湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第1章數(shù)列１-１數(shù)列的概念練習(xí)含答案

第1章數(shù)列1.1數(shù)列的概念基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一對(duì)數(shù)列相關(guān)概念的理解1.(多選)下面四個(gè)結(jié)論正確的是()A.數(shù)列1,2,3,4和數(shù)列1,3,4,2是相同的數(shù)列B.數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函數(shù)C.數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)D.數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的2.下列數(shù)列中,既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()A.1,13,132,B.sinπ13,sin2π13,sin3π13C.-1,-12,-13,-1D.1,2,3,4,…,303.(2022遼寧阜新期末)寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件的數(shù)列{an}:①無(wú)窮數(shù)列;②遞減數(shù)列;③每一項(xiàng)都是正數(shù),則an=.

題組二數(shù)列的通項(xiàng)公式4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+(-1)n+12,n∈N+,A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.12,0,15.(2022北京師大附中期中)數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=()A.19(10n-1)B.13(10C.131-1106.(2020山東臨沂臨沭第一中學(xué)開(kāi)學(xué)考試)下圖是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖,圖中的“小黑點(diǎn)”表示原子,兩點(diǎn)間的“短線”表示化學(xué)鍵,按圖中結(jié)構(gòu),第n個(gè)圖中化學(xué)鍵的個(gè)數(shù)為()A.6nB.5n+1C.5n-1D.4n+27.(2022安徽屯溪一中期中)已知數(shù)列1,12,21,13,22,31,14,23,32,A.第29項(xiàng)B.第30項(xiàng)C.第36項(xiàng)D.第37項(xiàng)題組三數(shù)列的遞推公式8.(2022湖北荊州沙市中學(xué)期末)數(shù)列{an}中,a1=1,對(duì)所有的n≥2,n∈N+,都有a1·a2·a3·…·an=n2,則a3+a5等于()A.259B.2516C.619.(2022山東濟(jì)寧鄒城期中)九連環(huán)是我國(guó)古代至今廣為流傳的一種益智游戲,它由九個(gè)鐵絲圓環(huán)相連成串,按一定規(guī)則移動(dòng)圓環(huán)的次數(shù),決定解開(kāi)圓環(huán)的個(gè)數(shù).在某種玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N+)個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)的次數(shù),數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1=2an-1,nA.7B.10C.16D.3110.(2022安徽宿州期中)分形幾何學(xué)是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家伯努瓦·B·曼德?tīng)柌剂_特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科,它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.下圖是按照,的分形規(guī)律生長(zhǎng)成的一個(gè)樹(shù)形圖,則第10行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.89B.55C.34D.14411.數(shù)列{an}滿足an+1=11-an,a8=2,則a1題組四數(shù)列的單調(diào)性12.(2022天津?qū)氎嫫谥?已知數(shù)列{an}滿足an=13-an+2,n>8,an-7,n≤8,n∈N+,A.0,13B.0,1213.(2021江西南昌四校聯(lián)盟聯(lián)考)已知an=n-122n-123(n∈N+),則在數(shù)列{an}的前A.a1,a30B.a1,a9C.a10,a9D.a12,a1114.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=nn2+130(n∈N+),且數(shù)列{an}從第n項(xiàng)起單調(diào)遞減,則A.11B.12C.13D.不存在15.(2022四川射洪中學(xué)期中)若an=2n2+λn+3(其中λ為實(shí)常數(shù)),n∈N+,且數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.

16.已知an=9n(n+1)10n(n∈N+),則數(shù)列{an}中有沒(méi)有最大項(xiàng)?如果有能力提升練題組一數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用1.大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程中曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和,是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則此數(shù)列的第20項(xiàng)與第21項(xiàng)的和為()A.380B.410C.420D.4622.設(shè)an=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n(n∈NA.12n+1C.12n+1+123.(多選)(2021河南八市重點(diǎn)高中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)依次為2,0,2,0,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以為()A.an=2,n為奇數(shù)0,nC.an=2sinnπ2D.a4.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,圖(1)、(2)、(3)、(4)為最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案,這些圖案都由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖案包含f(n)個(gè)小正方形,則f(6)=.

5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=9n(1)判斷98101是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)(2)試判斷數(shù)列{an}中的各項(xiàng)是否都在區(qū)間(0,1)內(nèi);(3)試判斷在區(qū)間13,23內(nèi)是否有數(shù)列{an}中的項(xiàng).若有,是第幾項(xiàng)?題組二數(shù)列的遞推公式及其應(yīng)用6.(2022浙江金華期末)在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,a3n+2=an+2,a3n+1=a3n=an,則a2021=()A.7B.8C.9D.107.雪花曲線因其形狀類似雪花而得名,它的產(chǎn)生與雪花類似,由等邊三角形開(kāi)始,把三角形的每一條邊三等分,并以每一條邊三等分后的中段為邊,向外作新的等邊三角形,但要去掉與原三角形疊合的邊,接著對(duì)每一個(gè)等邊三角形“尖出”的部分繼續(xù)上述過(guò)程,即以每條邊三等分后的中段為邊向外作新的等邊三角形[圖(2)、(3)、(4)是等邊三角形(1)經(jīng)過(guò)第一次、第二次、第三次變化所得的雪花曲線].若按照上述規(guī)律,一個(gè)邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,經(jīng)過(guò)四次變化得到的雪花曲線的周長(zhǎng)是()A.1433B.C.2569D.8.(2022山東濟(jì)南實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想,角谷猜想就是其中之一,一般指冰雹猜想,它是指一個(gè)正整數(shù),如果是奇數(shù)就乘3再加1,如果是偶數(shù)就除以2,這樣經(jīng)過(guò)若干次數(shù),最終回到1.對(duì)任意正整數(shù)a0,記按照上述規(guī)則實(shí)施第n次運(yùn)算的結(jié)果為an(n∈N),則使a7=1的a0的所有可能取值的個(gè)數(shù)為()A.3B.4C.5D.6題組三數(shù)列的單調(diào)性9.(2020浙江浙南名校聯(lián)盟期中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}對(duì)任意的n∈N+都有an+1<an+an+22,且a1+a2+A.數(shù)列{an+1-an}為單調(diào)遞減數(shù)列,且a5>1B.數(shù)列{an+1-an}為單調(diào)遞增數(shù)列,且a5>1C.數(shù)列{an+1-an}為單調(diào)遞減數(shù)列,且a5<1D.數(shù)列{an+1-an}為單調(diào)遞增數(shù)列,且a5<110.(2022北京四中期中)已知數(shù)列{an}滿足?m,n∈N+,am+n=am·an,且a1=23.(1)a4=;

(2)數(shù)列{n2·an}的最大項(xiàng)為第項(xiàng).

11.已知數(shù)列{an}滿足an=1+1a+2(n-1)(n∈N+,a∈R(1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值;(2)若對(duì)任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.答案與分層梯度式解析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.BC2.C3.答案1n2(4.A解法一:由an=1+(-1)n+12,n∈N+,可得a1=1,a2=0,a3=1,a解法二:因?yàn)楫?dāng)n∈N+且n為奇數(shù)時(shí),1+(-1)n+1=2,當(dāng)n∈N+且n為偶數(shù)時(shí),1+(-1)n+1=0,所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)的值為1,偶數(shù)項(xiàng)的值為0,故該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為1,0,1,0.5.C數(shù)列9,99,999,9999,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是bn=10n-1,則數(shù)列0.9,0.99,0.999,0.9999,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是cn=110n×(10n-1)=1-110n,則數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是a6.B題圖中化學(xué)鍵的個(gè)數(shù)依次為6,11,16,…,后一個(gè)圖中的化學(xué)鍵的個(gè)數(shù)總比前一個(gè)圖中的化學(xué)鍵的個(gè)數(shù)多5,則第n個(gè)圖中有(5n+1)個(gè)化學(xué)鍵.故選B.7.A數(shù)列中分母與分子之和為2的有一個(gè),為3的有兩個(gè),為4的有三個(gè),……,故18出現(xiàn)在和為9的那組,即第八組,且為該組的第一個(gè)數(shù),前七組共有1+2+3+…+7=28個(gè)數(shù),故18是第29個(gè)數(shù),即第29項(xiàng).故選8.C當(dāng)n=2時(shí),a1a2=22;當(dāng)n=3時(shí),a1a2a3=32;當(dāng)n=4時(shí),a1a2a3a4=42;當(dāng)n=5時(shí),a1a2a3a4a5=52,則a3=a1a2a3a1a2=3222=94,a5=a1a9.C由題意知a5=2a4+2=2(2a3-1)+2=4(2a2+2)=8(2a1-1)+8=16a1=16.故選C.10.C設(shè)第n行實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為an,由題圖可得,a1=0,a2=1,a3=1,a4=2,a5=3,a6=5,……,則an=an-2+an-1(n≥3),故a7=a5+a6=8,a8=a6+a7=13,a9=a7+a8=21,a10=a8+a9=34.故選C.11.答案1解析由已知得an+1=11-an=11-11-an-1=1-1an-1=1-111-an-2=an-2,所以a812.C由題意可得0<a<1,13.Dan=n-122n-123=1+123-122n-123,當(dāng)n≤11時(shí),數(shù)列{an}遞減,且an<1;當(dāng)n≥12時(shí),數(shù)列{an}遞減,且an14.A解法一:∵an=nn2+130,∴an+1∴an+1-an=n+1n=-n由數(shù)列{an}從第n項(xiàng)起單調(diào)遞減可得an+1-an<0,即-n2-n+130<0,n∈N+,解得n>521-12或n<-1-521∵22<521<23,∴10.5<521-1∴n≥11,∴a11>a12>a13>…,即從第11項(xiàng)起,{an}單調(diào)遞減,∴n的最小值為11.解法二:設(shè)f(x)=xx則f(x)=1x+130x,x+130x≥2130,當(dāng)且僅當(dāng)x=130時(shí)等號(hào)成立,則當(dāng)x=130時(shí),x+130x取得最小值,此時(shí)f(x)取得最大值,又∵11<130<12,a11=11112+130>a12=12122+13015.答案(-6,+∞)解析若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,則an+1>an,即2(n+1)2+λ(n+1)+3>2n2+λn+3,整理得λ>-(4n+2),∵n≥1,∴-(4n+2)≤-6,故λ>-6.16.解析解法一:由an=9n(n+1)10n(n∈N+)得,an+1-an=9n+1當(dāng)n<8時(shí),an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8時(shí)單調(diào)遞增;當(dāng)n=8時(shí),an+1-an=0,即an+1=an,即a8=a9;當(dāng)n>8時(shí),an+1-an<0,即an+1<an,即{an}在n>8時(shí)單調(diào)遞減.所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是第8項(xiàng)或第9項(xiàng),即a8=a9=99解法二:設(shè)an為最大項(xiàng),則an≥an-1,a即9n(n+1)10又因?yàn)閚∈N+,所以n=8或n=9.故{an}的最大項(xiàng)為a8=a9=99能力提升練1.C由已知可得該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式a2n=2n2,∴a20=a2×10=2×102=200,奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式a2n-1=2n(n-1),∴a21=a2×11-1=2×11×10=220,∴a20+a21=200+220=420,故選C.2.D∵an=1n+1+1n+2+1n∴an+1=1n+2+1n+3+…+12∴an+1-an=12n+1+12n+2-1n3.ABC對(duì)于A,∵an=2,n為奇數(shù),0,n為偶數(shù),∴a1=2,a2=0,a3=2,a4對(duì)于B,∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正確;對(duì)于C,∵an=2sinnπ2,∴a1=2sinπ2=2,a2=2sin2π2=0,a3=2sin3對(duì)于D,∵an=21-(-1)n2,∴a1=21-(-1)2=2,a2=21-(-1)22=1,a3=21-(-14.答案61信息提?、偎膫€(gè)對(duì)稱圖形;②f(1)=1,f(2)=1+3+1,f(3)=1+3+5+3+1,f(4)=1+3+5+7+5+3+1.數(shù)學(xué)建模本題以小正方形的個(gè)數(shù)變化為背景構(gòu)建“數(shù)列模型”.前四個(gè)圖案中小正方形的個(gè)數(shù)分別是1,5,13,25,排成一列形成一個(gè)數(shù)列,從而把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)列問(wèn)題,再探索規(guī)律,總結(jié)出f(n).解析由題圖得,f(1)=1,f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3,f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5,f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7,故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.當(dāng)n=6時(shí),f(6)=2×6×5+1=61.5.解析(1)由題可得an=9n2-9n+2令3n-23n+1=98因?yàn)?003不是正整數(shù),所以98101不是數(shù)列{an}(2)由(1)可得an=3n-23n+1因?yàn)閚∈N+,所以0<33n+1<1,所以所以數(shù)列{an}中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi).(3)在區(qū)間13,23內(nèi)有數(shù)列{a令13<an<23,得13<3即3n+1<9n-6,又因?yàn)閚∈N+,所以n=2.故區(qū)間13,23內(nèi)有且僅有一個(gè)數(shù)列{an}中的項(xiàng),是第2項(xiàng),且a6.D∵a3n+2=an+2,a3n+1=a3n=an,∴a2021=a3×673+2=a673+2=a3×224+1+2=a224+2=a3×74+2+2=a74+4=a3×24+2+4=a24+6=a8+6=a2+8,∵a2=2,∴a2021=a2+8=10.故選D.7.C設(shè)雪花曲線的邊長(zhǎng)分別為a1,a2,a3,a4,a5,邊數(shù)分別為b1,b2,b3,b4,b5,周長(zhǎng)為Sn(n=1,2,3,4,5),由題圖可得,a2=a1×13=1,a3=13a2=13,a4=13a3=19,a5=13a4=127,b1=3,b2=3×4,b3=3×4×4,b4=3×4×4×4,b5=3×4×4×4×4,則S1=9,S2=12,S3=16,S4=648.D由題意知,?n∈N+,an=3由a7=1,得a6=2,∴a5=4,∴a4=1或a4=8.①當(dāng)a4=1時(shí),a3=2,∴a2=4,∴a1=1或a1=8,∴a0=2或a0=16.②當(dāng)a4=8時(shí),a3=16,∴a2=5或a2=32.當(dāng)a2=5時(shí),a1=10,此時(shí)a0=3或a0=20;當(dāng)a2=32時(shí),a1=64,此時(shí)a0=21或a0=128.綜上,滿足條件的a0的值共有6個(gè).故選D.9.D∵數(shù)列{an}對(duì)任意的n∈N+都