蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第2章圓與方程綜合拔高練含答案

綜合拔高練高考練考點1求圓的方程1.(2022全國甲文,14)設點M在直線2x+y-1=0上,點(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為.

2.(2022全國乙文,15)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為.

考點2直線與圓的位置關系3.(2023全國乙文,11)已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是()A.1+32C.1+32D.74.(多選題)(2021新高考Ⅱ,11)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,點A(a,b),則下列說法正確的是()A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切B.若點A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切5.(2022新高考Ⅱ,15)設點A(-2,3),B(0,a),若直線AB關于y=a對稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點,則a的取值范圍是.

6.(2022新高考Ⅰ,14)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程.

考點3圓的切線與弦長問題7.(2023新課標Ⅰ,6)過點(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα=()A.1B.15C.108.(2021北京,9)已知直線y=kx+m(m為常數(shù))與圓x2+y2=4交于點M,N.當k變化時,若|MN|的最小值為2,則m=()A.±1B.±2C.±3D.±29.(2023新課標Ⅱ,15)已知直線x-my+1=0與☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B兩點,寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個值10.(2022天津,12)若直線x-y+m=0(m>0)被圓(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦長等于m,則m的值為.

模擬練應用實踐1.(2023江蘇徐州期中)已知圓C:(x-3)2+(y-3)2=2和兩點A(m,0),B(0,m),若圓C上存在點P,使得PA·A.[3-2,3+C.[-4,-2]D.[2,4]2.(2024黑龍江大慶實驗中學月考)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,點P在正方形ABCD內(nèi)(包括邊界),滿足PB=2PA,則直線PC1和平面ABCD所成角的正切值的最大值是()A.33.(2024江蘇南京師范大學附屬中學期中)瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上,這條直線被稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中,△ABC滿足AB=AC=5,且B(-1,3),C(4,-2),若△ABC的歐拉線與圓M:(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,則下列結論正確的是()A.圓M上的點到直線x-y+1=0的距離的最小值為22B.圓M上的點到直線x-y+1=0的距離的最大值為42C.若點P在圓M上,則當∠PBA最小時,PB=23D.若點P在圓M上,則當∠PBA最大時,PB=294.(多選題)(2024福建莆田第五中學期中)已知圓O:x2+y2=4,過圓外一點M作圓O的兩條切線,切點分別為A,B,且直線AB恒過定點(1,-1),則()A.點M的軌跡方程為x-y+4=0B.AB的最小值為23C.圓O上的點到直線AB的距離的最大值為2+2D.∠AMB≤90°5.(2024安徽黃山模擬)如圖所示的是世界名畫《蒙娜麗莎》.假設蒙娜麗莎微笑時的嘴唇可看作半徑為1的圓O的一段圓弧E,且弧E所對的圓周角為2π5.設圓C的圓心在點O與弧E中點的連線所在直線上,且弧E上存在四點滿足過這四點作圓O的切線,這四條切線與圓C也相切,則弧E上的點與圓C上的點之間的最短距離的取值范圍為注:cos2πA.(0,5?1]B.(0,5]C.(0,6.(多選題)(2023河北石家莊期末)平面直角坐標系中,曲線C:x2+y2=|x|+|y|(x,y不同時為0)是一條形狀優(yōu)美的曲線,對于此曲線,給出如下結論,其中正確的有()A.曲線C圍成的圖形的面積是2+πB.曲線C圍成的圖形的周長是22πC.曲線C上的任意兩點間的距離不超過2D.若E(x0,y0)是曲線C上的任意一點,則|3x0+4y0-12|的最小值是17-57.(2024江蘇常州聯(lián)盟學校調(diào)研)已知曲線C:y-2=4-(x-2)8.(2023湖北部分重點學校期中)一束光線從點A(-4,0)處出發(fā),經(jīng)直線x+y-1=0上的點P反射到圓C:x2+(y+2)2=2上的點B,當光線經(jīng)過的路徑最短時,反射光線所在直線的方程為,最短路徑的長度為.

9.(2023湖南長沙實驗中學模擬)已知平面上兩定點A、B,則所有滿足PAPB=λ(λ>0且λ≠1)的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上,半徑為λ1-λ2·AB的圓.這個軌跡最先是由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的,故稱為阿氏圓.已知棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D10.(2023江蘇常州十校聯(lián)考)已知圓C經(jīng)過A(0,1),B(4,a)(a>0)兩點.(1)當a=1時,圓C與x軸相切,求此時圓C的方程;(2)如果AB是圓C的直徑,證明:無論a取何正實數(shù),圓C經(jīng)過除A外的另一個定點,并求出這個定點坐標;(3)已知點A關于直線y=x-3的對稱點A'也在圓C上,且過點B的直線l分別與x軸,y軸交于點M和N,當圓C的面積最小時,試求BM·BN的最小值.遷移創(chuàng)新11.某建筑物內(nèi)一個水平直角型過道如圖所示.兩過道的寬度均為3m,有一個水平截面為矩形的設備需要水平移進直角型過道.若該設備水平截面矩形的寬為1m,長為7m,試問:該設備能否水平移進直角型過道?

答案與分層梯度式解析綜合拔高練高考練1.答案(x-1)2+(y+1)2=5解析解法一:由點M在直線2x+y-1=0上,可設M(a,1-2a),因為點(3,0)和點(0,1)均在☉M上,所以(a解得a=1,則☉M的圓心為M(1,-1),半徑為(1-0)故☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.解法二:設A(3,0),B(0,1),由題可知點M是線段AB的垂直平分線與直線2x+y-1=0的交點.易知AB的方程為x3+y1=1,即x+3y-3=0,故線段AB的垂直平分線的斜率為3,又AB的中點坐標為32,12,所以AB的垂直平分線的方程為y=3x-4,與2x+y-1=0聯(lián)立,得M(1,-1),又半徑R=2.答案(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x-解析解法一:依題意設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).若圓過(0,0),(4,0),(-1,1),則F此時圓的方程為x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.若圓過(0,0),(4,0),(4,2),則F此時圓的方程為x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.若圓過(0,0),(4,2),(-1,1),則F此時圓的方程為x2+y2-83即x-若圓過(-1,1),(4,0),(4,2),則1+1-此時圓的方程為x2+y2-165即x-解法二:若圓過(0,0),(4,0),(-1,1),根據(jù)圓的幾何性質(zhì)知圓心在弦的中垂線上,設A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂線方程為x=2,AC的中垂線方程為y=x+1.聯(lián)立x=2,此時圓的半徑r=4+9=所以圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=13.同理,其他三種情況下圓的方程分別為(x-2)2+(y-1)2=5,x-3.C解法一:將x2+y2-4x-2y-4=0化為(x-2)2+(y-1)2=9,表示以(2,1)為圓心,3為半徑的圓,令x-y=t,即x-y-t=0,由題可知直線x-y-t=0和圓(x-2)2+(y-1)2=9有公共點,所以|2-1-t|2≤3,即|t-1|≤解得1-32≤t≤1+32.所以x-y的最大值為1+32.故選C.解法二:將x2+y2-4x-2y-4=0化為(x-2)2+(y-1)2=9,令x=3cosθ+2,y=3sinθ+1,其中θ∈[0,2π),則x-y=3cosθ-3sinθ+1=32cos因為θ∈[0,2π),所以θ+π4∈π4,9π教材溯源高考注重對基礎方法的考查,解析法是連接幾何與代數(shù)的基本方法,可以將有限制條件的二元二次方程、二元一次方程與圓、直線建立聯(lián)系,也可以將二元一次方程中的參數(shù)與截距、斜率等建立聯(lián)系,對比教材中的練習題可以發(fā)現(xiàn),本題可以轉(zhuǎn)化為直線與圓位置關系的問題,最大值是直線與圓相切時直線的橫截距;也可以通過設出圓的參數(shù)方程,利用三角函數(shù)知識求解,在教材中圓的方程課后題中也有相關證明.4.ABD圓心C(0,0)到直線l:ax+by-r2=0的距離d=r2若點A(a,b)在圓C上,則a2+b2=r2,所以d=r2a2+若點A(a,b)在圓C內(nèi),則a2+b2<r2,所以d=r2a2+若點A(a,b)在圓C外,則a2+b2>r2,所以d=r2若點A(a,b)在直線l上,則a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d=r2a2+故選ABD.5.答案1解析由題易知kAB=a-32,所以直線AB關于直線y=a對稱的直線方程為y-a=-a-32x,即(3-a)x-2y+2a=0,由題意可得圓心(-3,-2)到該直線的距離小于或等于半徑,所以|3(a-3)+4+2a|(-2)2+(3-a)6.答案x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(寫出一個即可)解析解法一:顯然直線的斜率不為0,不妨設直線方程為x+by+c=0,于是|c故c2=1+b2①,|3+4b+c|=|4c|,則3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c,結合①解得b所以直線有三條,分別為x+1=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0.(填一條即可)解法二:設圓(x-3)2+(y-4)2=16的圓心為O1,如圖所示,顯然兩圓外切,由圖可知l1:x=-1與兩圓均外切.易知直線OO1的方程為y=43x,設直線OO1與l1的交點為P,∴P-1,-易知過點P的兩圓的公切線l2的斜率存在,設為k,則切線l2的方程為y=k(x+1)-43,即kx-y+k-4易知點O(0,0)到切線l2的距離為1,∴k-43k2設兩圓相切于點M,垂直于直線OO1的切線l3的方程為y=-34易知點O(0,0)到切線l3的距離為1,∴|-4n易知n>0,∴切線l3的方程為y=-34∴與兩圓都相切的直線方程為x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.小題速解本題是填空題,要求寫出一條切線方程,只要把兩圓在坐標系中畫出來就能觀察出直線x=-1滿足,所以標準畫圖也很關鍵,要做到草圖不草.7.B解法一:由x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,可得圓心為(2,0),半徑r=5,設C(2,0),P(0,-2),切點分別為A,B,則PC=22+2可得sin∠APC=522=104則sinα=sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2×104解法二:由解法一知PC=22,PA=易得PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=CA2+CB2-2CA·CBcos∠ACB,又∠ACB=π-∠APB,所以3+3-6cos∠APB=5+5-10·cos(π-∠APB),解得cos∠APB=-14所以sinα=sin∠APB=1-co解法三:圓x2+y2-4x-1=0的圓心為(2,0),半徑r=5,設C(2,0),易知切線斜率存在,設其方程為y=kx-2,即kx-y-2=0,則|2k-2|k則Δ=64-4=60>0.設兩切線斜率分別為k1,k2,則k1+k2=-8,k1k2=1,可得|k1-k2|=(k所以|tanα|=k1-k21+k1可得sinα=154.故選B8.C圓x2+y2=4的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線y=kx+m的距離d=|m|k則當k=0時,弦長取得最小值,所以24-m2=2,解得m=±3.故選9.答案2,-2,12解析依題意可得圓C的圓心為C(1,0),半徑r=2,則圓心C(1,0)到直線x-my+1=0的距離d=21+m2所以S△ABC=12·d·AB=4|m|1+m10.答案2解析圓心(1,1)到直線x-y+m=0的距離為m2,則m模擬練1.D由已知得圓C的圓心為C(3,3),半徑為2,設P(a,b),因為PA·PB=0,所以PA·PB=-a(m-a)-b(m-b)=0,即a2+b又點P(a,b)在圓C上,所以(a-3)2+(b-3)2=2②,若m=6,則a2+b2=6(a+b),即(a-3)2+(b-3)2=18,不合題意,所以m≠6,由①②可得a+b=166-令a+b=z,由圓C和直線a+b=z總有公共點,可得|3+3-z|2≤2即4≤166-m≤8,解得2≤m≤4.故選2.C如圖1,連接PC,則C1在底面ABCD內(nèi)的投影為C,故直線PC1和平面ABCD所成的角為∠C1PC,且tan∠C1PC=CC在底面ABCD內(nèi),以A為原點,AB,AD所在直線分別為x,y軸建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(3,0),C(3,3),設P(x,y),因為PB=2PA,所以(x-3)2+即P在以(-1,0)為圓心,2為半徑的圓被正方形ABCD所截得的一段弧ST上,設H(-1,0),如圖2,則PC的最小值為點C與圓心H之間的距離減去半徑,即(PC)min=CH-2=5-2=3,故(tan∠C1PC)max=33=1.故選C圖1圖23.C由題意可得△ABC的歐拉線為BC的中垂線,易得BC的中點為32,12,且k∴線段BC的中垂線方程為y-12∴△ABC的歐拉線方程為x-y-1=0,設為l.∵直線l與圓M相切,∴圓心M(3,0)到直線l的距離d=r=|3-1|2∴圓M的方程為(x-3)2+y2=2,則圓心M到直線x-y+1=0的距離為|3-0+1|1+1∴圓M上的點到直線x-y+1=0的距離的最小值為22?2=由AB=AC=5,可得A在直線l:x-y-1=0上,設A(x,y),則AB2=(x+1)2+(y-3)2=25,由x-y-1=0,(x+1)所以點A在圓M:(x-3)2+y2=2外,當點P在圓M上時,無論∠PBA最大還是最小,直線PB均與圓M相切,又BM=42+(-3)2=5,所以PB=25-2=23,故4.CD設M(x0,y0),易得直線AB的方程為x0x+y0y=4,因為直線AB恒過定點(1,-1),所以x0-y0=4,所以M的軌跡方程為x-y-4=0,A錯誤.設D(1,-1),易知當OD⊥AB時,AB的值最小,又OD=1+1=2,所以(AB)min=2因為直線AB恒過定點D(1,-1),所以圓O上的點到直線AB的距離的最大值為OD+2=2+2,C正確.易得圓心O到直線x-y-4=0的距離為22,記l:x-y-4=0,如圖,當M運動到OM⊥l時,sin∠AMO=222=22當M位于直線l其他位置時,OM>22,sin∠AMO=2OM<22,綜上,∠AMB≤90°,D正確.故選CD.5.D如圖,設弧E的中點為M,由弧E所對的圓周角為2π5,得其所對的圓心角為圓O的半徑為OM=1,在弧E上取兩點A、B,則∠AOB≤4π分別過點A、B作圓O的切線,并交直線OM于點D,當過點A、B的切線剛好是圓O與圓C的外公切線時,劣弧AB上一定還存在點S、T,使過點S、T的切線為兩圓的內(nèi)公切線,則圓C的圓心只能在線段MD上,且不包括端點,過點C分別向AD、BD作垂線,垂足分別為R、P,則CR即為圓C的半徑,此時圓O與圓C均滿足題意,弧E上存在四點A、B、S、T,過這四點作圓O的切線,這四條切線與圓C也相切.設線段OC交圓C于點N,則弧E上的點與圓C上的點之間的最短距離即為線段MN的長.在Rt△AOD中,OD=OAcos∠AOD=OA即弧E上的點與圓C上的點之間的最短距離MN的取值范圍為(0,5).故選D.6.ABD在曲線C上任取一點P(m,n),則m2+n2=|m|+|n|,點P(m,n)關于y軸對稱的點為(-m,n),設為P1,則(-m)2+n2=m2+n2=|m|+|n|=|-m|+|n|,即點P1(-m,n)在曲線C上,故曲線C關于y軸對稱;點P(m,n)關于x軸對稱的點為(m,-n),設為P2,則m2+(-n)2=m2+n2=|m|+|n|=|m|+|-n|,即點P2(m,-n)在曲線C上,故曲線C關于x軸對稱;同理可得點P關于原點對稱,故曲線C關于坐標軸和原點對稱.對于方程x2+y2=|x|+|y|,令y=0,則x2=|x|,解得x=0(舍去)或x=±1,即曲線C與x軸的交點坐標為(1,0),(-1,0),同理可得,曲線C與y軸的交點坐標為(0,1),(0,-1),設A(1,0),B(0,1),當x≥0,y≥0且x,y不同時為0時,x2+y2=|x|+|y|=x+y,整理得x-122+y-由對稱性可得曲線C由四個半圓構成,如圖.對于A,曲線C圍成的圖形的面積S=4×12×1×1+12對于B,曲線C圍成的圖形的周長L=4×12×2π×22對于C,聯(lián)立x解得x即曲線C與直線y=x在第一象限內(nèi)的交點(設為M)坐標為(1,1),由對稱可知曲線C與直線y=x在第三象限內(nèi)的交點(設為N)坐標為(-1,-1),則MN=(1+1)對于D,|3x0+4y0-12|32+易得點12,12到直線3x+4y-12=0的距離d則點E(x0,y0)到直線3x+4y-12=0的距離d≥d1-22∴|3x0+4y0-12|=5d≥17-522,故|3x0+4y0-12|的最小值是17-522,D正確方法總結(1)通過方程研究曲線的對稱性時,往往通過點的對稱判斷曲線的對稱性;(2)研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離與半徑進行比較,兩個圓的位置關系往往通過兩圓圓心距離與兩半徑的差與和進行比較.7.答案[2-2,解析對y-2=4-(x-2)2進行變形,可得(x-2)2+(y-2)在曲線C中,令y=2,得x=0或x=4,將(0,2)代入直線l的方程,得a=2,將(4,2)代入直線l的方程得a=-2,當l與曲線C相切時,|2-2+a|2所以當-2≤a<2或a=22時,直線l與曲線C有一個公共點;當2≤a<22時,l與曲線C有兩個公共點.記a=22時直線為l1,a=2時直線為l2,當l與l1之間的距離為1時,|a-22|2又點(4,2)到直線x-y+2=0的距離d1=|4-2+2|2=2當l與l2之間的距離為1時,|a-2|2=1,解得a=2又點(4,2)到直線x-y+2-2=0的距離d2=|4-2+2-2|2=22∴2-2≤a<2.8.答案y=7x-2;42解析由圓C:x2+(y+2)2=2,可得圓心坐標為C(0,-2),半徑為2,如圖所示,設點A(-4,0)關于直線x+y-1=0對稱的點為A'(a,b),可得a解得a=1,b=5,即A'(1,5),根據(jù)題意和圓的性質(zhì),可得AP+PB=A'P+PB=A'P+PC-2≥A'C-2,此為最短路徑的長度,又kA'C=-2-50-1即反射光線所在直線的方程為y=7x-2.又A'C=(-2-5)2+(0-1)29.答案43解析在平面ABCD內(nèi),以B為原點建立平面直角坐標系xBy,如圖1,2.設阿氏圓的圓心為O(a,0),半徑為r,因為PA=2PB,所以PAPB=2,所以r=21-22設圓O與AB交于點M,由阿氏圓的性質(zhì)知MAMB又MB=2-BO=2-a,所以MA=2MB=4-2a,又MA+MB=3,所以4-2a+2-a=3,解得a=1,所以O(1,0),所以點P在空間內(nèi)的軌跡為以O為球心,2為半徑的球面,當點P在平面ABB1A1內(nèi)時,如圖2所示,設圓與BB1交于點R,則點P在平面ABB1A1內(nèi)的軌跡為MR,因為在Rt△RBO中,RO=2,BO=1,所以∠ROB=π3所以MR的長為π3×2=2π3同理,點P在平面ABCD內(nèi)的軌跡的長為2π當點P在平面BCC1B1內(nèi)時,如圖3所示,易知OB⊥平面BCC1B1,所以平面BCC1B1截球面所得曲線是以B為圓心,BP的長為半徑的圓弧,設截面圓與BC交于點Q,且BP=OP所以點P在平面BCC1