蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第5章導數(shù)及其應用5-3-3最大值與最小值課件

5.3.3

最大值與最小值知識點

求函數(shù)的最大值與最小值的步驟求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值可以分為兩步:第一步:求f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;第二步:將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較,得到f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值.注意:函數(shù)的最大(小)值是相對于函數(shù)定義域整體而言的,如果存在最大(小)值,那么最大(小)

值唯一.知識辨析1.函數(shù)的最值一定是函數(shù)的極值嗎?2.開區(qū)間上的單調連續(xù)函數(shù)有最值嗎?3.若連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內存在唯一的極值,則這個極值也一定是函數(shù)在區(qū)間內的最值,對嗎?一語破的1.不一定.函數(shù)的最值是通過比較函數(shù)的端點值和極值得到的,若最值不是端點值,則一定是

極值.2.沒有.因為函數(shù)是單調函數(shù),所以在區(qū)間端點取得最大、最小值,而開區(qū)間的區(qū)間端點無法

取到,所以無最值.3.對.若是唯一的極大值,極值點左側是單調遞增區(qū)間,極值點右側是單調遞減區(qū)間,則極大值

一定是區(qū)間內的最大值;若是唯一的極小值,極值點左側是單調遞減區(qū)間,極值點右側是單調

遞增區(qū)間,極小值一定是區(qū)間內的最小值,開閉區(qū)間都一樣.有關含參函數(shù)的最大(小)值問題,一般有兩類:一類是求含參函數(shù)的最大(小)值,對于此類問題,由于參數(shù)的取值范圍不同可能會導致函數(shù)的

單調性變化,從而導致最大(小)值變化,所以解決此類問題常常需要分類討論,在分類討論得

到函數(shù)的單調性和極值之后,討論極值與區(qū)間端點值的大小得到最值.另一類是由最大(小)值求參數(shù)的值或取值范圍,此類問題是根據(jù)導數(shù)求函數(shù)最值問題的逆向

運用,求解此類問題的步驟:(1)求導數(shù)f'(x),并求極值;(2)利用單調性,將極值與端點處的函數(shù)值進行比較,確定函數(shù)的最值,若參數(shù)的變化影響著函

數(shù)的單調性,則要對參數(shù)進行分類討論;(3)利用最值列出關于參數(shù)的方程(組),求解即可.定點1利用導數(shù)解決含參函數(shù)的最值問題關鍵能力定點破典例1已知函數(shù)f(x)=ax-lnx(a∈R),求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[e,e2]上的最小值.解析

f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=a-

=

.當a≤0時,f'(x)<0,f(x)在[e,e2]上單調遞減,∴f(x)在[e,e2]上的最小值為f(e2)=ae2-2.當a>0時,令f'(x)=0,得x=

,則f(x)在

上單調遞減,在

上單調遞增.①當

≤e,即a≥

時,f(x)在[e,e2]上單調遞增,∴f(x)在[e,e2]上的最小值為f(e)=ae-1;②當e<

<e2,即

<a<

時,f(x)在

上單調遞減,在

上單調遞增,∴f(x)在[e,e2]上的最小值為f

=1+lna;③當

≥e2,即0<a≤

時,f(x)在[e,e2]上單調遞減,∴f(x)在[e,e2]上的最小值為f(e2)=ae2-2.綜上所述,當a≤

時,f(x)在[e,e2]上的最小值為f(e2)=ae2-2;當

<a<

時,f(x)在[e,e2]上的最小值為f

=1+lna;當a≥

時,f(x)在[e,e2]上的最小值為f(e)=ae-1.典例2已知f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在實數(shù)a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?若存在,

求出a,b的值;若不存在,請說明理由.解析

由題設知a≠0.易得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,得x=0或x=4(舍去).①當a>0時,x,f'(x),f(x)的變化情況如表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)

+0-

f(x)-7a+b↗b↘-16a+b由表可知,當x=0時,f(x)取得極大值,也就是函數(shù)f(x)在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=3,即b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1),∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.②當a<0時,同理可得,當x=0時,f(x)取得極小值,也就是函數(shù)f(x)在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=-29,即b=-29.又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),∴f(2)=-16a-29=3,∴a=-2.綜上可得,存在實數(shù)a=2,b=3或a=-2,b=-29滿足題意.1.利用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的最大(小)值,可以處理有關函數(shù)圖象、不等式等綜合問題,特別是

有關不等式的恒成立問題.2.處理不等式恒成立問題的方法(1)取主元(給定范圍內任意取值的變量),結合參數(shù)分類,利用最大(小)值或數(shù)形結合解決有關

不等式的恒成立問題.(2)將主元與參數(shù)分離,將不等式恒成立問題轉化為最大(小)值問題來解決.在定義域內,對于任意的x,都有f(x)≥a成立,可轉化為f(x)min≥a;對于任意的x,都有f(x)≤a成立,

可轉化為f(x)max≤a.3.證明不等式問題,可以將不等式問題轉化為最大(小)值問題,利用函數(shù)的最大(小)值加以證明.定點2利用導數(shù)解決與函數(shù)最值有關的不等式恒成立問題典例已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;(2)若?x∈(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)設n∈N*,證明:

+

+

+…+

<

.思路點撥

(1)易得f'(x)=ex-a,再分a≤0和a>0兩種情況研究f(x)的單調性.(2)參變分離,轉化為a<

-1,x∈(0,2]恒成立,構造函數(shù)g(x)=

-1,x∈(0,2],進而轉化為求g(x)的最小值.(3)由(1)知x+1≤ex,通過換元得

<

,即

<ek-n=

,利用放縮法證明不等式.解析

(1)易得函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=ex-a.①當a≤0時,f'(x)>0恒成立,函數(shù)f(x)在R上單調遞增;②當a>0時,令f'(x)>0,得x>lna,令f'(x)<0,得x<lna,所以f(x)在(-∞,lna)上單調遞減,在(lna,+∞)上單調遞增.(2)?x∈(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立,即不等式(a+1)x<ex在x∈(0,2]上恒成立,即當x∈(0,2]時,a<

-1恒成立.令g(x)=

-1(x∈(0,2]),則g'(x)=

.令g'(x)>0,得1<x≤2,令g'(x)<0,得0<x<1,所以g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,2]上單調遞增.所以當x=1時,g(x)取得極小值,也是最小值,為e-1.所以實數(shù)a的取值范圍是(-∞,e-1).(3)證明:當a=1時,由(1)可知對任意實數(shù)x都有ex-x-1≥f(0)=0,即x+1≤ex(當且僅當x=0時,等號成立).令x+1=

(k=1,2,3,…,n),則

<

,即

<ek-n=

,故

+

+

+…+

<

(e1+e2+e3+…+en)=

<

.規(guī)律總結

應用導數(shù)進行證明時常用的不等式:①lnx≤x-1(x>0);②

≤ln(x+1)≤x(x>-1);③ex≥1+x;④e-x≥1-x;⑤

<

(x>1);⑥

<

-

(x>0).1.實際生活中經常遇到利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題.

導數(shù)是解決生活中優(yōu)化問題的有力工具.利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的步驟如下:

定點3利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題2.解決優(yōu)化問題時應注意的問題(1)列函數(shù)關系式時,要注意實際問題中變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域.(2)一般地,可通過求函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值.如果函數(shù)f(x)在給定區(qū)間內只有一個極值

點或函數(shù)f(x)在開區(qū)間上只有一個點使f'(x)=0,則只需根據(jù)實際意義判斷該值是最大值還是

最小值即可,不必再與端點處的函數(shù)值進行比較.典例某企業(yè)研發(fā)出一款新產品,計劃生產投入市場.已知該產品的固定研發(fā)成本為180萬元,

此外,每生產一臺該產品需另投入450元.設該企業(yè)一年內生產該產品x(0<x≤50)萬臺,每萬臺

產品的銷售收入為I(x)萬元,且I(x)=

(1)寫出年利潤P(x)(單位:萬元)關于年產量x(單位:萬臺)的函數(shù)關系式;(利潤=銷售收入-固定

研發(fā)成本-產品生產成本)(2)當年產量為多少萬臺時,該企業(yè)的獲利最大?并求出此時的最大利潤.解析

(1)當0<x≤2時,P(x)=x[2(x-1)·ex-2+2]-(180+450x)=2x(x-1)ex-2-448x-180,當2<x≤50時,P(x)=x

-(180+450x)=440x+3050-

-180-450x=-10x-

+2870,所以P(x)=

(2)當0<x≤2時,I(x)=2(x-1)ex-2+2,令t=x-2,則t∈(-2,0],I(x)=2(x-1)ex-2+2轉化為φ(t)=2(t+1)et+2,則φ'(t)=2(t+2)et,當t∈(-2,0]時,φ'(t)>0,φ(t)在(-2,0]上單調遞增,所以φ(t)的最大值為φ(0)=4,即當x=2時,I(x)取得最大值4萬元,此時銷售收入遠小于投入,企業(yè)虧損,所以最大獲利一定在2<x≤50時取得,此時P(x)=-10x-

+2870=-

+2870≤-2

+2870=-600+2870=2270,當且僅當10x=

,即x=30(負值舍去)時等號成立,此時P(x)取得最大值,且最大值為2270萬元,所以當年產量為30萬臺時,該企業(yè)獲利最大,最大利潤為2270萬元.素養(yǎng)解讀高考對導數(shù)的綜合應用的考查通常難度較大,常考題型一般有三種:不等式恒成立問

題、不等式證明問題、函數(shù)的零點問題.這些問題雖然形式不同,但實質是一樣的,主要考查

函數(shù)的單調性、極值、最值等,利用導數(shù)解決此類問題,可以把函數(shù)、導函數(shù)或者二階導函

數(shù)的圖象大致描述出來,利用圖象描述和分析數(shù)學問題,建立數(shù)和形的聯(lián)系,培養(yǎng)直觀想象的

核心素養(yǎng),這類問題的計算量比較大,在計算時要注意運算技巧的應用,在運算過程中培養(yǎng)學

生數(shù)學運算的核心素養(yǎng),同學們在課下要注意題型歸納、方法總結以及易錯、易混淆問題的

梳理等.素養(yǎng)

在導數(shù)的綜合應用問題中培養(yǎng)學生直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)在導數(shù)的綜合應用問題中培養(yǎng)學生直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)學科素養(yǎng)情境破例題已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).(1)當a=1時,討論f(x)的單調性;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.典例呈現(xiàn)主編點評

本題考查的是函數(shù)的零點問題,可轉化為相應方程有兩個不同的實數(shù)根,利用數(shù)

形結合思想進一步轉化為兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題,畫函數(shù)圖象時需要利用導數(shù)研究函數(shù)

的單調性,判斷圖象的大致趨勢,此外,一些常見函數(shù)的求導公式要牢固掌握,這是解題的基礎,

計算要認真、準確.解題思路

(1)當a=1時,f(x)=ex-(x+2),則f'(x)=ex-1,