H刈癡

乘

向

2.4>0時(shí),幾。與。同向；

量

2<0時(shí)，/la與〃異向；

九二0時(shí)，Aa=6.

￡?加是一個(gè)數(shù)

向

量1.￡=0或萬(wàn)=6時(shí)，

的

數(shù)。?坂=0.

量

積￡工。且坂工由寸，

2一.一一一

a4）=\a\\b\cos（a,b）

2.重要定理、公式

（1）平面向量基本定理

心，德是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)九，小

使〃=力曲+42c2.

（2）兩個(gè)向量平行的充耍條件：a//b<^b=Xa<=>x,y2-x2y1=0；

⑶兩個(gè)向量垂直的充要條件：alb（。w6）o。Ro/w+X%=。

九.不等式

1.不等式的基本性質(zhì)

（1）a>Z?oZ?<a（對(duì)稱性）；（2）a>b,b>c=>a>c（傳遞性）

（3）a>b=a+c>b+c（加法單調(diào)性）

（4）a>b,c>d=>a+c>b+d（同向不等式相加）；

（5）a>b,c<da—c>b-d（異向不等式相減）

（6）a.>b,c>0=ac>be.（7）〃:>/?,cvO=>acvbc（乘法單調(diào)性）

?

（8）a>b>U,c>d>。=ac>bd（同向不等式相乘）；

⑼a>〃>0,0<c<”nq，（異向不等式相除）

cd

（10）a>b,ab>0^-<-（倒數(shù)關(guān)系）；（11）。>力>0=>a">b〃（〃￡Z,且〃>1）（平方法則）

ab

（12）a>Z?>0n標(biāo)>揚(yáng)5",且”1）（開方法則）

2.均值不等式：4ab<（a,b>0）

,212

注意：①一正二定三相等；②變形："W（（a,bwR）。

22

3.極值定理：己知x,y都是正數(shù)，則有：

（1）如果積肛是定值p,那么當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值2，萬(wàn)；

（2）如果和x+y是定值s,那么當(dāng)x=y時(shí)積xy有最大值

十.概率和統(tǒng)計(jì):

1.概率

⑴互斥事件(有一個(gè)發(fā)生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B)；

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

⑵古典概型：P(A)=

基本事件的總數(shù)

構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積等)

(3)幾彳可概型：P(A